OBF 2006 — 3ª fase · 1ª e 2ª séries | Física resolvida

Q01

Condução estacionária — Barras de condutividades diferentes

Dois recipientes contém água e são mantidos, um deles na temperatura θA=100°C e o outro, θB= 0°C. O calor passa de um para o outro por meio da conexão estabelecida por uma peça cilíndrica, isolada termicamente do ambiente entre os recipientes, formada por duas partes maciças e geometricamente iguais, uma de prata "A" e a outra de alumínio "B", unidas como indicado. Admitindo que o coeficiente de condutibilidade térmica da prata seja KA=400W.m⁻¹·°C⁻¹ e o do alumínio, KB=200W.m⁻¹·°C⁻¹ e que cada uma das partes tenha área S de secção perpendicular ao eixo do cilindro igual a 2,00.10⁻⁴m² e comprimento L=8,00.10⁻²m, calcule:

a) o valor da temperatura θJ da junção entre A e B.

b) a quantidade de energia E, em joules, que atravessa as peças em 1 segundo.

Barras de prata A e alumínio B entre água a 100 °C e água a 0 °C.

Resposta TEF: a) 66,7 °C. b) 33,3 J em um segundo.

Resolução comentada · Método TEF

No regime estacionário, a potência conduzida pelas duas barras é a mesma. As resistências térmicas são L/(kS).

$$400(100-T_j)=200(T_j-0)$$

$$T_j=\frac{200}{3}\ ^\circ\mathrm C$$

$$P=\frac{100}{\frac{0{,}08}{400(2\times10^{-4})}+\frac{0{,}08}{200(2\times10^{-4})}}=\frac{100}{3}\ \mathrm W$$

$$Q(1\ \mathrm s)=\frac{100}{3}\ \mathrm J$$

O ponto de junção não fica na média aritmética das temperaturas, porque as condutividades são diferentes.

Q02

Lente convergente seguida de divergente — Objeto virtual para a segunda lente

Duas lentes L1 e L2 estão dispostas axialmente de tal forma que a luz que atravessa L2 é a mesma que atravessou L1. Uma lâmpada está posicionada 12cm à frente de L1, lente convergente com distância focal f1=8cm. A lente L2 está a 18cm de L1 e é uma lente divergente com distância focal f2=4cm. Nestas condições:

a) determine a que distância da lâmpada se encontra o que servirá de objeto para a lente L2. Descreva a sua natureza, o tamanho e a orientação referente à lâmpada.

b) determine a que distância da lâmpada se encontra a imagem formada por L2. Descreva a sua natureza, o tamanho e a orientação referente à lâmpada.

Lâmpada 12 cm antes de L₁ convergente; L₂ divergente 18 cm depois de L₁.

Resposta TEF: Objeto de L₂: virtual, a 36 cm da lâmpada, invertido e 2 vezes maior. Imagem final: virtual, a 18 cm da lâmpada, direita e 4 vezes maior.

Resolução comentada · Método TEF

Adote x = 0 na primeira lente e luz para a direita. A lâmpada está em x = −12 cm; L₂ fica em x = 18 cm.

$$p'_1=\frac{8(12)}{12-8}=24\ \mathrm{cm}$$

$$A_1=-\frac{24}{12}=-2$$

Para L₂, os raios incidentes convergiriam 6 cm depois dela: objeto virtual, p₂ = −6 cm.

$$\frac1{p'_2}=-\frac14+\frac16=-\frac1{12}$$

$$p'_2=-12\ \mathrm{cm}$$

$$x_f=18-12=6\ \mathrm{cm}$$

$$A_2=-\frac{-12}{-6}=-2$$

$$A_{total}=(-2)(-2)=4$$

O objeto de L₂ fica a 36 cm da lâmpada e é invertido e duas vezes maior que ela. A imagem final é virtual para L₂, direita, quatro vezes maior e a 18 cm da lâmpada.

