OBF 2006 — 2ª fase · 1ª e 2ª séries | Física resolvida

Q01

Bombeamento de água — Trabalho e potência

Exclusiva da 1ª série no caderno original

Num intervalo de 4 minutos, uma bomba hidráulica deve elevar 1 m³ de água para um reservatório situado a 12 metros de altura. Desprezando-se as resistências mecânicas devidas ao circuito hidráulico, calcule:

a) em joules, o trabalho τ desenvolvido pela bomba para realizar a tarefa.

b) em watts, a potência mecânica P desenvolvida pela bomba.

Resposta TEF: a) 120 kJ. b) 500 W.

Resolução comentada · Método TEF

O volume fornece a massa elevada, e o desnível fornece o ganho de energia potencial.

$$m=1000(1)=1000\ \mathrm{kg}$$

$$W=mgh=1000(10)(12)=120000\ \mathrm J$$

$$P=\frac{120000}{4(60)}=500\ \mathrm W$$

Sem perdas e sem variação líquida de energia cinética, esse é o trabalho fornecido pela bomba.

Q02

Rampa e lançamento horizontal — Saída de arco circular

Abandonado a partir do ponto A, um bloco desliza livremente e sem atrito por uma guia circular de raio R até dela escapar no ponto B. Sabendo-se que o raio da guia é igual a 1,8m:

a) encontre, em m/s, o valor da velocidade vB com que o bloco escapa no ponto B;

b) encontre, em segundos, o tempo tBC decorrido para o bloco ir do ponto B até o ponto C;

c) determine, em m, o valor da distância x, medida pela projeção horizontal da trajetória do bloco, desde B até C.

Arco de raio 1,8 m; B fica 1,8 m acima do piso, com saída horizontal.

Resposta TEF: a) 6 m/s. b) 0,6 s. c) 3,6 m.

Resolução comentada · Método TEF

A descida de A a B tem desnível de 1,8 m. A normal não realiza trabalho.

$$\frac12mv_B^2=mg(1{,}8)$$

$$v_B=6\ \mathrm{m/s}$$

O voo começa horizontalmente, também a 1,8 m do piso.

$$1{,}8=\frac12(10)t^2$$

$$t=0{,}6\ \mathrm s$$

$$x=6(0{,}6)=3{,}6\ \mathrm m$$

A altura de descida na rampa e a altura de queda no voo desempenham papéis distintos, embora tenham o mesmo valor.

Q03

Lançamento vertical — Altura máxima de vinte metros

Exclusiva da 1ª série no caderno original

Um objeto é lançado verticalmente para cima e atinge, no ponto mais alto de sua trajetória, uma altura igual a 20m. Desconsiderando a resistência do ar, determine:

a) a velocidade com que foi lançado;

b) em quanto tempo, após o lançamento, ele retorna ao ponto de partida.

Resposta TEF: a) 20 m/s. b) 4 s.

Resolução comentada · Método TEF

No ponto mais alto, a velocidade vertical é nula.

$$0=v_0^2-2(10)(20)$$

$$v_0=20\ \mathrm{m/s}$$

$$t_{subida}=\frac{20}{10}=2\ \mathrm s$$

$$t_{total}=2(2)=4\ \mathrm s$$

O tempo de ida e volta supõe retorno ao nível de lançamento e resistência do ar desprezível.

Q04

Campo na superfície — Comparação entre Sol e Terra

Considerando-se que o Sol tem massa cerca de 320000 vezes a massa da Terra e diâmetro cerca de 100 vezes o do nosso planeta, determine quantas vezes o campo gravitacional na superfície do Sol é maior que o campo gravitacional na superfície da Terra.

Resposta TEF: gSol/gTerra = 32.

Resolução comentada · Método TEF

O campo superficial é proporcional à massa e inversamente proporcional ao quadrado do raio.

$$\frac{g_S}{g_T}=\frac{M_S}{M_T}\left(\frac{R_T}{R_S}\right)^2$$

$$\frac{g_S}{g_T}=\frac{320000}{100^2}=32$$

A razão entre diâmetros é também a razão entre raios.

