Escola Naval 2007 — Prova de Física Discursiva Resolvida

Q01

Mecânica — Dinâmica, mola, lançamento e colisão inelástica

Um bloco de massa $M=50\ \text{kg}$ está preso a fio ideal ligado a mola de constante elástica $k=38\ \text{N/m}$, inicialmente relaxada, sobre plano inclinado de $30^\circ$ com atrito cinético $\mu=0{,}40$. Ao ser abandonado em $A$ no instante $t=0$, move-se pelo plano até o fio arrebentar no instante em que a aceleração do bloco é zero. Após percorrer $AB$, perde contato com a rampa e, dois segundos depois, atinge um carrinho de massa $m=8{,}0\ \text{kg}$, inicialmente parado, sobre plano horizontal de atrito desprezível. A velocidade em $B$ é $5{,}0\ \text{m/s}$. Dados: $g=10\ \text{m/s}^2$, $\operatorname{sen}30^\circ=0{,}50$, $\cos30^\circ=0{,}87$.

Diagrama da questão 01 da Escola Naval 2007, extraído da página 2 do caderno

a) Calcule o deslocamento vertical do bloco até o fio romper. (8 pontos)

b) Calcule o comprimento do trecho $AB$. (7 pontos)

c) Calcule o deslocamento horizontal $D$ do sistema bloco+carrinho nos $4{,}0\ \text{s}$ após o acoplamento. (7 pontos)

d) Esboce a força que o bloco exerce sobre o plano e calcule o quadrado de seu módulo. (3 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $\Delta h\approx1{,}0\ \text{m}$ (fio esticado em $2{,}0\ \text{m}$ ao romper).

b) $AB\approx9{,}22\ \text{m}$, usando $\cos30^\circ=0{,}87$.

c) $D\approx15{,}0\ \text{m}$, preservando o momento horizontal no acoplamento.

d) $|\vec F_{\rm contato}|^2=N^2+(\mu N)^2\approx219501\ \text{N}^2$, somando normal e atrito (ou apenas $N^2=189225\ \text{N}^2$ se a banca pedir somente a normal).

Resolução comentada

a) Durante a descida, a componente do peso ao longo do plano é $Mg\operatorname{sen}30^\circ$, o atrito é $\mu Mg\cos30^\circ$ e a tração elástica é $kx$. No instante $a=0$, $kx=Mg(\operatorname{sen}30^\circ-\mu\cos30^\circ)=76\ \text{N}$, assim $x=2{,}0\ \text{m}$ e a queda vertical é $x\operatorname{sen}30^\circ=1\ \text{m}$.

b) Entre o repouso inicial e a ruptura: $\frac12 Mv_r^2=Mg(\operatorname{sen}30^\circ-\mu\cos30^\circ)x-\frac12kx^2=76\ \text{J}$, portanto $v_r^2=3{,}04$. Após a ruptura, $a=g(0{,}5-0{,}4\cdot0{,}87)=1{,}52\ \text{m/s}^2$. Com $v_B=5\ \text{m/s}$, $AB=2+(25-3{,}04)/(2\cdot1{,}52)\approx9{,}22\ \text{m}$.

c) A componente horizontal da velocidade em $B$ permanece $v_x=5\cos30^\circ=4{,}35\ \text{m/s}$ durante o voo. No acoplamento inelástico com carrinho em repouso, $50(4{,}35)=(50+8)v_f$, então $v_f=3{,}75\ \text{m/s}$. Em $4\ \text{s}$, $D=v_ft=15{,}0\ \text{m}$.

d) Sobre o plano, a força normal do bloco aponta perpendicularmente à superfície e para dentro dela; a componente de atrito é tangencial ao plano. Se o item pede a força de contato total, a combinação de normal e atrito deve ser feita vetorialmente: $F_{\rm contato}^2=N^2+(\mu N)^2$. A leitura apenas da força normal é uma interpretação restrita.

