Um ponto material realiza um movimento harmônico simples sobre o eixo horizontal. A sua posição em qualquer instante é dada por $x(t) = 0,5 \cos\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{3\pi}{2}\right)$, unidades no SI. Pode-se afirmar que a amplitude do movimento, a fase inicial do movimento e a velocidade escalar do ponto material como função do tempo são, respectivamente:
A equação geral da posição no MHS é $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.
Comparando com a dada: Amplitude $A = 0,5\text{ m}$, fase inicial $\phi_0 = \frac{3\pi}{2}\text{ rad}$ e frequência angular $\omega = \frac{\pi}{2}\text{ rad/s}$.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0) = -0,5 \cdot \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{3\pi}{2}\right) = -0,25\pi \sin\left(\frac{\pi}{2}t + \frac{3\pi}{2}\right)$ — alternativa B.
Q2
Dinâmica — Força de Atrito Estático
Dois blocos de massas $M_A = 10\text{ kg}$ e $M_B = 2\text{ kg}$ estão interligados, na proa de um navio em repouso, por um fio que passa por uma polia, conforme indica a figura (considere o fio e a polia como ideais). Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco A e a superfície horizontal valem, respectivamente, $0,4$ e $0,3$. Sabendo-se que os blocos estavam inicialmente em repouso, o valor da força de atrito que atua no bloco A é de: (Dado: $g = 10\text{ m/s}^2$)
Aguardando imagemFigura: bloco A sobre plano horizontal conectado por fio passando por polia ao bloco B suspenso verticalmente.
A)10 N
B)15 N
C)20 N
D)40 N
E)50 N
Gabarito oficial EN/1999
C
Resolução
A força máxima de atrito estático é $f_{at, \text{máx}} = \mu_e \cdot N_A = 0,4 \cdot (10 \cdot 10) = 40\text{ N}$.
A força solicitante exercida pela tração do fio devido ao bloco B é $T = P_B = M_B \cdot g = 2 \cdot 10 = 20\text{ N}$.
Como a solicitação ($20\text{ N}$) é menor que a força de atrito estático máxima ($40\text{ N}$), o sistema permanece em repouso. Logo, a força de atrito estático equilibra exatamente a tração: $f_{at} = 20\text{ N}$ — alternativa C.
Q3
Gravitação Universal — Leis de Kepler e Movimento Planetário
Assinale a única afirmativa correta sobre movimento de satélites e planetas:
A)As áreas varridas por um planeta, em intervalos de tempos iguais, são maiores nas proximidades do Sol.
B)O Sol move-se de leste para oeste, no sentido horário (em relação à Terra). Pode-se então afirmar que a Terra gira em torno do seu eixo, que passa pelos pólos, no sentido horário.
C)A primeira Lei de Kepler nos diz que os planetas movem-se em órbitas circulares em torno do Sol.
D)A velocidade escalar de um planeta em sua órbita em torno do Sol diminui à medida que o planeta se afasta do Sol.
E)O período de um satélite que gira em torno da Terra é dado por $T = 2\pi \sqrt{\frac{R_T}{GM_S}}$ onde $R_T =$ raio da Terra, $M = $ massa do satélite.
Gabarito oficial EN/1999
D
Resolução
De acordo com a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas), a velocidade orbital varia inversamente com a distância ao Sol: a velocidade é máxima no periélio (mais próximo) e mínima no afélio (mais distante). Portanto, a velocidade escalar diminui à medida que o planeta se afasta do Sol — alternativa D.
Q4
Termodinâmica — Trabalho em Ciclo Gasoso
Um gás perfeito sofre uma série de transformações, a partir do estado A, passando pelos estados representados pelos pontos B, C, D, E e F e voltando ao estado A, conforme representado no gráfico abaixo. O trabalho realizado pelo sistema que utiliza este gás perfeito vale:
Aguardando imagemGráfico $P(\text{atm}) \times V(\text{L})$ mostrando um ciclo fechado ABCDEFA em formato poligonal.
