Acervo de Provas | EN 2025 | Prof. Ricardo Bastos

Q1

Eletrostática — Empuxo e Força Elétrica em Dielétrico

Examine as figuras abaixo.

Dois pêndulos com esferas carregadas em equilíbrio: Figura 1 imersa em meio líquido dielétrico, Figura 2 no ar, ambos com o mesmo ângulo entre os fios

Nas figuras acima, um sistema formado por duas esferas de mesma massa, mesmo raio e mesma carga estão penduradas em fios não condutores, de mesmo comprimento L, na situação de equilíbrio. Na figura 1, o sistema encontra-se imerso, com os fios tracionados, em um meio dielétrico líquido de constante K e densidade $\rho_0$. Na figura 2, o sistema encontra-se imerso no meio ar. É conhecida a relação entre a intensidade da força elétrica no meio líquido ($F_L$) e a intensidade da força elétrica no meio ar ($F_{AR}$): $F_L=F_{AR}/K$. Para que os ângulos $\theta_1$ e $\theta_2$ entre os fios sejam iguais nos dois meios, a densidade do material de que são feitas as esferas deve ser dada por:

A)$\left(1-\dfrac{1}{K}\right)\rho_0$

B)$\left(\dfrac{K}{K-1}\right)\rho_0$

C)$K\rho_0$

D)$\left(\dfrac{1}{K-1}\right)\rho_0$

E)$(K-1)\rho_0$

Gabarito oficial CPAEN/2024

B

Resolução

No ar, o equilíbrio horizontal de cada esfera dá $\tan\theta_2=F_{AR}/(mg)$. No líquido, o empuxo reduz o peso aparente para $mg-\rho_0Vg=mg(1-\rho_0/\rho)$, em que $\rho$ é a densidade da esfera (pois $V=m/\rho$); logo $\tan\theta_1=\dfrac{F_{AR}/K}{mg(1-\rho_0/\rho)}$. Impondo $\theta_1=\theta_2$: $\dfrac{1}{K(1-\rho_0/\rho)}=1 \Rightarrow 1-\dfrac{\rho_0}{\rho}=\dfrac{1}{K} \Rightarrow \rho=\dfrac{K}{K-1}\rho_0$.

Q2

Hidrostática e Energia — Bolinha Submersa que Salta da Água

Examine as figuras abaixo.

Figura 1: tanque com água, bolinha submersa a uma profundidade d presa por um fio ao fundo. Figura 2: gráfico de h_max em função de d, reta a 45 graus passando pela origem

A figura 1 mostra uma pequena bola de densidade $\rho_b$, mantida submersa, em um tanque, por um fio preso ao fundo. O tanque contém água, cuja densidade é $\rho_a$, e a bolinha tem o seu centro a uma profundidade d da superfície da água. Cortando o fio, observa-se que a bolinha sobe, salta para fora da água e seu centro alcança uma altura máxima, $h_{max}$, acima da superfície da água. A figura 2 mostra um gráfico de $h_{max}$ em função da profundidade d. Sabendo que não há perda de energia mecânica e que a força de arrasto que a água exerce sobre a bolinha é desprezível, calcule a razão $\rho_a/\rho_b$ e assinale a opção correta.

A)1/2

B)3/2

C)2

D)5/2

E)3

Gabarito oficial CPAEN/2024

C

Resolução

Submersa, a força resultante sobre a bolinha é $V g(\rho_a-\rho_b)$ (empuxo menos peso). Da profundidade d até a superfície, o trabalho dessa força vira energia cinética: $\tfrac12\rho_bVv^2=Vg(\rho_a-\rho_b)d$. Fora da água, só a gravidade atua: $v^2=2gh_{max}$. Combinando, $h_{max}=d\left(\dfrac{\rho_a}{\rho_b}-1\right)$ — uma reta por a origem com inclinação $\rho_a/\rho_b-1$. Como o gráfico mostra inclinação $\tan45°=1$, então $\rho_a/\rho_b-1=1 \Rightarrow \rho_a/\rho_b=2$.

Q3

Gravitação — Velocidade Relativa entre Satélites (Kepler)

Observe a figura abaixo.

Duas órbitas circulares concêntricas O1 e O2 ao redor de um planeta de massa M, com raio R indicado na órbita interna

A figura acima mostra as órbitas, $O_1$ e $O_2$, de dois satélites, respectivamente $S_1$ e $S_2$. Considere que os satélites estão orbitando um planeta de massa M, no mesmo sentido, em círculos coplanares. Seus períodos de revolução são, respectivamente, $T_1=T$ e $T_2=8T$. Sabendo que o raio da órbita $O_1$ é R, calcule o módulo da velocidade de $S_1$ em relação a $S_2$ em um instante de menor separação entre os satélites e assinale a opção correta.

A)$\dfrac{1}{4}\dfrac{\pi R}{T}$

B)$\dfrac{1}{2}\dfrac{\pi R}{T}$

C)$\dfrac{\pi R}{T}$

D)$\dfrac{3}{2}\dfrac{\pi R}{T}$

E)$2\dfrac{\pi R}{T}$

Gabarito oficial CPAEN/2024

C

Resolução

Pela 3ª Lei de Kepler, $\dfrac{r_2^3}{T_2^2}=\dfrac{R^3}{T^2} \Rightarrow r_2=R\cdot8^{2/3}=4R$. As velocidades tangenciais são $v_1=\dfrac{2\pi R}{T}$ e $v_2=\dfrac{2\pi(4R)}{8T}=\dfrac{\pi R}{T}$. No instante de menor separação, os satélites estão alinhados com o centro e suas velocidades são paralelas (mesmo sentido de rotação): a velocidade relativa é $v_1-v_2=\dfrac{2\pi R}{T}-\dfrac{\pi R}{T}=\dfrac{\pi R}{T}$.

