EFOMM 2020

Resolução

Comprimento real de cada divisão da régua de vidro a $300^\circ\text{C}$:

$L_{vidro} = 1{,}0 \cdot (1 + \alpha_{vidro} \Delta T) = 1{,}0 \cdot (1 + 9{,}0 \times 10^{-6} \times 300) = 1{,}0027\text{ m}$

Comprimento real da haste a $300^\circ\text{C}$:

$L_{haste} = 1{,}006 \times 1{,}0027 \approx 1{,}008716\text{ m}$

Dilatação real da haste: $\Delta L = L_{haste} - L_0 = 0{,}008716\text{ m}$.

$\alpha_{haste} = \dfrac{\Delta L}{L_0 \Delta T} = \dfrac{0{,}008716}{1{,}0 \times 300} \approx 2{,}9 \times 10^{-5}\text{ }^\circ\text{C}^{-1}$. Alternativa correta: B.

Alternativa correta: B

Resolução

Calor para aquecer gelo de $-20^\circ\text{C}$ a $0^\circ\text{C}$: $Q_1 = 100 \times 0{,}53 \times 20 = 1060\text{ cal}$.

Calor para fusão completa do gelo a $0^\circ\text{C}$: $Q_2 = 100 \times 79{,}5 = 7950\text{ cal}$. Total para fundir o gelo = $9010\text{ cal}$.

Balanço térmico até a temperatura final T ($T > 0^\circ\text{C}$):

$9010 + 100 \cdot 1{,}0 \cdot (T - 0) = 300 \cdot 1{,}0 \cdot (65 - T)$

$9010 + 100 T = 19500 - 300 T \implies 400 T = 10490 \implies T = 26{,}225^\circ\text{C} \approx 26^\circ\text{C}$. Alternativa correta: D.

Alternativa correta: D

Resolução

Temperaturas em Kelvin: $T_Q = 200 + 273 = 473\text{ K}$ e $T_F = 100 + 273 = 373\text{ K}$.

Rendimento da máquina de Carnot: $\eta = 1 - \dfrac{T_F}{T_Q} = 1 - \dfrac{373}{473} = \dfrac{100}{473} \approx 0{,}2114$.

Como a potência é $200\text{ W} = 200\text{ J/s}$, o trabalho útil a cada segundo é $W = 200\text{ J}$.

$Q_Q = \dfrac{W}{\eta} = \dfrac{200}{100/473} = 2 \times 473 = 946\text{ J} \approx 950\text{ J}$. Alternativa correta: E.

Alternativa correta: E

Resolução

Com $\theta = 90^\circ$, cada fio faz um ângulo de $45^\circ$ com a vertical. A distância d entre as esferas é $d = 2 D \sin 45^\circ = 2 \times 0{,}30 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0{,}30\sqrt{2}\text{ m}$.

Força eletrostática repulsiva: $F_e = k \dfrac{q^2}{d^2} = (9{,}0 \times 10^9) \dfrac{(2{,}0 \times 10^{-6})^2}{(0{,}30\sqrt{2})^2} = \dfrac{36 \times 10^{-3}}{0{,}18} = 0{,}20\text{ N}$.

No equilíbrio a $45^\circ$: $\tan 45^\circ = 1 = \dfrac{F_e}{P} \implies P = F_e = 0{,}20\text{ N}$.

$m = \dfrac{P}{g} = \dfrac{0{,}20}{10} = 0{,}020\text{ kg} = 20\text{ g}$. Alternativa correta: A.

Alternativa correta: A

Resolução

Carga total inicial no capacitor de 150 pF: $Q_{tot} = C_1 V_1 = 150 \times 100 = 15000\text{ pC}$.

Ao associar em paralelo com C, a carga total é conservada à tensão de $60\text{ V}$:

$Q_{tot} = (C_1 + C) V_{eq} \implies 15000 = (150 + C) \times 60 \implies 150 + C = 250 \implies C = 100\text{ pF}$.

Alternativa correta: C.

Alternativa correta: C

Resolução

Pela Lei dos Nós, a corrente no ramo inferior de $2{,}0\,\Omega$ é $I_{inf} = 1{,}0\text{ A} + 2{,}0\text{ A} = 3{,}0\text{ A}$ (para a direita).

A tensão nos nós vale $U_{nós} = 3{,}0 \times 2{,}0 = 6{,}0\text{ V}$.

No ramo do meio: $6{,}0 = E - 2{,}0 \times 1{,}0 \implies E = 8{,}0\text{ V}$.

No ramo superior: $6{,}0 = 10{,}0 - 1{,}0 \times R \implies R = 4{,}0\,\Omega$. Alternativa correta: C.

Alternativa correta: C

Resolução

Energia cinética: $E_k = 1{,}25 \times 10^3 \times 1{,}6 \times 10^{-19} = 2{,}0 \times 10^{-16}\text{ J}$.

