Provas Anteriores | EsPCEx 2018 | Prof. Ricardo Bastos

Q21

Eletrodinâmica — Circuito com Duas Malhas e Voltímetro Ideal

O desenho abaixo representa um circuito elétrico composto por gerador, receptor, condutores, um voltímetro (V), todos ideais, e resistores ôhmicos. O valor da diferença de potencial (ddp), entre os pontos F e G do circuito, medida pelo voltímetro, é igual a

Figura: circuito em formato triangular. Do nó G, uma aresta em fio sem componentes sobe até o vértice superior T; de T, um resistor de 4Ω liga em diagonal até o vértice direito R, que se conecta por fio (sem componente) ao nó F, na base do triângulo. Entre T e F existe também um ramo vertical com uma fonte de 4V em série com um resistor de 4Ω (polo positivo voltado para F). Na base, entre G e F, há um ramo com uma fonte de 8V em série com um resistor de 2Ω (polo positivo voltado para F). Um voltímetro ideal é ligado entre G e F por fios auxiliares na parte inferior do desenho.

A)1,0 V

B)3,0 V

C)4,0 V

D)5,0 V

E)8,0 V

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

D

Resolução

Como os lados diagonais superiores do triângulo (G-T e T-R-F) são fios ideais sem componentes exceto o resistor de 4Ω entre T e R, os pontos G e T são eletricamente o mesmo nó, e os pontos R e F também são o mesmo nó. Assim, o resistor diagonal de 4Ω liga diretamente G a F, formando três ramos em paralelo entre G e F: (i) o resistor de 4Ω isolado; (ii) a fonte de 4V em série com 4Ω; (iii) a fonte de 8V em série com 2Ω.

Adotando $V=V_F-V_G$ e a corrente de G para F em cada ramo $i_k=(\varepsilon_k-V)/R_k$ (com $\varepsilon_k=0$ no ramo sem fonte), a lei dos nós em F exige $\sum i_k=0$:

$-\dfrac{V}{4}+\dfrac{4-V}{4}+\dfrac{8-V}{2}=0$

Multiplicando por 4: $-V+(4-V)+2(8-V)=0 \Rightarrow -V+4-V+16-2V=0 \Rightarrow -4V+20=0 \Rightarrow V=5\,V$.

Como o voltímetro é ideal (não altera o circuito), ele indica $|V_F-V_G|=5{,}0\,V$ — alternativa D.

Q22

Dinâmica — Plano Inclinado com Sistema de Roldanas Móveis

Um bloco A de massa 100 kg sobe, em movimento retilíneo uniforme, um plano inclinado que forma um ângulo de 37° com a superfície horizontal. O bloco é puxado por um sistema de roldanas móveis e cordas, todas ideais, e coplanares. O sistema mantém as cordas paralelas ao plano inclinado enquanto é aplicada a força de intensidade F na extremidade livre da corda. Todas as cordas possuem uma de suas extremidades fixadas em um poste que permanece imóvel quando as cordas são tracionadas. Sabendo que o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco A e o plano inclinado é de 0,50, a intensidade da força F é

Figura: bloco A sobre plano inclinado a 37°; três roldanas móveis presas ao bloco, com uma corda contínua passando por elas e por pontos fixos no poste no topo do plano, de modo compostas (sistema composto), até a extremidade livre onde se aplica a força F, paralela ao plano.

Dados: sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s².

A)125 N

B)200 N

C)225 N

D)300 N

E)400 N

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

A

Resolução

Como o bloco sobe em MRU, a resultante das forças ao longo do plano é nula. A força total que deve ser exercida sobre o bloco, ao longo do plano e para cima, é igual à soma do peso-componente com o atrito (que se opõe ao movimento, logo aponta para baixo do plano):

$P_x=mg\,sen37°=100\times10\times0{,}6=600\,N$

$f_{at}=\mu\,N=\mu\,mg\,cos37°=0{,}5\times100\times10\times0{,}8=400\,N$

Força total necessária: $F_{total}=600+400=1000\,N$.

O sistema de roldanas móveis representado é um sistema composto: cada roldana presa ao bloco redobra a força transmitida pela corda anterior, de modo que, com 3 roldanas móveis em série, a vantagem mecânica é $2^3=8$ (a tração F se repete em 8 trechos de corda que sustentam o bloco ao longo do plano).

$F=\dfrac{F_{total}}{8}=\dfrac{1000}{8}=125\,N$ — alternativa A.

