Um estudo recente feito por pesquisadores do Caltech(1) mostrou que, desde o início do século XXI, o volume de gelo acumulado no oceano Ártico durante o inverno diminuiu em cerca de 6000 km³, redução em grande parte impulsionada pela mudança na espessura do gelo, passando de um padrão denominado "plurianual" para outro padrão conhecido como "gelo marinho sazonal".
Segundo os autores do estudo, o gelo mais antigo e plurianual tende a ser mais espesso e, portanto, seu derretimento é mais demorado. À medida que esse "reservatório" de gelo "antigo" marinho do Ártico se esgota e o gelo sazonal passa a predominar, espera-se que a espessura e o volume globais do gelo marinho do Ártico diminuam.
a) Estime, em kg, o acréscimo na massa de água no oceano devido ao degelo no Ártico desde o início do século XXI.
b) Sabendo que a área do oceano Ártico é de aproximadamente $1,5\times10^7\,\text{km}^2$, se todo esse gelo perdido formasse uma camada sobre a superfície desse oceano, qual seria a espessura dessa camada?
c) Estime a mínima quantidade de energia (em joules) para derreter completamente uma tonelada de gelo inicialmente a uma temperatura de −20°C.
a) $\Delta V=6000\,\text{km}^3=6000\times10^9\,\text{m}^3=6\times10^{18}\,\text{cm}^3$. Massa de gelo perdida (que vira água): $\Delta m=\rho\Delta V=0,92\times6\times10^{18}=5,52\times10^{18}\,\text{g}=5,52\times10^{15}\,\text{kg}$.
b) Espessura $=\dfrac{\Delta V}{A}=\dfrac{6000\,\text{km}^3}{1,5\times10^7\,\text{km}^2}=4\times10^{-4}\,\text{km}=0,4\,\text{m}=40\,\text{cm}$.
c) Para derreter 1 tonelada ($1000\,\text{kg}$) de gelo a $-20°\text{C}$: primeiro aquece até $0°\text{C}$, depois funde. $Q_1=mc\Delta T=1000\times2\times10^3\times20=4\times10^7\,\text{J}$. $Q_2=mL=1000\times3\times10^5=3\times10^8\,\text{J}$. Energia total mínima: $Q=Q_1+Q_2=4\times10^7+3\times10^8=3,4\times10^8\,\text{J}$.
(1) Sahra Kacimi et al., "Arctic snow depth, ice thickness and volume from ICESat-2 and CryoSat-2: 2018-2021", Geophysical Research Letters (2022).
No manual de instalação de um filtro de torneira, consta a seguinte mensagem:
Dica: Caso não saiba qual a pressão no ponto de uso do filtro, meça o tempo para encher com água um copo de 240 mL. Se o tempo for menor que 6 segundos, recomenda-se encaixar o redutor de vazão na base do filtro.
a) Calcule a força sobre um tampão de vedação colocado na ponta de um cano de 40 mm de diâmetro se a pressão da água no interior do cano neste local é de 100 kPa.
Esquema do prédio de 12 andares: caixa d'água (ponto A) na laje, torneira no 4º andar (ponto B), com $h$ a diferença de altura entre A e B.
b) Considere que uma torneira esteja instalada no 4º andar de um prédio de 12 andares (ponto B) e esteja conectada a uma caixa d'água localizada na laje desse prédio (ponto A), conforme mostra a figura. Calcule a distância vertical $h$ e a diferença de pressão entre os pontos B e A.
c) Para um filtro instalado em um apartamento de outro andar (sem o redutor de vazão), verifica-se que o tempo para encher um copo de 240 mL é de 5 s. Dado que o diâmetro da saída do filtro é de 4 mm, calcule a velocidade da água na saída do filtro (em m/s).
Considere a água como um fluido ideal com densidade de $1000\,\text{kg/m}^3$.
A vazão de um fluido em regime de fluxo constante é dada pelo produto da velocidade do fluido pela área da seção reta do tubo de escoamento.