Q4

Dinâmica — Aceleração do Centro de Massa (Bloco-Cunha)

Examine a figura abaixo.

Cunha de massa M com ângulo de base theta igual a 30 graus, bloco de massa m sobre a superfície inclinada

A figura acima mostra uma cunha de massa M e ângulo de base $\theta=30°$ apoiada em repouso sobre uma superfície horizontal. Considere que, sobre a superfície inclinada da cunha, considerada sem atrito, um pequeno bloco de massa $m=M/9$ desliza para baixo enquanto a cunha permanece em repouso. Sendo g a aceleração da gravidade, calcule o módulo da componente vertical da aceleração do centro de massa do sistema bloco cunha e assinale a opção correta.

A)$\dfrac{1}{40}g$

B)$\dfrac{1}{20}g$

C)$\dfrac{1}{18}g$

D)$\dfrac{9}{4}g$

E)$\dfrac{5}{2}g$

Gabarito oficial CPAEN/2024

A

Resolução

No plano sem atrito, o bloco desce com aceleração $a=g\,\text{sen}\,\theta=g/2$ ao longo da rampa; sua componente vertical vale $a_y=a\,\text{sen}\,\theta=g\,\text{sen}^2\theta=g/4$. Como a cunha permanece em repouso, a aceleração vertical do centro de massa do sistema é $a_{cm}=\dfrac{m\,a_y}{m+M}$. Com $m=M/9$: $a_{cm}=\dfrac{(M/9)(g/4)}{M/9+M}=\dfrac{Mg/36}{10M/9}=\dfrac{g}{40}$.

Q5

Eletromagnetismo — Indução Mútua Solenoide-Bobina

Examine as figuras abaixo.

Figura 1: solenoide S longo e coaxial com bobina C mais curta, diâmetros D e d indicados. Figura 2: gráfico da corrente I em função do tempo t, rampa linear de 0 a 1 A entre 0 e 2 s

A figura 1 ilustra um solenoide ideal S, longo, e uma bobina C, ambos em corte. O solenoide possui $1{,}00\times10^4$ espiras por metro, diâmetro $D=4{,}00$ cm e conduz uma corrente elétrica I que varia com o tempo da forma indicada na figura 2. A bobina C é coaxial com o solenoide, possui $1{,}00\times10^2$ espiras e diâmetro $d=6{,}00$ cm. Calcule o valor absoluto da força eletromotriz induzida na bobina, em volts, enquanto a corrente no solenoide estiver variando e assinale a opção correta.

Dados: Permeabilidade magnética do meio no interior do solenoide: $4\pi\times10^{-7}\,\text{T·m/A}$; e considere $\pi=3$.

A)$16{,}2\times10^{-4}$

B)$14{,}4\times10^{-4}$

C)$10{,}8\times10^{-4}$

D)$7{,}20\times10^{-4}$

E)$3{,}60\times10^{-4}$

Gabarito oficial CPAEN/2024

D

Resolução

Como o solenoide é longo, seu campo externo é desprezível: só a área do próprio solenoide (não a da bobina, maior) é atravessada por fluxo não nulo. $\dfrac{dI}{dt}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\,A/s$, logo $\dfrac{dB}{dt}=\mu_0n_1\dfrac{dI}{dt}=4\pi\times10^{-7}\times10^4\times0{,}5=2\pi\times10^{-3}\approx6{,}0\times10^{-3}\,T/s$ (com $\pi=3$). A área do solenoide é $A_S=\pi(D/2)^2=3\times(0{,}02)^2=1{,}2\times10^{-3}\,m^2$. A f.e.m. induzida na bobina: $\varepsilon=N_2A_S\dfrac{dB}{dt}=100\times1{,}2\times10^{-3}\times6{,}0\times10^{-3}=7{,}20\times10^{-4}\,V$.

Q6

Cinemática — Velocidade Mínima em Trajetória Parametrizada

Considere uma partícula se movimentando em um plano xy. Sabendo que as coordenadas cartesianas da partícula são $x=t^2$ e $y=(t-1)^2$, com x e y medidos em metros e t em segundos, em que instante, em segundos, a velocidade da partícula é mínima?

A)0

B)0,5

C)1,0

D)1,5

E)2,0

Gabarito oficial CPAEN/2024

B

Resolução

$v_x=2t$, $v_y=2(t-1)$. $v^2=4t^2+4(t-1)^2=4(2t^2-2t+1)$. Minimizando $f(t)=2t^2-2t+1$: $f'(t)=4t-2=0 \Rightarrow t=0{,}5\,s$.

Q7

Dinâmica + MHS — Colisão com Bloco Preso a Mola

Analise a figura abaixo.

