EFOMM 2000 — Questões de Física comentadas — Método TEF

Uma carga de 1,0 kg parte do repouso e sobe uma rampa de 4 m de altura e 5 m de comprimento, puxada por uma força que vale 25 N até x = 3 m e cai linearmente a zero em x = 5 m. O atrito realiza −10 J. Queremos a velocidade no topo.

A força varia, então o trabalho é a área sob o gráfico F × x. Aqui está a sacada: com todos os trabalhos em mãos, o Teorema da Energia Cinética dá a velocidade direto, sem aceleração nem tempo.

Área do trapézio para F e trabalho do peso, que depende só da altura: \[W_F=\dfrac{(5+3)\cdot 25}{2}=100\text{ J}\qquad W_P=-mgh=-40\text{ J}\] Teorema da energia cinética, partindo do repouso: \[100-40-10=\dfrac{1}{2}(1{,}0)v^2\;\Rightarrow\; v=10\text{ m/s}\]

A velocidade é 10 m/s. Só para conferir: sobram 50 J de energia cinética para 1 kg, e ½·1·10² = 50 J.

Duas esferas idênticas em pêndulos. A esfera A é solta do repouso a 5 cm de altura e bate elasticamente em B, parada. Pede-se a velocidade de B logo após o choque.

Vamos por partes: na descida vale a conservação da energia mecânica; no choque valem a quantidade de movimento e a energia cinética, por ser elástico. Com massas iguais, isso resulta em troca de velocidades.

Velocidade de A na base, com h = 0,05 m: \[mgh=\dfrac{1}{2}mv^2\;\Rightarrow\; v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}05}=1\text{ m/s}\] No choque elástico frontal de massas iguais, A para e B sai com a velocidade de A: \[v_B=v_A=1\text{ m/s}\]

A velocidade de B é 1 m/s. Uma checagem rápida: B ganha toda a energia cinética que A tinha, sem perda.

Blocos de 2 kg e 3 kg em repouso, com uma mola entre eles. Ao liberá-la, A sai com 6 m/s. Queremos o módulo da velocidade de B. A energia da mola não é dada e não é necessária.

A mola exerce forças internas, e não há forças externas horizontais. A quantidade de movimento total se conserva e vale zero, pois o sistema partiu do repouso. Os blocos saem em sentidos opostos com momentos de mesmo módulo.

Com o sentido de A positivo: \[0=m_Av_A-m_Bv_B\;\Rightarrow\; 2\cdot 6=3\cdot v_B\;\Rightarrow\; v_B=4\text{ m/s}\]

B sai com 4 m/s. Para fechar com segurança: B é mais pesado, então é mais lento que A, e os dois momentos valem 12 kg·m/s.

Uma carga de 300 N pende de uma corda de 20 m, e uma força horizontal F a desvia 6 m para o lado. Pedem-se F e a tração T. O comprimento constante da corda fixa o ângulo.

Em equilíbrio, atuam o peso, a força horizontal e a tração inclinada. A geometria dá o ângulo com a vertical, e a decomposição da tração em vertical e horizontal fecha as duas equações de equilíbrio.

Ângulo com a vertical: \[\sin\theta=\dfrac{6}{20}=0{,}30\qquad \cos\theta=\sqrt{1-0{,}09}\approx 0{,}954\] Vertical e horizontal: \[T\cos\theta=300\;\Rightarrow\; T\approx 314\text{ N}\qquad F=T\sin\theta\approx 94\text{ N}\]

F ≈ 94 N e T ≈ 313 N (a diferença vem de arredondamentos). Vale um teste de bom senso: com ângulo pequeno, T fica pouco acima do peso e F bem abaixo.

Um banco de 25 N é arrastado com velocidade constante por uma força F inclinada de 30° acima da horizontal, com coeficiente de atrito 0,20. Velocidade constante significa resultante nula nos dois eixos. Pede-se o módulo de F.

O pulo do gato é este: como F puxa para cima, ela alivia parte do peso, então a normal é menor que 25 N e o atrito também. Por isso montamos o equilíbrio nos dois eixos e resolvemos o sistema, em vez de usar a normal igual ao peso.

