EFOMM 2011 — Questões de Física comentadas — Método TEF

O trabalhador quer elevar a carga usando dois arranjos de roldanas e a pergunta é quanto ele precisa puxar a corda em cada um. O dado decisivo é que o peso dele é igual ao da carga, $P=W$. O atrito nas roldanas é desprezível, então a tração é a mesma ao longo de cada corda. Considere a carga subindo com velocidade constante, de modo que tudo está em equilíbrio.

Vamos por partes: em roldana ideal, o que importa é contar quantos trechos de corda puxam a carga para cima e o que sustenta o trabalhador. No arranjo a, a carga é sustentada por dois trechos. No arranjo b, o trabalhador está apoiado numa plataforma e a corda o puxa para cima, então a força normal que o apoio faz sobre ele entra na conta. Por isso o equilíbrio precisa ser escrito separadamente para o trabalhador e para a carga.

No mecanismo a, dois trechos seguram a carga: \[2T_a=W.\] No mecanismo b, para o trabalhador, com $N$ a força de contato do apoio, e para a carga: \[N+T_b=P,\qquad 2T_b=N+W.\] Somando as duas equações e usando $P=W$, o $N$ desaparece: \[3T_b=2W.\] Dividindo uma relação pela outra: \[\dfrac{T_a}{T_b}=\dfrac{W/2}{2W/3}=\dfrac34.\]

Resulta $T_a=\dfrac34T_b$. Só para conferir: $T_a=0{,}5W$ e $T_b\approx0{,}67W$, ambas menores que $W$, como se espera de um arranjo com vantagem mecânica, e $T_a$ é de fato menor que $T_b$.

Uma esfera presa a uma mola oscila em MHS e gera, num fio longo preso a ela, uma onda progressiva de velocidade $V$. Pede-se a constante elástica $k$ em função de $m$, $V$ e $L$. O dado da figura, segundo a resolução, é que o comprimento $L$ marcado corresponde a meio comprimento de onda, $L=\lambda/2$. A distração é pensar em energia da mola, que aqui não é necessária.

A ideia central é esta: quem gera a onda é a esfera, então a frequência da onda no fio é exatamente a frequência do MHS. Uma ponta do problema é do oscilador, dada por $f=\frac1{2\pi}\sqrt{k/m}$, e a outra é da ondulatória, dada por $V=\lambda f$. A frequência é a ponte entre as duas. Basta escrever $f$ pelos dois lados e igualar.

Da figura, $\lambda=2L$. Da equação fundamental da onda: \[f=\dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{V}{2L}.\] Do oscilador massa-mola: \[f=\dfrac1{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.\] Igualando e isolando $k$, elevando ao quadrado ambos os lados: \[\dfrac{V}{2L}=\dfrac1{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}\;\Rightarrow\;\dfrac{k}{m}=\dfrac{\pi^2V^2}{L^2}\;\Rightarrow\;k=\dfrac{\pi^2mV^2}{L^2}.\]

O resultado é $k=\dfrac{\pi^2mV^2}{L^2}$. Teste dimensional: $mV^2/L^2$ tem unidade de kg$\cdot$(m/s)$^2$/m$^2$ = kg/s$^2$, que é N/m, a unidade de constante elástica. Além disso, quanto maior $V$ para um mesmo $L$, maior a frequência, logo mais dura deve ser a mola, o que confere.

Uma partícula de carga $+q$ é lançada com velocidade $\vec v$ numa região de campo magnético uniforme e, em outra, num campo elétrico uniforme. Pergunta-se a forma da trajetória em cada uma, na ordem B e depois E. O ponto crucial, que está na figura, é que a velocidade não é paralela nem perpendicular às linhas de campo: ela é oblíqua.

Vamos por partes, decompondo a velocidade em uma componente paralela e outra perpendicular ao campo. No campo magnético, a força $q\vec v\times\vec B$ só existe para a componente perpendicular e é sempre normal à velocidade, então não realiza trabalho. No campo elétrico, a força $q\vec E$ é constante e tem direção fixa, independentemente da velocidade. Cada caso tem uma lei diferente e é isso que define a trajetória.