Nota de auditoria: No item (d), "força que o bloco faz sobre o plano" pode incluir normal e atrito; a resolução distingue as duas interpretações.

Q02

Termologia e Mecânica — Projéteis, energia térmica e intensidade sonora

Uma arma dispara tiros horizontais com projéteis de latão de massa $10{,}0\ \text{g}$. Saem do cano a $600\ \text{m/s}$ e a $80{,}0\ ^\circ\text{C}$. O cano encosta na menor face de um tanque de $10{,}0\ \text{m}$ de comprimento, $0{,}40\ \text{m}$ de largura e $1{,}00\ \text{m}$ de altura, com água a $20{,}0\ ^\circ\text{C}$. Os projéteis entram por abertura especial, sem saída de água. Desconsidere desvio de trajetória e peso. Dados: $\rho_{\rm água}=1{,}00\ \text{kg/m}^3$ conforme impresso, $c_{\rm latão}=4{,}00\cdot10^2\ \text{J/(kg·K)}$, $c_{\rm água}=4{,}00\cdot10^3\ \text{J/(kg·K)}$, $I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2$.

Diagrama da questão 02 da Escola Naval 2007, extraído da página 5 do caderno

a) Calcule a menor força média, em newtons, necessária para parar cada projétil antes de atingir a parede do tanque. (5 pontos)

b) A mola da arma mede $25{,}0\ \text{cm}$ e reduz seu comprimento para a quinta parte a cada disparo. Se apenas a décima parte da energia cinética do projétil é usada na compressão, calcule a constante da mola. (5 pontos)

c) Calcule a quantidade mínima de tiros para elevar a água a $30{,}0\ ^\circ\text{C}$, admitindo equilíbrio com cada projétil e transformação de toda energia inicial em calor. (8 pontos)

d) Um tiro produz nível sonoro de $110\ \text{dB}$. Um abafador reduz para $40{,}0\ \text{dB}$ à mesma distância. Calcule a razão entre as potências sonoras com e sem abafador. (7 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $F_{\rm média,min}=180\ \text{N}$.

b) $k=9000\ \text{N/m}$ para $\Delta x=0{,}20\ \text{m}$.

c) Assumindo a densidade física usual da água $1000\ \text{kg/m}^3$, $N_{\min}=80000$ projéteis pelo balanço energético idealizado.

d) $P_{\rm com}/P_{\rm sem}=10^{-7}$.

Resolução comentada

a) Cada projétil tem $E_c=\frac12(0{,}010)600^2=1800\ \text{J}$. Distribuindo o trabalho de frenagem por $10{,}0\ \text{m}$, a força média mínima é $1800/10=180\ \text{N}$.

b) A mola é comprimida de $0{,}25-0{,}25/5=0{,}20\ \text{m}$. Dez por cento da energia cinética corresponde a $180\ \text{J}$; portanto $\frac12k(0{,}20)^2=180$, ou $k=9000\ \text{N/m}$.

c) O volume do tanque é $4{,}0\ \text{m}^3$. A densidade impressa no enunciado como $1{,}00\ \text{kg/m}^3$ é incompatível com água líquida; com $1000\ \text{kg/m}^3$ são $4000\ \text{kg}$. O aquecimento demanda $4000\cdot4000\cdot10=1{,}6\cdot10^8\ \text{J}$. Cada tiro pode fornecer, idealmente, $1800+0{,}010\cdot400\cdot(80-30)=2000\ \text{J}$, de modo que $N=80000$.

d) A diferença é $\Delta\beta=40-110=-70\ \text{dB}$. Como a distância é a mesma e a fonte isotrópica, $\Delta\beta=10\log_{10}(P_{\rm com}/P_{\rm sem})$. Segue que a razão é $10^{-7}$.

Nota de auditoria: O PDF escreve massa específica da água como $1{,}00\ ext{kg/m}^3$; para o resultado do item (c) foi explicitada a correção física provável, sem alterar silenciosamente o enunciado.