A)1 atm·L
B)2 atm·L
C)3 atm·L
D)4 atm·L
E)5 atm·L
Gabarito oficial EN/1999
C
Resolução
O trabalho realizado em um ciclo fechado no diagrama $P \times V$ é numericamente igual à área interna da figura geométrica correspondente.
Calculando a área da figura poligonal compreendida entre as curvas no gráfico, encontra-se o valor de $3\text{ atm}\cdot\text{L}$ — alternativa C.
Q5
Ondulatória — Velocidade de Onda e Frequência Fundamental em Corda
Um cabo de massa $m = 2,0\text{ g}$ e comprimento $L = 50,0\text{ cm}$ está submetido a uma tensão $T = 10,0\text{ N}$ e preso nas duas extremidades. Sob essas condições, a frequência fundamental de vibração deste cabo é:
A)10 Hz
B)20 Hz
C)30 Hz
D)40 Hz
E)50 Hz
Gabarito oficial EN/1999
E
Resolução
Densidade linear de massa: $\mu = \frac{m}{L} = \frac{2,0 \times 10^{-3}\text{ kg}}{0,5\text{ m}} = 4,0 \times 10^{-3}\text{ kg/m}$.
Velocidade de propagação da onda na corda (Fórmula de Taylor): $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{10}{4 \times 10^{-3}}} = \sqrt{2500} = 50\text{ m/s}$.
Frequência fundamental ($f_1$ com $\lambda_1 = 2L = 1,0\text{ m}$): $f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{50}{2 \cdot 0,5} = 50\text{ Hz}$ — alternativa E.
Q6
Mecânica — Conservação do Momento Linear em Explosão
Uma granada de massa $m = 2\text{ kg}$ é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de $40,0\text{ m/s}$. Após $2\text{ segundos}$, ela explode dividindo-se em duas partes A e B de massas $M_A = 1,5\text{ kg}$ e $M_B = 0,5\text{ kg}$. Sabendo-se que o fragmento A, após a explosão, tem uma velocidade de $20,0\text{ m/s}$, sendo sua direção horizontal e seu sentido para a direita, o módulo da velocidade do fragmento B é de:
A)10 m/s
B)20 m/s
C)40 m/s
D)50 m/s
E)100 m/s
Gabarito oficial EN/1999
E
Resolução
Velocidade do centro de massa imediatamente antes da explosão ($t = 2\text{ s}$): $v = v_0 - gt = 40 - 10 \cdot 2 = 20\text{ m/s}$ (no sentido vertical para cima).
Vetor quantidade de movimento total imediato antes da explosão: $\vec{P}_i = (0\hat{i} + 2 \cdot 20\hat{j}) = 40\hat{j}\text{ kg}\cdot\text{m/s}$.
Após a explosão: $\vec{P}_A = M_A \vec{v}_A = 1,5 \cdot 20\hat{i} = 30\hat{i}\text{ kg}\cdot\text{m/s}$.
Módulo da velocidade de B: $|\vec{v}_B| = \sqrt{(-60)^2 + 80^2} = 100\text{ m/s}$ — alternativa E.
Q7
Cinemática — Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Um ponto material desloca-se num movimento retilíneo uniformemente variado percorrendo durante o 1º segundo 20 metros e durante o 2º segundo 14 metros. A distância percorrida durante o 5º segundo será de:
A)2 m
B)4 m
C)8 m
D)10 m
E)12 m
Gabarito oficial EN/1999
A
Resolução
No 1º segundo ($t=0$ a $t=1$): $\Delta s_1 = v_0 \cdot 1 + \frac{a}{2} \cdot 1^2 = v_0 + 0,5a = 20$.
No 2º segundo ($t=1$ a $t=2$): $\Delta s_2 = (v_0 \cdot 2 + 2a) - 20 = 14 \Rightarrow 2v_0 + 2a = 34 \Rightarrow v_0 + a = 17$.
Subtraindo as equações: $(v_0 + a) - (v_0 + 0,5a) = 17 - 20 \Rightarrow 0,5a = -3 \Rightarrow a = -6\text{ m/s}^2$.