Q05

Balão de hidrogênio — Volume mínimo para sustentar carga

Um balão cheio de hidrogênio foi usado para manter suspensa uma massa de 180 kg (o próprio balão, piloto, cesto, equipamentos, etc..) acima do solo. Considerando-se que, sob pressão de 1,0 atm, a massa específica do ar vale µAR =1,300kg/ m³ e a do gás hidrogênio µH2=0,090kg/ m³, determine:

a) em m³, o volume mínimo V do balão, suficiente para executar a tarefa;

b) em m, o raio R deste balão, admitindo-o esférico e lembrando que o volume de uma esfera é dado por V=(4πR³)/3 (deixe indicada a raiz cúbica!)

Resposta TEF: a) 148,76 m³. b) ∛37,19 m ≈ 3,34 m.

Resolução comentada · Método TEF

O empuxo deve sustentar tanto a carga quanto o hidrogênio.

$$\rho_{ar}Vg=(180+\rho_{H_2}V)g$$

$$V=\frac{180}{1{,}30-0{,}090}=148{,}76\ \mathrm{m^3}$$

Para o balão esférico, usando π = 3:

$$V=4R^3$$

$$R=\sqrt[3]{37{,}19}\ \mathrm m\approx3{,}34\ \mathrm m$$

O volume é limiar: para uma aceleração inicial para cima seria necessário volume um pouco maior.

Q06

Equação de estado e densidade — Ar da sala comprimido

Uma sala de aula tem comprimento C de 6,0m, largura L de 4,0m e altura A de 3,0m. Num dia em que a temperatura ambiente é de 17°C e a pressão p0 no ambiente é de 1,0atm, determine:

a) a massa m, em kg, do ar contido nesta sala, considerando que um mol desse ar tem massa igual a 29.10⁻³ kg.

b) a massa específica que essa massa de ar terá se for totalmente comprimida e colocada em um bujão de gás ("gás de cozinha") de capacidade igual a 30dm³.

Resposta TEF: a) Aproximadamente 86,8 kg. b) 2,89 × 10³ kg/m³, como razão formal massa/volume.

Resolução comentada · Método TEF

O volume inicial é 72 m³ e a temperatura absoluta é 290 K.

$$m=\frac{pVM}{RT}$$

$$m=\frac{10^5(72)(0{,}029)}{8{,}3(290)}\approx86{,}75\ \mathrm{kg}$$

A massa é mantida ao ser colocada em 30 dm³ = 0,030 m³.

$$\rho=\frac{86{,}75}{0{,}030}\approx2{,}89\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$$

A segunda conta é a razão formal massa/volume exigida pelos dados. Uma compressão extrema assim não pode ser descrita fisicamente como gás ideal sem discutir não idealidade e mudanças de fase.

Q07

Área e inclinação no gráfico v × t — Deslocamento entre um e três segundos

Exclusiva da 1ª série no caderno original

O diagrama representa as mudanças da velocidade de um móvel em trajetória retilínea em função do tempo.

a) quanto vale, em m, o deslocamento do móvel entre os instantes t=1s e t=3s?

b) quanto vale, em m/s², a aceleração do móvel no instante t=1s.

Velocidade começa em −2,5 m/s, cresce até 7,5 m/s em 2 s, fica constante até 3 s e cai a zero em 4 s.

Resposta TEF: a) 12,5 m. b) 5 m/s².

Resolução comentada · Método TEF

A reta crescente passa por v = −2,5 m/s em t = 0 e por v = 7,5 m/s em t = 2 s.

$$a(1)=\frac{7{,}5-(-2{,}5)}{2}=5\ \mathrm{m/s^2}$$

$$v(1)=2{,}5\ \mathrm{m/s}$$

Entre 1 e 2 s, a área é um trapézio; entre 2 e 3 s, a velocidade permanece em 7,5 m/s.

$$\Delta x=\frac{2{,}5+7{,}5}{2}(1)+7{,}5(1)=12{,}5\ \mathrm m$$

A aceleração vem da inclinação, e o deslocamento da área, não da altura isolada do gráfico.

