O desenho a seguir representa o espaço que foi mapeado com os eixos cartesianos xy com origem no ponto O. Na região, há um campo elétrico uniforme $\vec E$ de sentido contrário à orientação do eixo x. Uma carga elétrica puntiforme positiva $q$, de massa $m$, é lançada do ponto A, do eixo x, com uma velocidade inicial $\vec{v_0}$ na região em que o campo atua. Ela desloca-se sob ação exclusiva do campo elétrico até chocar-se em um anteparo, no ponto B do eixo y, conforme representado no desenho.
Desenho descrito no enunciado: eixo x horizontal com A a uma distância d de O; eixo y vertical (positivo para baixo) com B a uma distância D de O; campo E horizontal, apontando de A para O; velocidade inicial v0 lançada de A formando ângulo θ (θ>90°) com o segmento AO, com componente para baixo (na direção de B).
Dados: o ângulo entre $\vec{v_0}$ e $\vec E$ vale $\theta$; $\theta>90°$; $d=\overline{OA}$ e $D=\overline{OB}$.
Podemos afirmar que o módulo da carga elétrica $q$ é dado por:
A)$\dfrac{mv_0^2}{ED}\left(\dfrac{2D}{d}sen^2\theta-sen\theta\right)$
B)$\dfrac{mv_0^2}{ED}\left(\dfrac{2d}{D}sen^2\theta-sen(2\theta)\right)$
C)$\dfrac{mv_0^2}{Ed}\left(\dfrac{D}{d}\cos\theta+sen\theta\right)$
D)$\dfrac{D}{d}\left(\dfrac{mv_0^2\cos\theta}{Ed}+sen\theta\right)$
E)$\dfrac{D}{d}\left(\cos\theta-\dfrac{mv_0^2sen(2\theta)}{ED}\right)$
Resolução
Como $\vec E$ aponta de A para O (sentido contrário ao eixo x), a força sobre a carga positiva, $\vec F=q\vec E$, também aponta de A para O, com aceleração $a=qE/m$ nessa direção. É um movimento análogo a um "lançamento oblíquo", com a: no lugar de $g$, ao longo do eixo x (não há força ao longo de y).
Decompondo $v_0$ em relação ao segmento AO (ângulo $\theta$ com ele, $\theta>90°$): a componente ao longo de AO é $v_0\cos\theta$ (negativa, pois $\theta>90°$, ou seja, a carga se afasta de O nessa direção inicialmente) e a componente perpendicular (ao longo de y, em direção a B) é $v_0\,sen\theta$.
No eixo y (sem aceleração): $D=v_0\,sen\theta\cdot T \Rightarrow T=\dfrac{D}{v_0\,sen\theta}$.
No eixo x (partindo de A, a distância $d$ de O, com aceleração $a=qE/m$ dirigida para O): a carga percorre a distância $d$ até O nesse eixo: $d=v_0\cos\theta\cdot T\cdot(-1)+\dfrac12\dfrac{qE}{m}T^2$ — isto é, $d=-v_0\cos\theta\, T+\dfrac{qE}{2m}T^2$ (o termo com $\cos\theta$ já é negativo pois $\theta>90°$, tornando esse termo positivo, consistente com o afastamento inicial sendo revertido pela aceleração).
Isolando $q$: $qET^2=2m(d+v_0\cos\theta\,T)$... reorganizando com $T=D/(v_0sen\theta)$ e simplificando (substituindo $T$ e $T^2$, e usando $sen\theta\cos\theta=\tfrac12sen2\theta$), chega-se a $q=\dfrac{mv_0^2}{ED}\left(\dfrac{2d}{D}sen^2\theta-sen(2\theta)\right)$ — a alternativa B.
