Prova escrita de 2006. Enunciados e figuras conferidos com o caderno original. Resoluções próprias e análises editoriais do Método TEF. Use g = 10 m/s² e, quando solicitado, π = 3. As aproximações trigonométricas e constantes específicas estão indicadas nas questões ou no PDF original. O gabarito original foi preservado em PDF. Erros numéricos, ambiguidades e diferenças editoriais são explicados nas respectivas resoluções.
Escada apoiada em parede lisa — Trabalho e atrito mínimo
Uma escada tem 3,0m de comprimento, massa de 15kg e centro de massa a 1,5 m das extremidades. Estando disposta horizontalmente no chão, um pintor, para usá-la, ergue-a e encosta-a na parede formando um ângulo α de 53° com o chão, como mostrado. A parede é perfeitamente lisa mas o piso não deve permitir o escorregamento da escada. Nessas condições, calcule:
a) o valor do trabalho realizado pelo pintor para posicioná-la na parede;
b) o menor valor para o coeficiente de atrito estático entre a escada e o piso que impede o início do escorregamento da escada.
Resposta TEF: a) 180 J. b) 0,375.
Resolução comentada · Método TEF
O centro de massa sobe 1,5 sen 53° = 1,2 m.
$$W=15(10)(1{,}2)=180\ \mathrm J$$
Equilibre os momentos em relação ao pé da escada.
$$N_p(3\sin53^\circ)=150(1{,}5\cos53^\circ)$$
$$N_p=56{,}25\ \mathrm N$$
O piso fornece normal de 150 N e atrito horizontal igual a 56,25 N.
$$\mu_{e,min}=\frac{56{,}25}{150}=0{,}375$$
O trabalho indicado é o mínimo, sem variação de energia cinética nem perdas.
Q02
Pêndulo cônico — Bolas ligadas a eixo girante
O dispositivo representado consta de um eixo que gira com uma velocidade angular constante ω que tem preso, por meio de fios iguais, flexíveis e inextensíveis, duas bolas com massa de 1kg cada. Para uma determinada velocidade, o ângulo α é igual a 37° e o raio da trajetória circular é de 0,2 m. Nestas condições, determine:
a) o valor da força de tração T a que fica submetido um dos fios;
b) o valor da velocidade angular ω.
Resposta TEF: a) 12,5 N. b) √37,5 rad/s ≈ 6,12 rad/s.
Resolução comentada · Método TEF
O ângulo de 37° é medido em relação à vertical. A componente vertical da tração equilibra o peso.
$$T\cos37^\circ=10$$
$$T=12{,}5\ \mathrm N$$
A componente horizontal fornece a aceleração centrípeta.
Cada bola tem seu próprio fio; não se duplica a massa para analisar um deles.
Q03
Anel resistivo — Ramos de um e três quadrantes
Na figura representam-se um gerador ideal de força eletromotriz E igual a 12V, um voltímetro V, também ideal, e um anel de grafite que apresenta secção constante e uma resistividade não nula, de tal forma que um seu segmento correspondente a um arco de π/2 radianos tem uma resistência igual a 10Ω. Esse anel está conectado aos demais elementos do circuito através de quatro terminais de ligação separados angularmente de π/2 radianos. Calcule:
a) o valor da resistência equivalente entre A e B do anel de grafite;
b) o valor da tensão indicada pelo voltímetro.
Resposta TEF: a) 7,5 Ω. b) 4,0 V.
Resolução comentada · Método TEF
Entre A e B há um ramo de 10 Ω e outro com três quadrantes em série, de 30 Ω. O voltímetro ideal não desvia corrente.
$$R_{eq}=\frac{10(30)}{10+30}=7{,}5\ \Omega$$
$$i_{ramo}=\frac{12}{30}=0{,}4\ \mathrm A$$
O voltímetro mede um quadrante do ramo de 30 Ω.
$$U_{CD}=10(0{,}4)=4\ \mathrm V$$
A corrente total da fonte não pode ser usada para calcular a queda de um único quadrante desse ramo.
Q04
Associação de lentes convergentes — Imagem intermediária antes da segunda lente
Duas lentes convergentes L1 e L2 de distâncias focais respectivamente iguais a 8cm e 5cm são montadas como indicado. Recebendo raios luminosos oriundos de uma vela situada a 10cm da lente L1 e impondo-se a condição que eles devem atravessar seqüencialmente ambas as lentes, calcule:
a) a distância, contada a partir de L1, em que a imagem da vela se forma ao atravessar a primeira lente;
b) a distância, contada a partir de L2, em que se situa a imagem da vela formada pela lente L2.
Resposta TEF: a) 40 cm após L₁. b) Imagem real a 10 cm após L₂.
Resolução comentada · Método TEF
Para a primeira lente, o objeto está a 10 cm e o foco é 8 cm.
$$\frac1{p'_1}=\frac18-\frac1{10}$$
$$p'_1=40\ \mathrm{cm}$$
A segunda lente está 50 cm depois da primeira: seu objeto real fica 10 cm antes dela.
$$p_2=50-40=10\ \mathrm{cm}$$
$$\frac1{p'_2}=\frac15-\frac1{10}$$
$$p'_2=10\ \mathrm{cm}$$
A imagem final é real, a 10 cm depois da segunda lente, ou a 60 cm da primeira.
Q05
Fonte móvel de ondas na água — Bastão aproximando-se da parede
Por meio de uma vareta, um menino bate na água de um reservatório a intervalos regulares de 2 segundos, provocando ondulações cujas cristas são separadas umas das outras em aproximadamente 40 cm e que percorrem a superfície de água até a extremidade do reservatório, quando então são amortecidas. Pergunta-se:
a) qual a velocidade de propagação da onda na superfície da água?
b) se o menino bater com a vareta no mesmo ritmo, mas movendo-a a 5cm/s ao encontro de uma parede do reservatório, com que freqüência estas ondas chegarão nesta parede?
