OBF 1999

a)

$$\Delta t=2{,}4/(1{,}5\times10^{-3})=1600\ \text{anos}$$

b) A explicação apresentada no gabarito de 1999 é a fusão de geleiras; atualmente, também se destaca a expansão térmica dos oceanos. O derretimento de gelo que já flutua não eleva diretamente o nível do mar.

O movimento vertical determina quando o jogador retorna à altura de partida; o horizontal não altera o tempo de voo.

$$t_{sub}=0{,}80/2=0{,}40\ \text{s}$$

$$v_{0y}=gt_{sub}=4\ \text{m/s}$$

$$h=v_{0y}t_{sub}-gt_{sub}^2/2=0{,}80\ \text{m}$$

A energia dissipada é

$$E=mv_0^2/2+mgh=100+23=123\ \text{J}=30{,}75\ \text{cal}$$

A queda dura

$$t_1=\sqrt{2h/g}\approx0{,}48\ \text{s}$$

Depois

$$a=\mu g=2\ \text{m/s}^2$$

$$t_2=v_0/a=5\ \text{s}$$

Soma: $5{,}48\ \text{s}$.

A torneira fornece

$$V=0{,}1\cdot150=15\ \text{L}=15000\ \text{cm}^3$$

Assim

$$h=V/(40\cdot25)=15\ \text{cm}$$

A pressão manométrica é

$$p=\rho gh=1500\ \text{Pa}$$

O peixe desloca

$$1000\ \text{cm}^2\cdot0{,}1\ \text{cm}=100\ \text{cm}^3$$

e recebe

$$E=\rho gV=1\ \text{N}$$

Na condição de flutuação adotada no gabarito, a densidade da mistura iguala a densidade da esfera:

$$\rho=m/V=90/100=0{,}90\ \text{g/cm}^3$$

O empuxo em equilíbrio corresponde ao peso:

$$E=mg=0{,}090\cdot10=0{,}90\ \text{N}$$

Observação: o desenho original sugere esfera parcialmente submersa; nesse caso a densidade do líquido seria maior que a da esfera. O valor oficial pressupõe imersão total em equilíbrio limite.

a) Para funcionar como lupa, o objeto deve ficar entre a lente e seu foco, admitindo lente delgada e objeto real.

$$0<p<f$$

Pela equação das lentes:

$$\frac1{p'}=\frac1f-\frac1p<0$$

Logo, a imagem é virtual. O aumento é positivo e maior que um:

$$A=-\frac{p'}p=\frac f{f-p}>1$$

A imagem é direita e ampliada.

b) Para uma lente de vidro usual, cujo índice é maior que o da água, a imersão reduz o contraste de índices entre lente e meio. A potência da lente diminui e sua distância focal aumenta.

Mantendo a distância do objeto e a configuração de observação comparáveis, o aumento diminui. Não é a forma da lente que muda, mas a refração nas interfaces. A conclusão pressupõe o vidro comum da lupa e não qualquer material transparente.

Sobre a roda há forças de contato com o eixo e com o solo, incluindo reação normal e atrito, além do peso próprio. Em 1 minuto

$$d=vt=1\cdot60=60\ \text{m}$$

com força paralela ao deslocamento

$$W=Fd=120\cdot60=7200\ \text{J}$$

Com velocidade constante, a força resistiva é constante: o gráfico $F_{at}\times t$ é horizontal em $800\ \text{N}$. A energia útil de um litro é

$$0{,}20\cdot40\times10^6=8\times10^6\ \text{J}$$

Logo

$$d=E_{útil}/F=10000\ \text{m}=10\ \text{km}$$

por litro.

a) O raio entra horizontalmente por A, muda de direção em 90° no interior e sai verticalmente por B. Uma construção compatível é um prisma de seção triangular retângula isósceles, com A numa face vertical, B numa face horizontal e reflexão na hipotenusa inclinada 45°.

O raio incide normalmente nas faces de entrada e saída; nelas muda a velocidade, mas não a direção. Na hipotenusa, a incidência de 45° permite reflexão total para o índice encontrado.

b) Pelo gráfico, a velocidade no ar é aproximadamente 3 × 10⁸ m/s e, no material, 2 × 10⁸ m/s.

$$n=\frac cv=\frac{3\times10^8}{2\times10^8}=1{,}5$$

O ângulo limite na interface material–ar satisfaz:

$$\sin\theta_L=\frac1{1{,}5}=\frac23$$

$$\theta_L\approx41{,}8^\circ$$

Como 45° supera esse limite, a reflexão interna total é compatível com a trajetória desenhada.

No instante de desprendimento, o parafuso conserva aproximadamente a velocidade orbital do satélite. A gravidade atua como força centrípeta e tanto satélite quanto parafuso seguem em queda livre orbital. Sem impulso significativo, ele não passa a cair verticalmente até o solo.

Desprezando a resistência do ar, a velocidade imediatamente antes do impacto é:

$$v=\sqrt{2gh}=20\ \mathrm{m/s}$$

$$p_i=mv=40\ \mathrm{kg\,m/s}$$

Para obter a força média, é necessário conhecer a duração do contato e a velocidade final da esfera, ou informações equivalentes sobre restituição e deformação.

Tomando para cima como positivo, a força média de contato N satisfaz:

$$(N-mg)\Delta t=m(v_f-v_i)$$

$$N=mg+\frac{m(v_f-v_i)}{\Delta t}$$

A expressão impulso dividido pelo tempo fornece a força resultante média, não a força de contato isoladamente. Para a força instantânea, ainda seria necessária a evolução temporal da interação.

Considere a direção transversal ao movimento paralelo inicial dos patinadores. Nessa direção, o momento inicial é nulo e não há força externa horizontal relevante.

O centro de massa não se desloca nessa direção:

$$m_Md_M=m_Jd_J$$

$$m_J=2m_M$$

$$d_M=2d_J$$

Como a separação inicial é 6 m:

$$d_M+d_J=6$$

$$d_J=2\ \mathrm m$$

$$d_M=4\ \mathrm m$$

Maria percorre 4 m em direção a João, e João percorre 2 m em direção a Maria. Isso não exige que estivessem parados no referencial do solo.

Para o mesmo carro, a variação de energia cinética é proporcional à diferença entre os quadrados das velocidades.

$$\Delta K=\frac m2(v_f^2-v_i^2)$$

No primeiro intervalo, usando a mesma unidade nas comparações:

$$40^2-20^2=1200$$

No segundo:

$$50^2-30^2=1600$$

$$\frac{\Delta K_2}{\Delta K_1}=\frac43$$

A segunda variação é maior. Júlio tem razão: acréscimos iguais de velocidade não produzem acréscimos iguais de energia cinética.

De

$$mg=GMm/R^2$$

cancelando a massa $m$ do objeto, resulta

$$g=GM/R^2$$

Desprezando a resistência do ar, ambos os corpos caem com a mesma aceleração no mesmo local.

A velocidade escalar média da trajetória é

$$360/3{,}6=100\ \text{m/s}$$

em 50 s, o percurso é $5000\ \text{m}$. A componente vertical do deslocamento é 3000 m; a horizontal é

$$\sqrt{5000^2-3000^2}=4000\ \text{m}$$

Dividindo por 50 s

$$v_x=80\ \text{m/s}$$

$$v_y=60\ \text{m/s}$$

A sombra acompanha a coordenada horizontal.

Enquanto a água aquece, maior potência térmica reduz o tempo até a ebulição. Durante a fervura à pressão fixa, a temperatura do líquido permanece aproximadamente constante; elevar a chama aumenta a vaporização e o gasto de energia, sem aumentar a temperatura de cozimento.