Prova Escola Naval 2005 — Física Discursiva com Resoluções e Auditoria TEF

Q01

Mecânica — Energia mecânica — Lançamento oblíquo e atrito

Num plano inclinado com atrito desprezível e inclinação de $60^\circ$, encontramos um bloco de massa $2{,}0\ \text{kg}$ apoiado sobre uma mola ideal cuja constante elástica é $k=200\ \text{N/m}$, comprimida de $40\ \text{cm}$ a partir de sua posição de relaxamento, e a seguir liberada. O bloco sobe o trecho da rampa inclinada BC cuja extensão é de $60\ \text{cm}$, atingindo a rampa DE, chegando ao ponto D com vetor velocidade tangente à rampa. Sabendo-se que a distância horizontal CD vale $2{,}0\ \text{m}$, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa DE é $0{,}8$ e que $g=10{,}0\ \text{m/s}^2$, calcule:

Rampa inclinada BC, trecho aéreo de 2 m e segunda rampa DE, com h e ângulos de 60 e 30 graus

a) o módulo da velocidade ao passar pelo ponto C;

b) a distância vertical correspondente ao desnível $h$;

c) a distância DE, sabendo-se que o bloco atinge o final da rampa com velocidade nula no ponto E.

Respostas fundamentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $v_C=\sqrt{16-6\sqrt3}\ \text{m/s}\approx2{,}37\ \text{m/s}$, considerando BC como subida de $0{,}60\ \text{m}$.

b) e c) Não são determináveis fisicamente com os dados fornecidos: o bloco não consegue atingir D, situado a $2{,}0\ \text{m}$ horizontalmente de C e acima dele.

Resolução comentada

A mola fornece $E_e=kx^2/2=200(0{,}40)^2/2=16\ \text{J}$. A subida BC tem desnível $\Delta H=0{,}60\operatorname{sen}60^\circ=0{,}30\sqrt3\ \text{m}$. Se não há perdas antes de C, $16=\tfrac12(2)v_C^2+(2)(10)(0{,}30\sqrt3)$, donde $v_C^2=16-6\sqrt3$ e $v_C\approx2{,}37\ \text{m/s}$.

A velocidade ao sair de C acompanha a rampa de $60^\circ$. Mesmo se D estivesse no mesmo nível de C, o alcance máximo nessa direção seria $R_C=v_C^2\operatorname{sen}120^\circ/g\approx0{,}49\ \text{m}$, muito abaixo dos $2{,}0\ \text{m}$ de separação horizontal. Como D ainda está acima de C, o alcance até D seria menor, não maior.

A exigência adicional de chegar a D com a velocidade tangente à rampa de $30^\circ$ também não pode ser satisfeita pela velocidade energética calculada. Portanto, nenhum valor de $h$ e DE representa o movimento descrito. Não seria rigoroso atribuir valores numéricos a b e c.

Nota de auditoria:Inconsistência material do enunciado: os dados da mola e do trecho BC não permitem atingir a rampa DE. Os itens b e c ficam fisicamente inviáveis.

Q02

Mecânica — Dinâmica — Empuxo, atrito, colisão elástica e looping

Um cubo de zinco, de aresta igual a $0{,}30\ \text{m}$, encontra-se imerso num líquido e vinculado ao bloco 2, de massa $30{,}0\ \text{kg}$, por meio de um fio ideal. Para equilibrar o sistema, uma força constante de módulo $30\ \text{N}$ é aplicada sobre o bloco 2, conforme a figura. A tração ultrapassa seu valor máximo, provocando o rompimento do fio. Na descida, o bloco 2 percorre o trajeto AB, onde há atrito de coeficiente dinâmico $0{,}6$. Em seguida, colide elasticamente com o bloco 3, de massa $40{,}0\ \text{kg}$, inicialmente em repouso. O bloco 2 retorna e o bloco 3 percorre o trecho circular de raio $0{,}5\ \text{m}$. Dados: $g=10\ \text{m/s}^2$; densidade do zinco $7{,}00\ \text{g/cm}^3$; extensão de AB $3{,}00\ \text{m}$. Calcule:

Blocos, circuito de roldana e cuba, trecho com atrito AB e looping de raio R

a) a densidade do líquido no qual o cubo de zinco se encontra imerso;

b) a que distância do ponto A o bloco 2 para após colidir com o bloco 3;

c) a direção, o sentido e o módulo da força que o bloco 3 exerce sobre a rampa circular no ponto C.