Q03

Duas molas opostas — Aceleração máxima e energia cinética

Um bloco de massa igual a 1,00kg é preso, nas extremidades de duas molas, conforme mostra a figura. As molas são idênticas e têm constante elástica k=50,0N/m. Afasta-se o bloco 10,0cm à direita da posição de equilíbrio. Desta posição (xo=10,0cm) o bloco é abandonado no instante to=0s, passando a oscilar livremente graças à inexistência de forças dissipativas. Considerando as massas das molas desprezíveis:

a) determine a máxima aceleração a que o bloco fica submetido.

b) calcule o valor da energia cinética do bloco quando este passa pela posição x=4,00cm.

Bloco preso entre duas molas idênticas nas extremidades opostas.

Resposta TEF: a) 10 m/s². b) 0,42 J.

Resolução comentada · Método TEF

Um deslocamento alonga uma mola e comprime a outra; as duas forças restauradoras se somam.

$$k_{eq}=50+50=100\ \mathrm{N/m}$$

$$a_{max}=\frac{k_{eq}A}{m}=\frac{100(0{,}10)}1=10\ \mathrm{m/s^2}$$

$$E_c=\frac12 k_{eq}(A^2-x^2)$$

$$E_c=50(0{,}10^2-0{,}04^2)=0{,}42\ \mathrm J$$

Não se trata de associação em série, pois ambas atuam diretamente sobre o mesmo bloco.

Q04

Mistura gasosa com reação — Combustão de hidrogênio

Em um recipiente que apresenta uma capacidade constante e igual a 830 litros são colocados, a 27,0°C, 2,00 mols de gás hidrogênio e 2,00 mols de gás oxigênio. Uma faísca inflama a mistura e, como resultado do evento, é obtida a combustão de todo o hidrogênio resultando em vapor de água misturado ao oxigênio à temperatura de 127,0°C. Calcule:

a) a pressão da mistura antes da explosão;

b) a pressão da mistura após a explosão.

Resposta TEF: a) 12 kPa. b) 12 kPa.

Resolução comentada · Método TEF

Inicialmente há quatro mols de gás.

$$p_i=\frac{4(8{,}3)(300)}{0{,}830}=12000\ \mathrm{Pa}$$

A reação 2 H₂ + O₂ → 2 H₂O consome dois mols de hidrogênio e um de oxigênio. Restam dois mols de vapor de água e um de oxigênio: três mols ao todo.

$$p_f=\frac{3(8{,}3)(400)}{0{,}830}=12000\ \mathrm{Pa}$$

A elevação da temperatura compensa exatamente a redução do número de mols, no modelo de gases ideais sem condensação.

Q05

Impacto de projétil composto — Fusão parcial do chumbo

Estando a uma temperatura igual a 50,0°C e movendo-se a uma velocidade de 400 m/s, um projétil de chumbo e revestido de cobre colide frontalmente contra um obstáculo indeformável. Com a colisão, considerada inelástica, o projétil, amassado, cessa o seu movimento, podendo ser admitido que a energia dissipada pelo impacto tenha sido totalmente transformada em calor que, inicialmente, fica retido no projétil. Como o projétil é constituído por 50g de chumbo e por 50 g de cobre e considerando que o calor latente de fusão do chumbo seja Lf=23000J/kg, que o calor específico do chumbo sólido seja cPb= 130J.kg⁻¹·°C⁻¹ , que o do cobre sólido seja cCu=400J.kg⁻¹·°C⁻¹ e que a temperatura de fusão θf do chumbo seja igual a 327°C,

a) calcule o valor da quantidade de calor absorvida pelo projétil, em joules.

b) calcule a massa de chumbo do projétil que se funde com o impacto.

Resposta TEF: a) 8000 J. b) Aproximadamente 28,7 g de chumbo fundidos.