Q23

Óptica — Espelho Esférico Convexo (Conceitual)

O espelho retrovisor de um carro e o espelho em portas de elevador são, geralmente, espelhos esféricos convexos. Para um objeto real, um espelho convexo gaussiano forma uma imagem

A)real e menor.

B)virtual e menor.

C)real e maior.

D)virtual e invertida.

E)real e direita.

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

B

Resolução

Para um espelho esférico convexo, qualquer que seja a posição do objeto real (entre o vértice e o infinito), a imagem formada é sempre virtual, direita (não invertida) e menor que o objeto — é por isso que esses espelhos ampliam o campo de visão (usados em retrovisores e portas de elevador). Logo, a alternativa correta é B) virtual e menor.

As demais alternativas descrevem características de espelhos côncavos (imagem real, maior, invertida, dependendo da posição do objeto), que não se aplicam ao espelho convexo.

Q24

Estática — Haste Apoiada em Parede com Cabo Horizontal

Uma haste AB rígida, homogênea com 4 m de comprimento e 20 N de peso, encontra-se apoiada no ponto C de uma parede vertical, de altura $1{,}5\sqrt3\,m$, formando um ângulo de 30° com ela. Para evitar o escorregamento da haste, um cabo horizontal ideal encontra-se fixo à extremidade da barra no ponto B e a outra extremidade do cabo, fixa à parede vertical. Desprezando todas as forças de atrito e considerando que a haste encontra-se em equilíbrio estático, a força de tração no cabo é igual a

Figura: haste AB apoiada sobre a quina C de uma parede vertical de altura 1,5√3m, formando 30° com a parede; extremidade B no chão (superfície horizontal), presa por um cabo horizontal à base da parede; extremidade A livre, acima do ponto de apoio C.

Dados: sen 30° = cos 60° = 0,5 e sen 60° = cos 30° = $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

A)$\dfrac{7}{3}\cdot\sqrt3\,N$

B)$\dfrac{8}{3}\cdot\sqrt3\,N$

C)$\dfrac{10}{3}\cdot\sqrt3\,N$

D)$6\cdot\sqrt3\,N$

E)$\dfrac{20}{3}\cdot\sqrt3\,N$

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

C

Resolução

Como a haste forma 30° com a parede (vertical), a altura de C acima do chão relaciona-se à distância BC ao longo da haste por $h_C=BC\cdot\cos30°$. Logo $1{,}5\sqrt3=BC\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow BC=3\,m$. Como o comprimento total é 4m, resta $CA=1\,m$.

Colocando B na origem, com a haste na direção $(\text{sen}30°,\cos30°)=(0{,}5;\;\sqrt3/2)$, o centro de massa (meio da haste, a 2m de B) fica em $(1;\;\sqrt3)$, e o ponto C (a 3m de B) fica em $(1{,}5;\;1{,}5\sqrt3)$ — que é também a posição da parede, pois é ali que a haste toca a quina.

Na quina C, a parede exerce uma força normal N perpendicular à haste (contato sem atrito), com direção $(-\sqrt3/2;\;0{,}5)$. Tomando momentos em relação a B (eliminando as reações em B, que são o próprio ponto de aplicação):

Momento do peso (20N para baixo, aplicado em x=1m): $M_P=-1\times20=-20\,N\!\cdot\!m$.

Momento de N (aplicada em C=(1,5; 1,5√3), com componentes $(-N\sqrt3/2;\,0{,}5N)$): $M_N=1{,}5\times(0{,}5N)-1{,}5\sqrt3\times(-N\sqrt3/2)=0{,}75N+2{,}25N=3N$.

Equilíbrio de momentos: $3N-20=0\Rightarrow N=\dfrac{20}{3}\,N$.

Pelo equilíbrio horizontal (ΣFx=0), com a tração T do cabo puxando B em direção à parede (+x) e a componente horizontal de N ($-N\sqrt3/2$): $T-N\dfrac{\sqrt3}{2}=0\Rightarrow T=\dfrac{20}{3}\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{10\sqrt3}{3}=\dfrac{10}{3}\sqrt3\,N$ — alternativa C.