Dois blocos 1 e 2 sobre superfície sem atrito, bloco 1 preso a mola presa na parede; situação inicial com deformação A e situação da colisão com deformação -A/2

Dois blocos 1 e 2 estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco 1, de massa $m_1$, está preso a uma mola ideal (de massa desprezível e constante elástica k), e é mantido na posição em que a mola encontra-se deformada em $\Delta x_1=A$. Na figura, essa deformação está indicada tomando como referência a posição do centro de massa do bloco 1 em relação ao ponto de equilíbrio do sistema massa-mola ($x_0=0$). O bloco 2, de massa $m_2$, está à esquerda do bloco 1. Ao ser liberado, o bloco 1 colide com o bloco 2 (colisão frontal), em um instante tal que a deformação da mola é $\Delta x_2=A/2$, que na figura está novamente indicada tomando como referência a posição do centro de massa do bloco 1. Imediatamente após o choque, ambos os blocos possuem a mesma velocidade para a esquerda, porém não ficam grudados um no outro: o bloco 1, por estar preso à mola, realizará um MHS de amplitude A'. Assinale a opção que apresenta a razão A'/A.

Dados: $m_1=1{,}0$ kg; e $m_2=2{,}0$ kg.

A)$\sqrt{3}/3$

B)$\sqrt{6}$

C)$\sqrt{6}/6$

D)$\sqrt{2}/6$

E)1

Gabarito oficial CPAEN/2024

A

Resolução

Energia até a colisão (só o bloco 1 se move): $\tfrac12kA^2=\tfrac12k(A/2)^2+\tfrac12m_1v_1^2 \Rightarrow v_1=\dfrac{A}{2}\sqrt{3k/m_1}$. No choque, momento se conserva com velocidade comum: $m_1v_1=(m_1+m_2)v' \Rightarrow v'=v_1/3$ (pois $m_1+m_2=3m_1$). Logo após, o bloco 2 segue livre com $v'$ e o bloco 1, ainda preso à mola em $\Delta x_2=A/2$ com velocidade $v'$, inicia um novo MHS: $\tfrac12kA'^2=\tfrac12k(A/2)^2+\tfrac12m_1v'^2$. Substituindo $v'^2=v_1^2/9=\dfrac{kA^2}{12m_1}$: $\tfrac12kA'^2=\dfrac{kA^2}{8}+\dfrac{kA^2}{24}=\dfrac{kA^2}{6} \Rightarrow A'^2=\dfrac{A^2}{3} \Rightarrow \dfrac{A'}{A}=\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Q8

Dinâmica — Curva Compensada no Limite de Derrapagem

Examine a figura abaixo.

Parte traseira de um carro ao fazer uma curva inclinada de ângulo theta, com raio da curva indicado

A figura acima ilustra a parte traseira de um carro ao fazer uma curva inclinada de um ângulo $\theta$. As curvas em rodovias costumam ser compensadas (inclinadas) para evitar que os carros derrapem. Quando a estrada está seca, a força de atrito entre os pneus e o piso é suficiente para evitar derrapagens, mesmo sem compensação. Quando a pista está molhada, porém, a força de atrito diminui muito e a compensação se torna essencial. Um engenheiro civil é solicitado a projetar a seção curva de uma rodovia, com um ângulo de inclinação $\theta$, que ficará sujeita às seguintes condições de uso: estando a pista molhada, a força de atrito estática entre a pista e os pneus deve ser tal que um carro, em repouso, estará na iminência de deslizar para dentro da curva e um carro se movendo com uma certa velocidade v estará na iminência de derrapar para fora da curva. Nessas condições, sendo g a aceleração da gravidade, assinale a opção que apresenta o raio de curvatura da curva.

A)$\dfrac{v^2}{g}\cot g\,\theta$

B)$\dfrac{v^2}{2g}\cot g\,\theta$

C)$\dfrac{v^2}{g}\text{tg}\,\theta$

D)$\dfrac{v^2}{g}\cot g\,2\theta$

E)$\dfrac{v^2}{2g}\cot g\,2\theta$

Gabarito oficial CPAEN/2024

D

Resolução

Com o carro em repouso na iminência de escorregar para dentro (para baixo da rampa), o problema se reduz à estática de um bloco em um plano inclinado: $\mu_s=\text{tg}\,\theta$. Para o carro em movimento na iminência de derrapar para fora, vale a condição de velocidade máxima em curva compensada com atrito: $v^2=rg\dfrac{\text{tg}\,\theta+\mu_s}{1-\mu_s\,\text{tg}\,\theta}$. Substituindo $\mu_s=\text{tg}\,\theta$: $v^2=rg\dfrac{2\,\text{tg}\,\theta}{1-\text{tg}^2\theta}=rg\,\text{tg}(2\theta)$ (identidade do arco duplo). Logo $r=\dfrac{v^2}{g}\cot g(2\theta)$.

Q9

Eletrostática — Energia Potencial em Campo Uniforme

Examine a figura abaixo.

Planos equipotenciais A em x=0 e B em x=5,0, com linhas de campo E paralelas ao eixo x

Na figura acima, A e B representam dois planos equipotenciais de um campo elétrico E, uniforme, de intensidade 4,0 V/m e paralelo ao eixo x. Em B, o potencial elétrico vale 60 V. Adotando o eixo x da figura, o gráfico para a energia potencial, $E_P$, em função de x, para uma carga $q=-3{,}0.10^{-6}$C colocada na região desse campo, é representado por:

A)

Gráfico de Ep começando em 60 no eixo Ep e cruzando o eixo x em 15

B)

Gráfico de Ep começando em -18 e crescendo, cruzando o eixo x em 15

C)

Gráfico de Ep começando em 30 e decrescendo até cruzar o eixo x em 20

D)

Gráfico de Ep começando em -15 e crescendo, cruzando o eixo x em 12

E)

Gráfico de Ep começando em -24 e crescendo, cruzando o eixo x em 20

Gabarito oficial CPAEN/2024

E

Resolução

Como o campo é uniforme ao longo de x, o potencial é linear: $V(x)=V(0)-Ex$. Com $V(5{,}0)=60\,V$: $V(0)-4{,}0\times5{,}0=60 \Rightarrow V(0)=80\,V$, logo $V(x)=80-4x$ (SI). A energia potencial é $U(x)=qV(x)=(-3{,}0\times10^{-6})(80-4x)=-2{,}4\times10^{-4}+1{,}2\times10^{-5}x$ J. Em unidades de $10^{-5}$J: $U(x)=-24+1{,}2x$. Em x=0, $U=-24\times10^{-5}$J; a reta cruza zero em $x=24/1{,}2=20$ m — exatamente o padrão da alternativa E.