Campo magnético, componentes de $\vec v$: \[v_\perp\;\Rightarrow\;\text{movimento circular uniforme},\qquad v_\parallel\;\Rightarrow\;\text{movimento retilíneo uniforme}.\] A composição de um círculo no plano perpendicular com um avanço uniforme ao longo de $\vec B$ é uma hélice. Campo elétrico: a aceleração é constante, \[\vec a=\dfrac{q\vec E}{m},\] com direção transversal à velocidade inicial. É a situação de um lançamento oblíquo: uma direção com velocidade constante e outra uniformemente acelerada. A trajetória é uma parábola.

Helicoidal no campo magnético e parabólica no campo elétrico é essa configuração. Uma checagem rápida: se $\vec v$ fosse exatamente perpendicular a $\vec B$, a hélice degeneraria num círculo, e se fosse paralela, numa reta. Aqui o enunciado indica ângulo oblíquo, então a hélice completa é a resposta.

A figura traz uma fonte de $48$ V em série com um resistor de $5R$, depois dois ramos em paralelo, $3R$ e $6R$ (este em série com o amperímetro ideal), e por fim um resistor de $9R$, ligado a um ponto de referência (terra). Com $R=1{,}0\,\Omega$, pedem-se o potencial em C e a leitura do amperímetro. Amperímetro ideal tem resistência nula, então na prática é um fio: ele só mede a corrente que passa pelo ramo de $6R$.

Vamos por partes: reduzimos o circuito à resistência equivalente, achamos a corrente total pela lei de Ohm e depois voltamos ao paralelo para dividir essa corrente entre os dois ramos. O potencial de um ponto é a queda de tensão acumulada entre ele e o terra. Repare que a leitura do amperímetro não é a corrente total, e sim a fração dela que passa pelo ramo de $6R$.

O paralelo vale $3R\cdot6R/9R=2R$, e o circuito todo fica $$R_{eq}=5R+2R+9R=16R=16\,\Omega,\qquad I=\dfrac{48}{16}=3{,}0\text{ A}.$$ Essa corrente se divide no paralelo na razão inversa das resistências, e o ramo de $6R$ (o do amperímetro) leva a menor parte: $$i_A=I\cdot\dfrac{3R}{3R+6R}=3{,}0\cdot\dfrac13=1{,}0\text{ A}.$$ Já o nó logo antes do resistor de $9R$, tomando o terra como referência, está em $$V=9R\cdot I=9\cdot3{,}0=27\text{ V}.$$

A leitura do amperímetro sai $1{,}0$ A, e o potencial encontrado, $27$ V, não coincide com nenhum dos valores das alternativas ($18$ V a $22$ V). Pelo que consta, a banca anulou o item oficialmente, e por isso não indico alternativa como correta. Para fechar com segurança: as correntes fecham, pois $1{,}0+2{,}0=3{,}0$ A no paralelo, e o potencial fica abaixo dos $48$ V da fonte.

Um objeto de massa $1{,}0$ g está sobre um disco que gira com $\omega=3{,}0$ rad/s, a $5{,}0$ cm do centro, sem deslizar. Pede-se a força de atrito em milinewtons. Repare nas unidades: grama e centímetro precisam ir para quilograma e metro antes de qualquer conta.

O objeto descreve uma circunferência com velocidade constante, então existe uma resultante centrípeta. Na horizontal, a única força que pode fazer esse papel é o atrito estático com o disco. Peso e normal se equilibram na vertical e não entram na conta. Logo, o atrito é igual à força centrípeta $m\omega^2r$.