Velocidade da partícula: $E_k = \dfrac{1}{2} m v^2 \implies 2{,}0 \times 10^{-16} = \dfrac{1}{2} (1{,}0 \times 10^{-26}) v^2 \implies v = 2{,}0 \times 10^5\text{ m/s}$.

Para movimento retilíneo sem desvio (seletor de velocidades): $q E = q v B \implies B = \dfrac{E}{v} = \dfrac{1000\text{ V/m}}{2{,}0 \times 10^5\text{ m/s}} = 5{,}0 \times 10^{-3}\text{ T} = 5{,}0\text{ mT}$. Alternativa correta: E.

Alternativa correta: E

Resolução

O contorno de obstáculos e fendas de dimensões reduzidas provoca o espalhamento das frentes de onda, formando um padrão característico de franjas de iluminação e sombra no anteparo — esse fenômeno define a difração. Alternativa correta: B.

Alternativa correta: B

Resolução

Aceleração máxima do MHS com $A = 0{,}10\text{ m}$: $a_{máx} = \omega^2 A$.

Para não deslizar, a força resultante exigida deve ser menor ou igual ao atrito estático máximo: $m a_{máx} \le \mu m g \implies \omega^2 A \le \mu g$.

$\omega^2 \times 0{,}10 \le 0{,}6 \times 10 \implies \omega^2 \le 60 \implies \omega = 2\sqrt{15}\text{ rad/s}$.

Frequência: $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{2\sqrt{15}}{2\pi} = \dfrac{\sqrt{15}}{\pi}\text{ Hz}$. Alternativa correta: D.

Alternativa correta: D

Resolução

A tensão a uma distância x do fundo é $T(x) = \mu x g$. Velocidade instantânea do pulso: $v(x) = \sqrt{\dfrac{T(x)}{\mu}} = \sqrt{g x}$.

Sendo $v = \dfrac{dx}{dt}$, integramos a equação diferencial:

$dt = \dfrac{dx}{\sqrt{g x}} \implies t = \int_0^L \dfrac{1}{\sqrt{g}} x^{-1/2} dx = \dfrac{1}{\sqrt{g}} \left[ 2 \sqrt{x} \right]_0^L = 2\sqrt{\dfrac{L}{g}}$. Alternativa correta: C.

Alternativa correta: C

Resolução

Pelas identidades trigonométricas de somas de cossenos:

$y = y_1 + y_2 = A [\cos(2x - 3t) + \cos(2x + 3t)] = 2 A \cos(2x) \cos(3t)$

Como a função resultante é fatorada em um termo espacial puro $\cos(2x)$ e um termo temporal puro $\cos(3t)$, trata-se da equação de uma onda estacionária. Alternativa correta: E.

Alternativa correta: E

Resolução

Tempo de prova de 53 voltas: $1\text{ h } 16\text{ min } 54\text{ s} = 3600 + 960 + 54 = 4614\text{ s}$.

Tempo médio por volta: $t_{volta} = \dfrac{4614}{53} = 87\text{ s}$.

Número de voltas em 2 horas ($7200\text{ s}$): $N = \dfrac{7200}{87} \approx 82{,}75$ voltas completas.

Número de voltas adicionais: $82 - 53 = 29$ voltas. Alternativa correta: A.

Alternativa correta: A

Resolução

Na máquina de Atwood pendurada à direita, a tração T no fio cumpre $T = \dfrac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.

A força total puxando a extremidade direita da barra para baixo no eixo do suporte da roldana é $F_{dir} = 2 T = \dfrac{4 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.

Momento resultante nulo na alavanca em relação ao apoio:

$m_3 g \cdot L_1 = F_{dir} \cdot L_2 \implies m_3 = \dfrac{4 m_1 m_2}{m_1 + m_2} \dfrac{L_2}{L_1}$. Alternativa correta: A.

Alternativa correta: A

Resolução

Aceleração tangencial: $a_t = \alpha d$. Aceleração centrípeta: $a_c = \omega^2 d = (\alpha t)^2 d = \alpha^2 t^2 d$.

Aceleração resultante $a_{res} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(\alpha d)^2 + (\alpha^2 t^2 d)^2}$.

Condição de deslizamento: $a_{res} = \mu g \implies (\alpha d)^2 + \alpha^4 t^4 d^2 = (\mu g)^2$.

$\alpha^4 t^4 d^2 = (\mu g)^2 - (\alpha d)^2 \implies t^4 = \dfrac{(\mu g)^2}{\alpha^4 d^2} - \dfrac{1}{\alpha^2} = \left(\dfrac{\mu g}{\alpha^2 d}\right)^2 - \dfrac{1}{\alpha^2}$.