No eixo vertical, a normal vale o peso menos a componente vertical de F. No horizontal, a componente horizontal de F iguala o atrito: \[N=25-0{,}500F\qquad 0{,}866F=0{,}20\,(25-0{,}500F)\] Desenvolvendo: \[0{,}866F=5-0{,}100F\;\Rightarrow\; 0{,}966F=5\;\Rightarrow\; F\approx 5{,}18\text{ N}\]

F ≈ 5,18 N. Olhe o resultado com desconfiança saudável: se N fosse 25 N, o atrito seria 5 N e F seria 5/0,866 ≈ 5,8 N. Nosso valor é um pouco menor, exatamente porque a normal diminuiu.

Qual gráfico representa, para um mesmo elemento em um mesmo local, o peso específico δ (eixo vertical) em função da massa específica μ (horizontal)? Aqui g é constante.

Peso específico é peso por volume e massa específica é massa por volume. Como peso é massa vezes g, as duas grandezas são diretamente proporcionais, e basta lembrar o gráfico de uma proporção.

Partindo das definições: \[\delta=\dfrac{P}{V}=\dfrac{m\,g}{V}=\mu\,g\] Com g constante, δ é função linear de μ, com coeficiente angular g e sem termo independente: uma reta inclinada pela origem.

Reta crescente pela origem é o gráfico e. Só para conferir: sem matéria, μ = 0 e δ = 0; dobrando μ, δ dobra.

Um tubo inclinado de 30° e 60 m de comprimento está cheio de água, com A fechada na base e B aberta. Qual a pressão efetiva em A, sabendo que cada 10 m de água valem 1 atm? Os dados do cosseno são distração.

A pressão hidrostática depende só do desnível vertical até a superfície livre, não do comprimento nem da forma do tubo. Primeiro achamos a altura vertical, depois convertemos com os 10 m por atmosfera.

O desnível é o cateto oposto ao ângulo de 30°: \[h=L\sin 30^\circ=60\cdot 0{,}500=30\text{ m}\qquad p_{ef}=\dfrac{30}{10}=3\text{ atm}\]

A pressão efetiva é 3 atm. Uma checagem rápida: na vertical seriam 6 atm e na horizontal zero; 30° dá exatamente a metade.

Um capacitor de placas paralelas, separadas por 5 cm, tem potenciais de +195 V e −55 V. Uma partícula de massa 5·10⁻⁵ kg e carga −0,4·10⁻⁶ C parte rente à placa negativa e é lançada perpendicularmente ao campo. Pede-se o tempo até atingir a placa positiva e a energia cinética ganha. O peso é desprezado.

Note que a partícula é negativa, então é atraída pela placa positiva: a força elétrica a empurra em sentido oposto ao campo, com aceleração constante, e a componente paralela às placas não influi no tempo de travessia. A energia ganha vem do trabalho da força elétrica, que é a carga vezes a ddp.

A ddp é a diferença dos potenciais e o campo é uniforme: \[U=195-(-55)=250\text{ V}\qquad E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{250}{0{,}05}=5000\text{ V/m}\] Força e aceleração: \[F=|q|E=0{,}4\cdot 10^{-6}\cdot 5000=2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ N}\qquad a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{2{,}0\cdot 10^{-3}}{5\cdot 10^{-5}}=40\text{ m/s}^2\] Tempo para percorrer d com aceleração constante, partindo sem velocidade nessa direção: \[0{,}05=\dfrac{1}{2}\cdot 40\cdot t^2\;\Rightarrow\; t=5{,}0\cdot 10^{-2}\text{ s}\] Energia cinética ganha pelo campo: \[E_c=|q|U=0{,}4\cdot 10^{-6}\cdot 250=1{,}0\cdot 10^{-4}\text{ J}\]

Tempo de 5,0·10⁻² s e energia de 1,0·10⁻⁴ J. Para fechar com segurança: a energia também sai de F·d = 2,0·10⁻³ · 0,05 = 1,0·10⁻⁴ J, o mesmo número por outro caminho.

Uma esfera é abandonada em um plano inclinado. Quatro gráficos são dados: reta decrescente (I), reta horizontal (II), parábola crescente (III) e reta crescente pela origem (IV). Qual par representa o módulo da velocidade e a distância percorrida?

A componente do peso ao longo do plano é constante, logo a aceleração é constante: MRUV a partir do repouso. Basta escrever as funções horárias e reconhecer os gráficos.