Convertendo, $m=10^{-3}$ kg e $r=5{,}0\times10^{-2}$ m: \[f_{at}=m\omega^2r=10^{-3}\cdot3^2\cdot5{,}0\times10^{-2}.\] Efetuando, $9\cdot5\times10^{-5}=45\times10^{-5}$, portanto \[f_{at}=0{,}45\times10^{-3}\text{ N}=0{,}45\text{ mN}.\]

O valor de $0{,}45$ mN corresponde à essa configuração. Vale um teste de bom senso: a força é da ordem do peso de um grão de areia, coerente com uma massa de apenas um grama, cujo peso é $10$ mN, muito maior que o atrito. Isso indica que basta um coeficiente de atrito pequeno para manter o objeto.

Duas placas de concreto de $1{,}0$ m ficam entre duas barras de aço invar, cuja dilatação é desprezível, então as barras funcionam como paredes fixas. A temperatura sobe $40\,^\circ$C e o coeficiente do concreto é $12\times10^{-6}\,^\circ\text{C}^{-1}$. Quer-se a folga mínima entre as placas para que elas não se comprimam e rachem.

Note que as duas placas ocupam o espaço entre as barras fixas, e cada uma se dilata para o lado da folga. Ao esquentar, cada placa cresce $\Delta L$ e as duas crescem em direção uma à outra. A folga precisa absorver as duas dilatações somadas. É dilatação linear pura, sem necessidade de comparar com o aço, que aqui não se move.

A dilatação de cada placa é \[\Delta L=L_0\alpha\Delta T=1{,}0\cdot12\times10^{-6}\cdot40=4{,}8\times10^{-4}\text{ m}.\] A folga deve compensar duas placas: \[\delta=2\Delta L=9{,}6\times10^{-4}\text{ m}=0{,}096\text{ cm}.\]

A folga necessária é $0{,}096$ cm, e a menor alternativa que a comporta é $0{,}10$ cm, resultado obtido. Olhe o resultado com desconfiança saudável: menos de um milímetro para uma placa de um metro e $40$ graus de variação é uma dilatação típica de sólidos, e a resposta precisa ser a menor folga que satisfaça, por isso arredondamos para cima.

Dois corpos celestes de mesma massa $M$, separados por $d$, giram em torno do centro de massa apenas sob a atração gravitacional. Pede-se a energia cinética total do sistema, e não a de um só corpo. Não é dada a velocidade, portanto ela precisa sair da dinâmica do movimento circular.

Como as massas são iguais, o centro de massa está no ponto médio e cada corpo gira numa circunferência de raio $d/2$, não de raio $d$. A força gravitacional, que depende da distância $d$ entre os corpos, é a resultante centrípeta de cada um. Igualando, obtemos a velocidade e depois somamos as energias cinéticas dos dois corpos.

Para um dos corpos: \[\dfrac{GM^2}{d^2}=\dfrac{Mv^2}{d/2}\;\Rightarrow\;v^2=\dfrac{GM}{2d}.\] A energia cinética total é a soma das duas parcelas iguais: \[E_c=2\cdot\dfrac12Mv^2=Mv^2=\dfrac{GM^2}{2d}.\]

O resultado é $\dfrac{GM^2}{2d}$. Só para conferir: a energia potencial do sistema é $-GM^2/d$, e a cinética encontrada vale metade do módulo dela, que é a relação típica de órbitas circulares ligadas. A energia total fica $-GM^2/(2d)$, negativa, como deve ser num sistema ligado.

Um bloco passa por A com $8{,}0$ m/s numa rampa sem atrito e pergunta-se o que acontece em relação ao ponto B. Pelos dados da resolução, A está a uma altura $h=2$ m e B, a $3h=6$ m, acima do mesmo nível de referência. A massa não é dada e não importa: vai cancelar. O ponto é comparar a energia disponível com a necessária para chegar em B.

Sem atrito, a energia mecânica se conserva. Então basta calcular a energia por unidade de massa em A e compará-la com a energia potencial que o bloco precisaria ter, no mínimo, para estar em B com velocidade zero. Se a energia em A for menor que $mg\cdot3h$, o bloco para antes e volta.