Q10

Hidrodinâmica — Equação de Bernoulli e Vazão

Analise a figura abaixo.

Tubulação hidráulica que afunila da seção A1 para a seção A2, com pontos 1 e 2 marcados

A figura acima mostra uma esquematização de uma tubulação hidráulica horizontal por onde escoa água doce, em regime permanente, do segmento à esquerda, com uma seção reta $A_1$ para o segmento à direita, com uma seção reta $A_2$. Sabendo que a diferença de pressão $\Delta p=p_2-p_1$, entre os pontos 1 e 2, em função de $A_1$, é dada pela expressão $\Delta p=18\times10^3A_1^{-2}-30\times10^4$ onde $\Delta p$ é medida em N/m² e $A_1$ é medido em m², calcule a vazão, em m³/s, e assinale a opção correta.

Dado: massa específica da água = $1{,}0\times10^3$ kg/m³.

A)6,0

B)7,5

C)9,5

D)12

E)25

Gabarito oficial CPAEN/2024

A

Resolução

Por Bernoulli (tubo horizontal): $\Delta p=p_2-p_1=\tfrac12\rho(v_1^2-v_2^2)$. Com a continuidade $v_1=Q/A_1$, $v_2=Q/A_2$: $\Delta p=\dfrac{\rho Q^2}{2}\cdot\dfrac{1}{A_1^2}-\dfrac{\rho Q^2}{2A_2^2}$. Comparando o coeficiente de $A_1^{-2}$ com o valor dado: $\dfrac{\rho Q^2}{2}=18\times10^3 \Rightarrow Q^2=\dfrac{36\times10^3}{1{,}0\times10^3}=36 \Rightarrow Q=6{,}0\,m^3/s$.

Q11

Ondulatória — Função de Onda a partir de Fotografias

Analise a figura abaixo.

Fotografia de uma onda em corda em dois instantes: t0=0s linha contínua e t1=5,0s linha pontilhada

A figura acima representa a fotografia de uma onda que se propaga em uma corda em dois instantes distintos: $t_0=0{,}0$ s (linha contínua) e $t_1=5{,}0$ s (linha pontilhada). Sabendo que $t_1-t_0$ é menor que o período das oscilações, assinale a opção que apresenta a função de onda senoidal (em unidades do SI) que melhor descreve a propagação dessa onda.

A)$y(x,t)=0{,}2\,\text{sen}(\pi x+0{,}1\pi t)$

B)$y(x,t)=0{,}2\,\text{sen}(\pi x-0{,}1\pi t)$

C)$y(x,t)=0{,}4\,\text{sen}(\pi x+0{,}1\pi t)$

D)$y(x,t)=0{,}4\,\text{sen}(2\pi x+0{,}2\pi t)$

E)$y(x,t)=0{,}2\,\text{sen}(\pi x+0{,}1\pi t+0{,}5\pi)$

Gabarito oficial CPAEN/2024

A

Resolução

Da fotografia, a amplitude é 0,2 m (elimina C e D) e o comprimento de onda é $\lambda=2$ m, dando $k=2\pi/\lambda=\pi$ rad/m (compatível com A, B e E). Comparando as duas curvas, o padrão desloca-se para a esquerda de $\lambda/4=0{,}5$ m entre $t_0$ e $t_1$; como $t_1-t_0

Q12

Termologia — Tensão Térmica em Barra Impedida de Dilatar

Uma barra fina de alumínio, de massa $m=0{,}10$ kg, foi apoiada na posição horizontal entre duas paredes verticais. Em um dia de inverno, na condição de equilíbrio térmico com a temperatura ambiente (aproximadamente 15°C), a barra possui comprimento L e fica no limite de deslizar verticalmente pelas paredes. Em um dia típico de verão, na condição de equilíbrio térmico (aproximadamente 35°C), é possível notar que a barra está mais rígida, devido ao aumento da força F exercida pelas paredes nas extremidades da barra, cuja área da seção reta é igual a A. Em engenharia, a razão F/A é denominada "tensão", e é calculada por meio da expressão $F/A=Y(\Delta L/L)$, onde Y é o módulo de Young do material (em unidades de Pa). Assinale a opção que apresenta o valor mais próximo da razão F/A, exercida pelas paredes sobre as extremidades da barra de alumínio que é responsável, exclusivamente, pelo impedimento da dilatação da barra.

Dados: $Y_{Al}=7{,}0\times10^{10}$ Pa; $\alpha_{Al}$=coeficiente de dilatação linear do Alumínio=$2{,}4\times10^{-5}\,°C^{-1}$; e considere desprezível a variação da área da seção reta da barra para essa variação de temperatura.