Q08

Mola oblíqua e fio horizontal — Esfera em equilíbrio

No sistema representado e em equilíbrio, a mola tem uma constante elástica igual a 1,0kN/m, a bola tem um peso PB igual a 200N, o ângulo α vale 45° e o corpo suspenso tem peso PA igual a 49N. Nessas condições, calcule:

a) a força de reação N que o plano de apoio exerce sobre a bola;

b) a deformação x provocada na mola para garantir o equilíbrio.

Mola a 45° puxa esfera para cima e para a direita; fio horizontal passa pela polia e sustenta peso de 49 N.

Resposta TEF: a) 151 N. b) 7,0 cm, com sen 45° ≈ cos 45° ≈ 0,7.

Resolução comentada · Método TEF

A massa pendente estabelece a tração horizontal de 49 N. A mola faz 45° com a horizontal; adote seno e cosseno iguais a 0,7, como na aproximação oficial.

$$F_m\cos45^\circ=49$$

$$F_m=70\ \mathrm N$$

$$N=200-F_m\sin45^\circ=151\ \mathrm N$$

$$x=\frac{70}{1000}=0{,}070\ \mathrm m$$

Não é o fio horizontal que fornece a componente vertical de sustentação, e sim a mola inclinada.

Q09

Máquina de Atwood — Tração antes e depois da liberação

Exclusiva da 1ª série no caderno original

No esquema, os corpos A, B e C têm massas que valem respectivamente 7,0kg, 2,0kg e 1,0kg e as roldanas e o cabo que une os corpos têm suas inércias e atritos irrelevantes. Sustentado pela mão de um operador o sistema é mantido em equilíbrio.

a) Determine o valor da tração TS no cabo que interliga as roldanas quando o corpo A estiver sendo sustentado pela mão do operador.

b) Determine o valor da tração TL no cabo que interliga as roldanas após o operador largar o corpo A.

A de 7 kg numa ponta do fio, B de 2 kg e C de 1 kg na outra, com duas polias fixas.

Resposta TEF: a) 30 N. b) 42 N.

Resolução comentada · Método TEF

Com A sustentado, B e C estão em repouso.

$$T_S=(2+1)10=30\ \mathrm N$$

Depois da liberação, o desequilíbrio dos pesos acelera as três massas.

$$a=\frac{(7-2-1)10}{7+2+1}=4\ \mathrm{m/s^2}$$

$$T_L=(2+1)(10+4)=42\ \mathrm N$$

A tração aumenta porque precisa acelerar B e C para cima, além de equilibrar seus pesos.

Q10

Mistura de água e gelo — Fusão e equilíbrio térmico

Num recipiente adiabático de capacidade térmica desprezível em que existe uma massa ma de 200g de água a 100°C, é misturada uma massa mg de 100g de gelo moído a 0° C. Considerando o calor latente de fusão do gelo igual a 80cal/g,

a) determine, em °C, a temperatura θ da mistura quando se atinge o equilíbrio térmico.

b) calcule, em calorias, a quantidade de calor Q cedida pela água quente para se resfriar desde 100°C até a temperatura de equilíbrio térmico.

Resposta TEF: a) 40 °C. b) A água quente cede 12 kcal.

Resolução comentada · Método TEF

Resfriar 200 g de água de 100 a 0 °C liberaria 20000 cal, suficiente para fundir os 100 g de gelo, que exigem 8000 cal.

$$200(100-T)=100(80)+100T$$

$$300T=12000$$

$$T=40\ ^\circ\mathrm C$$

A água quente cede:

$$Q=200(100-40)=12000\ \mathrm{cal}$$

O resultado positivo confirma que todo o gelo funde.