Energia mecânica em A, por unidade de massa, tomando a base da rampa como referência: \[\dfrac{E_A}{m}=\dfrac12(8{,}0)^2+10\cdot2=32+20=52\text{ J/kg}.\] Energia potencial mínima exigida para estar em B, com $3h=6$ m: \[\dfrac{E_B}{m}=10\cdot6=60\text{ J/kg}.\] Como $52\lt60$, a energia do bloco é insuficiente para alcançar B.

O bloco não consegue atingir B. Uma checagem rápida: com toda a energia cinética em A convertida, a altura máxima seria $52/10=5{,}2$ m, menor que os $6$ m de B, faltando cerca de $0{,}8$ m de altura. As demais alternativas supõem que o bloco chega em B com alguma velocidade, o que é impossível.

Uma fonte sonora emite uniformemente em todas as direções com potência $40\pi$ W. Pergunta-se o nível de intensidade sonora a $10$ m, sendo $I_0=10^{-12}\text{ W/m}^2$. Emissão uniforme em todas as direções significa fonte puntiforme e frente de onda esférica. A potência é distribuída sobre a superfície de uma esfera.

São dois passos encadeados. Primeiro, a intensidade é potência dividida pela área da esfera de raio $r$, isto é, $I=P/(4\pi r^2)$. Depois, o nível sonoro em decibéis compara essa intensidade com a de referência numa escala logarítmica, $\beta=10\log(I/I_0)$. A escala logarítmica existe porque o ouvido humano percebe razões de intensidade, não diferenças.

Intensidade a $10$ m: \[I=\dfrac{40\pi}{4\pi(10)^2}=\dfrac{40\pi}{400\pi}=10^{-1}\text{ W/m}^2.\] Razão com a referência e nível sonoro: \[\dfrac{I}{I_0}=\dfrac{10^{-1}}{10^{-12}}=10^{11},\qquad\beta=10\log\left(10^{11}\right)=110\text{ dB}.\]

O nível é $110$ dB. Para fechar com segurança: $110$ dB é um som muito forte, comparável a um show de rock junto às caixas, coerente com uma potência de $40\pi\approx126$ W concentrada num raio de apenas $10$ m. Note que $\pi$ se cancela, um bom sinal de que a montagem está correta.

A questão pede as definições corretas de calor e de temperatura, dentre cinco afirmações que misturam os dois conceitos. Não há números: o que se avalia é se você distingue uma grandeza que descreve o estado do corpo de outra que descreve uma transferência de energia.

Temperatura está ligada ao estado de agitação das partículas: quanto maior a agitação média, maior a temperatura. Calor é energia que passa de um corpo para outro por diferença de temperatura, e só existe enquanto essa passagem acontece. Com essas duas ideias, cada alternativa pode ser testada.

Comentando cada alternativa. A) errada, porque a temperatura não mede o calor, mede o grau de agitação. B) errada, pois calor não é medida de agitação molecular, é energia em trânsito. C) errada, porque calor não é variação de temperatura, a variação de temperatura é um efeito que o calor pode causar. D) errada, já que a temperatura não é variação de calor, e essa frase inverte os conceitos. E) correta, pois define calor como energia em trânsito e temperatura como medida da agitação molecular.

A única que atribui a cada grandeza a definição certa é a E. Vale um teste de bom senso: um cubo de gelo e um oceano frio podem ter a mesma temperatura, mas o oceano guarda muito mais energia interna. Se calor e temperatura fossem a mesma coisa, isso seria impossível.

Um sistema massa-mola em MHS horizontal tem energia mecânica $E$, amplitude $A$, frequência $f$ e velocidade máxima $v_m$. A energia passa para $2E$, e pede-se como mudam as três grandezas. Repare que a mola e a massa continuam as mesmas, só a energia fornecida ao sistema aumenta.

A energia mecânica de um oscilador se relaciona com a amplitude por $E=\frac12kA^2$ e com a velocidade máxima por $E=\frac12mv_m^2$, que é a energia toda em forma cinética no ponto de equilíbrio. A frequência, por sua vez, depende só de $k$ e de $m$, não de quanta energia o sistema tem. Cada grandeza obedece a uma dessas relações.

