Escola Naval 2006 — Prova de Física Discursiva Resolvida

Q01

Mecânica e Ondulatória — Calorimetria, colisão, MHS e ondas em corda

Três mols de um certo gás ideal, cujo calor molar a pressão constante vale $5{,}00\ \text{cal/(mol·K)}$, estão no interior do cilindro da figura. O gás recebe calor de uma fonte térmica de tal maneira que sua temperatura aumenta $10{,}0\ ^\circ\text{C}$. O pistão adiabático, de massa desprezível, eleva-se $2{,}00\ \text{m}$. Sobre o pistão está o bloco 1, de massa $m_1=20{,}0\ \text{kg}$. Considere $g=10\ \text{m/s}^2$ e $1\ \text{cal}=4{,}18\ \text{J}$. O esquema mostra o bloco 2, a trajetória $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D$ e uma mola de constante $k$.

Diagrama da questão 01 da Escola Naval 2006, extraído da página 2–3 do caderno

a) Calcule a variação da energia interna do gás, em joules. (4 pontos)

b) No final da expansão, o bloco 1 está em repouso sobre $AB$, sem atrito, e é atingido pelo bloco 2, de massa $m_2=10{,}0\ \text{kg}$ e velocidade $5{,}00\ \text{m/s}$. Calcule a velocidade de recuo do bloco 2, dado o coeficiente de restituição $e=0{,}800$. (7 pontos)

c) Após a colisão, o bloco 1 desce a rampa $BC$, perdendo $280\ \text{J}$ por atrito, e percorre $CD$ com velocidade constante, colidindo em $D$ com uma mola de constante $k=1620\ \text{N/m}$. Calcule a amplitude e a frequência do MHS. (8 pontos)

d) Um fio de comprimento $\ell=1{,}50\ \text{m}$ e massa $0{,}500\ \text{kg}$, preso à mola e ao teto, apresenta a onda estacionária da figura 2; o conjunto não se desloca verticalmente devido à rigidez da mola. Calcule a tração no fio. (6 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\Delta U=227\ \text{J}$ (arredondado).

b) $v_{2,f}=-1{,}0\ \text{m/s}$ (recuo).

c) $A=\frac19\ \text{m}\approx0{,}111\ \text{m}$; $f=\frac{9}{2\pi}\ \text{Hz}\approx1{,}43\ \text{Hz}$, tomando a altura da rampa igual a $1{,}00\ \text{m}$.

d) O padrão mostra extremidade superior fixa e inferior antinó; se são $4{,}5$ semiventres, $\lambda=2\ell/4{,}5$, com $T=\mu(f\lambda)^2\approx0{,}30\ \text{N}$.

Resolução comentada

a) Pelo aquecimento a pressão constante, $Q=nC_p\Delta T=3\cdot5\cdot10=150\ \text{cal}=627\ \text{J}$. O pistão realiza trabalho ao elevar o bloco: $W=mgh=20\cdot10\cdot2=400\ \text{J}$. Assim, $\Delta U=Q-W=227\ \text{J}$.

b) Para colisão unidimensional, conservam-se as quantidades de movimento e a relação de restituição: $10\cdot5=10v_{2,f}+20v_{1,f}$ e $v_{1,f}-v_{2,f}=0{,}8\cdot5=4$. Daí, $v_{1,f}=3\ \text{m/s}$ e $v_{2,f}=-1\ \text{m/s}$.

c) A energia do bloco 1 após o choque é $E_c=\frac12\cdot20\cdot3^2=90\ \text{J}$. Ao descer $1{,}00\ \text{m}$, recebe $200\ \text{J}$ gravitacionais e perde $280\ \text{J}$ por atrito, restando $10\ \text{J}$ em $D$. Portanto $\frac12 kA^2=10$, o que fornece $A=\sqrt{20/1620}=1/9\ \text{m}$ e $f=\frac1{2\pi}\sqrt{1620/20}=9/(2\pi)\ \text{Hz}$.

d) Para a onda estacionária, a densidade linear é $\mu=m/\ell=\frac13\ \text{kg/m}$. Contam-se quatro ventres completos e meio ventre na extremidade inferior, isto é, $\ell=4{,}5\lambda/2$. Admitindo que a fonte oscile com a frequência calculada, aplica-se $v=f\lambda$ e $T=\mu v^2$. Esse último item depende da leitura do desenho e da correspondência entre oscilação mecânica e onda na corda.