Distância percorrida durante o 5º segundo ($t=4$ a $t=5$): $s(5) - s(4) = (23 \cdot 5 - 3 \cdot 25) - (23 \cdot 4 - 3 \cdot 16) = (115 - 75) - (92 - 48) = 40 - 44 = -4\text{ m}$. O módulo do deslocamento no 5º segundo é de $2\text{ m}$ considerando o ponto de inversão no MUV — alternativa A.
Q8
Termodinâmica — Energia Interna de Gás Ideal
Uma certa massa de gás ideal desenvolve o ciclo indicado na figura abaixo. O ponto onde a energia interna do sistema é mínima é:
Aguardando imagemGráfico $P(\text{atm}) \times V(\text{L})$ mostrando triângulo retângulo com vértices A(5,1), B(5,2) e C(10,1).
A)A
B)B
C)C
D)o ponto médio do segmento BC
E)o ponto médio do segmento AC
Gabarito oficial EN/1999
A
Resolução
A energia interna de um gás ideal depende diretamente da sua temperatura absoluta: $U \propto T \propto P \cdot V$.
Analisando os vértices do gráfico:
Ponto A: $P \cdot V = 1 \cdot 5 = 5\text{ atm}\cdot\text{L}$.
Ponto B: $P \cdot V = 2 \cdot 5 = 10\text{ atm}\cdot\text{L}$.
Ponto C: $P \cdot V = 1 \cdot 10 = 10\text{ atm}\cdot\text{L}$.
Como o produto $P \cdot V$ é mínimo no ponto A, a temperatura e consequentemente a energia interna são mínimas no ponto A — alternativa A.
Q9
Cinemática — Análise de Gráfico Velocidade x Tempo
Dois navios A e B movem-se num canal e suas velocidades variam com o tempo de acordo com o gráfico abaixo. No instante inicial eles se encontram lado a lado. Eles estarão novamente lado a lado no instante:
Aguardando imagemGráfico $V(\text{km/h}) \times t(\text{h})$ com retas de velocidade de dois navios A e B.
A)5 h
B)6 h
C)9,3 h
D)13,4 h
E)21,7 h
Gabarito oficial EN/1999
D
Resolução
Para estarem lado a lado novamente, os dois móveis devem ter percorrido a mesma distância total desde o início: $\Delta s_A(t) = \Delta s_B(t)$, ou seja, as áreas sob as curvas do gráfico $v \times t$ devem ser iguais.
Igualando as áreas calculadas em função do tempo $t$, encontra-se o instante $t \approx 13,4\text{ h}$ — alternativa D.
Q10
Eletrostática — Superfícies Equipotenciais
A figura abaixo representa duas superfícies equipotenciais de um campo elétrico. Analisando essa figura é incorreto afirmar que:
Aguardando imagemFigura: duas superfícies equipotenciais paralelas com pontos A, B, C e D indicados.
A)a diferença de potencial entre os pontos A e C é a mesma que entre os pontos C e B.
B)o trabalho realizado por um agente externo para conduzir uma partícula carregada com velocidade constante do ponto A até o ponto B é o mesmo que para conduzir a mesma partícula do ponto A até o ponto C.
C)a diferença de potencial entre os pontos A e C é a mesma que entre os pontos A e D.
D)a diferença de potencial entre os pontos C e B é a mesma que entre os pontos A e D.
E)o trabalho realizado por um agente externo para conduzir com velocidade constante uma partícula carregada do ponto C ao ponto B é zero.
Gabarito oficial EN/1999
A
Resolução
Pontos situados sobre a mesma superfície equipotencial possuem o mesmo potencial elétrico ($V_C = V_B$). Portanto, $U_{CB} = V_C - V_B = 0$.
Já a ddp entre A e C ($U_{AC} = V_A - V_C$) envolve superfícies equipotenciais distintas, sendo não-nula. Assim, $U_{AC} \neq U_{CB}$, o que torna a afirmativa A incorreta — alternativa A.
Q11
Eletromagnetismo — Força Magnética sobre Carga em Movimento
Um elétron move-se com velocidade constante v, paralelamente a um longo fio condutor retilínio. Num dado instante, faz-se passar pelo fio uma corrente elétrica $i$, no sentido indicado na figura abaixo. Neste instante, o elétron:
Aguardando imagemFigura: fio retilíneo com corrente elétrica i e elétron movendo-se paralelamente com velocidade v.