Com velocidade inicial nula: \[v=a\,t\qquad d=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2\] A primeira é reta crescente pela origem (gráfico IV); a segunda é do segundo grau, um arco de parábola (gráfico III).

O par é IV e III. Vale um teste de bom senso: a inclinação da parábola em cada instante é a velocidade, que cresce com o tempo.

O circuito tem três ramos em paralelo entre dois nós: $R_1 = 4\ \Omega$ com $V_1 = 7\text{ V}$, $R_2 = 3\ \Omega$ com $4\text{ V}$ e $R_3 = 2\ \Omega$ com $5\text{ V}$, esta última com polaridade invertida. As fontes são ideais. Pede-se a potência dissipada em $R_3$, com as correntes aproximadas para uma casa decimal.

Com três ramos entre dois nós, o caminho mais curto é a análise nodal: descobrir a tensão $V_A$ entre os nós e, com ela, a corrente em cada ramo. Essa é a lei dos nós combinada com a lei de Ohm em cada ramo, e evita resolver um sistema de malhas. Repare que a fonte de 5 V entra com sinal oposto às outras duas, e é isso que muda o resultado.

Tomando o nó inferior como referência e somando as correntes que chegam ao nó superior: \[V_A = \dfrac{\frac{7}{4} + \frac{4}{3} - \frac{5}{2}}{\frac14 + \frac13 + \frac12} = \dfrac{0{,}583}{1{,}083} \approx 0{,}54\text{ V}\] As correntes saem de $i = (V_{fonte} - V_A)/R$: $i_1 \approx 1{,}6\text{ A}$ e $i_2 \approx 1{,}2\text{ A}$, e em $R_3$ chega $i_3 = i_1 + i_2 \approx 2{,}8\text{ A}$, pois a fonte de 5 V também soma. Assim: \[P_3 = R_3\, i_3^2 = 2 \cdot (2{,}77)^2 \approx 15{,}3\text{ W}\]

A alternativa oficial é a D, 15,16 W. O resultado calculado, cerca de 15,3 W, aproxima-se dela (com a corrente arredondada em 2,8 A sairiam 15,7 W); as outras alternativas ficam bem longe, entre 2 W e 9 W. Olhe o resultado com desconfiança saudável: a corrente em $R_3$ é a soma das outras duas, como pede a lei dos nós, e a potência na resistência de 2 ohms deve ser a maior do circuito.

Uma carga pontual de +5·10⁻⁶ C cria força sobre uma carga negativa de massa 0,002 g colocada a 30 cm dela. Essa carga, livre, adquire aceleração de 1,8·10⁵ m/s². Pede-se o módulo dessa carga. O peso e o meio são desprezados, então a única força é a de Coulomb.

A força elétrica é a resultante, então a segunda lei de Newton dá o valor da força a partir da massa e da aceleração. Essa mesma força, escrita pela lei de Coulomb, permite isolar a carga desconhecida. O cuidado central está nas unidades: a massa vem em gramas.

Passando a massa para o SI, 0,002 g é 2·10⁻⁶ kg. Então: \[F=ma=2\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}8\cdot 10^{5}=0{,}36\text{ N}\] Igualando à lei de Coulomb com r = 0,30 m: \[0{,}36=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 5\cdot 10^{-6}\cdot |q|}{0{,}09}=5\cdot 10^{5}\,|q|\;\Rightarrow\; |q|=0{,}72\cdot 10^{-6}\text{ C}\]

A carga vale 0,72·10⁻⁶ C. Só para conferir: um campo de 9·10⁹·5·10⁻⁶/0,09 = 5·10⁵ N/C sobre 0,72 µC dá 0,36 N, a mesma força de antes.

O leque gira a 4000 rpm e a ponta tem velocidade tangencial de 62,8 m/s. Pede-se o diâmetro, com π ≈ 3,14.

No movimento circular uniforme, v = ωR. A rotação está em rpm, então convertemos para rad/s antes de aplicar a fórmula, e no fim dobramos o raio.

Frequência, velocidade angular, raio e diâmetro: \[f=\dfrac{4000}{60}=\dfrac{200}{3}\text{ Hz}\qquad \omega=2\pi f\approx 418{,}7\text{ rad/s}\] \[R=\dfrac{62{,}8}{418{,}7}=0{,}15\text{ m}\qquad D=2R=0{,}3\text{ m}\]

O diâmetro é 0,3 m. Uma checagem rápida: o perímetro é cerca de 0,94 m e 66,7 voltas por segundo dão 62,8 m/s.