Resolução comentada · Método TEF

A energia cinética se converte em energia interna do projétil no modelo dado.

$$E_c=\frac12(0{,}100)(400)^2=8000\ \mathrm J$$

A capacidade térmica conjunta é:

$$C=0{,}050(130)+0{,}050(400)=26{,}5\ \mathrm{J/K}$$

$$Q_{aquec}=26{,}5(327-50)=7340{,}5\ \mathrm J$$

O excedente funde parte do chumbo.

$$m_{fundido}=\frac{8000-7340{,}5}{23000}=0{,}02867\ \mathrm{kg}$$

Fundem aproximadamente 28,7 g, menos que os 50 g disponíveis; a temperatura final permanece em 327 °C.

Q06

Frenagem com tempo de reação — Carro aproximando-se de caminhão

Um motorista guia um automóvel com uma velocidade escalar viA= 108,0km/h num trecho reto de estrada com neblina. Repentinamente, ele avista a traseira de um caminhão, 49,5m adiante, que viaja na mesma direção e sentido com uma velocidade escalar constante vC=36,0km/h. O motorista do automóvel leva 0,600s para reagir à situação e acionar os freios, obtendo uma desaceleração constante aA com módulo igual a 4,00m/s². Determine:

a) depois de quanto tempo, contado a partir do instante inicial da observação, o carro colide contra o caminhão:

b) quanto vale a velocidade vA/C do automóvel relativamente ao caminhão no instante da colisão.

Resposta TEF: a) 3,1 s após perceber o caminhão. b) 10 m/s de velocidade relativa.

Resolução comentada · Método TEF

Durante a reação de 0,6 s, o carro se aproxima com velocidade relativa de 20 m/s.

$$d_1=49{,}5-20(0{,}6)=37{,}5\ \mathrm m$$

Meça τ a partir do início da frenagem.

$$37{,}5=20\tau-\frac12(4)\tau^2$$

$$\tau=2{,}5\ \mathrm s$$

Escolhe-se a primeira raiz, que corresponde à colisão.

$$t=0{,}6+2{,}5=3{,}1\ \mathrm s$$

$$v_{rel}=20-4(2{,}5)=10\ \mathrm{m/s}$$

O carro ainda é mais rápido no instante do choque.

Q07

Colisões sucessivas no vagão — Restituição e velocidade relativa

A figura representa um vagão A, em repouso, que contém em seu interior um automóvel B, também em repouso. As massas de ambos são iguais, os freios do automóvel estão soltos e pode-se considerar que para esta situação não há atritos apreciáveis entre B e A. Num instante qualquer o vagão A é posto em movimento retilíneo com velocidade igual a 1,00m/s e, após alguns instantes, ocorre uma colisão entre a parede do vagão contra o para-choque do automóvel. Considerando que o coeficiente de restituição ao choque devido às propriedades das paredes do vagão e as dos para-choques do automóvel é igual a 0,50,

a) calcule a velocidade do automóvel relativamente ao vagão imediatamente após a primeira colisão entre eles.

b) Choques do automóvel B contra as paredes do vagão A se sucederão, ora de um lado, ora de outro. Após um número muito elevado de colisões, calcule, relativamente ao solo, para quanto tenderá a velocidade do automóvel B.

Automóvel B dentro do vagão A antes e depois do movimento do vagão.

Resposta TEF: Após o primeiro choque: B a 0,50 m/s relativamente a A. Após muitos choques: ambos tendem a 0,50 m/s em relação ao solo.

Resolução comentada · Método TEF

Na primeira colisão, as massas são iguais e e = 0,50.

$$v_A+v_B=1$$

$$v_B-v_A=0{,}50$$

$$v_A=0{,}25\ \mathrm{m/s}$$

$$v_B=0{,}75\ \mathrm{m/s}$$

A velocidade de B relativamente a A é 0,50 m/s. Após muitas colisões dissipativas, a velocidade relativa tende a zero e ambos tendem à velocidade do centro de massa:

$$v_{CM}=\frac{m(1)+m(0)}{2m}=0{,}50\ \mathrm{m/s}$$

As velocidades 0,25 e 0,75 são em relação ao solo.