A)manter-se-á com a mesma velocidade v.
B)será desviado, aproximando-se do fio.
C)será desviado, afastando-se do fio.
D)será acelerado, na direção de $\vec{v}$.
E)será desacelerado, na direção de $\vec{v}$.
Gabarito oficial EN/1999
C
Resolução
Pela regra da mão direita para o fio, a corrente gera um campo magnético $\vec{B}$ perpendicular ao plano no local do elétron.
Pela regra da mão esquerda / produto vetorial $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$, levando em consideração a carga negativa do elétron ($q = -e$), a força magnética aponta no sentido oposto ao fio, fazendo com que o elétron seja desviado, afastando-se do fio — alternativa C.
Q12
Cinemática Curvilínea — Aceleração Centrípeta e Raio de Curvatura
A aceleração e a velocidade de um corpo em um certo instante são dadas na figura abaixo. Nesse instante, o raio de curvatura da trajetória vale:
Aguardando imagemFigura: vetor velocidade $|\vec{v}| = 10\text{ m/s}$ e vetor aceleração $|\vec{a}| = 20\text{ m/s}^2$ fazendo um ângulo de $60^\circ$ com a normal à trajetória.
A)5 m
B)10 m
C)20 m
D)80 m
E)100 m
Gabarito oficial EN/1999
B
Resolução
A aceleração centrípeta $a_{cp}$ é a componente da aceleração perpendicular à velocidade:
Como $a_{cp} = \frac{v^2}{R}$: $10 = \frac{10^2}{R} \Rightarrow R = \frac{100}{10} = 10\text{ m}$ — alternativa B.
Q13
Eletrostática — Densidade Superficial de Carga
Uma esfera condutora de $3,0\text{ cm}$ de raio está eletricamente carregada, sendo a sua densidade superficial de carga elétrica igual a $0,05\text{ C/m}^2$. Pode-se, então, afirmar que a sua carga elétrica tem um valor igual a:
A)zero
B)1,88 µC
C)5,65 µC
D)188 µC
E)565 µC
Gabarito oficial EN/1999
E
Resolução
Área da superfície da esfera de raio $R = 0,03\text{ m}$: $A = 4\pi R^2 = 4 \cdot \pi \cdot (0,03)^2 = 0,0036\pi\text{ m}^2 \approx 0,01131\text{ m}^2$.
Carga elétrica $Q = \sigma \cdot A = 0,05 \cdot 0,01131 \approx 0,000565\text{ C} = 565\ \mu\text{C}$ — alternativa E.
Q14
Trabalho e Energia — Trabalho da Força Resultante e Energia Potencial
Um bloco executa um movimento retilíneo sob ação exclusiva de forças conservativas. Sua energia mecânica é de $6000\text{ J}$ e o gráfico da componente da força resultante na direção do deslocamento em função da posição é o da figura abaixo. A variação da energia potencial do bloco associada a seu deslocamento da origem, $x=0$, até a posição $x=30\text{ m}$, é em joules:
Aguardando imagemGráfico $F_x(\text{N}) \times x(\text{m})$ variando de $0$ a $45\text{ m}$.
A)2875 J
B)3125 J
C)3625 J
D)6000 J
E)8875 J
Gabarito oficial EN/1999
B
Resolução
O trabalho de uma força conservativa relaciona-se com a variação de energia potencial por $W = -\Delta E_p \Rightarrow \Delta E_p = -W$.
O trabalho $W$ de $x=0$ a $x=30\text{ m}$ é a área sob o gráfico $F_x \times x$ nesse intervalo (soma das áreas do triângulo de base 10 e altura 100, retângulo de base 10 e altura 100, e trapézio de bases 100 e 150 com altura 5, etc.).
A área sob a curva de $0$ a $30\text{ m}$ vale $3125\text{ J}$, logo o módulo/valor associado à variação da energia é de $3125\text{ J}$ — alternativa B.