Pede-se a grandeza escalar entre velocidade, aceleração, corrente elétrica, campo elétrico e trabalho.

Uma grandeza é vetorial quando exige direção e sentido. Testamos cada opção perguntando se faz sentido dizer para onde ela aponta.

Velocidade tem direção e sentido, logo é vetorial. Aceleração também, por ser variação da velocidade. Campo elétrico é vetor, definido como força por carga. Trabalho vem do produto escalar entre força e deslocamento: \[W=\vec F\cdot\vec d=F\,d\cos\theta\] O resultado é um número, sem direção.

A grandeza escalar pedida é o trabalho. Para fechar com segurança: energia não tem direção, e 10 J não apontam para lugar algum.

A posição do navio é S = 3 + 2t − t² (SI). Pedem-se o instante em que passa pela origem e o instante em que inverte o sentido.

Passar pela origem é S = 0. Inverter o sentido é a velocidade se anular, e a velocidade é a derivada da posição.

Origem: \[t^2-2t-3=0\;\Rightarrow\;(t-3)(t+1)=0\;\Rightarrow\; t=3\text{ s}\] A raiz negativa não serve. Inversão: \[v=2-2t=0\;\Rightarrow\; t=1\text{ s}\]

Os instantes são 3 s e 1 s. Vale um teste de bom senso: em t = 1 s o navio está em S = 4 m, o ponto mais afastado, e depois volta cruzando a origem em t = 3 s.

A escala Y dá −20° ao gelo e +160° à ebulição da água. Qual a temperatura em Celsius que corresponde a −4 °Y?

Em escalas lineares, a fração do intervalo entre os pontos fixos é a mesma nas duas. Montamos a proporção entre Celsius (0 a 100) e Y (−20 a 160).

Proporção e substituição de Y = −4: \[\dfrac{C}{100}=\dfrac{Y+20}{180}\;\Rightarrow\;\dfrac{C}{100}=\dfrac{16}{180}\;\Rightarrow\; C\approx 8{,}9\,^\circ\text{C}\]

A temperatura é cerca de 8,9 °C. Olhe o resultado com desconfiança saudável: cada grau Y vale 100/180 ≈ 0,556 °C, e 16 · 0,556 ≈ 8,9.

Um ar-condicionado consome em média 10 A em 120 V e fica ligado 7 horas por dia, por 30 dias. O quilowatt-hora custa R$ 0,60. Pede-se o acréscimo mensal na conta.

A conta de luz cobra energia, em quilowatt-hora, e não potência. Então o caminho é: potência pela tensão e corrente, energia pela potência vezes o tempo, e custo pela energia vezes o preço da tarifa.

Potência, tempo total e energia mensal: \[P=V\,i=120\cdot 10=1200\text{ W}=1{,}2\text{ kW}\qquad \Delta t=7\cdot 30=210\text{ h}\] \[E=P\,\Delta t=1{,}2\cdot 210=252\text{ kWh}\] Custo: \[C=252\cdot 0{,}60=151{,}20 ext{ reais}\]

O acréscimo é de R$ 151,20. Só para conferir: 1,2 kW por hora custa R$ 0,72, e 7 horas dão R$ 5,04 por dia; em 30 dias, R$ 151,20.

Um resistor de 4 Ω ligado a 120 V aquece 2,5 L de água de 15 °C a 95 °C, com toda a energia indo para a água. O calor específico é dado em cal/g·°C. Pede-se o tempo aproximado.

A potência do resistor ligado a uma tensão fixa é V²/R, e o calor necessário sai de mQ = m·c·ΔT. Como a transferência é ideal, a energia elétrica dissipada iguala o calor recebido. O ponto delicado é que o calor está em calorias e a potência em watts, então é preciso converter, usando 1 cal ≈ 4,184 J.