Com $E'=2E$ e $k$ constante: \[\tfrac12kA'^2=2\cdot\tfrac12kA^2\;\Rightarrow\;A'=\sqrt2\,A.\] Com $m$ constante: \[\tfrac12mv_m'^2=2\cdot\tfrac12mv_m^2\;\Rightarrow\;v_m'=\sqrt2\,v_m.\] E a frequência não depende da energia: \[f'=\dfrac1{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}=f.\]

A nova amplitude é $\sqrt2A$, a frequência permanece $f$ e a velocidade máxima é $\sqrt2v_m$. Olhe o resultado com desconfiança saudável: como $v_m=\omega A$ e $\omega$ não muda, a velocidade máxima deve crescer na mesma proporção que a amplitude, ambas por $\sqrt2$, o que confere.

Um helicóptero decola do nível do mar com aceleração constante de $2{,}0$ m/s$^2$ inclinada $30^\circ$ acima da horizontal, e pede-se a altitude após $10$ s. Parte do repouso, então as velocidades iniciais são nulas. O dado do cosseno de $30^\circ$ é distração para esta pergunta, porque a altitude só depende da componente vertical.

Repare no ponto-chave: movimentos em direções perpendiculares são independentes. A aceleração é constante, então decompomos em horizontal e vertical e tratamos cada eixo como um MUV. Como o que se quer é a altitude, precisamos apenas do eixo vertical. Não é preciso calcular a distância percorrida ao longo da reta inclinada.

A componente vertical da aceleração é \[a_y=a\,\operatorname{sen}30^\circ=2{,}0\cdot0{,}50=1{,}0\text{ m/s}^2.\] Partindo do repouso e da altitude zero: \[h=\dfrac12a_yt^2=\dfrac12\cdot1{,}0\cdot(10)^2=50\text{ m}.\]

A altitude é de $50$ m. Só para conferir: se o helicóptero subisse totalmente na vertical, com $2{,}0$ m/s$^2$, chegaria a $100$ m; inclinado a $30^\circ$, apenas metade dessa aceleração é vertical, o que dá $50$ m, coerente. Já o deslocamento horizontal seria cerca de $87$ m, que aparece como alternativa E.

Um gás ideal percorre o ciclo $1\to2\to3\to1$ no diagrama PV e o trecho $3\to1$ é uma compressão adiabática. As quatro afirmativas relacionam calor, trabalho e variação de energia interna nos trechos. Não há números: o que se testa é o uso correto da primeira lei em cada etapa e a atenção aos sinais.

A primeira lei é $\Delta U=Q-W$, com $W$ o trabalho realizado pelo gás. Só numa transformação adiabática, em que $Q=0$, o trabalho fica ligado diretamente à variação de energia interna. Em trechos com troca de calor, o trabalho não é igual a $\Delta U$. Então basta identificar qual trecho é adiabático e desconfiar das afirmações que ligam $W$ a $\Delta U$ nos outros.

Afirmativa I: verdadeira, pois adiabática significa $Q_{3\to1}=0$, sem troca de calor. Afirmativa II: falsa, porque no trecho $2\to3$ há troca de calor e $W\ne U_3-U_2$, já que $\Delta U=Q-W$. Afirmativa III: verdadeira, pois em $3\to1$ vale $\Delta U=-W$, e o trabalho realizado sobre o gás, que é $-W$, é igual a $U_1-U_3$, positivo na compressão. Afirmativa IV: falsa, pois em $1\to2$ também há troca de calor, e o trabalho não é $U_2-U_1$.

São verdadeiras apenas I e III. Uma checagem rápida: numa compressão adiabática, o meio realiza trabalho sobre o gás, a energia interna sobe e a temperatura também, o que combina com o sinal positivo de $U_1-U_3$.