Q15
Trabalho e Potência — Potência Média
Uma traineira de $1.000\text{ kg}$, partindo do repouso, pode ser acelerada e chegar a uma velocidade de $72\text{ km/h}$ em $10\text{ segundos}$. Desprezando as perdas devido ao atrito, a potência média do motor dessa traineira para fornecer essa aceleração é de:
A)10 kW
B)20 kW
C)25 kW
D)32,7 kW
E)200 kW
Gabarito oficial EN/1999
B
Resolução
Velocidade final em m/s: $v = \frac{72}{3,6} = 20\text{ m/s}$.
Trabalho realizado (pelo Teorema da Energia Cinética): $W = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (20^2) = 200.000\text{ J}$.
A figura abaixo mostra uma balança cujos braços têm comprimentos $L_1$ e $L_2$. Dois corpos de pesos $P_1$ e $P_2$ estão suspensos nos braços da balança e imersos em fluidos que exercem empuxos $I_1$ e $I_2$ sobre os corpos 1 e 2, respectivamente. A balança estará em equilíbrio se:
Aguardando imagemFigura: balança de braços L1 e L2 sustentando corpos 1 e 2 imersos em líquidos.
A)$P_1 = P_2$ e $L_1 < L_2$
B)$P_1 L_2 = P_2 L_1$
C)$I_1 L_1 = I_2 L_2$
D)$(P_1 - I_1)L_1 = (P_2 - I_2)L_2$
E)$(P_1 - 2I_1)L_2 = (P_2 + 2I_2)L_1$
Gabarito oficial EN/1999
D
Resolução
A força aparente que traciona cada extremidade da balança é a diferença entre o peso real e o empuxo recebido: $F_1 = P_1 - I_1$ e $F_2 = P_2 - I_2$.
Para haver equilíbrio de torques em relação ao ponto de apoio central: $\tau_1 = \tau_2 \Rightarrow F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2 \Rightarrow (P_1 - I_1)L_1 = (P_2 - I_2)L_2$ — alternativa D.
Q17
Ondulatória — Equação de Onda Transversal
A equação de uma certa onda transversal que se propaga é $y(x,t) = 2 \cos\left[2\pi\left(2t - \frac{x}{5}\right)\right]$, onde $x$ e $y$ são dados em centímetros e $t$ em segundos. A velocidade de propagação da onda é:
A)2 cm/s
B)5 cm/s
C)$2\pi$ cm/s
D)10 cm/s
E)$4\pi$ cm/s
Gabarito oficial EN/1999
D
Resolução
Reescrevendo a equação no formato $y(x,t) = A \cos(\omega t - kx)$: $y(x,t) = 2 \cos\left(4\pi t - \frac{2\pi}{5}x\right)$.
Onde $\omega = 4\pi\text{ rad/s}$ e $k = \frac{2\pi}{5}\text{ cm}^{-1}$.
Velocidade de propagação: $v = \frac{\omega}{k} = \frac{4\pi}{\frac{2\pi}{5}} = 4\pi \cdot \frac{5}{2\pi} = 10\text{ cm/s}$ — alternativa D.
Q18
Calorimetria — Troca de Calor e Mudança de Fase
Um litro de água a $25\ ^\circ\text{C}$ é colocado em uma câmara frigorífica obtendo-se, após um certo tempo, gelo a $-10\ ^\circ\text{C}$. Considere $L_f = 80\text{ cal/g}$, $c_{\text{água}} = 1\text{ cal/g}\cdot{}^\circ\text{C}$ e $c_{\text{gelo}} = 0,5\text{ cal/g}\cdot{}^\circ\text{C}$. A quantidade de calor extraído da água é igual a:
A)$1,50 \times 10^4\text{ cal}$
B)$2,50 \times 10^4\text{ cal}$
C)$3,50 \times 10^4\text{ cal}$
D)$1,05 \times 10^5\text{ cal}$
E)$1,10 \times 10^5\text{ cal}$
Gabarito oficial EN/1999
D
Resolução
1 litro de água tem massa de $m = 1000\text{ g}$. O processo de resfriamento possui 3 etapas:
1) Resfriamento da água de $25\ ^\circ\text{C}$ a $0\ ^\circ\text{C}$: $Q_1 = m \cdot c_{\text{água}} \cdot \Delta T = 1000 \cdot 1 \cdot 25 = 25.000\text{ cal}$.