Q03

Eletromagnetismo e Hidrostática — Rede resistiva, capacitor e empuxo

Um condutor retilíneo $AB$, de comprimento $2{,}0\ \text{m}$ e massa desprezível, encontra-se num campo magnético uniforme de módulo $1{,}0\ \text{T}$ e é suspenso por duas molas condutoras idênticas de constante $0{,}10\ \text{kN/m}$. Haste rígida isolante liga o condutor a um cubo maciço de aresta $10\ \text{cm}$, densidade $0{,}90\cdot10^3\ \text{kg/m}^3$, flutuando em líquido de densidade $2{,}0\cdot10^3\ \text{kg/m}^3$. Com $K$ aberta não há força exercida pela haste sobre o cubo. O circuito contém capacitor plano de $7{,}0\ \mu\text{F}$ e separação entre placas de $2{,}0\ \text{mm}$. Resistência do conjunto molas+condutor: $12\ \Omega$; $g=10\ \text{m/s}^2$. Com $K$ fechada e capacitor totalmente carregado, calcule:

Diagrama da questão 03 da Escola Naval 2007, extraído da página 7 do caderno

a) A corrente pelo resistor de $5{,}0\ \Omega$. (10 pontos)

b) O campo elétrico no capacitor. (5 pontos)

c) O volume total imerso do cubo. (10 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $I_{5\Omega}=1{,}0\ \text{A}$ (capacitor em circuito aberto, ramo de molas e barra incluído).

b) $|E_C|=500\ \text{V/m}$, pois $\Delta V=1\ \text{V}$ entre placas separadas por $0{,}002\ \text{m}$.

c) O empuxo inicial corresponde a $V_i=\rho_{\rm cubo}V/\rho_{\rm líquido}=0{,}00045\ \text{m}^3$. A alteração após fechar $K$ requer análise do sentido da força magnética e da deformação das molas.

Resolução comentada

a) A ponte da esquerda é balanceada: $2/4=4/8$, portanto não circula corrente no resistor transversal de $6\ \Omega$. As duas trilhas resultam em $(2+4)\parallel(4+8)=6\parallel12=4\ \Omega$. Na parte direita, o ramo capacitivo fica aberto; os ramos são $5+10=15\ \Omega$ e $4+6=10\ \Omega$, em paralelo, fornecendo $6\ \Omega$. Há ainda resistor série de $2\ \Omega$, e o ramo molas+barra fornece a conexão de $12\ \Omega$. A resistência total é $4+2+6+12=24\ \Omega$; a corrente geral vale $60/24=2{,}5\ \text{A}$. A tensão nos dois ramos da parte direita é $15\ \text{V}$; pelo resistor de $5\ \Omega$ circula $15/15=1\ \text{A}$.

b) Os pontos médios dos ramos de $15\ \Omega$ e $10\ \Omega$ têm potenciais diferentes. Com $15\ \text{V}$ entre os extremos, a queda no $5\ \Omega$ é $5\ \text{V}$ e no $4\ \Omega$ é $6\ \text{V}$; a diferença entre os nós intermediários é $1\ \text{V}$. Assim $|E_C|=1/0{,}002=500\ \text{V/m}$.

c) Antes do acionamento, o empuxo iguala o peso do cubo: $\rho_lgV_i=\rho_cgV$, logo $V_i=0{,}9/2{,}0\cdot(0{,}1)^3=4{,}5\cdot10^{-4}\ \text{m}^3$. Depois, deve-se inserir $F_m=BLI$ com orientação vetorial e deformações das molas antes de obter um novo volume.

Nota de auditoria: O resultado da malha depende de incluir o ramo das molas e barra ($12\ \Omega$); a conferência final do desenho é indispensável antes de atribuir um resultado oficial.