Q11

Engrenagens e rolamento — Bicicleta sem escorregamento

Um ciclista pedala sua bicicleta fazendo com que a engrenagem maior, concêntrica ao eixo do pedal e tendo um raio RA igual a 10,0 cm, gire com uma freqüência fA igual a 2,0 Hz e transmita esse movimento à engrenagem menor por meio de uma corrente. A engrenagem menor, por sua vez, tem raio RB de 4,0 cm e é solidária e concêntrica ao eixo da roda traseira, que tem raio R de 30,0 cm. Dadas essas condições, determine:

a) a freqüência de rotação fB da engrenagem menor;

b) a velocidade de translação v da bicicleta.

Resposta TEF: 9 m/s.

Resolução comentada · Método TEF

A velocidade tangencial é comum às duas engrenagens ligadas pela corrente.

$$f_B=f_A\frac{R_A}{R_B}=2\frac{0{,}10}{0{,}04}=5\ \mathrm{Hz}$$

A roda gira com a engrenagem B. Usando π = 3:

$$v=2\pi Rf_B=2(3)(0{,}30)(5)=9\ \mathrm{m/s}$$

O raio de 0,30 m pertence à roda, e não a uma das engrenagens.

Q12

Peso aparente no fundo de vale — Normal tripla do peso

Um trecho de uma montanha russa apresenta uma depressão de raio de curvatura R igual a 80 m. Determine a velocidade que deve ter um vagonete para que, descendo, seus passageiros sofram, no ponto mais baixo da depressão, uma sensação que seu peso triplicou.

Vagão no fundo de uma depressão circular de raio 80 m.

Resposta TEF: 40 m/s.

Resolução comentada · Método TEF

No fundo da trajetória circular, a resultante centrípeta aponta para cima.

$$N-mg=\frac{mv^2}{R}$$

$$3mg-mg=\frac{mv^2}{80}$$

$$v=\sqrt{2(10)(80)}=40\ \mathrm{m/s}$$

A força centrípeta é o saldo entre apoio e peso, não uma terceira força adicional.

Q13

Prensa hidráulica com alavanca — Duas vantagens mecânicas

O dispositivo representado usa os princípios das alavancas e das prensas hidráulicas. Consta de dois recipientes cilíndricos dotados de êmbolos também cilíndricos em que o maior (diâmetro de 200mm) sustenta um "peso" que, juntamente com o êmbolo, forma um conjunto de peso 600N e o menor (diâmetro de 20mm), de peso irrelevante, recebe o esforço transmitido pela alavanca que está sendo acionada por um operador. Apenas para sustentar o conjunto "peso" mais êmbolo maior, determine:

a) a força F1 aplicada sobre o êmbolo menor;

b) a força F aplicada pelo operador.

Prensa: diâmetros 200 e 20 mm; braços da alavanca de 40 e 10 cm.

Resposta TEF: a) 6 N. b) 1,5 N.

Resolução comentada · Método TEF

A razão de áreas é o quadrado da razão dos diâmetros.

$$F_1=600\left(\frac{20}{200}\right)^2=6\ \mathrm N$$

O braço do operador é 0,40 m e o do êmbolo é 0,10 m.

$$F(0{,}40)=6(0{,}10)$$

$$F=1{,}5\ \mathrm N$$

Os 30 cm do desenho somam-se aos 10 cm para formar o braço total do operador.

Q14

Potência irradiada proporcional a T⁴ — Constante determinada pelos dados

A energia total emitida E por um corpo, por unidade de tempo t, é diretamente proporcional à superfície irradiante S e à quarta potência da temperatura absoluta T do corpo. Considere uma lâmpada incandescente que emite toda a sua energia por irradiação, que tem um filamento cuja superfície emissora é igual a 2,5.10⁻⁵m² e cuja potência dissipada é de 81 W (joules por segundo) quando seu filamento se encontra sob temperatura de 2727°C. De posse dessas informações,

a) obtenha uma expressão que relacione E/t em função de S e T e determine o coeficiente de proporcionalidade correspondente entre esses termos;

b) determine a potência que esta lâmpada dissipará quando a temperatura do filamento for igual a 1727°C,

Resposta TEF: a) E/t = KST⁴, K = 4,0 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴). b) 16 W.