Aceleração da gravidade $(g)=10\,\text{m/s}^2$. $1\,\text{Pa}=1\,\text{N/m}^2$. Considere $\pi\approx3$.
a) Área do cano: $A=\pi r^2=3\times(0,02)^2=1,2\times10^{-3}\,\text{m}^2$. Força: $F=PA=10^5\times1,2\times10^{-3}=120\,\text{N}$.
b) Do 4º ao 12º andar são $12-4=8$ pavimentos de diferença, cada um com 3 m: $h=8\times3=24\,\text{m}$. A diferença de pressão (coluna de água entre A e B) é $\Delta P=\rho g h=1000\times10\times24=2,4\times10^5\,\text{Pa}=240\,\text{kPa}$, com B a uma pressão maior que A (B está mais baixo).
c) Vazão: $Q=\dfrac{\text{Volume}}{\text{tempo}}=\dfrac{240\times10^{-6}\,\text{m}^3}{5\,\text{s}}=4,8\times10^{-5}\,\text{m}^3/\text{s}$. Área de saída: $A=\pi r^2=3\times(0,002)^2=1,2\times10^{-5}\,\text{m}^2$. Velocidade: $v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{4,8\times10^{-5}}{1,2\times10^{-5}}=4\,\text{m/s}$.
Considere uma mesma corda de violoncelo vibrando, em situações distintas, conforme os padrões de ondas estacionárias mostrados nos diagramas a seguir, em que a amplitude das vibrações, por clareza, está grandemente ampliada. No diagrama 1, a corda vibra no comprimento $L$ mostrado na figura. No diagrama 2, a corda está pinçada a 2/3 do comprimento $L$, de modo que não há vibração no terço restante.
Diagrama 1: corda vibrando livremente no comprimento $L$ (modo fundamental). Diagrama 2: corda pinçada a 2/3 de $L$, vibrando no modo fundamental do trecho de comprimento 2L/3.
a) Um aluno afirma que, por se tratar de padrões estacionários, a velocidade de propagação de uma onda qualquer na corda é nula. Essa afirmação é correta? Justifique a sua resposta.
b) Considere agora a situação mostrada no diagrama 1. Se o comprimento $L$ fosse de 60 cm, qual seria o comprimento de onda da vibração mostrada nesse diagrama?
c) Suponha agora que a frequência da vibração da corda no padrão mostrado no diagrama 1 seja de 220 Hz. Determine a frequência de vibração da corda no padrão mostrado no diagrama 2.
a) A afirmação é falsa. Uma onda estacionária resulta da superposição de duas ondas progressivas (incidente e refletida) que se propagam com velocidade não nula ao longo da corda, dada por $v=\sqrt{T/\mu}$ (tensão e densidade linear da corda). O que é nulo é a velocidade de deslocamento do padrão (os nós permanecem fixos), não a velocidade de propagação das ondas que compõem esse padrão.
b) O diagrama 1 mostra o modo fundamental ($n=1$): $L=\dfrac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1=2L=2\times60=120\,\text{cm}=1,2\,\text{m}$.
c) Como é a mesma corda (mesma tensão e densidade linear), a velocidade de propagação $v$ é a mesma nas duas situações: $v=f_1\lambda_1=220\times1,2=264\,\text{m/s}$. No diagrama 2, o trecho que vibra tem comprimento $\dfrac{2L}{3}=40\,\text{cm}$, também no modo fundamental: $\dfrac{2L}{3}=\dfrac{\lambda_2}{2} \Rightarrow \lambda_2=2\times0,40=0,80\,\text{m}$. Logo, $f_2=\dfrac{v}{\lambda_2}=\dfrac{264}{0,80}=330\,\text{Hz}$.