A)$3{,}4\times10^4$

B)$5{,}9\times10^5$

C)$3{,}4\times10^6$

D)$3{,}4\times10^7$

E)$5{,}9\times10^7$

Gabarito oficial CPAEN/2024

D

Resolução

A dilatação livre corresponderia a $\Delta L/L=\alpha\Delta T$; impedi-la gera tensão térmica $F/A=Y\alpha\Delta T$. Com $\Delta T=35-15=20°C$: $F/A=7{,}0\times10^{10}\times2{,}4\times10^{-5}\times20=3{,}4\times10^7$ Pa.

Q13

Cinemática Relativa — Energia Cinética em Referencial Móvel

Em um instante $t_0=0$s, Joaquim lança, da janela do seu apartamento, uma maçã (de massa m) com velocidade inicial $\vec v_{0,MJ}=0{,}300\,m/s\,\hat i+0{,}500\,m/s\,\hat j$, no referencial de Joaquim, que está em repouso em relação ao solo. Neste mesmo instante, Beatriz passa de carro, com uma velocidade constante $\vec v_{BJ}=3{,}30\,m/s\,\hat i$, em relação ao referencial de Joaquim, e observa o movimento da maçã enquanto se desloca. Assinale a opção que melhor descreve o esboço do gráfico da energia cinética da maçã, no referencial da Beatriz.

Dados: $g=10{,}0\,m/s^2$; e $m=40{,}0$ g.

A)

Gráfico de Ec partindo de zero e crescendo em curva côncava para cima

B)

Gráfico de Ec partindo de valor pequeno próximo de zero, com leve descida e depois crescendo

C)

Gráfico de Ec partindo de 18,5, com leve descida inicial e depois crescendo

D)

Gráfico de Ec partindo de 40,0 em formato de parábola decrescendo até zero

E)

Gabarito oficial CPAEN/2024

C

Resolução

No referencial de Joaquim (inercial), a maçã tem $v_x=0{,}300$ (constante) e $v_y=0{,}500-10t$. No referencial de Beatriz, subtrai-se apenas a componente horizontal: $v_x'=0{,}300-3{,}30=-3{,}00$ m/s (constante) e $v_y'=0{,}500-10t$ (igual, pois Beatriz não se move na vertical). Logo $E_c'(t)=\tfrac12m[(v_x')^2+(v_y')^2]=0{,}02[9{,}00+(0{,}5-10t)^2]$. Em $t=0$: $E_c'=0{,}02\times9{,}25=0{,}185\,J=18{,}5\times10^{-2}\,J$. Como $(0{,}5-10t)^2$ primeiro diminui (mínimo em $t=0{,}05$s) e depois cresce, o gráfico parte de 18,5, cai levemente e volta a subir — o perfil da alternativa C.

Q14

Eletromagnetismo — Espectrômetro de Massa

Examine a figura abaixo.

Esquema de espectrômetro de massa: íons acelerados de S a A, defletidos em setor de 60 graus com campo B até o detector C

A figura acima ilustra o princípio de funcionamento de um espectrômetro de massa, um instrumento utilizado para medir a massa dos íons ou para separar íons de massas diferentes. No esquema da figura, os íons são acelerados pela diferença de potencial V entre os pontos S e A e, em seguida, entram em uma região com um campo magnético uniforme B, perpendicular ao plano da folha, que cobre um setor de 60°, com centro em O, e, na sequência, são defletidos em direção a um detector em C. Sabendo que D é a distância entre os pontos A e C, que tem O como ponto médio, calcule a razão entre a carga q e a massa m (q/m) dos íons e assinale a opção correta.

A)$\dfrac{8V}{B^2D^2}$

B)$\dfrac{12V}{B^2D^2}$

C)$\dfrac{16V}{B^2D^2}$

D)$\dfrac{24V}{B^2D^2}$

E)$\dfrac{32V}{B^2D^2}$

Gabarito oficial CPAEN/2024

E

Resolução

Na aceleração, $qV=\tfrac12mv^2 \Rightarrow v^2=\dfrac{2qV}{m}$. No campo magnético, o íon percorre um arco de raio $r=\dfrac{mv}{qB}$. A geometria do setor de 60° com O como ponto médio de AC determina $r=D/4$. Substituindo $v=\dfrac{qBr}{m}=\dfrac{qBD}{4m}$ na relação de energia: $\left(\dfrac{qBD}{4m}\right)^2=\dfrac{2qV}{m} \Rightarrow \dfrac{q^2B^2D^2}{16m^2}=\dfrac{2qV}{m} \Rightarrow \dfrac{q}{m}=\dfrac{32V}{B^2D^2}$.

Q15

MHS — Energia Cinética de Bloco-Mola em Plano Inclinado

Analise as figuras abaixo.

Três situações de um bloco preso a uma mola em plano inclinado, com distâncias x1, x2 e x3 até a parede

As figuras acima representam um bloco massa m que está preso a uma mola ideal de comprimento natural L e constante elástica k. Em equilíbrio, a lateral direita do bloco está a uma distância $x_1$ da parede. Sob a ação de uma força externa F, o bloco é deslocado, ao longo do plano, para uma nova posição, tal que a sua lateral direita está a uma distância $x_2$ da parede. Ao ser liberado dessa posição, o bloco executa um movimento harmônico simples (MHS). Assinale a opção que apresenta a energia cinética do bloco, em joules, na posição em que a lateral direita do bloco está a uma distância $x_3$ da parede.

Dados: $\theta=30°$; $m=2{,}00$ kg; $k=5{,}00\times10^2$ N/m; $x_2-x_1=5{,}00$ cm; $x_3=L$; e $g=10{,}0\,m/s^2$.