Respostas fundamentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\rho_l\approx6{,}33\times10^3\ \text{kg/m}^3=6{,}33\ \text{g/cm}^3$.

b) Aproximadamente $2{,}89\ \text{m}$ a partir de A, no sentido de B.

c) Aproximadamente $1{,}76\times10^3\ \text{N}$, vertical para cima, exercida pelo bloco sobre a pista no topo C.

Resolução comentada

a) A seta $\vec F$ aponta para baixo da rampa: na condição inicial do bloco 2, $T=m_2g\operatorname{sen}30^\circ+F=150+30=180\ \text{N}$. O cubo possui volume $V=(0{,}30)^3=0{,}027\ \text{m}^3$ e peso $P=\rho_z Vg=(7000)(0{,}027)(10)=1890\ \text{N}$. Em equilíbrio, $T+E=P$, assim $E=1710\ \text{N}$ e $\rho_l=E/(Vg)=1710/(0{,}027\cdot10)\approx6333\ \text{kg/m}^3$.

b) Admitindo que a única região com atrito seja AB, a queda vertical de $5\ \text{m}$ fornece velocidade de $10\ \text{m/s}$ ao bloco 2 antes do trecho horizontal. Em AB, $v_B^2=10^2-2(0{,}6)(10)(3)=64$, então $v_B=8\ \text{m/s}$. Na colisão elástica unidimensional com o bloco 3 parado, $v'_2=(m_2-m_3)v_B/(m_2+m_3)=-8/7\ \text{m/s}$ e $v'_3=2m_2v_B/(m_2+m_3)=48/7\ \text{m/s}$.

Ao retornar sobre AB, o bloco 2 percorre $d=(8/7)^2/[2(0{,}6)(10)]=16/147\approx0{,}109\ \text{m}$ a partir de B. Como $AB=3{,}00\ \text{m}$, a distância do ponto A até a parada é $3-16/147\approx2{,}89\ \text{m}$.

c) Entre a base do looping e C (no topo), a elevação é $2R=1{,}0\ \text{m}$. Portanto $v_C^2=(48/7)^2-2(10)(1)=1324/49\ \text{m}^2/\text{s}^2$. No topo, a resultante radial aponta para baixo: $N+m_3g=m_3v_C^2/R$. Disso resulta $N=40[(1324/49)/0{,}5-10]\approx1{,}76\times10^3\ \text{N}$. A pista empurra o bloco para baixo; por ação e reação, o bloco empurra a pista verticalmente para cima.

Nota de auditoria:Os resultados consideram o sentido de F representado no desenho, rampa inclinada sem atrito e atrito limitado ao trecho AB.

Q03

Ondulatória — MHS — Colisão inelástica e ondas em cordas

Uma corda de densidade linear $\mu=0{,}080\ \text{kg/m}$ tem uma extremidade presa a um bloco B de massa $0{,}80\ \text{kg}$, apoiado numa mola ideal de constante $k=200\ \text{N/m}$. A outra extremidade passa por uma roldana ideal e sustenta um bloco C de massa $0{,}20\ \text{kg}$. Uma arruela A, de massa $0{,}20\ \text{kg}$, cai de $0{,}80\ \text{m}$ e adere ao bloco B; após o choque, o conjunto executa MHS vertical. Desprezando atritos e o efeito do peso da corda no MHS, calcule:

Arruela A sobre bloco B com mola, corda horizontal, polia e bloco suspenso C

a) a amplitude do MHS;

b) a frequência do MHS;

c) a equação da onda progressiva que se propaga na corda;

d) a distância entre dois nós consecutivos, se uma onda estacionária se formar nas mesmas condições.