Considere uma amostra de 2 mols de um gás monoatômico, em que cada átomo possui uma massa de aproximadamente $7\times10^{-24}$ gramas. O gás pode ser tratado como ideal.
a) Determine a massa total do gás na amostra, em gramas.
b) A energia interna da amostra a uma temperatura de 300 K é de 7500 J. Quanta energia é preciso transferir para a amostra para que sua temperatura atinja 400 K?
c) A descoberta de Einstein sobre a equivalência entre massa e energia é válida mesmo em fenômenos mais familiares, como o aquecimento de um fluido, embora, nesse caso, o efeito seja muito pequeno para ser perceptível. Nesse contexto, calcule a variação na massa da amostra de gás do enunciado quando ela experimenta um processo de expansão ao longo do qual recebe 13500 J de calor do entorno e realiza um trabalho de 4500 J.
Relação de Einstein: $E=mc^2$.
Velocidade da luz no vácuo: $3\times10^8\,\text{m/s}$.
a) $m=n\cdot N_A\cdot m_{átomo}=2\times6\times10^{23}\times7\times10^{-24}=84\times10^{-1}=8,4\,\text{g}$.
b) Para um gás ideal, a energia interna é proporcional à temperatura absoluta ($U\propto T$): $\dfrac{U(400)}{U(300)}=\dfrac{400}{300} \Rightarrow U(400)=7500\times\dfrac{4}{3}=10\,000\,\text{J}$. A energia a transferir é $\Delta U=10\,000-7500=2500\,\text{J}$.
c) Pela 1ª lei da termodinâmica, a energia retida pelo gás é $\Delta U=Q-W=13\,500-4500=9000\,\text{J}$. Pela equivalência massa-energia: $\Delta m=\dfrac{\Delta U}{c^2}=\dfrac{9000}{(3\times10^8)^2}=\dfrac{9000}{9\times10^{16}}=1\times10^{-13}\,\text{kg}$ — um valor absolutamente imperceptível diante dos $8,4\,\text{g}$ da amostra.
Um período da vida do físico J. Robert Oppenheimer pouco retratado no recente filme Oppenheimer é o seu Doutorado na Alemanha sob a orientação de Max Born. Em 1927, eles publicaram um trabalho muito importante, que se tornaria uma das bases da física atômica e molecular. A chamada Aproximação de Born-Oppenheimer usa o fato de que a massa dos núcleos é muito maior que a massa dos elétrons para justificar um tratamento independente do movimento dos núcleos e o dos elétrons em átomos e moléculas.
Para ilustrar a validade da aproximação, considere um modelo clássico para o átomo de hidrogênio composto de um próton de massa $M$ e carga $+e$ e um elétron de massa $m$ e carga $-e$ separados por uma distância $D$, como mostra a figura.
a) Considerando o sistema inicialmente estático, desenhe os vetores das forças elétricas que atuam sobre as duas partículas (mesma intensidade, direção da reta que une as cargas, sentidos opostos — atrativas entre si).
Considere agora que as velocidades das cargas estão sempre em sentidos opostos e perpendiculares à linha que une os seus centros. Considere também que a única força que atua sobre as partículas é a força elétrica entre elas, de modo que a quantidade de movimento total (ou momento linear total) do sistema é nula. Considere ainda que ambas as cargas estejam em movimento circular uniforme em torno do centro de massa do sistema, de modo que a distância entre as duas partículas não se altere.
Próton e elétron em movimento circular uniforme em torno do centro de massa, com velocidades sempre opostas e perpendiculares à linha que os une.
b) Sendo $M/m=1800$, calcule a razão $\Delta t_e/\Delta t_p$ entre os intervalos de tempo que o elétron e o próton, respectivamente, levam para percorrer um arco de circunferência de mesmo comprimento $\Delta s$.
c) Na aproximação de Born-Oppenheimer, pode ser feita a hipótese de que o próton permanece em repouso enquanto o elétron gira em torno dele. Utilizando essa hipótese e supondo ainda que a trajetória do elétron seja uma circunferência de raio $D$, calcule a energia cinética do elétron em termos de $e$, de $D$ e da constante eletrostática da Lei de Coulomb $k_0$.