A)$52{,}5\times10^{-2}$

B)$62{,}5\times10^{-2}$

C)$72{,}5\times10^{-2}$

D)1,13

E)1,20

Gabarito oficial CPAEN/2024

A

Resolução

Na posição de equilíbrio $x_1$, a mola equilibra a componente do peso ao longo do plano: $k(x_1-L)=mg\,\text{sen}\,\theta=2\times10\times0{,}5=10\,N \Rightarrow x_1-L=0{,}02$ m. Deslocando o bloco até $x_2=x_1+0{,}05$ e soltando-o, o MHS tem amplitude $A=|x_2-x_1|=0{,}05$ m em torno de $x_1$. A posição $x_3=L$ corresponde a um afastamento do equilíbrio $\xi_3=x_3-x_1=-0{,}02$ m. Pela conservação de energia do MHS: $\tfrac12kA^2=\tfrac12k\xi_3^2+E_c \Rightarrow E_c=\tfrac12(500)(0{,}05^2-0{,}02^2)=\tfrac12(500)(0{,}0021)=0{,}525\,J=52{,}5\times10^{-2}\,J$.

Q16

Termodinâmica — Rendimento de Ciclo (Motor a Combustão)

Analise o diagrama PV abaixo.

Diagrama PV com ciclo B-C-D-A: AB compressão adiabática, BC aquecimento isovolumétrico, CD expansão adiabática, DA resfriamento isovolumétrico

O diagrama acima representa as transformações termodinâmicas sofridas pela mistura gasolina-ar em um motor de combustão interna (usado em automóveis), são detalhadas a seguir: 1) processo AB: compressão adiabática; 2) processo BC: aquecimento isovolumétrico; 3) processo CD: expansão adiabática; e 4) processo DA: resfriamento isovolumétrico. Com base nessas informações e considerando que $Q_{BC}$ e $Q_{DA}$ são, respectivamente, os módulos dos calores trocados entre o gás e o meio externo nos processos BC e DA, assinale a opção que apresenta a expressão correta para o cálculo do rendimento do ciclo.

A)$Q_{BC}/(Q_{BC}+Q_{DA})$

B)$Q_{DA}/(Q_{BC}-Q_{DA})$

C)$(Q_{BC}-Q_{DA})/Q_{DA}$

D)$(Q_{BC}-Q_{DA})/Q_{BC}$

E)$(Q_{BC}+Q_{DA})/Q_{BC}$

Gabarito oficial CPAEN/2024

D

Resolução

Nas etapas adiabáticas AB e CD não há troca de calor. O calor é absorvido em BC ($Q_{BC}$) e rejeitado em DA ($Q_{DA}$). O trabalho líquido do ciclo é $W=Q_{BC}-Q_{DA}$ (1ª Lei, $\Delta U_{ciclo}=0$), e o rendimento é a razão entre o que se aproveita e o que se paga: $\eta=\dfrac{W}{Q_{BC}}=\dfrac{Q_{BC}-Q_{DA}}{Q_{BC}}$.

Q17

Termologia — Condução de Calor em Série (Lei de Fourier)

Analise a figura abaixo.

Bloco com dois condutores L2 e L1 em série entre reservatórios a 4 graus F e 40 graus F, com fluxo de calor indicado

A Lei de Fourier é uma lei da condução de calor através de um material de comprimento L cujas extremidades (de mesma área A) estão entre duas temperaturas distintas $(T_1

Dados: $k_1=0{,}10\,W/(m\cdot°C)$; $k_2=0{,}20\,W/(m\cdot°C)$; $L_1=0{,}10$ m; $L_2=0{,}040$ m; $A_1=A_2=3{,}0\,m^2$; $T_1=4{,}0°F$; e $T_2=40°F$.

A)$1{,}3\times10^3$

B)$7{,}0\times10^2$

C)$9{,}0\times10^1$

D)$6{,}7\times10^1$

E)$5{,}0\times10^1$

Gabarito oficial CPAEN/2024

E

Resolução

Pela figura, o calor atravessa primeiro um condutor e depois o outro (mesma área, mesmo fluxo nos dois) — associação em série: $R=\dfrac{L_1}{k_1A}+\dfrac{L_2}{k_2A}=\dfrac{0{,}10}{0{,}10\times3{,}0}+\dfrac{0{,}040}{0{,}20\times3{,}0}=0{,}333+0{,}067=0{,}40\,°C/W$. As temperaturas estão em Fahrenheit: como se trata de uma diferença, converte-se por $\Delta T_{°C}=\Delta T_{°F}\times5/9=(40-4)\times5/9=20°C$. Logo $\phi=\Delta T/R=20/0{,}40=50\,W=5{,}0\times10^1\,W$.

Q18

Estática — Equilíbrio de Barra Transportada por Duas Forças

Analise a figura abaixo.

Barra homogênea inclinada carregada por dois homens, com forças F1 e F2 em ângulos alfa e beta com a vertical

A figura acima representa esquematicamente as forças que são aplicadas por dois homens ao transportar uma barra homogênea (de massa m e comprimento L) ao longo de uma escada inclinada (paralela a ela), fazendo um ângulo $\theta$ com a horizontal. Sendo $F_1$ e $F_2$ as forças exercidas pelos homens que estão, respectivamente, na parte mais alta e mais baixa da escada, e $\alpha$ e $\beta$ os ângulos formados por essas forças, respectivamente, com a vertical, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo, referentes às condições de equilíbrio durante o transporte, e assinale a opção correta.