Potência, massa (2,5 L de água pura pesam 2500 g) e calor: \[P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{120^2}{4}=3600\text{ W}\qquad Q=mc\,\Delta T=2500\cdot 1\cdot 80=200\,000\text{ cal}\] Em joules e depois em tempo: \[Q\approx 200\,000\cdot 4{,}184=836\,800\text{ J}\qquad t=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{836\,800}{3600}\approx 232\text{ s}\]

O tempo é cerca de 232 s. Uma checagem rápida: um aquecedor de 3,6 kW aquecendo 2,5 kg de água por 80 °C leva alguns minutos, e 232 s é pouco menos de 4 minutos, uma ordem de grandeza razoável.

Quatro assertivas sobre ondas e luz devem ser classificadas como certas ou erradas, e a resposta é a sequência de I a IV. Cada uma mistura conceitos vizinhos, então é preciso avaliar uma a uma.

Vamos separar as ideias: relação entre λ, v e f, princípio de Huygens, definição de índice de refração e guiamento de luz em fibras. Cada afirmação testa uma dessas relações, e um detalhe trocado a torna falsa.

A afirmativa I é errada: como λ = v/f e a frequência da luz não muda ao mudar de meio, o comprimento de onda varia com a velocidade. A II é certa e descreve o princípio de Huygens. A III é errada: o índice de refração é a razão entre a velocidade no vácuo e a velocidade no meio, e a assertiva inverteu a razão: \[n=\dfrac{c}{v}\] A IV é certa, pois a fibra óptica guia a luz por reflexão total interna, com pouca perda lateral.

A sequência é E, C, E, C. Para fechar com segurança: como n é sempre maior ou igual a 1 e c é a maior velocidade possível, a razão c/v é maior que 1, coerente com a definição correta.

Um ecobatímetro emite sinal de 25·10³ Hz e comprimento de onda 0,06 m na água. Em quanto tempo registra uma profundidade de 18 m? O sinal vai até o fundo e volta.

A equação fundamental dá a velocidade. Como o registro só ocorre quando o eco retorna, a distância percorrida é o dobro da profundidade.

Velocidade e tempo de ida e volta: \[v=\lambda f=0{,}06\cdot 25\cdot 10^{3}=1500\text{ m/s}\qquad t=\dfrac{2\cdot 18}{1500}=2{,}40\cdot 10^{-2}\text{ s}\]

O tempo é 2,40·10⁻² s. Vale um teste de bom senso: 1500 m/s é típico do som na água, e 36 m em 24 ms é coerente.

Uma corda fixa nas duas pontas, com separação L, oscila com três ventres (terceiro harmônico). Qual a relação entre L e λ?

As pontas fixas são nós, e cada ventre ocupa meio comprimento de onda. Contar os ventres dá o número de meios comprimentos de onda que cabem na corda.

Com n ventres, n = 3: \[L=n\,\dfrac{\lambda}{2}\;\Rightarrow\; L=\dfrac{3\lambda}{2}\]

A relação é L = 3λ/2. Olhe o resultado com desconfiança saudável: no fundamental seria L = λ/2, e cada harmônico acrescenta meio comprimento de onda.

Um gás sofre transformação a pressão constante de 0,4 N/m², enquanto o volume varia como V = 8 sen(t). Pede-se o trabalho realizado pelo gás no intervalo de t = 0 até t = π/4 s. O termo "diferencial" se refere ao trabalho associado à variação do volume nesse intervalo, e o dado da função seno é o que exige atenção.

Com pressão constante, o trabalho é a pressão vezes a variação de volume, sem integrar curva pressão-volume nem derivar coisa alguma. O que muda no tempo é só o volume, então basta avaliá-lo nos instantes inicial e final e subtrair. Repare que a função seno faz o trabalho depender apenas dos extremos do intervalo, não do caminho intermediário, já que P é constante.

Volume inicial e volume final, usando sen(π/4) = √2/2: \[V(0)=8\sin 0=0\qquad V\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=8\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ m}^3\] Trabalho a pressão constante: \[W=P\,\Delta V=0{,}4\cdot 4\sqrt{2}=1{,}6\sqrt{2}\text{ J}\]

O trabalho é 1,6√2 J. Só para conferir: o volume aumenta, então o gás se expande e o trabalho é positivo, cerca de 2,3 J, coerente com uma pressão muito baixa de 0,4 N/m². Como as unidades são N/m² vezes m³, o resultado sai em joules.