Q08

Explosão de granada — Centro de massa e impulso

O canhão mostrado dispara uma granada de massa m=6,00kg da posição O(xO;yO) (0m;0m) que atinge seu ponto mais alto na posição P(xP;yP) de coordenadas (3000m;1125m). Decorridos 20,0s após o disparo, a granada explode e seus fragmentos “a” e “b” de massas iguais a ma=2,00kg e mb=4,00kg, respectivamente, caem segundo trajetórias coplanares à trajetória anterior à explosão. Despreze a resistência do ar e calcule:

a) o valor das coordenadas do ponto de explosão;

b) as coordenadas de posição A(xA;yA) do fragmento “a” no instante em que o fragmento “b”, 1,0 segundo após a explosão, toca o solo em um ponto B(xB;yB), cuja posição é dada pelas coordenadas (3000m;300m);

c) o valor, em N, da força F da explosão, constante, de duração 1ms e que atuou no fragmento A. (deixar indicada a raiz quadrada)

Granada sai de O, passa pelo ápice P e explode em dois fragmentos que atingem A e B.

Resposta TEF: a) Explosão em (4000 m; 1000 m). b) Fragmento de 2 kg em (6600 m; 2235 m). c) Força de módulo 60000√8249 N ≈ 5,45 MN.

Resolução comentada · Método TEF

O ápice de 1125 m dá a componente vertical inicial de 150 m/s e ocorre após 15 s. O alcance horizontal de 3000 m até o ápice dá vₓ = 200 m/s. Na explosão, em t = 20 s:

$$(x_E,y_E)=(4000,1000)\ \mathrm m$$

$$\vec v_{antes}=(200,-50)\ \mathrm{m/s}$$

Um segundo depois, o centro de massa segue a trajetória que a granada intacta teria.

$$(x_{CM},y_{CM})=(4200,945)\ \mathrm m$$

Com o fragmento de 4 kg em (3000,300), o de 2 kg está em:

$$x_A=\frac{6(4200)-4(3000)}2=6600\ \mathrm m$$

$$y_A=\frac{6(945)-4(300)}2=2235\ \mathrm m$$

As velocidades imediatamente depois da explosão resultam da trajetória do fragmento B e do momento conservado no curtíssimo evento.

$$\vec v_B=(-1000,-695)\ \mathrm{m/s}$$

$$\vec v_A=(2600,1240)\ \mathrm{m/s}$$

$$\Delta\vec p_A=2[(2600,1240)-(200,-50)]=(4800,2580)\ \mathrm{N\,s}$$

$$\vec F_{media}=(4{,}80\times10^6,2{,}58\times10^6)\ \mathrm N$$

$$|\vec F_{media}|\approx5{,}45\times10^6\ \mathrm N$$

Desprezou-se o impulso gravitacional durante o milissegundo da explosão.

Q09

Carga em caminhão — Curva inclinada e frenagem

O caminhão representado na figura transporta uma bobina de aço. Os coeficientes de atrito estático µE e cinemático µC, entre a bobina e a carroceria são respectivamente iguais a 0,18 e 0,15. Considere que o caminhão esteja se movendo com uma velocidade escalar igual a 20m/s em uma estrada em duas situações distintas: a primeira, num trecho horizontal da estrada que apresenta uma curva circular com a pista inclinada lateralmente (fig.1), e a segunda (fig.2), em um trecho reto e horizontal da estrada.

a) Calcule, no primeiro caso, o menor valor do raio de curvatura da pista ocupada pelo caminhão que possibilite que ele complete a curva sem que a sua carga deslize na carroceria.

b) Calcule, no segundo caso, a velocidade com que a bobina de aço colide contra a cabina do veículo quando ele é obrigado a frear com uma desaceleração constante e parar em exatos 10s.

Curva inclinada com triângulo de 1200 e 500 cm; na frenagem a bobina fica a 200 cm da cabine.

Resposta TEF: a) Raio mínimo de aproximadamente 62,0 m. b) √2 m/s relativamente à cabine.