Q02

Mecânica e Ondulatória — Foguete e interferência eletromagnética

Uma equipe da Marinha decola de um porta-aviões em repouso relativamente à Terra, a bordo de um helicóptero. Na posição $\vec r=7500\hat\imath+2{,}00\hat\jmath\ \text{m}$, relativamente à embarcação, voando com velocidade $\vec v=-60{,}0\hat\imath+80{,}0\hat\jmath\ \text{m/s}$, o helicóptero dispara um foguete-teste de massa $6{,}00\ \text{kg}$. O sistema propulsor aplica ao foguete uma força resultante de módulo $30{,}0\ \text{N}$, na direção e no sentido da velocidade de lançamento, durante $2{,}00\ \text{s}$. Posteriormente, o foguete cai no mar. Despreze a resistência do ar e o vento.

Diagrama da questão 02 da Escola Naval 2006, extraído da página 5 do caderno

a) Calcule o vetor posição do foguete relativamente à embarcação em $t=2{,}00\ \text{s}$. (7 pontos)

b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante no intervalo de $2{,}00\ \text{s}$. (6 pontos)

c) Calcule o tempo desde o disparo até o foguete atingir o nível da pista de pouso ($y=0$), adotando $g=10{,}0\ \text{m/s}^2$. (6 pontos)

d) Duas antenas em terra, em fase, distam $30\lambda$, sendo $\lambda$ o comprimento de onda de emissões de $100\ \text{MHz}$, com $c=3{,}00\cdot10^8\ \text{m/s}$. Um mergulhador com detector move-se paralelamente à linha das antenas e observa a passagem de máximo a mínimo. Calcule a distância dele a cada antena na posição de sinal mínimo, conforme o desenho. (6 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\vec r(2)=(7374\hat\imath+170\hat\jmath)\ \text{m}$, se a força resultante for a resultante total durante a queima.

b) $W=6300\ \text{J}$, sob a mesma interpretação.

c) $t_{\rm total}=2+\frac{88+\sqrt{88^2+20\cdot170}}{10}\ \text{s}\approx21{,}35\ \text{s}$.

d) $\lambda=3\ \text{m}$; primeiro mínimo em $|d_2-d_1|=\lambda/2=1{,}5\ \text{m}$. Distâncias individuais requerem conhecer o afastamento transversal do mergulhador em relação às antenas.

Resolução comentada

a) A rapidez inicial é $100\ \text{m/s}$ e a aceleração resultante é $F/m=5\ \text{m/s}^2$ ao longo do versor $(-0{,}6,0{,}8)$. Assim, $\vec a=(-3\hat\imath+4\hat\jmath)\ \text{m/s}^2$ e $\vec r=\vec r_0+\vec v_0 t+\frac12\vec a t^2$.

b) O deslocamento durante a queima, projetado na direção da força, é $100\cdot2+\frac12\cdot5\cdot2^2=210\ \text{m}$. O trabalho é $W=F\Delta s=30\cdot210=6300\ \text{J}$.

c) A partir de $t=2\ \text{s}$, $y=170\ \text{m}$ e $v_y=88\ \text{m/s}$. Sob aceleração gravitacional $-10\ \text{m/s}^2$, resolve-se $0=170+88\tau-5\tau^2$ e soma-se o tempo de propulsão. O uso da expressão “força resultante” como resultante total durante a queima é essencial a estes resultados.

d) Fontes em fase interferem destrutivamente para $\Delta d=n\lambda/2$ com $n$ ímpar. Em particular, a primeira passagem de máximo para mínimo exige $\Delta d=\lambda/2$. A figura não informa distância perpendicular do detector à linha das antenas; não se deve inventar as duas distâncias absolutas.

Q03

Eletromagnetismo — Circuito, indução, energia eletrostática e calorimetria

Uma barra metálica de comprimento $L=1{,}0\ \text{m}$ desliza sobre dois trilhos condutores horizontais, puxada por um bloco de massa desconhecida $M$. O conjunto está imerso em campo magnético uniforme vertical de módulo $B=3{,}0\ \text{T}$. O coeficiente de atrito entre a barra e os trilhos é $0{,}40$. Um circuito está ligado aos extremos dos trilhos conforme a figura. Despreze as resistências dos trilhos e da barra. Gerador e polia ideais. Os capacitores estão carregados, e a chave $K$ inicialmente aberta. O peso da barra vale $20\ \text{N}$, a rapidez constante é $5{,}0\ \text{m/s}$ e o capacitor $C_1$ armazena $40\ \mu\text{C}$. Dados: $C_1=1{,}0\ \mu\text{F}$, $C_2=2{,}0\ \mu\text{F}$, $C_3=6{,}0\ \mu\text{F}$, $C_4=8{,}0\ \mu\text{F}$, $R=20\ \Omega$. No instante de fechamento de $K$, solta-se o bloco.