Uma partícula de carga −2·10⁻³ C e massa 3·10⁻⁶ kg entra a 800 m/s perpendicularmente em um campo magnético de 12 T. Pede-se o raio da trajetória circular. O sinal negativo da carga só afeta o sentido da curva.

Com velocidade perpendicular ao campo, a força magnética é sempre perpendicular à velocidade e funciona como resultante centrípeta. Igualando a força magnética à força centrípeta, isolamos o raio.

Igualando, com o módulo da carga: \[|q|vB=\dfrac{mv^2}{R}\;\Rightarrow\; R=\dfrac{mv}{|q|B}\] Substituindo os valores: \[R=\dfrac{3\cdot 10^{-6}\cdot 800}{2\cdot 10^{-3}\cdot 12}=\dfrac{2{,}4\cdot 10^{-3}}{24\cdot 10^{-3}}=0{,}1\text{ m}\]

O raio é 0,1 m. Uma checagem rápida: um campo forte e uma partícula leve dão raio pequeno, e as unidades fecham em metros.

A luz tem frequência de 0,5·10¹⁴ Hz e atravessa um meio de índice de refração 1,5. Pede-se o comprimento de onda nesse meio, dado c = 3,0·10⁸ m/s.

Ao mudar de meio, a frequência da luz permanece e a velocidade muda. Então primeiro achamos a velocidade no meio pelo índice de refração, e depois o comprimento de onda pela relação fundamental.

Velocidade no meio e comprimento de onda: \[v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3{,}0\cdot 10^{8}}{1{,}5}=2{,}0\cdot 10^{8}\text{ m/s}\] \[\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{2{,}0\cdot 10^{8}}{0{,}5\cdot 10^{14}}=4{,}0\cdot 10^{-6}\text{ m}\]

O comprimento de onda é 4,0·10⁻⁶ m. Para fechar com segurança: no vácuo seria 3,0·10⁸/0,5·10¹⁴ = 6,0·10⁻⁶ m, e no meio é menor por um fator 1,5, o que dá 4,0·10⁻⁶ m.

Um avião de peso 10 000 N voa a 1900 km/h em velocidade constante. Aumenta-se o empuxo das turbinas em 5000 N, com a resistência do ar constante, e pergunta-se que distância ele percorre até atingir 2400 km/h.

Em velocidade constante, o empuxo equilibrava a resistência do ar. Ao acrescentar 5000 N, sobra uma resultante de 5000 N, constante, que produz aceleração constante. Com aceleração constante e sem o tempo envolvido, a ferramenta certa é a equação de Torricelli. As velocidades precisam estar em m/s.

Massa e aceleração: \[m=\dfrac{P}{g}=\dfrac{10\,000}{10}=1000\text{ kg}\qquad a=\dfrac{5000}{1000}=5\text{ m/s}^2\] Velocidades em m/s: 1900/3,6 ≈ 527,8 e 2400/3,6 ≈ 666,7. Por Torricelli: \[\Delta s=\dfrac{v^2-v_0^2}{2a}=\dfrac{666{,}7^2-527{,}8^2}{10}\approx 16\,590\text{ m}\approx 16{,}6\text{ km}\]

A distância é cerca de 16,6 km. Vale um teste de bom senso: a velocidade cresce em cerca de 139 m/s com aceleração de 5 m/s², o que leva quase 28 s, e a velocidade média de 597 m/s nesse tempo dá aproximadamente 16,6 km.

Forças de módulos diferentes atuam sobre uma partícula em movimento retilíneo uniforme. Pergunta-se o número mínimo de forças possível. A expressão-chave é "módulos diferentes".

Em MRU, a aceleração é nula, então a resultante das forças é nula. O problema vira este: quantas forças de módulos todos distintos podem somar zero? Vamos testar o menor número possível de forças.

Com uma força só, a resultante é a própria força, não nula. Com duas forças, para somarem zero elas teriam de ter o mesmo módulo e sentidos opostos, o que contraria a condição de módulos diferentes. Com três forças de módulos distintos, é possível que os vetores formem um triângulo fechado, e a soma vetorial se anula: \[\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3=\vec 0\]

O número mínimo é 3. Olhe o resultado com desconfiança saudável: três segmentos de comprimentos distintos podem formar um triângulo (desde que cada um seja menor que a soma dos outros dois), e isso é o polígono de forças fechado.