Q25

Mecânica — Explosão de Granada em Três Fragmentos (Conservação do Momento)

Uma granada de mão, inicialmente em repouso, explode sobre uma mesa indestrutível, de superfície horizontal e sem atrito, e fragmenta-se em três pedaços de massas $m_1$, $m_2$ e $m_3$ que adquirem velocidades coplanares entre si e paralelas ao plano da mesa. Os valores das massas são $m_1=m_2=m$ e $m_3=\dfrac{m}{2}$. Imediatamente após a explosão, as massas $m_1$ e $m_2$ adquirem as velocidades $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$, respectivamente, cujos módulos são iguais a v, conforme o desenho abaixo. Desprezando todas as forças externas, o módulo da velocidade $\vec{v_3}$, imediatamente após a explosão, é

Figura (vista de cima da mesa): eixos x (horizontal) e y (vertical); m1 sobre o eixo y com velocidade v1 apontando no sentido +y; m2 sobre o eixo x com velocidade v2 apontando no sentido +x; m3 no terceiro quadrante (entre -x e -y) com velocidade v3 apontando na direção diagonal inferior-esquerda.

A)$\dfrac{\sqrt2}{4}\,v$

B)$\dfrac{\sqrt2}{2}\,v$

C)$\sqrt2\,v$

D)$\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt2\,v$

E)$2\cdot\sqrt2\,v$

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

E

Resolução

Como a granada estava em repouso, o momento linear total do sistema é nulo antes e depois da explosão (conservação do momento, sem forças externas):

$m\vec{v_1}+m\vec{v_2}+\dfrac{m}{2}\vec{v_3}=\vec0 \Rightarrow mv\,\hat j+mv\,\hat i+\dfrac{m}{2}\vec{v_3}=\vec0$

$\vec{v_3}=-2v(\hat i+\hat j)$

$|\vec{v_3}|=2v\sqrt{1^2+1^2}=2\sqrt2\,v$ — alternativa E.

Q26

Eletrostática — Energia Armazenada em Capacitor e Dissipação em Resistor

Um capacitor de capacitância igual a 2 μF está completamente carregado e possui uma diferença de potencial entre suas armaduras de 3 V. Em seguida, este capacitor é ligado a um resistor ôhmico por meio de fios condutores ideais, conforme representado no circuito abaixo, sendo completamente descarregado através do resistor. Nesta situação, a energia elétrica total transformada em calor pelo resistor é de

Figura: circuito simples com um capacitor carregado ligado, por fios ideais, em série a um resistor ôhmico, formando uma malha fechada.

A)$1{,}5\cdot10^{-6}\,J$

B)$6{,}0\cdot10^{-6}\,J$

C)$9{,}0\cdot10^{-6}\,J$

D)$12{,}0\cdot10^{-6}\,J$

E)$18{,}0\cdot10^{-6}\,J$

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

C

Resolução

Toda a energia armazenada no capacitor é dissipada em forma de calor no resistor, já que os fios e o próprio processo (sem outras perdas) conduzem toda a energia elétrica até a descarga completa:

$E=\dfrac{C\,U^2}{2}=\dfrac{2\times10^{-6}\times3^2}{2}=\dfrac{2\times10^{-6}\times9}{2}=9\times10^{-6}\,J$ — alternativa C.

Q27

Dinâmica — Teorema Trabalho-Energia Cinética (Gráfico v×t)

Um bloco de massa igual a 1,5 kg é lançado sobre uma superfície horizontal plana com atrito com uma velocidade inicial de 6 m/s em $t_1=0\,s$. Ele percorre uma certa distância, numa trajetória retilínea, até parar completamente em $t_2=5\,s$, conforme o gráfico abaixo. O valor absoluto do trabalho realizado pela força de atrito sobre o bloco é

Figura: gráfico v(m/s) × t(s), reta decrescente partindo de v=6 em t=0 até v=0 em t=5.

A)4,5 J

B)9,0 J

C)15 J

D)27 J

E)30 J

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

D

Resolução

Pelo teorema trabalho-energia cinética, o trabalho da força de atrito (única força que realiza trabalho, já que o movimento é horizontal) é igual à variação da energia cinética:

$W_{at}=\Delta E_c=E_{c,f}-E_{c,i}=0-\dfrac{1}{2}(1{,}5)(6)^2=-\dfrac{1}{2}(1{,}5)(36)=-27\,J$

O valor absoluto é $|W_{at}|=27\,J$ — alternativa D.