Respostas fundamentadas — Método TEF (não oficiais)

Adotando a oscilação vertical dos corpos A+B e aproximando $T_{\rm corda}=m_Cg$:

a) $A\approx5{,}74\ \text{cm}$.

b) $f=\sqrt{200}/(2\pi)\approx2{,}25\ \text{Hz}$.

c) Um modelo compatível é $y(x,t)=-0{,}010\cos[\omega(t-x/5)]+0{,}05657\operatorname{sen}[\omega(t-x/5)]$ em metros, com $\omega=\sqrt{200}\ \text{rad/s}$.

d) $\Delta x_{\rm nós}=\lambda/2\approx1{,}11\ \text{m}$.

Resolução comentada

A arruela cai de $0{,}80\ \text{m}$, chegando com velocidade $v_A=\sqrt{2gH}=4\ \text{m/s}$. Na colisão inelástica, supondo o bloco B inicialmente parado e o movimento vertical do suporte desacoplado, a velocidade logo após a aderência é $v_0=m_Av_A/(m_A+m_B)=(0{,}20)(4)/1{,}00=0{,}80\ \text{m/s}$ para baixo.

A massa oscilante A+B vale $M=1{,}00\ \text{kg}$ e a frequência angular é $\omega=\sqrt{k/M}=\sqrt{200}\ \text{rad/s}$. A adição da arruela desloca o equilíbrio em $\delta=m_Ag/k=0{,}010\ \text{m}$ para baixo. Com $y$ positivo para baixo em relação ao novo equilíbrio: $y(0)=-0{,}010\ \text{m}$ e $v(0)=0{,}80\ \text{m/s}$. A amplitude fica $A=\sqrt{\delta^2+(v_0/\omega)^2}=\sqrt{0{,}0001+0{,}0032}\approx0{,}0574\ \text{m}$ e $f=\omega/(2\pi)\approx2{,}25\ \text{Hz}$.

Para uma corda de tração média $T\approx m_Cg=2\ \text{N}$, a rapidez de propagação é $u=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{2/0{,}080}=5\ \text{m/s}$. O movimento da ponta, tomado como condição de contorno, é $y(0,t)=-0{,}010\cos(\omega t)+(0{,}80/\omega)\operatorname{sen}(\omega t)$; uma onda que corre para $x>0$ é obtida substituindo $t$ por $t-x/u$. Assim $\lambda=u/f\approx2{,}22\ \text{m}$ e a distância entre nós adjacentes é $\lambda/2\approx1{,}11\ \text{m}$.

Nota de auditoria:O enunciado não esclarece completamente a cinemática de vinculação entre a oscilação vertical e a massa suspensa C. Os valores são condicionais ao modelo de pequenos movimentos e tração média constante; outras hipóteses alteram a frequência.

Q04

Eletromagnetismo — Circuitos — Capacitor e movimento em campos elétrico e magnético

O circuito da figura 1 possui o capacitor completamente carregado. A distância entre as placas é de $5{,}0\ \text{mm}$. Uma partícula de massa $2{,}8\times10^{-6}\ \text{kg}$, eletrizada com carga de $1{,}4\times10^{-6}\ \text{C}$, é lançada no interior do capacitor no ponto A com rapidez $|\vec v_A|=6{,}0\ \text{m/s}$ e descreve a trajetória da figura 2. Sai por um orifício com rapidez $|\vec v_B|$, conservando-a até alcançar uma região de campo magnético uniforme, perpendicular à velocidade, de intensidade $B=40\ \text{T}$. Calcule:

Circuito de resistores, três geradores e capacitor de 7 microfarads — Figura 1

Trajetória da partícula no capacitor e região de campo magnético, com cotas da reprodução — Figura 2

a) as intensidades das correntes no circuito da figura 1;

b) a rapidez $|ec v_B|$;

c) o intervalo de tempo em que a partícula permanece na região de campo magnético.

Respostas fundamentadas — Método TEF (não oficiais)

a) Correntes de $2\ \text{A}$ na malha esquerda, $6\ \text{A}$ no ramo central e $4\ \text{A}$ na malha direita, nos sentidos indicados na resolução; corrente nula no ramo do capacitor carregado.

b) $v_B=10\ \text{m/s}$.

c) $t=\pi/40\ \text{s}\approx0{,}0785\ \text{s}$, sob a interpretação geométrica de um quarto de circunferência e usando a dimensão editorial de $50\ \text{cm}$.