Diagrama da questão 03 da Escola Naval 2006, extraído da página 7 do caderno

a) Calcule a fem do gerador e a fem induzida na barra. (6 pontos)

b) Calcule a potência do peso do bloco. (8 pontos)

c) Calcule a energia eletrostática armazenada em $C_4$. (5 pontos)

d) Calcule o tempo, em minutos, para que $100\ \text{g}$ de água e $30{,}0\ \text{g}$ de gelo, ambos a $0\ ^\circ\text{C}$, atinjam $68\ ^\circ\text{F}$. Dados: $c_\text{água}=1{,}0\ \text{cal/(g·K)}$, $L_\text{fusão}=80\ \text{cal/g}$, $1\ \text{cal}=4{,}18\ \text{J}$. (6 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\mathcal E=60\ \text{V}$, sob a interpretação em série dos grupos capacitivos; $\varepsilon_{\rm ind}=BLv=15\ \text{V}$.

b) A potência é $P_{\rm peso}=Mgv$. O valor numérico exige conciliar o sentido da corrente da barra e a fem induzida com a malha no instante relevante.

c) A energia é $U_4=\tfrac12 C_4V_4^2$; a tensão $V_4$ deve ser determinada pela topologia completa após o fechamento de $K$.

d) O aquecimento pede $Q=30\cdot80+130\cdot20=5000\ \text{cal}=20900\ \text{J}$; em calorímetro ideal, $t=Q/P_R$ com $P_R=V_R^2/(20\ \Omega)$.

Resolução comentada

a) Em equilíbrio eletrostático, $C_1$ e $C_2$ estão em paralelo entre os mesmos nós: $V=Q_1/C_1=40\ \text{V}$, com carga de grupo $Q_{12}=(C_1+C_2)V=120\ \mu\text{C}$. Se $C_3$ forma a associação em série exibida, $V_3=Q_{12}/C_3=20\ \text{V}$, portanto $\mathcal E=40+20=60\ \text{V}$. A barra em movimento produz $BLv=3\cdot1\cdot5=15\ \text{V}$.

b) Para o item (b), a potência instantânea do peso é $P=Mgv$. A tração é relacionada ao peso do bloco, e o equilíbrio longitudinal da barra exige inserir corretamente o sentido de $\vec F_m=I\vec L\times\vec B$ e o atrito $\mu N$. Sem essa conferência do circuito completo, não se fixa um valor numérico como definitivo.

c) A energia do capacitor é calculada por $U_4=C_4V_4^2/2$. O capacitor não deve ser tratado como resistor; em regime contínuo estacionário, seu ramo não conduz corrente, e sua tensão deve ser encontrada pelas diferenças de potencial nodais.

d) Para fundir o gelo e aquecer toda a água até $20\ ^\circ\text{C}$ ($68\ ^\circ\text{F}$), são necessários $2400+2600=5000\ \text{cal}$. O efeito Joule no resistor do calorímetro fornece a potência, que deve ser obtida após fechar a chave.

Nota de auditoria: A fonte digitalizada não fornece uma resolução oficial preenchida. Para os itens (b)–(d), a cadeia elétrica completa deve ser validada antes de publicar números não demonstrados.

Q04

Mecânica — Empuxo em dois líquidos e energia potencial elástica

Um cubo de madeira impermeabilizada, de aresta $20{,}0\ \text{cm}$ e densidade $500\ \text{kg/m}^3$, está com $3/5$ do volume imerso em água ($\rho_\mathrm{água}=1000\ \text{kg/m}^3$) e preso a uma mola ideal de constante $400\ \text{N/m}$. Inicialmente em equilíbrio, a altura da água é $h_1=1{,}00\ \text{m}$. Derrama-se óleo imiscível com a água, de densidade $700\ \text{kg/m}^3$, até que a altura total seja $h_2=1{,}05\ \text{m}$. Adote $g=10\ \text{m/s}^2$.

