Em seu projeto para uma feira de ciências, uma estudante decide reproduzir o experimento histórico de Joule sobre o "equivalente mecânico do calor". Ela então monta o aparato esquematizado na figura ao lado. No experimento, a estudante deixa cair um bloco preso a uma corda que passa por uma roldana e cujo movimento faz girar pás que agitam o líquido contido em um calorímetro termicamente isolado.
Esquema do aparato de Joule: bloco em queda, roldana, pás girando dentro do calorímetro com líquido e termômetro.
a) O bloco, de massa igual a 5 kg, cai com velocidade praticamente constante. Qual é a força de tração na corda?
b) Suponha que o bloco caia até o chão, partindo de uma altura de 50 cm. Entre o início e o final da queda, determine o trabalho mecânico realizado pela força peso sobre o bloco e a variação da energia potencial gravitacional do sistema formado pelo bloco e pela Terra.
c) Suponha agora que o bloco seja substituído por outro e que, durante a queda desse novo bloco, a força peso atuando sobre ele realize um trabalho de módulo igual a 70 J. Suponha ainda que o líquido no calorímetro tenha massa de 10 kg, que seu calor específico seja de 2000 J·kg⁻¹·K⁻¹ e que o termômetro utilizado pela estudante tenha precisão de 0,1 K. A estudante conseguirá medir a variação de temperatura do líquido provocada pela queda do bloco? Justifique a sua resposta.
Suponha que a corda seja inextensível e que a roldana tenha massa desprezível.
Despreze todos os atritos, exceto a resistência do líquido ao movimento das pás.
Despreze as dimensões do bloco.
a) Com velocidade constante, o bloco está em equilíbrio: a tração equilibra o peso. $T=mg=5\times10=50\,\text{N}$.
b) Trabalho da força peso: $W_P=mgh=5\times10\times0,5=25\,\text{J}$. Variação da energia potencial gravitacional: $\Delta E_p=-W_P=-25\,\text{J}$ (diminui, pois o bloco desce).
c) Como a velocidade é praticamente constante (energia cinética não varia), todo o trabalho da força peso se converte em calor para o líquido: $Q=W_P=70\,\text{J}$. A variação de temperatura é $\Delta T=\dfrac{Q}{mc}=\dfrac{70}{10\times2000}=3,5\times10^{-3}\,\text{K}$. Como essa variação ($\approx0,0035\,\text{K}$) é cerca de 30 vezes menor do que a precisão do termômetro ($0,1\,\text{K}$), a estudante não conseguirá medir essa variação de temperatura.
Um carro percorre uma estrada que passa por uma colina cujo formato, no trecho próximo do alto, é praticamente circular, como indicado na figura, em que o ponto C corresponde ao centro do círculo de raio $R=90\,\text{m}$.
Trecho circular da colina: pontos A e B na estrada, centro C, raio R e ângulo θ entre A e B.
a) No ponto mais alto da trajetória, a motorista do carro em movimento sente-se "mais leve" do que se estivesse sentada em um carro parado. Nessas condições, o módulo da força normal, $N$, sobre a motorista é maior, menor ou igual ao módulo de seu peso, $P$? Justifique a sua resposta.
b) Calcule o tempo $\Delta t$ necessário para que o carro percorra a distância entre os pontos A e B, indicados no desenho, supondo que sua velocidade tenha módulo constante e igual a 72 km/h e que o ângulo $\theta$ seja igual a 2 radianos.
c) Calcule a máxima velocidade que o carro pode ter para que, no ponto mais alto da colina, não perca o contato com a pista.
a) No ponto mais alto, a resultante das forças aponta para o centro (para baixo): $P-N=\dfrac{mv^2}{R} \Rightarrow N=P-\dfrac{mv^2}{R}$. Como $\dfrac{mv^2}{R}>0$, temos $N
b) Comprimento do arco entre A e B: $s=R\theta=90\times2=180\,\text{m}$. Com $v=72\,\text{km/h}=20\,\text{m/s}$ constante: $\Delta t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{180}{20}=9\,\text{s}$.
c) A velocidade máxima ocorre quando $N=0$ (limite de perder contato): $P=\dfrac{mv_{máx}^2}{R} \Rightarrow mg=\dfrac{mv_{máx}^2}{R} \Rightarrow v_{máx}=\sqrt{gR}=\sqrt{10\times90}=\sqrt{900}=30\,\text{m/s}$.