$t = \left[ \left(\dfrac{\mu g}{\alpha^2 d}\right)^2 - \dfrac{1}{\alpha^2} \right]^{1/4}$. Alternativa correta: D.

Alternativa correta: D

Resolução

Velocidade máxima de Ana no ponto mais baixo: $v_{Ana} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 1{,}25} = 5\text{ m/s}$.

Frequência máxima percebida com fonte e observador aproximando-se mutuamente:

$f' = f_0 \dfrac{v_{som} + v_{Beatriz}}{v_{som} - v_{Ana}} = 520 \times \dfrac{343 + 2}{343 - 5} = 520 \times \dfrac{345}{338} \approx 530{,}77\text{ Hz} \approx 531\text{ Hz}$.

Alternativa correta: A.

Alternativa correta: A

Resolução

Aumento no raio da órbita em $10^9$ anos: $\Delta R = 4{,}0\text{ cm/ano} \times 10^9\text{ anos} = 4{,}0 \times 10^7\text{ m} = 40.000\text{ km}$.

Raio inicial $R_i = 400.000\text{ km}$ e raio final $R_f = 440.000\text{ km}$.

Energia mecânica orbital: $E = -\dfrac{G M m}{2 R} \propto -\dfrac{1}{R}$.

Percentual dissipado em relação ao módulo inicial: $\dfrac{\Delta E}{E_i} = \dfrac{-1/R_f - (-1/R_i)}{-1/R_i} = 1 - \dfrac{R_i}{R_f} = 1 - \dfrac{400.000}{440.000} = \dfrac{1}{11} \approx 9{,}1\%$.

Alternativa correta: D.

Alternativa correta: D

Resolução

Velocidades de lançamento: $v_{0x} = \dfrac{20}{1{,}0} = 20\text{ m/s}$ e $y = v_{0y} t - 5t^2 \implies 2{,}0 = v_{0y}(1) - 5(1)^2 \implies v_{0y} = 7\text{ m/s}$.

Impulso do chute na bola de $0{,}4\text{ kg}$: $\vec{I} = m \vec{v}_0 = 0{,}4 \times (20\hat{i} + 7\hat{j}) = 8{,}0\hat{i} + 2{,}8\hat{j}\text{ N}\cdot\text{s}$.

Força média aplicada no tempo $\Delta t = 0{,}1\text{ s}$:

$\vec{F}_{média} = \dfrac{\vec{I}}{\Delta t} = \dfrac{8{,}0\hat{i} + 2{,}8\hat{j}}{0{,}1} = 80{,}0\text{ N}\hat{i} + 28{,}0\text{ N}\hat{j}$. Alternativa correta: E.

Alternativa correta: E

Resolução

Equilíbrio de torque no ponto de apoio na parede: $T \sin\theta \cdot L = m g \cdot \dfrac{L}{2} \implies T = \dfrac{m g}{2 \sin\theta}$.

Componentes da força exercida pela parede na barra:

1) Normal: $N = T \cos\theta = \dfrac{m g \cos\theta}{2 \sin\theta}$.

2) Atrito vertical: $f_{at} = m g - T \sin\theta = m g - \dfrac{m g}{2} = \dfrac{m g}{2}$.

Força resultante da parede: $F_{parede} = \sqrt{N^2 + f_{at}^2} = \sqrt{\left(\dfrac{mg\cos\theta}{2\sin\theta}\right)^2 + \left(\dfrac{mg}{2}\right)^2} = \dfrac{m g}{2 \sin\theta}$. Alternativa correta: D.

Alternativa correta: D

Resolução

Torque mínimo necessário: $\tau = (100 \times 10) \times 0{,}40 = 400\text{ N}\cdot\text{m}$.

Com o peso do motorista de $80\text{ kg}$ ($800\text{ N}$), a nova distância de braço alavancado deve ser:

$400 = 800 \times L_{novo} \implies L_{novo} = 0{,}50\text{ m} = 50\text{ cm}$.

Comprimento adicional exigido pela barra de prolongamento: $\Delta L = 50 - 40 = 10{,}0\text{ cm}$. Alternativa correta: B.

Alternativa correta: B

Resolução

Aceleração de descida: $h = \dfrac{1}{2} a t^2 \implies 40{,}0 = \dfrac{1}{2} a (4{,}0)^2 \implies a = 5{,}0\text{ m/s}^2$.

Segunda lei de Newton na descida: $P - E = m a \implies \rho_{esf} V g - \rho_{H_2O} V g = \rho_{esf} V a$.

$\rho_{esf} (g - a) = \rho_{H_2O} g \implies \rho_{esf} (10 - 5) = 10^3 \times 10 \implies 5 \rho_{esf} = 10^4 \implies \rho_{esf} = 2{,}0 \times 10^3\text{ kg/m}^3$.

Alternativa correta: C.

Alternativa correta: C