( ) Se $\alpha=\beta$ e $F_1=F_2$, a barra estará em equilíbrio rotacional em relação ao centro de massa da barra, qualquer que seja o valor de $\alpha$ e $F_1$.

( ) Se $F_1=F_2$, a barra estará em equilíbrio translacional em relação ao solo mesmo se os ângulos $\alpha$ e $\beta$ forem diferentes, quaisquer que sejam os valores de $\alpha$ e $\beta$.

( ) Se $\alpha=\beta=0$ e $F_1=F_2=mg/2$, a barra estará em equilíbrio rotacional em relação ao centro de massa da barra e estará em equilíbrio translacional em relação ao solo.

A)(V)(F)(F)

B)(V)(V)(F)

C)(F)(V)(V)

D)(V)(V)(V)

E)(F)(F)(V)

Gabarito oficial CPAEN/2024

E

Resolução

3ª sentença (V): com $\alpha=\beta=0$, as duas forças são verticais e de igual módulo $mg/2$ aplicadas nas extremidades, simetricamente em relação ao centro da barra: a soma vertical equilibra o peso ($mg/2+mg/2=mg$, equilíbrio translacional) e os torques dessas duas forças iguais em braços iguais se cancelam em relação ao centro de massa (equilíbrio rotacional). 1ª sentença (F): generalizar esse resultado para qualquer $\alpha$ é indevido — quando as forças fazem ângulo com a vertical, seus braços de alavanca em relação ao centro de massa dependem de componentes horizontais e verticais de forma que a simetria de módulos e ângulos, por si só, não garante torque líquido nulo para um $\alpha$ qualquer. 2ª sentença (F): $F_1=F_2$ com ângulos diferentes, em geral, não anula a resultante horizontal nem garante que a soma vertical valha mg, logo o equilíbrio translacional não é garantido "quaisquer que sejam" os ângulos.

Q19

Eletrostática — Corrente Induzida por Capacitância Variável

Examine a figura abaixo.

Dois capacitores de placas paralelas C1 e C2 conectados formando um circuito, ambos com distância d entre placas

A figura acima mostra dois capacitores de placas paralelas iguais, $C_1$ e $C_2$, com uma carga total Q distribuída entre eles e a mesma distância d entre as placas. Considere que, no instante $t=0$, a distância entre as placas do capacitor $C_1$ começa a aumentar uniformemente com velocidade v enquanto que, para o capacitor $C_2$, a distância começa a diminuir uniformemente com a mesma velocidade v. Desprezando a resistência dos fios, qual é a intensidade da corrente elétrica que se estabelece no circuito devido ao movimento das placas?

A)$\dfrac{Qv}{4d}$

B)$\dfrac{Qv}{2d}$

C)$\dfrac{Qv}{d}$

D)$\dfrac{2Qv}{d}$

E)$\dfrac{4Qv}{d}$

Gabarito oficial CPAEN/2024

B

Resolução

Como os capacitores compartilham os mesmos dois nós, estão em paralelo sob a mesma tensão V, com carga total conservada: $Q=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$. Com $C_1(t)=\varepsilon_0A/(d+vt)$ e $C_2(t)=\varepsilon_0A/(d-vt)$: em $t=0$, $C_1=C_2=C_0=\varepsilon_0A/d$ e $\dfrac{d}{dt}(C_1+C_2)\big|_0=0$ (simetria). A carga em $C_1$ é $Q_1=\dfrac{C_1}{C_1+C_2}Q$; derivando e avaliando em $t=0$: $\dfrac{dQ_1}{dt}\bigg|_0=\dfrac{Q}{C_1+C_2}\dfrac{dC_1}{dt}\bigg|_0=\dfrac{Q}{2C_0}\times\left(-\dfrac{C_0v}{d}\right)=-\dfrac{Qv}{2d}$. A corrente que se estabelece no circuito, transferindo carga de um capacitor para o outro, tem módulo $i=\dfrac{Qv}{2d}$.

Q20

Ondulatória — Batimento por Efeito Doppler

Analise a figura abaixo.

Receptor O e duas ambulâncias A e B se afastando em sentidos opostos com velocidades vA e vB

Um receptor localizado em O capta ondas sonoras provenientes de duas ambulâncias A e B, que emitem um sinal sonoro de mesma frequência $1{,}0\times10^2$ Hz. As duas ambulâncias se deslocam em sentidos opostos, a uma velocidade $v_s/10$, onde $v_s$ é a velocidade do som no ar. Devido à superposição das ondas sonoras que chegam no receptor, a onda resultante possui batimentos com frequência $f_{bat}$. Assinale a opção que apresenta o valor mais próximo da frequência $f_{bat}$, em hertz.

A)$2{,}0\times10^0$

B)$2{,}0\times10^1$

C)$9{,}0\times10^1$

D)$1{,}1\times10^2$

E)$2{,}0\times10^2$

Gabarito oficial CPAEN/2024

B

Resolução

Uma ambulância se aproxima e a outra se afasta do receptor, ambas com fonte móvel e receptor parado: $f_{aprox}=f_0\dfrac{v_s}{v_s-v_s/10}=\dfrac{f_0}{0{,}9}\approx111{,}1$ Hz; $f_{afast}=f_0\dfrac{v_s}{v_s+v_s/10}=\dfrac{f_0}{1{,}1}\approx90{,}9$ Hz. O batimento é a diferença: $f_{bat}=111{,}1-90{,}9\approx20{,}2\,Hz\approx2{,}0\times10^1\,Hz$.