Diagrama da questão 04 da Escola Naval 2006, extraído da página 9 do caderno

a) Calcule a energia potencial elástica, em joules, da mola na situação final. (7 pontos)

b) Calcule a variação da pressão total, em pascal, na base do recipiente entre as situações final e inicial. (3 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) No início, o empuxo da água é $48\ \text{N}$, enquanto o peso do cubo é $40\ \text{N}$; portanto o módulo da força elástica inicial é $8\ \text{N}$, com deformação de $0{,}020\ \text{m}$ e $U_{e,i}=0{,}080\ \text{J}$. Se a interface água–óleo permanece à altura inicial e o óleo forma uma camada de $0{,}05\ \text{m}$, obtém-se $U_{e,f}\approx0{,}281\ \text{J}$. Caso contrário, são necessários mais dados geométricos para fixar o resultado.

b) Pelo esquema idealizado em que os $0{,}05\ \text{m}$ adicionados são uma lâmina uniforme de óleo, $\Delta p=\rho_o g\Delta h=350\ \text{Pa}$.

Resolução comentada

a) O volume do cubo é $V=(0{,}20)^3=0{,}008\ \text{m}^3$. Na situação inicial, $V_{\rm água}=3V/5=0{,}0048\ \text{m}^3$, $E_i=48\ \text{N}$ e $P=40\ \text{N}$. A mola, portanto, exerce força descendente de $8\ \text{N}$, com deformação $x_i=0{,}020\ \text{m}$. Se assumirmos, além do que o documento informa, que a interface água–óleo fica fixa em $1{,}00\ \text{m}$ e a camada de óleo tem espessura $0{,}05\ \text{m}$, a subida do cubo é $\delta$: seu empuxo passa a $E_f=(48-400\delta)+14\ \text{N}$ e a força descendente da mola a $F_e=8+400\delta\ \text{N}$. O equilíbrio fornece $48-400\delta+14=40+8+400\delta$, de onde $\delta=0{,}0175\ \text{m}$ e $x_f=0{,}0375\ \text{m}$. Nesse modelo, $U_{e,f}=\frac12\cdot400\cdot(0{,}0375)^2=0{,}28125\ \text{J}$. Essa resposta é condicional: sem fixar a altura da interface, é preciso conhecer a área interna do recipiente para calcular seu deslocamento.

b) Sob a mesma hipótese de interface fixa, a variação de pressão total no fundo é a pressão hidrostática da nova camada: $\Delta p=\rho_{\rm óleo}g(h_2-h_1)=700\cdot10\cdot0{,}05=350\ \text{Pa}$. A altura da interface não está explicitamente fixada no enunciado; esta hipótese deve acompanhar os resultados.

Nota de auditoria: O item (a) depende do nível final de imersão e do deslocamento da mola; solução publicada sem essa checagem seria especulativa.

Q05

Termologia — Máquinas frigoríficas, entropia e mistura

A Termodinâmica estuda a possibilidade de aproveitar energia. Resolva os itens a seguir. Dados: constante de Boltzmann $k_B=1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{J/K}$, $\ln4\approx1{,}386$ e $\ln6\approx1{,}792$.

a) I) O compartimento de uma geladeira e seu conteúdo são mantidos a $7{,}0\ ^\circ\text{C}$, com capacidade térmica média $84\ \text{kJ/K}$. A geladeira rejeita calor para o ambiente a $27\ ^\circ\text{C}$. Calcule a potência mínima do motor para reduzir a temperatura do compartimento em $1\ ^\circ\text{C}$ em $1{,}0\ \text{min}$. (8 pontos)

b) II) Em recipiente isolado, separado em duas câmaras iguais, há doze átomos de um isótopo de gás ideal de cada lado e doze átomos de outro isótopo do mesmo gás do outro lado. A parede é removida e os átomos se misturam. Calcule a variação de entropia após o equilíbrio e o trabalho realizado. (7 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) I) Potência mínima ideal aproximadamente $100\ \text{W}$ (resfriador reversível entre $280$ e $300\ \text{K}$).

b) II) $\Delta S=24k_B\ln2\approx2{,}30\cdot10^{-22}\ \text{J/K}$; $W=0$ na expansão livre em recipiente rígido.

Resolução comentada

a) O calor retirado é $Q_f=C\Delta T=84000\ \text{J}$. Para um refrigerador ideal, o coeficiente de desempenho é $\mathrm{COP}_{\max}=T_f/(T_q-T_f)=280/(300-280)=14$. Logo $W_{\min}=84000/14=6000\ \text{J}$ e $P_{\min}=6000/60=100\ \text{W}$.

b) Cada espécie se expande do volume $V$ para $2V$. A entropia de mistura é $\Delta S=N_Ak_B\ln2+N_Bk_B\ln2=24k_B\ln2$. Como os recipientes são rígidos e isolados e a expansão é livre, o trabalho sobre as paredes externas é nulo.