Uma membrana celular, situada entre o meio externo e o interior de uma célula, pode ser tratada de forma aproximada como um capacitor, cujas superfícies interna e externa apresentam excesso de ânions (cargas negativas) e de cátions (cargas positivas), respectivamente. Considere uma membrana celular cujas superfícies têm praticamente a mesma área $A=1,2\times10^{-9}\,\text{m}^2$ e densidades superficiais de carga de mesmo módulo $\sigma=7\times10^{-4}\,\text{C/m}^2$.
a) Tratando, de forma aproximada, a membrana celular como uma casca esférica de espessura desprezível frente ao raio, encontre o volume da "célula" que essa membrana delimita.
b) Determine, em coulombs, o valor do módulo da carga elétrica em cada superfície.
c) Supondo que as cargas das superfícies têm agora módulo igual a $7\times10^{-14}\,\text{C}$ e que a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna vale $V=70\,\text{mV}$, encontre a capacitância da membrana.
Considere $\pi\simeq3$.
a) Da área superficial: $A=4\pi R^2 \Rightarrow R^2=\dfrac{A}{4\pi}=\dfrac{1,2\times10^{-9}}{12}=1\times10^{-10}\,\text{m}^2 \Rightarrow R=1\times10^{-5}\,\text{m}$. Volume: $V=\dfrac{4\pi R^3}{3}\approx4R^3=4\times(10^{-5})^3=4\times10^{-15}\,\text{m}^3$.
b) $Q=\sigma A=7\times10^{-4}\times1,2\times10^{-9}=8,4\times10^{-13}\,\text{C}$.
c) $C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{7\times10^{-14}}{7\times10^{-2}}=1\times10^{-12}\,\text{F}=1\,\text{pF}$.
Ondas sísmicas são ondas que se propagam em camadas de rochas no interior do manto da Terra. Essas ondas podem ser longitudinais (como o som, por exemplo) ou transversais (como as ondas que se propagam em uma corda). Um tipo de onda sísmica transversal é a chamada onda secundária (ou "onda S" ou "onda de cisalhamento") e sua velocidade é dada por $v_S=\sqrt{\mu/\rho}$, em que $\mu$ é o módulo de cisalhamento e $\rho$ é a densidade (ou massa específica), parâmetros da rocha em que a onda se propaga.
a) Através de uma análise dimensional, determine a unidade do módulo de cisalhamento $\mu$ no Sistema Internacional de Unidades (SI).
Na interface entre dois tipos de rocha, pode haver refração das ondas sísmicas, e a mudança de direção é dada pela Lei de Snell, conforme mostra o exemplo da figura a seguir.
Lei de Snell aplicada à refração de ondas S entre as camadas 1 e 2, conforme a prova.
Velocidades de ondas S típicas de alguns materiais comuns no manto terrestre são dadas na tabela a seguir.
| Material | Granito | Basalto | Arenito | Calcário | Argila |
| v_S (m/s) | 2900 | 2600 | 1400 | 2700 | 700 |
Considere uma onda S harmônica de frequência 0,3 Hz propagando-se através de uma interface entre duas camadas com composições diferentes.
b) Se a camada 1 for predominantemente composta por basalto e a camada 2 por granito, qual será a variação no comprimento de onda, $\lambda_2-\lambda_1$?
c) Em outra interface, são medidos $\text{sen}\,\theta_1=0,26$ e $\text{sen}\,\theta_2=0,52$. Se a camada 1 for composta predominantemente de argila, qual será, dentre os materiais apresentados na tabela, aquele que melhor corresponderá à composição da camada 2? Justifique a sua resposta.