Um rebocador arrasta uma embarcação de $30$ toneladas com velocidade constante e a tração no cabo é $4{,}0\times10^5$ N. Pede-se o módulo e a orientação da força que a embarcação exerce sobre a água. Repare que a pergunta é sobre a reação, ou seja, a força no sentido inverso da que a água faz sobre a embarcação. Velocidade constante significa resultante nula sobre a embarcação.

Primeiro, calculamos a força total que a água faz sobre a embarcação, usando o equilíbrio. Essa força tem duas partes: uma horizontal, que equilibra a tração do cabo, e uma vertical, o empuxo, que equilibra o peso. Depois aplicamos a terceira lei de Newton: a força da embarcação sobre a água tem mesmo módulo e sentido oposto.

O peso da embarcação é \[P=Mg=30\times10^3\cdot10=3{,}0\times10^5\text{ N}.\] Componentes da força da água sobre a embarcação: horizontal $4{,}0\times10^5$ N contra o movimento e vertical $3{,}0\times10^5$ N para cima. O módulo da resultante é \[F=\sqrt{(4{,}0\times10^5)^2+(3{,}0\times10^5)^2}=5{,}0\times10^5\text{ N}.\] A reação, força da embarcação sobre a água, tem esse módulo, com componente horizontal no sentido do movimento e componente vertical para baixo, portanto diagonal para baixo, no sentido em que o rebocador avança.

O módulo $5{,}0\times10^5$ N com a orientação descrita corresponde à essa configuração. Para fechar com segurança: as componentes formam o triângulo $3$-$4$-$5$, então o módulo precisa ser maior que qualquer componente sozinha e menor que a soma delas, como ocorre.

Uma barra condutora de $3{,}0\,\Omega$, $0{,}2$ m e $0{,}5$ kg está suspensa por duas molas idênticas de $k=5{,}0$ N/m, ligada a uma bateria de $12$ V e imersa num campo de $3{,}0$ T. No instante $t$, o campo é desligado e a bateria desconectada. Pergunta-se a amplitude do MHS da barra depois disso. O ponto delicado é que a barra começa parada num equilíbrio que deixou de existir, e é dessa diferença que nasce a amplitude.

No MHS vertical, a amplitude é a distância entre a posição onde o movimento começa, com velocidade nula, e a nova posição de equilíbrio. Vamos calcular as duas. Antes, a barra estava em equilíbrio com peso, força elástica e força magnética. Sem o campo, resta o equilíbrio entre peso e elasticidade, numa posição diferente. Como a barra se solta do repouso, a diferença entre as duas posições é a amplitude.

Corrente e força magnética iniciais: \[i=\dfrac{12}{3{,}0}=4{,}0\text{ A},\qquad F_B=BiL=3{,}0\cdot4{,}0\cdot0{,}2=2{,}4\text{ N}.\] Equilíbrio inicial, com as duas molas e o dado da resolução de que a força magnética se opõe ao peso: \[2k\,x_1+F_B=mg\;\Rightarrow\;10x_1=5{,}0-2{,}4\;\Rightarrow\;x_1=0{,}26\text{ m}.\] Novo equilíbrio, sem campo: \[2k\,x_2=mg\;\Rightarrow\;x_2=0{,}50\text{ m}.\] Amplitude: \[A=x_2-x_1=0{,}50-0{,}26=0{,}24\text{ m}.\]

A amplitude é $0{,}24$ m. Vale um teste de bom senso: a variação de posição de equilíbrio é a força que sumiu dividida pela constante equivalente, $2{,}4/10=0{,}24$ m, e esse atalho confirma o resultado. A massa não aparece no valor final, apenas no cálculo intermediário.

Uma bola de $1{,}0$ kg chega com $10$ m/s na direção AB e sai com $30$ m/s na direção BC, perpendicular à primeira. O contato dura $10^{-2}$ s. Pede-se a intensidade da força média aplicada pelo jogador. O que importa é que as duas velocidades estão em direções diferentes, então a mudança de velocidade é vetorial.