Resolução comentada

a) Em corrente contínua estacionária, o capacitor bloqueia a corrente: não passa corrente no ramo que contém $15\ \Omega$ e $7\ \mu\text{F}$. Considere $U$ a tensão entre o nó superior central e o inferior central. Tomando todas as correntes de cima para baixo pelos três caminhos externos, $I_e=(U-50)/35$, $I_c=(U-150)/5$ e $I_d=(U-40)/20$, com resistências em ohms. A lei dos nós dá $I_e+I_c+I_d=0$, daí $U=120\ \text{V}$. Assim $I_e=2\ \text{A}$, $I_c=-6\ \text{A}$ (isto é, sobe no ramo central) e $I_d=4\ \text{A}$. A corrente esquerda atravessa a malha esquerda no sentido anti-horário e a direita no sentido horário.

b) Na malha direita, a queda no resistor superior de $5\ \Omega$ é $4\cdot5=20\ \text{V}$, de modo que a diferença de potencial entre o nó superior direito e o nó inferior central, correspondente ao capacitor carregado, é $100\ \text{V}$. O campo uniforme entre as placas é $E=100/(5{,}0\times10^{-3})=2{,}0\times10^4\ \text{N/C}$. Para o deslocamento no sentido do campo de $3{,}2\ \text{mm}$ indicado na figura, o trabalho da força elétrica é $W=qE\Delta x=(1{,}4\times10^{-6})(2\times10^4)(3{,}2\times10^{-3})=8{,}96\times10^{-5}\ \text{J}$. Pela relação $\tfrac12m(v_B^2-v_A^2)=W$, resulta $v_B^2=36+64=100$ e $v_B=10\ \text{m/s}$.

c) No campo magnético, a força $qvB$ é centrípeta. Assim $R=mv/(|q|B)=(2{,}8\times10^{-6})(10)/[(1{,}4\times10^{-6})(40)]=0{,}50\ \text{m}$. Interpretando as dimensões desenhadas como um arco de quarto de volta ($\Delta\theta=\pi/2$), o tempo de permanência é uma fração de $1/4$ do período ciclotrônico $T=2\pi m/(|q|B)$: $t=\pi m/(2|q|B)=\pi/40\ \text{s}\approx0{,}0785\ \text{s}$.

Nota de auditoria:Na reprodução utilizada, o valor de 50 cm da figura 2 é atribuído expressamente a uma sugestão editorial de terceiros, não ao enunciado original. A resposta c depende dessa indicação. O desenho da trajetória no capacitor é esquemático: o campo entre as placas e o sentido da velocidade devem ser interpretados com cautela.

Q05

Termologia — Termodinâmica — Gás ideal em compartimentos com parede móvel

O recipiente possui um mol de gás perfeito monoatômico em cada compartimento A e B, termicamente isolados. A parede interna que os separa é móvel. Inicialmente ambos os gases estão a $20\ ^\circ\text{C}$ e em equilíbrio estático. Ao fechar a chave S, uma corrente de $1\ \text{A}$ atravessa o resistor $R=20\ \Omega$ durante $16\ \text{s}$; depois, a chave é aberta novamente. Ao final, a temperatura do gás A é $40{,}3\ ^\circ\text{C}$ e a do gás B é $25\ ^\circ\text{C}$. Considere isolados os fios de ligação entre resistor e bateria. Calcule:

Dois compartimentos A e B separados por parede móvel e resistor aquecedor

a) a variação percentual de volume $(\Delta V/V)$ do gás no compartimento A;

b) a variação da energia interna do gás no recipiente.

Respostas fundamentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\Delta V_A/V_{A,i}\approx+2{,}50\%$.

b) $\Delta U\approx3{,}16\times10^2\ \text{J}$ para $R=8{,}31\ \text{J/(mol K)}$, próximo dos $320\ \text{J}$ fornecidos eletricamente.