Q28

Eletromagnetismo — Força Magnética sobre Carga Puntiforme (Conceitual)

Uma carga elétrica puntiforme, no interior de um campo magnético uniforme e constante, dependendo de suas condições cinemáticas, pode ficar sujeita à ação de uma força magnética. Sobre essa força pode-se afirmar que

A)tem a mesma direção do campo magnético, se a carga elétrica tiver velocidade perpendicular a ele.

B)é nula se a carga elétrica estiver em repouso.

C)tem máxima intensidade se o campo magnético e a velocidade da carga elétrica forem paralelos.

D)é nula se o campo magnético e a velocidade da carga elétrica forem perpendiculares.

E)tem a mesma direção da velocidade da carga elétrica.

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

B

Resolução

A força magnética sobre uma carga é dada por $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$.

A) Falsa — a força é sempre perpendicular tanto a v quanto a B, nunca paralela a B.

B) Verdadeira — se a carga está em repouso, $v=0$, logo $\vec F=q(\vec 0\times\vec B)=\vec0$.

C) Falsa — quando v e B são paralelos, $sen\theta=0$ e a força é nula, não máxima.

D) Falsa — quando v e B são perpendiculares, $sen\theta=1$, e é justamente aí que a força é máxima.

E) Falsa — a força é sempre perpendicular à velocidade, nunca na mesma direção.

Q29

Termologia — Calorimetria e Rendimento de Painel Solar

Um painel coletor de energia solar é utilizado para aquecer a água de uma residência e todo o sistema tem um rendimento de 60%. Para aumentar a temperatura em 12,0 °C de uma massa de água de 1000 kg, a energia solar total coletada no painel deve ser de

Dado: considere o calor específico da água igual a $4{,}0\,\dfrac{J}{g\cdot °C}$.

A)$2{,}8\cdot10^4\,J$

B)$4{,}8\cdot10^4\,J$

C)$8{,}0\cdot10^4\,J$

D)$4{,}8\cdot10^7\,J$

E)$8{,}0\cdot10^7\,J$

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

E

Resolução

A energia útil necessária para aquecer a água (massa $m=1000\,kg=1{,}0\times10^6\,g$) é dada pela equação fundamental da calorimetria:

$Q_{útil}=mc\Delta T=(1{,}0\times10^6)(4{,}0)(12{,}0)=4{,}8\times10^7\,J$

Como o rendimento do sistema é de 60%, apenas essa fração da energia total coletada é efetivamente aproveitada: $Q_{útil}=0{,}60\cdot Q_{total}$.

$Q_{total}=\dfrac{4{,}8\times10^7}{0{,}60}=8{,}0\times10^7\,J$ — alternativa E.

Q30

Eletrostática — Movimento Circular sob Força Coulombiana

Uma partícula com carga elétrica negativa igual a $-10^{-8}\,C$ encontra-se fixa num ponto do espaço. Uma segunda partícula de massa igual a 0,1 g e carga elétrica positiva igual a $+10^{-8}\,C$ descreve um movimento circular uniforme de raio 10 cm em torno da primeira partícula. Considerando que elas estejam isoladas no vácuo e desprezando todas as interações gravitacionais, o módulo da velocidade linear da partícula positiva em torno da partícula negativa é igual a

Dado: considere a constante eletrostática do vácuo igual a $9\cdot10^9\,\dfrac{N\cdot m^2}{C^2}$.

A)0,3 m/s

B)0,6 m/s

C)0,8 m/s

D)1,0 m/s

E)1,5 m/s

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

A

Resolução

A força de atração coulombiana entre as cargas atua como resultante centrípeta do movimento circular uniforme:

$\dfrac{k\,|q_1|\,|q_2|}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r} \Rightarrow v^2=\dfrac{k\,|q_1|\,|q_2|}{mr}$

Com $k=9\times10^9$, $|q_1|=|q_2|=10^{-8}\,C$, $m=0{,}1\,g=1\times10^{-4}\,kg$ e $r=0{,}1\,m$:

$v^2=\dfrac{9\times10^9\times10^{-8}\times10^{-8}}{1\times10^{-4}\times0{,}1}=\dfrac{9\times10^{-7}}{1\times10^{-5}}=9\times10^{-2}=0{,}09$

$v=\sqrt{0{,}09}=0{,}3\,m/s$ — alternativa A.