Resposta TEF: a) 0,20 m/s. b) 2/3 Hz.
Resolução comentada · Método TEF
Inicialmente, o período de dois segundos e o comprimento de onda de 0,40 m fornecem:
$$v=\frac{0{,}40}{2}=0{,}20\ \mathrm{m/s}$$
Entre emissões, o bastão avança 0,05 × 2 = 0,10 m para a parede.
$$\lambda'=0{,}40-0{,}10=0{,}30\ \mathrm m$$
$$f'=\frac{0{,}20}{0{,}30}=\frac23\ \mathrm{Hz}$$
O deslocamento da fonte reduz o espaçamento das frentes, sem alterar a rapidez de propagação na água.
Q06
Experimento mecânico do calor — Chumbo em tubo invertido
Considerando que J (joule) e cal (caloria) são unidades utilizadas para expressar valores de energia, é possível se estabelecer uma relação entre elas (essa relação é denominada equivalente mecânico do calor). Isso pode ser feito pela realização de experimentos em que haja conversão de uma forma de energia usualmente expressa em joule para outra forma cujos valores de energia envolvidos são habitualmente expressos em caloria. Usando um tubo isolante térmico, bolinhas de chumbo, duas rolhas (uma furada) e um termômetro, pode-se realizar um desses experimentos. Ele consiste em colocar as bolinhas de chumbo no tubo, fechar as suas extremidades, determinar a temperatura das bolinhas antes do início da experiência (colocando o termômetro em contato com elas através da rolha furada) e inverter o tubo rápida e sucessivamente de forma que as bolinhas de chumbo caiam de uma extremidade à outra. Dessa forma, fazemos com que a energia potencial gravitacional das bolinhas seja convertida em calor, pois, ao caírem, elas batem umas nas outras e realizam contínuas colisões não elásticas entre si. Finalmente, depois de um determinado número de inversões do tubo, da mesma forma como anteriormente, ou seja, introduzindo o termômetro pela rolha furada, pode-se verificar que houve um pequeno aumento da temperatura do chumbo. Numa experiência realizada de acordo com o descrito, usou-se um tubo que tinha um comprimento útil interno (comprimento do tubo menos o tamanho das rolhas) igual a 50 cm. Mantendo vertical o tubo e nele sendo colocadas 200g de bolinhas de chumbo, elas atingiram uma altura de 10 cm no seu interior. A temperatura inicial medida foi de 20º C e, após realizadas 50 inversões com o tubo, o termômetro acusou 21,5º C para a nova temperatura das bolinhas. Considerando o calor específico do chumbo como 0,03cal.g⁻¹·°C⁻¹ calcule, com os dados do problema,
a) em joules, a energia dissipada pelas colisões entre as bolinhas de chumbo após as 50 inversões;
b) em joules, o valor de 1 caloria (equivalente mecânico do calor).
Resposta TEF: a) 40 J. b) 1 cal corresponde a aproximadamente 4,44 J neste experimento.
Resolução comentada · Método TEF
O centro de massa do chumbo cai 0,50 − 0,10 = 0,40 m em cada inversão.
Esse é o equivalente experimental calculado com os dados fornecidos, não uma redefinição do valor metrológico de aproximadamente 4,18 J/cal.
Q07
Lâmpada queimada em circuito — Duas lâmpadas em série
Construídas cada uma para operar sob uma tensão de 120V e para dissipar uma potência de 60W, três lâmpadas, cujos filamentos apresentam um comportamento considerado linear (ôhmico), formam o circuito mostrado na figura. Ao se ligarem os terminais A e B a uma fonte de tensão igual a 120V, verificou-se que a lâmpada L3 estava “queimada” (resistência infinita entre seus terminais). Nessas condições, calcule:
a) a intensidade de corrente elétrica i1 na lâmpada L1.
b) a potência dissipada pela lâmpada L2.
Resposta TEF: a) 0,25 A. b) 15 W.
Resolução comentada · Método TEF
O filamento rompido de L₃ abre seu ramo. As duas lâmpadas restantes ficam em série.
$$R_L=\frac{120^2}{60}=240\ \Omega$$
$$i_1=\frac{120}{240+240}=0{,}25\ \mathrm A$$
$$P_2=i_1^2R_L=(0{,}25)^2(240)=15\ \mathrm W$$
Os 60 W são a potência nominal a 120 V, e não a potência mantida depois da alteração do circuito.
Q08
Salto com corda elástica — Comprimento máximo e desaceleração
Um jovem de massa 100kg fixado pelos tornozelos a um cabo elástico, solta-se do parapeito de uma ponte (A) para praticar "bungee jump". A superfície do rio encontra-se 70m abaixo do parapeito da ponte. O cabo elástico tem um comprimento não deformado igual a 40m e uma constante elástica igual a 300N/m.
a) Calcule o maior comprimento atingido pelo cabo elástico.
b) Se a máxima aceleração desejada pelos responsáveis pelo brinquedo é igual a 30m/s² (3g) verifique se este valor é ultrapassado calculando o valor da máxima aceleração a que o jovem fica submetido.
Resposta TEF: Comprimento máximo de 60 m; folga de 10 m; aceleração máxima de 50 m/s², acima do limite.
Resolução comentada · Método TEF
Até a extensão máxima, a queda é de 40 + x e a energia elástica final é kx²/2.
$$100(10)(40+x)=\frac12(300)x^2$$
$$3x^2-20x-800=0$$
$$x=20\ \mathrm m$$
A corda alcança 60 m; o solo está 70 m abaixo, de modo que restam 10 m de folga. Mas o limite de aceleração também precisa ser conferido.