a) Pela Lei de Coulomb, as duas cargas de sinais opostos se atraem: a força sobre o próton aponta na direção do elétron, e a força sobre o elétron aponta na direção do próton — vetores de mesmo módulo, mesma direção (a reta que une as cargas) e sentidos opostos (ação e reação, 3ª Lei de Newton).
b) Como o momento linear total é nulo, $Mv_p=mv_e$, e as duas partículas giram em torno do centro de massa com a mesma velocidade angular $\omega$ (mantendo $D$ fixo), a raios $r_p=\dfrac{mD}{M+m}$ e $r_e=\dfrac{MD}{M+m}$ (distâncias inversamente proporcionais às massas). Para arcos de mesmo comprimento $\Delta s=r\omega\Delta t$, o tempo é inversamente proporcional ao raio: $\dfrac{\Delta t_e}{\Delta t_p}=\dfrac{r_p}{r_e}=\dfrac{m}{M}=\dfrac{1}{1800}$.
c) Com o próton fixo, a força elétrica de Coulomb faz o papel de resultante centrípeta do elétron em órbita circular de raio $D$: $\dfrac{k_0e^2}{D^2}=\dfrac{mv_e^2}{D} \Rightarrow mv_e^2=\dfrac{k_0e^2}{D}$. A energia cinética é $E_c=\dfrac{1}{2}mv_e^2=\dfrac{k_0e^2}{2D}$.
Observação sobre o enunciado original: no item (b), a prova oficial menciona "o elétron e o pósitron" — uma aparente inconsistência de digitação, já que todo o enunciado descreve um sistema próton+elétron (carga $+e$ de massa $M$ e carga $-e$ de massa $m$), e a razão $M/m=1800$ só faz sentido física para o par próton-elétron. Preservamos aqui a redação original da prova, mas a resolução utiliza "próton" para manter a coerência física do problema.
O fenômeno da aurora polar, há muito tempo conhecido nos hemisférios norte e sul do planeta Terra, caracteriza-se por um brilho observado no céu em decorrência de colisões entre os átomos da atmosfera, predominantemente oxigênio e nitrogênio, e as partículas (prótons e elétrons) lançadas por erupções solares e canalizadas pelo campo magnético terrestre.
a) Determine a velocidade (em m/s) de um próton com energia cinética de $3,2\times10^{-13}\,\text{J}$.
b) Considerando agora elétrons com velocidade de $1,6\times10^6\,\text{m/s}$ e que descrevam órbitas circulares sob ação do campo magnético terrestre, cuja intensidade é de $10^{-4}\,\text{T}$, calcule o módulo da força magnética atuando sobre cada elétron.
As diferentes cores observadas na aurora devem-se à emissão de fótons em processos de desexcitação de átomos presentes nas diferentes camadas da atmosfera. As cores mais comuns da luz associada a esses fótons são a verde e a vermelha, devido à predominância de oxigênio e nitrogênio nas altitudes de 200 km e 100 km, respectivamente.
c) Calcule (em joules) a variação da energia de um átomo quando este emite um fóton da cor verde.
Comprimento de onda da luz verde: $\lambda=500\,\text{nm}$.
Energia de um fóton de frequência $f$: $E=hf$, onde $h=6\times10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$.
Velocidade da luz no vácuo: $3\times10^8\,\text{m/s}$.
a) $E_c=\dfrac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times3,2\times10^{-13}}{1,6\times10^{-27}}}=\sqrt{4\times10^{14}}=2\times10^7\,\text{m/s}$.
b) Força magnética sobre carga em movimento: $F=qvB=1,6\times10^{-19}\times1,6\times10^6\times10^{-4}=2,56\times10^{-17}\,\text{N}$.
c) A variação de energia do átomo é igual à energia do fóton emitido: $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6\times10^{-34}\times3\times10^8}{500\times10^{-9}}=\dfrac{18\times10^{-26}}{5\times10^{-7}}=3,6\times10^{-19}\,\text{J}$.