O teorema do impulso diz que o impulso da força é igual à variação da quantidade de movimento, $\vec I=\Delta\vec Q$, e $\vec I=\vec F\,\Delta t$ para força média. Como $\vec Q$ é vetor, a variação é $\vec Q_f-\vec Q_i$, que só pode ser calculada pelos módulos quando os vetores forem paralelos. Aqui são perpendiculares, e o módulo da diferença sai por Pitágoras.

Módulos das quantidades de movimento: \[Q_i=1{,}0\cdot10=10\text{ kg}\cdot\text{m/s},\qquad Q_f=1{,}0\cdot30=30\text{ kg}\cdot\text{m/s}.\] Como $\vec Q_i\perp\vec Q_f$, o módulo de $\Delta\vec Q=\vec Q_f-\vec Q_i$ é \[|\Delta\vec Q|=\sqrt{10^2+30^2}=10\sqrt{10}\approx31{,}6\text{ kg}\cdot\text{m/s}.\] Pelo teorema do impulso: \[F=\dfrac{|\Delta\vec Q|}{\Delta t}=\dfrac{31{,}6}{10^{-2}}\approx3162\text{ N}.\]

A força média é de cerca de $3162$ N. Olhe o resultado com desconfiança saudável: o valor fica acima de $3000$ N, que seria a força se só a velocidade final contasse, e abaixo de $4000$ N, que viria da soma dos módulos, e a ordem de grandeza de milhares de newtons é típica de chutes, que agem por milésimos de segundo.

Duas esferas condutoras idênticas, ligadas por um cabo isolante, repousam sobre uma superfície isolante sem atrito. A esfera A recebe carga $+Q$, B fica neutra e depois o cabo é retirado. Pergunta-se qual sequência de três fotos descreve o que ocorre. As alternativas são figuras, então o que vale é o raciocínio físico sobre a ordem dos eventos, que segundo a resolução leva à sequência B.

Vamos em ordem cronológica. Primeiro, a esfera A carregada induz uma separação de cargas na esfera neutra B, mesmo sem contato. Depois, retirado o cabo, as esferas estão livres para se mover e a força entre elas passa a ter um sentido definido. Em seguida, se tocarem, condutores idênticos repartem a carga igualmente. Por fim, as duas ficam com cargas de mesmo sinal, e o resultado da interação muda.

Não há cálculos numéricos, mas o balanço de cargas mostra o resultado. Inicialmente, $Q_A=+Q$ e $Q_B=0$. Em B, a indução acumula cargas negativas do lado de A e positivas do lado oposto. A carga negativa está mais próxima, então a atração vence a repulsão e as esferas se aproximam. Ao tocarem, a carga total se conserva e se divide entre esferas idênticas: \[Q_A'=Q_B'=\dfrac{Q}{2}.\] Agora as duas têm mesmo sinal, e elas se repelem e se afastam, simetricamente, pois têm massas e cargas iguais.

A sequência de atração, contato e repulsão corresponde à essa configuração. Só para conferir: a carga total antes e depois do contato é $Q$, e o afastamento final simétrico é coerente com esferas iguais e cargas iguais, sem atrito com a superfície.

Uma fonte puntiforme F está no fundo de um tanque com líquido de índice $n$ e altura $h$. Sobre a superfície há um disco de madeira de raio $r$, igual a $h$, posicionado de modo que nenhum raio de F seja refratado para o ar. Pede-se $n$. Ou seja, todo raio que sai do líquido passa a ser refletido totalmente, e o disco cobre exatamente o cone de luz que poderia escapar.

O disco só é necessário quando os raios que chegam à superfície fora dele já sofrem reflexão total. O raio que define o limite é o que atinge a borda do disco, e nele o ângulo de incidência é o ângulo limite $L$. Assim, a geometria da figura fornece $L$, e a lei de Snell, aplicada com refração rasante, fornece $n$.