Q31

Dinâmica — Pêndulo com Queda de Altura e Tração no Ponto Mais Baixo

Um operário, na margem A de um riacho, quer enviar um equipamento de peso 500 N para outro operário na margem B. Para isso ele utiliza uma corda ideal de comprimento L=3m, em que uma das extremidades está amarrada ao equipamento e a outra a um pórtico rígido. Na margem A, a corda forma um ângulo θ com a perpendicular ao ponto de fixação no pórtico. O equipamento é abandonado do repouso a uma altura de 1,20 m em relação ao ponto mais baixo da sua trajetória. Em seguida, ele entra em movimento e descreve um arco de circunferência, conforme o desenho abaixo e chega à margem B. Desprezando todas as forças de atrito e considerando o equipamento uma partícula, o módulo da força de tração na corda no ponto mais baixo da trajetória é

Figura: pórtico rígido acima do riacho; corda de comprimento L presa ao pórtico e ao equipamento, que é abandonado na margem A a uma altura de 1,20m acima do ponto mais baixo da trajetória (posição vertical, logo abaixo do pórtico), descrevendo um arco pendular até a margem B.

Dado: considere a aceleração da gravidade g=10 m/s².

A)500 N

B)600 N

C)700 N

D)800 N

E)900 N

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

E

Resolução

Pela conservação de energia mecânica (sem atrito), a velocidade no ponto mais baixo é obtida a partir da queda de altura $h=1{,}20\,m$:

$v^2=2gh=2\times10\times1{,}20=24\,m^2/s^2$

No ponto mais baixo da trajetória circular, a resultante centrípeta (para cima, em direção ao pórtico) é a diferença entre a tração T e o peso P:

$T-P=\dfrac{mv^2}{L}$, com $m=\dfrac{P}{g}=\dfrac{500}{10}=50\,kg$.

$T=P+\dfrac{mv^2}{L}=500+\dfrac{50\times24}{3}=500+400=900\,N$ — alternativa E.

Q32

Hidrostática — Equilíbrio de Corpos Flutuantes e Submersos

Quatro objetos esféricos A, B, C e D, sendo respectivamente suas massas $m_A$, $m_B$, $m_C$ e $m_D$, tendo as seguintes relações $m_A>m_B$ e $m_B=m_C=m_D$, são lançados dentro de uma piscina contendo um líquido de densidade homogênea. Após algum tempo, os objetos ficam em equilíbrio estático. Os objetos A e D mantêm metade de seus volumes submersos e os objetos C e B ficam totalmente submersos conforme o desenho abaixo. Sendo $V_A$, $V_B$, $V_C$ e $V_D$ os volumes dos objetos A, B, C e D, respectivamente, podemos afirmar que

Figura: piscina com líquido; ao nível da superfície (linha do nível da água), as esferas A e D flutuam com metade do volume submerso; a esfera C está logo abaixo da superfície, totalmente submersa; a esfera B está mais ao fundo da piscina, também totalmente submersa.

A)$V_A=V_D>V_C=V_B$

B)$V_A=V_D>V_C>V_B$

C)$V_A>V_D>V_B=V_C$

D)$V_A

E)$V_A=V_D

Gabarito oficial EsPCEx 2017/2018 — Modelo A

C

Resolução

Para A e D (flutuando, metade do volume submerso), o equilíbrio exige peso = empuxo: $m\,g=\rho_{líq}\left(\dfrac{V}{2}\right)g \Rightarrow \rho_{objeto}=\dfrac{\rho_{líq}}{2}$ para ambos, ou seja, A e D têm a mesma densidade.

Como $\rho=m/V$ e a densidade é a mesma para A e D: $V_A=\dfrac{m_A}{\rho_{líq}/2}$ e $V_D=\dfrac{m_D}{\rho_{líq}/2}=\dfrac{m_B}{\rho_{líq}/2}$ (pois $m_D=m_B$). Como $m_A>m_B$, segue que $V_A>V_D$.

Para B e C (totalmente submersos, em equilíbrio estático no interior do líquido — flutuação em equilíbrio indiferente), a densidade do objeto iguala a do líquido: $\rho_B=\rho_C=\rho_{líq}$. Como $m_B=m_C$, segue $V_B=\dfrac{m_B}{\rho_{líq}}=\dfrac{m_C}{\rho_{líq}}=V_C$.

Comparando $V_D$ e $V_B$: $V_D=\dfrac{m_B}{\rho_{líq}/2}=\dfrac{2m_B}{\rho_{líq}}=2V_B$, logo $V_D>V_B$.

Reunindo tudo: $V_A>V_D>V_B=V_C$ — alternativa C.