Resolução comentada · Método TEF

Use a proporcionalidade declarada no enunciado, com T em kelvin.

$$P=KST^4$$

$$K=\frac{81}{(2{,}5\times10^{-5})(3000)^4}=4{,}0\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}$$

Mantendo a superfície:

$$P_2=81\left(\frac{2000}{3000}\right)^4=16\ \mathrm W$$

A constante obtida é a efetiva do emissor descrito; não precisa coincidir com a constante universal do corpo negro.

Q15

Lente plano-convexa — Imagem real menor que o objeto

De um livro de 30 cm de altura, uma lente convergente plano-convexa de vidro (nV=1,5), imersa no ar, forma uma imagem real com 10cm de altura a uma distância de 12 cm da lente.

a) Qual o valor, em cm, da distância focal da lente convergente?

b) Qual o valor do raio de curvatura da superfície convexa da lente?

Resposta TEF: a) 9,0 cm. b) 4,5 cm.

Resolução comentada · Método TEF

O módulo do aumento transversal é 10/30 = 1/3. Como a imagem real está a 12 cm da lente:

$$\frac{p'}p=\frac13$$

$$p=36\ \mathrm{cm}$$

$$\frac1f=\frac1{36}+\frac1{12}$$

$$f=9\ \mathrm{cm}$$

Para uma lente delgada plano-convexa no ar:

$$\frac1f=\frac{n-1}{R}$$

$$R=9(1{,}5-1)=4{,}5\ \mathrm{cm}$$

A imagem real é invertida; a razão de tamanhos acima foi usada em módulo.

Q16

Trabalho para lançar tijolos — Elevação de mil tijolos

Exclusiva da 1ª série no caderno original

Numa de suas atividades diárias, um ajudante de pedreiro lança tijolos de massa igual a 2 kg desde o piso térreo até o primeiro piso de uma construção, quando então o tijolo, após atingir uma altura de 3 metros, é pego por outro ajudante e empilhado. Qual o trabalho mecânico realizado pelo pedreiro no lançamento de 1000 tijolos?

Resposta TEF: 60 kJ, como trabalho mínimo ideal.

Resolução comentada · Método TEF

O ganho gravitacional de cada tijolo fornece o trabalho mínimo de lançamento, para chegada sem energia cinética residual.

$$W_{min}=N mgh$$

$$W_{min}=1000(2)(10)(3)=60000\ \mathrm J$$

Se os tijolos chegam com rapidez não nula ou há perdas, o trabalho fornecido é maior. Os dados permitem o mínimo ideal, adotado na resposta oficial.

Q17

Atrito em tubo vertical — Subida uniforme e queda

Uma peça de massa m=10kg amarrada a uma corda, encontra-se no interior de um tubo cilíndrico de 3,0 m de comprimento, de onde deve ser retirada. Como a "folga" entre a peça e o tubo é mínima, quando a peça desliza no interior do tubo, ela fica submetida a uma força de atrito de escorregamento resultante FC considerada constante e de valor igual a 60 N. De posse desses dados,

a) calcule o valor mínimo do trabalho realizado por um operador para erguer a peça por 2,0 m dentro do tubo;

b) suponha que o operador tenha parado de erguer a peça a 2,0 m da base do tubo e que nesse instante a corda tenha se rompido. Qual o tempo que a peça demora para chegar ao fundo do tubo?

Peça dentro de tubo vertical suspensa por fio que passa por polia superior.

Resposta TEF: a) 320 J. b) 1,0 s.

Resolução comentada · Método TEF

Na subida uniforme, peso e atrito se opõem ao movimento.

$$F=100+60=160\ \mathrm N$$

$$W=160(2)=320\ \mathrm J$$

Na descida, o atrito se inverte e reduz a resultante para baixo.

$$a=\frac{100-60}{10}=4\ \mathrm{m/s^2}$$

$$2=\frac12(4)t^2$$

$$t=1\ \mathrm s$$

O tempo supõe que a queda começa do repouso após a etapa de subida.