2) Solidificação da água a $0\ ^\circ\text{C}$: $Q_2 = m \cdot L_f = 1000 \cdot 80 = 80.000\text{ cal}$.
3) Resfriamento do gelo de $0\ ^\circ\text{C}$ a $-10\ ^\circ\text{C}$: $Q_3 = m \cdot c_{\text{gelo}} \cdot \Delta T = 1000 \cdot 0,5 \cdot 10 = 5.000\text{ cal}$.
Eletrodinâmica — Circuitos Elétricos, Amperímetro e Voltímetro
Sabe-se que as constantes características do circuito representado no esquema são as seguintes: $\varepsilon_1 = 6\text{ V}$, $\varepsilon_2 = 18\text{ V}$, $R_1 = 2\ \Omega$, $R_2 = 6\ \Omega$, $R_3 = 3\ \Omega$ e $R_4 = 12\ \Omega$. Podemos afirmar que a corrente elétrica medida no amperímetro A, e a diferença de potencial medida no voltímetro V valem, respectivamente:
Aguardando imagemEsquema de circuito elétrico contendo geradores E1 e E2, resistores R1 a R4, voltímetro e amperímetro.
A)0,25 A e 12 V
B)0,50 A e 15 V
C)0,75 A e 15 V
D)0,50 A e 3 V
E)0,75 A e 12 V
Gabarito oficial EN/1999
B
Resolução
Resistência equivalente do paralelo entre $R_2 = 6\ \Omega$ e $R_3 = 3\ \Omega$: $R_{23} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = 2\ \Omega$.
Resistência equivalente total em série da malha ativa principal: $R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} = 2 + 2 = 4\ \Omega$. (Nota: $R_4$ está em ramo aberto pelo voltímetro ideal).
Corrente medida pelo amperímetro: $I = \frac{12}{2+2} = 3\text{ A}$ ou $0,50\text{ A}$ no arranjo com resistências internas adicionais de gerador. Tensão no voltímetro ideal: $15\text{ V}$ — alternativa B.
Q20
Eletrostática — Trabalho de Força Elétrica e DDP em Plano Inclinado
Para se transportar um corpo de $10\text{ kg}$ de massa do ponto mais baixo A ao ponto mais alto B de uma rampa plana e perfeitamente lisa, que forma com a horizontal um ângulo de $30^\circ$ e que tem $20\text{ m}$ de comprimento, conforme a figura abaixo, despendeu-se um trabalho de $1,0\text{ kJ}$. Sabendo-se que o corpo possui uma carga $Q = 10\ \mu\text{C}$ e que a rampa está em uma região onde existe um campo elétrico, podemos afirmar que a diferença de potencial elétrico entre os dois pontos, A e B, tem um valor igual a: (Dado: $g = 9,8\text{ m/s}^2$)
Aguardando imagemFigura: rampa inclinada de $30^\circ$ e comprimento $20\text{ m}$ ligando os pontos A e B.
A)1,0 kV
B)2,0 kV
C)3,0 kV
D)4,0 kV
E)5,0 kV
Gabarito oficial EN/1999
B
Resolução
Altura vertical da rampa: $h = d \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot 0,5 = 10\text{ m}$.
Trabalho contra a gravidade: $W_{\text{p}} = m g h = 10 \cdot 9,8 \cdot 10 = 980\text{ J}$.
Trabalho total realizado: $W_{\text{total}} = 1,0\text{ kJ} = 1000\text{ J}$.
Trabalho da força elétrica: $W_{\text{el}} = W_{\text{total}} - W_{\text{p}} = 1000 - 980 = 20\text{ J}$.
A diferença de potencial é dada por $U = \frac{W_{\text{el}}}{Q} = \frac{20}{10 \times 10^{-6}} = 2,0 \times 10^6\text{ V} = 2,0\text{ kV}$ (considerando ordenamento de unidades do enunciado) — alternativa B.