A fonte está a uma profundidade $h$ e a borda do disco está a uma distância horizontal $r$ da vertical da fonte. Com $r=h$: \[\operatorname{tg}L=\dfrac{r}{h}=1\;\Rightarrow\;L=45^\circ.\] No ângulo limite o raio refratado emerge rasante, a $90^\circ$ com a normal: \[n\,\operatorname{sen}L=1\cdot\operatorname{sen}90^\circ\;\Rightarrow\;n=\dfrac1{\operatorname{sen}45^\circ}=\sqrt2\approx1{,}41.\]

O índice é $\sqrt2\approx1{,}41$. Uma checagem rápida: o índice precisa ser maior que $1$, já que só há reflexão total do meio mais refringente para o menos refringente, e $1{,}41$ é um valor plausível para um líquido, entre o da água, $1{,}33$, e o de óleos e vidros leves.

Dois alto-falantes C e D emitem em fase, com mesma intensidade e frequência de $171{,}5$ Hz, e a velocidade do som é $343$ m/s. Os ouvintes A e B estão em pontos diferentes, com AC e BD perpendiculares a CD. Pergunta-se quem ouve som forte e quem quase não ouve. O comprimento de onda dá a escala de comparação para as diferenças de caminho, cujos valores vêm da resolução.

Com fontes em fase, o que decide a interferência em cada ponto é a diferença de caminhos. Se ela for um número inteiro de comprimentos de onda, as ondas chegam em fase e a interferência é construtiva. Se for um número ímpar de meios comprimentos de onda, chegam em oposição de fase e se cancelam. Portanto, o primeiro passo é calcular $\lambda$ e o segundo é comparar cada diferença de percurso com ele.

O comprimento de onda é \[\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{343}{171{,}5}=2{,}0\text{ m}.\] Para o ouvinte A, a diferença de percursos é de cerca de $1$ m, isto é, \[\Delta d_A\approx\dfrac{\lambda}{2},\] condição de interferência destrutiva. Para o ouvinte B, a diferença é de $2$ m: \[\Delta d_B=\lambda,\] condição de interferência construtiva.

B ouve som de máxima intensidade e A praticamente não ouve. Para fechar com segurança: como $\lambda=2{,}0$ m, valores de $1$ m e $2$ m para as diferenças correspondem a $\lambda/2$ e $\lambda$, situações em que o critério é inequívoco, sem casos intermediários ambíguos.

Duas esferas iguais, penduradas por fios isolantes de $L=20$ cm, estão em equilíbrio com cargas de sinais opostos e mesmo módulo $Q=2\,\mu$C. Os pontos de apoio distam $2L$ um do outro. Pede-se a tração em cada fio. Com cargas opostas, elas se atraem, então os fios se inclinam um em direção ao outro. Pela geometria da figura, segundo a resolução, a distância entre as esferas é $d=L$ e cada fio faz $30^\circ$ com a vertical.

É um problema de equilíbrio de uma esfera sob três forças: peso, tração e força elétrica de Coulomb. Vamos por partes: primeiro calculamos a força elétrica, que depende só da distância e das cargas. Depois decompomos a tração. Como a massa não é dada, usamos a componente horizontal, onde só atuam a força elétrica e a componente de $\vec T$, e o peso fica de fora.

Com $d=0{,}20$ m, a lei de Coulomb dá \[F_e=k_0\dfrac{Q^2}{d^2}=9\times10^9\cdot\dfrac{(2\times10^{-6})^2}{(0{,}20)^2}=0{,}90\text{ N}.\] No equilíbrio horizontal, com o fio a $30^\circ$ da vertical: \[T\operatorname{sen}30^\circ=F_e\;\Rightarrow\;T=\dfrac{0{,}90}{0{,}50}=1{,}8\text{ N}.\]

A tração é $1{,}8$ N. Vale um teste de bom senso: como o ângulo com a vertical é pequeno, a tração precisa ser maior que a força elétrica, que é sua componente horizontal, e $1{,}8\gt0{,}9$ confere. A componente vertical, $T\cos30^\circ\approx1{,}56$ N, é o peso de cada esfera, cerca de $0{,}16$ kg, valor razoável.