Q18

Descida uniforme em plano inclinado — Atrito e reação normal

Um corpo em forma de paralelepípedo, de massa 2,0 kg, está apoiado na extremidade de uma tábua. Uma pessoa suspende a tábua até que, quando o ângulo formado entre a tábua e o plano horizontal é de 30o, o corpo entra em movimento uniforme. Para essa situação, determine:

a) a força de atrito, em N, a que fica submetido o corpo quando em movimento uniforme;

b) a força de reação à compressão que o corpo faz sobre a tábua quando está deslizando.

Pessoa eleva tábua até o bloco deslizar uniformemente a 30°.

Resposta TEF: Atrito: 10 N, para cima da rampa. Normal: 17,4 N.

Resolução comentada · Método TEF

Como a velocidade é constante, a resultante paralela à rampa é zero.

$$f=mg\sin30^\circ=20(0{,}50)=10\ \mathrm N$$

$$N=mg\cos30^\circ=20(0{,}87)=17{,}4\ \mathrm N$$

A normal é menor que o peso, pois equilibra apenas sua componente perpendicular à rampa.

Q19

Jato de água — Forças no bico e na parede

A figura mostra a mão de um jardineiro segurando o bico de uma "mangueira" de regar jardins e o jato de água da mesma batendo em uma parede e sendo espalhado perpendicularmente ao bico da mangueira. Supondo o escoamento igual a 1,0 kg de água por segundo, a velocidade da água no interior da mangueira vE igual a 0,25m/s e a velocidade da água ao sair pelo bico vS igual a 2,0m/s, pede-se determinar:

a) o valor da força horizontal que o jardineiro exerce para equilibrar a força associada à mudança de velocidade da água no bico da "mangueira";

b) o valor da força de reação exercida pela parede contra o jato de água.

Água entra no bico com velocidade vE e sai com vS até atingir parede perpendicular.

Resposta TEF: a) 1,75 N. b) 2,0 N.

Resolução comentada · Método TEF

A vazão mássica é 1 kg/s. A força associada ao aumento de velocidade no bico depende da diferença entre saída e entrada.

$$F_{bico}=\dot m(v_S-v_E)=1(2-0{,}25)=1{,}75\ \mathrm N$$

A parede retira a componente horizontal do jato de saída.

$$F_{parede}=\dot m v_S=1(2)=2\ \mathrm N$$

São as forças de variação de momento solicitadas, no modelo em que o jato perde a velocidade normal à parede.

Q20

Queda e captura de uma bola — Choque com carrinho

Uma bola de chumbo de massa mB igual a 5kg é lançada com uma velocidade vB que faz com que ela caia e fique imobilizada dentro de um carrinho, conforme mostrado no desenho. O carrinho tem massa mC igual a 10kg e se move com velocidade constante vC=5m/s. De posse desses dados:

a) calcule o valor da velocidade vB com que a bola colide com o carrinho;

b) calcule a velocidade v com que o carrinho se movimentará após ter recebido a bola de chumbo.

Bola cai 5 m e avança 10 m até o carrinho; ambos movem-se para a direita.

Resposta TEF: a) 10√2 m/s ≈ 14,1 m/s. b) 20/3 m/s ≈ 6,67 m/s.

Resolução comentada · Método TEF

A queda vertical é de 5 m e o avanço horizontal da bola é de 10 m.

$$5=\frac12(10)t^2$$

$$t=1\ \mathrm s$$

$$v_x=10\ \mathrm{m/s}$$

$$|v_y|=10\ \mathrm{m/s}$$

$$v_B=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt2\ \mathrm{m/s}$$

Depois da captura, conserva-se o momento horizontal. Bola e carrinho avançam no mesmo sentido no desenho.

$$v=\frac{5(10)+10(5)}{5+10}=\frac{20}{3}\ \mathrm{m/s}$$

A componente vertical da velocidade da bola é anulada com impulso transmitido pelo apoio; ela não entra na conservação horizontal.

Dados da prova