a) De $v_S=\sqrt{\mu/\rho}$, temos $\mu=\rho v_S^2$. No SI: $[\mu]=\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\times\left(\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2=\dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}^2}$ — a mesma unidade de pressão, o pascal (Pa).
b) Como a frequência não muda ao atravessar a interface, $\lambda=v_S/f$. Camada 1 (basalto): $\lambda_1=\dfrac{2600}{0,3}\approx8666,7\,\text{m}$. Camada 2 (granito): $\lambda_2=\dfrac{2900}{0,3}\approx9666,7\,\text{m}$. $\lambda_2-\lambda_1=\dfrac{2900-2600}{0,3}=\dfrac{300}{0,3}=1000\,\text{m}$.
c) Pela Lei de Snell, $\dfrac{\text{sen}\,\theta_2}{\text{sen}\,\theta_1}=\dfrac{v_{S2}}{v_{S1}}=\dfrac{0,52}{0,26}=2$, logo $v_{S2}=2\,v_{S1}$. Com a camada 1 de argila ($v_S=700\,\text{m/s}$): $v_{S2}=2\times700=1400\,\text{m/s}$, que corresponde exatamente ao arenito na tabela.
O "efeito estilingue" é o nome que se dá à modificação do módulo e da direção da velocidade de uma espaçonave quando ela passa nas imediações de um planeta. Ele foi utilizado, por exemplo, para encurtar em mais de 5 anos a duração da viagem da sonda New Horizons até Plutão, passando por Júpiter. A figura a seguir ilustra o efeito em uma situação na qual uma sonda de massa 500 kg, viajando inicialmente para a direita, move-se em direção a um planeta de massa $2,0\times10^{27}\,\text{kg}$ que viaja para a esquerda. Como a massa da sonda é desprezível frente à do planeta, a trajetória deste último praticamente não se altera, embora parte de sua energia cinética seja transferida para a sonda. Nos pontos $A$ e $B$ indicados na figura, as distâncias entre a sonda e o planeta são tais que a energia potencial gravitacional associada à interação entre eles pode ser desprezada.
Trajetória da sonda ao passar pelo planeta: no ponto A a velocidade é horizontal; no ponto B, a sonda já foi defletida pela interação gravitacional.
a) No ponto $A$, a velocidade $\vec{v}_A$ da sonda em relação ao Sol tem apenas componente $x$, dada por 20 km/s, enquanto essa velocidade no ponto $B$ é $\vec{v}_B$, com componente $x$ igual a −7 km/s e componente $y$ igual a −24 km/s. De quanto foi o aumento no módulo da velocidade da sonda entre esses dois pontos?
b) Nas mesmas condições do item anterior, determine as componentes $x$ e $y$ do vetor variação da quantidade de movimento da sonda entre os pontos $A$ e $B$, bem como a tangente do ângulo entre esse vetor e o eixo $x$.
c) Nas mesmas condições dos itens anteriores, qual é a razão entre a variação da energia cinética do planeta e sua energia cinética inicial? Suponha que o módulo da velocidade inicial do planeta, em relação ao Sol, fosse de 5 km/s. Despreze a variação da energia potencial gravitacional associada à interação da sonda e do planeta com o Sol durante o processo.
a) $|\vec{v}_A|=20\,\text{km/s}$. $|\vec{v}_B|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\,\text{km/s}$. Aumento: $\Delta|v|=25-20=5\,\text{km/s}$.
b) Em m/s: $\vec{v}_A=(20\,000;\,0)$, $\vec{v}_B=(-7000;\,-24\,000)$. $\Delta\vec{v}=\vec{v}_B-\vec{v}_A=(-27\,000;\,-24\,000)\,\text{m/s}$. $\Delta\vec{p}=m\Delta\vec{v}=500\times(-27\,000;\,-24\,000)=(-1,35\times10^7;\,-1,2\times10^7)\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. A tangente do ângulo com o eixo $x$: $\left|\dfrac{\Delta p_y}{\Delta p_x}\right|=\dfrac{1,2\times10^7}{1,35\times10^7}=\dfrac{8}{9}\approx0,89$.