Resolução comentada

a) As temperaturas absolutas são $T_i=293\ \text{K}$, $T_{A,f}=313{,}3\ \text{K}$ e $T_{B,f}=298\ \text{K}$. Como inicialmente há um mol em cada lado sob a mesma pressão e mesma temperatura, os volumes iniciais são iguais: $V_{A,i}=V_{B,i}=V_i$. O recipiente tem volume rígido total $2V_i$. No equilíbrio final a parede móvel iguala as pressões, logo $V_{A,f}/V_{B,f}=T_{A,f}/T_{B,f}$. Portanto $V_{A,f}=2V_i\,T_{A,f}/(T_{A,f}+T_{B,f})$ e $\Delta V_A/V_i=(313{,}3-298)/(313{,}3+298)=15{,}3/611{,}3\approx0{,}0250$, aumento de $2{,}50\%$.

b) Para gás ideal monoatômico, $U=3nRT/2$. Nos dois compartimentos, a variação total é $\Delta U=\tfrac32R[(313{,}3-293)+(298-293)]=\tfrac32R(25{,}3)\approx315{,}4\ \text{J}$, usando $R=8{,}31\ \text{J/(mol K)}$. A energia elétrica transferida vale $I^2Rt=(1)^2(20)(16)=320\ \text{J}$. A pequena diferença decorre do arredondamento das temperaturas fornecidas.

Nota de auditoria:A expressão “variação da energia interna do gás no recipiente” foi interpretada como soma das energias internas dos gases A e B, pois há um mol em cada compartimento.

Q06

Termologia — Máquinas térmicas — Rendimento de Carnot

Uma máquina de Carnot opera entre duas fontes térmicas, às temperaturas absolutas $T_1$ e $T_2$, sendo $T_1>T_2$. O rendimento inicial é $40\%$ e a máquina produz trabalho de $10\ \text{J}$ por ciclo. Mantendo constante a temperatura da fonte quente $T_1$, deseja-se dobrar o rendimento, modificando a temperatura da fonte fria. Calcule:

a) a variação percentual da temperatura $T_2$, expressa por $\Delta T_2/T_2$;

b) o calor recebido pela fonte fria a cada ciclo, após dobrar o rendimento.

Respostas fundamentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\Delta T_2/T_{2,i}=-2/3\approx-66{,}7\%$.

b) O dado não é unívoco sem uma condição adicional. Caso se mantenha $W=10\ \text{J}$ por ciclo, o calor rejeitado à fonte fria será $2{,}5\ \text{J}$. Caso se mantenha o calor absorvido inicialmente ($25\ \text{J}$), o calor rejeitado será $5{,}0\ \text{J}$.

Resolução comentada

a) Na máquina de Carnot, $\eta=1-T_2/T_1$. Inicialmente $0{,}40=1-T_{2,i}/T_1$, de modo que $T_{2,i}=0{,}60T_1$. O rendimento dobrado é $0{,}80$, portanto $T_{2,f}=0{,}20T_1$. A variação relativa é $(0{,}20-0{,}60)/0{,}60=-2/3$, isto é, redução de $66{,}7\%$.

b) Inicialmente, como $\eta_i=W_i/Q_{q,i}=0{,}4$ e $W_i=10\ \text{J}$, o calor absorvido da fonte quente é $Q_{q,i}=25\ \text{J}$ e o rejeitado $Q_{f,i}=15\ \text{J}$. Depois da alteração, $\eta_f=0{,}8$ fixa apenas a razão $W_f/Q_{q,f}$, sem determinar os valores absolutos. Se o trabalho por ciclo continuar $10\ \text{J}$, $Q_{q,f}=12{,}5\ \text{J}$ e $Q_{f,f}=2{,}5\ \text{J}$. Se o calor recebido por ciclo continuar $25\ \text{J}$, então $W_f=20\ \text{J}$ e $Q_{f,f}=5\ \text{J}$.

Nota de auditoria:O item b não fixa explicitamente nem o trabalho por ciclo nem o calor absorvido depois da mudança. Por isso, não há resposta única sem uma hipótese adicional.