Q21

Termodinâmica — Energia Interna de Gás a Pressão Constante

Considere que um recipiente contendo n mols de um gás ideal diatômico, inicialmente a uma temperatura $T_i$, está na vertical e imerso em um reservatório térmico de temperatura T $(T>T_i)$ e pressão P (constante) com o qual troca calor. Na parte superior do recipiente, há um êmbolo móvel (de diâmetro d e massa desprezível) que pode deslizar sem atrito. Após atingir o equilíbrio térmico, um sensor detectou que o êmbolo subiu uma distância $\Delta y$ (com velocidade constante) em relação à sua posição inicial (quando o gás estava à temperatura $T_i$). Assinale a opção que apresenta o valor mais próximo da variação da energia interna do gás, em joules, durante o processo.

Dados: $\Delta y=(5{,}0/\pi)$ cm; $d=10$ cm; e $P=1{,}0\times10^5$ Pa.

A)$1{,}9\times10^1$

B)$3{,}1\times10^1$

C)$4{,}4\times10^1$

D)$7{,}5\times10^1$

E)$1{,}3\times10^2$

Gabarito oficial CPAEN/2024

B

Resolução

A área do êmbolo é $A=\pi(d/2)^2=3\times(0{,}05)^2=7{,}5\times10^{-3}\,m^2$ (com $\pi=3$). O deslocamento é $\Delta y=(5{,}0/3)\,cm\approx1{,}667\times10^{-2}$ m. O trabalho do gás a pressão constante é $W=P\,A\,\Delta y=1{,}0\times10^5\times7{,}5\times10^{-3}\times1{,}667\times10^{-2}=12{,}5$ J. Para gás diatômico a pressão constante, $\Delta U=\dfrac{5}{2}nR\Delta T$ e $W=nR\Delta T$ (lei dos gases ideais a P constante), logo $\Delta U=\dfrac52W=\dfrac52\times12{,}5=31{,}25\,J\approx3{,}1\times10^1\,J$.

Q22

Óptica — Refração de Ondas Eletromagnéticas

Analise a figura abaixo.

Refração de frentes de onda do meio 1 para o meio 2, com ângulos alfa e beta e comprimentos de onda lambda1 e lambda2

A figura acima representa a refração (vista de cima) das frentes de ondas eletromagnéticas planas (linhas contínuas) ao se propagarem do meio 1 para o meio 2 (a interface entre os meios está representada pela linha tracejada). As direções de propagação das frentes de onda incidentes e refratadas estão indicadas pelos seus vetores velocidade $v_1$ e $v_2$, respectivamente. Os comprimentos da onda eletromagnética antes e depois da refração são, respectivamente, $\lambda_1$ e $\lambda_2$, conforme indicado na figura, cuja razão $\lambda_1/\lambda_2=\sqrt{2}/2$. Considerando que a frequência não é alterada pela refração, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo e assinale a opção correta.

( ) O meio 2 é mais refringente que o meio 1, e haverá refração para qualquer que seja o valor de $\alpha$.

( ) O meio 1 é mais refringente que o meio 2, e só haverá refração se $\alpha\geq45°$.

( ) O meio 2 é mais refringente que o meio 1, e só haverá refração se $\alpha\geq45°$.

( ) O meio 1 é mais refringente que o meio 2, e se $\beta=60°$, então $\alpha=\text{arcsen}(\sqrt{6}/4)$.

A)(F)(F)(F)(F)

B)(V)(F)(F)(F)

C)(F)(V)(F)(F)

D)(F)(V)(F)(V)

E)(F)(F)(V)(F)

Gabarito de terceiros (Estratégia Militares)

C*

Resolução

Como $f$ não muda e $v=f\lambda$: $v_1/v_2=\lambda_1/\lambda_2=\sqrt2/2$, logo $v_1meio 1 é mais refringente — o que já elimina as duas sentenças que afirmam o contrário (meio 2 mais refringente). Pela Lei de Snell, $n_1\,\text{sen}\,\alpha=n_2\,\text{sen}\,\beta \Rightarrow \text{sen}\,\alpha=\dfrac{\text{sen}\,\beta}{\sqrt2}$. Se $\beta=60°$: $\text{sen}\,\alpha=\dfrac{\sqrt3/2}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{4}$, exatamente a relação da última sentença — o que a torna, pela nossa análise, verdadeira.

*Nota de transparência: o gabarito de terceiros que localizamos para esta prova aponta a alternativa C — (F)(V)(F)(F) —, o que exige que a condição de refração seja "$\alpha\geq45°$" e que a última sentença (arcsen) seja falsa. Pela física padrão de reflexão total, indo do meio mais refringente (1) para o menos refringente (2), a refração ocorre para ângulos menores ou iguais ao ângulo crítico $\theta_c$ (definido por $\text{sen}\,\theta_c=n_2/n_1=\sqrt2/2 \Rightarrow \theta_c=45°$) — portanto para $\alpha\leq45°$, e não $\alpha\geq45°$. Além disso, com $\beta=60°$ a Lei de Snell dá exatamente $\alpha=\text{arcsen}(\sqrt6/4)\approx37{,}8°$, um valor menor que 45° e portanto fisicamente consistente com a própria condição de refração. Não conseguimos reconciliar o padrão (F)(V)(F)(F) com a direção usual do ângulo crítico; o padrão que a nossa análise produz — (F)(F)(F)(V) — não corresponde a nenhuma das cinco alternativas listadas. Mantemos aqui a física passo a passo para que você confira; se identificar o erro de nossa parte, nos avise para corrigir.

Dados da prova