c) Pela conservação de energia (desprezando energia potencial), a energia cinética ganha pela sonda é perdida pelo planeta: $\Delta E_{c,\text{sonda}}=\frac{1}{2}m(v_B^2-v_A^2)=\frac{1}{2}\times500\times[(25\,000)^2-(20\,000)^2]=250\times(6,25-4)\times10^8=5,625\times10^{10}\,\text{J}$. Logo, $\Delta E_{c,\text{planeta}}=-5,625\times10^{10}\,\text{J}$. Energia cinética inicial do planeta: $E_{c,i}=\frac{1}{2}(2\times10^{27})(5000)^2=2,5\times10^{34}\,\text{J}$. A razão pedida: $\dfrac{\Delta E_{c,\text{planeta}}}{E_{c,i}}=\dfrac{-5,625\times10^{10}}{2,5\times10^{34}}\approx-2,25\times10^{-24}$ — uma fração absolutamente desprezível, o que confirma que a trajetória do planeta praticamente não se altera.
Diversos aparelhos, como painéis solares, televisões de LCD e plasma, iluminações urbanas e outros, têm seu funcionamento baseado no efeito fotoelétrico, no qual elétrons são arrancados de uma superfície metálica pela incidência de radiação eletromagnética. Para que ocorra efeito fotoelétrico, a energia de um fóton, dada por $hf$, sendo $h$ a constante de Planck e $f$ a frequência da radiação eletromagnética, deve ser superior a uma energia mínima, conhecida como função trabalho, $\phi$, que é uma quantidade dependente do material. A tabela a seguir mostra a função trabalho de alguns materiais.
| Material | $\phi$ (eV) |
| Platina | 5,8 |
| Tungstênio | 4,5 |
| Alumínio | 4,2 |
| Bário | 2,5 |
| Potássio | 2,3 |
a) Considere uma placa de alumínio inicialmente carregada eletricamente. A fim de saber se a placa foi carregada positivamente ou negativamente, incide-se luz ultravioleta sobre sua superfície. Após certo tempo, verifica-se que a placa está neutra. Qual era o sinal da carga elétrica inicialmente na placa? Justifique a sua resposta.
b) Deseja-se escolher um material para uma célula fotoelétrica que funcione com luz verde de frequência $f=6\times10^{14}\,\text{Hz}$. Qual(is) dos materiais da tabela funcionaria(m) como uma célula fotoelétrica? Justifique a sua resposta.
c) Caso a energia de um fóton seja superior à função trabalho, o elétron será emitido com energia cinética adicional. Determine a energia cinética (em eV) de um elétron quando uma luz de comprimento de onda 400 nm incide sobre uma superfície de bário.
Velocidade da luz no vácuo: $c=3\times10^8\,\text{m/s}$.
a) O efeito fotoelétrico remove elétrons (cargas negativas) da placa. Como a placa, inicialmente carregada, tornou-se neutra após perder elétrons por efeito fotoelétrico, ela deve ter tido, inicialmente, um excesso de carga negativa (elétrons a mais), que foi sendo removido pela luz UV até zerar.
b) Energia do fóton de luz verde: $E=hf=4\times10^{-15}\times6\times10^{14}=2,4\,\text{eV}$. Para haver efeito fotoelétrico, é preciso $\phi\le E=2,4\,\text{eV}$. Apenas o potássio ($\phi=2,3\,\text{eV}$) satisfaz essa condição; o bário ($2,5\,\text{eV}$) e os demais têm função trabalho maior que $2,4\,\text{eV}$.
c) Energia do fóton: $E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{4\times10^{-15}\times3\times10^8}{400\times10^{-9}}=\dfrac{1,2\times10^{-6}}{4\times10^{-7}}=3\,\text{eV}$. Energia cinética do elétron emitido do bário ($\phi=2,5\,\text{eV}$): $E_c=E-\phi=3-2,5=0,5\,\text{eV}$.