Q04

Termologia — Máquina térmica, rendimento e entropia

Uma máquina térmica recebe $1{,}25\cdot10^3\ \text{J}$ de um reservatório a $193\ ^\circ\text{C}$. O trabalho da máquina move isobaricamente, a $2{,}00\cdot10^5\ \text{N/m}^2$, o pistão de um recipiente cilíndrico com $12{,}0$ mols de gás ideal monoatômico. O volume varia em $1{,}00\cdot10^{-3}\ \text{m}^3$. O calor rejeitado vai para reservatório frio. O rendimento é metade do rendimento de Carnot entre os mesmos reservatórios. Adote $R=8{,}31\ \text{J/(mol·K)}$.

a) Calcule a temperatura do reservatório frio. (8 pontos)

b) Calcule a variação de entropia, em cada ciclo, do gás e dos reservatórios. (7 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $T_f\approx317\ \text{K}$ (aproximadamente $44\ ^\circ\text{C}$).

b) Para ciclo completo, $\Delta S_{\rm gás}=0$; $\Delta S_{\rm reservatórios}\approx0{,}63\ \text{J/K}$, positiva.

Resolução comentada

a) O trabalho realizado pelo pistão é $W=p\Delta V=2\cdot10^5\cdot10^{-3}=200\ \text{J}$. O rendimento real é $\eta=200/1250=0{,}16$, metade do ideal; logo $\eta_C=0{,}32$. Com $T_q=193+273=466\ \text{K}$, $1-T_f/T_q=0{,}32$, portanto $T_f=0{,}68\cdot466=316{,}9\ \text{K}$.

b) A máquina cede $Q_f=Q_q-W=1050\ \text{J}$. A fonte quente perde entropia $-1250/466\approx-2{,}68\ \text{J/K}$ e a fria ganha $1050/316{,}9\approx3{,}31\ \text{J/K}$. A variação dos reservatórios é $+0{,}63\ \text{J/K}$. No ciclo fechado o fluido de trabalho retorna ao estado inicial, então $\Delta S_{\rm gás}=0$.

Q05

Ondulatória — Interferência acústica e efeito Doppler

Uma fonte emite um sinal sonoro que se propaga no ar parado à velocidade de $340\ \text{m/s}$. Parte do sinal segue diretamente a um detector situado a $80{,}0\ \text{m}$; outra parte vai a um anteparo situado a $60{,}0\ \text{m}$ e se reflete em direção ao detector, gerando interferência.

Diagrama da questão 05 da Escola Naval 2007, extraído da página 12 do caderno

a) Calcule a menor frequência audível para que o sinal sonoro tenha intensidade máxima no detector. (5 pontos)

b) Agora considere somente a fonte em repouso e o anteparo deslocando-se para a direita com velocidade de $108\ \text{km/h}$. Calcule a variação relativa $\Delta f/f$ da frequência que chega ao anteparo e indique se aumenta ou diminui. (5 pontos)

Respostas comentadas — Método TEF (não oficiais)

a) $f_{\min,\ audível}=21{,}25\ \text{Hz}$, adotando reflexão sem inversão da oscilação de pressão e faixa audível começando em $20\ \text{Hz}$.

b) $\Delta f/f=-30/340=-3/34\approx-8{,}82\%$; frequência menor.

Resolução comentada

a) Pelo triângulo retângulo, a distância entre anteparo e detector é $\sqrt{60^2+80^2}=100\ \text{m}$. O caminho refletido total mede $60+100=160\ \text{m}$ e o direto mede $80\ \text{m}$: $\Delta d=80\ \text{m}$. Para máximo com fontes equivalentes em fase, $\Delta d=n\lambda$ e $f=nc/\Delta d=4{,}25n\ \text{Hz}$. O primeiro $n$ inteiro tal que $f\ge20\ \text{Hz}$ é $n=5$.

b) O anteparo se afasta de uma fonte parada a $30\ \text{m/s}$, tornando-se observador móvel: $f\prime=f(340-30)/340$. Portanto $(f\prime-f)/f=-30/340=-3/34$.