Resolução comentada · Método TEF

O triângulo da inclinação dá sen α = 5/13 e cos α = 12/13. No limite de escorregar para fora da curva, o atrito aponta para baixo da inclinação.

$$N\cos\alpha-\mu_eN\sin\alpha=mg$$

$$N\sin\alpha+\mu_eN\cos\alpha=\frac{mv^2}{R}$$

$$R_{min}=\frac{20^2}{10}\frac{12-0{,}18(5)}{5+0{,}18(12)}\approx62{,}01\ \mathrm m$$

Na frenagem horizontal, o caminhão desacelera a 2 m/s², acima do limite estático 0,18g = 1,8 m/s². A bobina desliza, com desaceleração 0,15g = 1,5 m/s².

$$a_{rel}=2-1{,}5=0{,}5\ \mathrm{m/s^2}$$

$$v_{rel}=\sqrt{2(0{,}5)(2)}=\sqrt2\ \mathrm{m/s}$$

A colisão ocorre enquanto o caminhão ainda está freando.

Q10

Queda com atrito e mola — Compressão máxima e rapidez máxima

O tubo cilíndrico representado permite o movimento do corpo cilíndrico G com massa m=2,50kg e contém, presa à base, uma mola de constante elástica k=0,120kN/m. A situação A mostra o corpo cilíndrico no exato instante em que ele é simplesmente abandonado e a situação B o instante em que, por efeito de sua queda, a mola é mostrada sob deformação máxima possível. Existe durante toda a queda uma força de atrito constante entre o móvel e a sua guia cilíndrica de valor 5,00N. Como a medida “a” vale 2,00m calcule:

a) a medida “b” em metros;

b) a máxima velocidade alcançada pelo corpo cilíndrico G durante a queda (deixe indicada a raiz quadrada).

Peça cilíndrica cai distância a antes de comprimir mola, cuja deformação máxima é b.

Resposta TEF: a) 1,0 m. b) 10√3/3 m/s ≈ 5,77 m/s.

Resolução comentada · Método TEF

A força dissipativa é 5 N durante a queda. Na compressão máxima b:

$$(25-5)(2+b)=\frac12(120)b^2$$

$$3b^2-b-2=0$$

$$b=1\ \mathrm m$$

A rapidez máxima ocorre antes disso, quando a resultante passa por zero.

$$25-5-120x=0$$

$$x=\frac16\ \mathrm m$$

$$\frac12(2{,}5)v_{max}^2=20\left(2+\frac16\right)-60\left(\frac16\right)^2$$

$$v_{max}=\frac{10\sqrt3}{3}\ \mathrm{m/s}$$

O ponto de rapidez máxima é diferente do ponto de compressão máxima, onde o corpo para instantaneamente.

Q11

Colisão nuclear bidimensional — Razão entre velocidades de saída

Uma partícula alfa (núcleo de hélio), movimentando-se na direção e sentido do semieixo horizontal positivo, colide contra um núcleo de oxigênio em repouso. Após o choque, cada constituinte do sistema, partícula alfa e núcleo de oxigênio, passam a se mover com direções respectivamente iguais a 53° e a 300° em relação à direção e sentido do deslocamento anterior da partícula alfa. Se a massa do núcleo mN de oxigênio é 4 vezes maior que a da partícula alfa mP, determine a razão entre os módulos da velocidade vP da partícula e a do núcleo de oxigênio, vN, após a colisão.

Resposta TEF: vP/vN ≈ 4,35, com os valores trigonométricos fornecidos.

Resolução comentada · Método TEF

O momento inicial não tem componente vertical. Use as massas relativas e os senos fornecidos.

$$m_Pv_P\sin53^\circ+4m_Pv_N\sin300^\circ=0$$

$$0{,}80v_P-4(0{,}87)v_N=0$$

$$\frac{v_P}{v_N}=4{,}35$$

A razão segue a aproximação trigonométrica do caderno; o sinal negativo da componente vertical a 300° é indispensável.

Q12

Liga de ouro e alumínio — Composição pelo peso aparente

Uma estátua é feita com uma liga de alumínio e ouro. Presa a um dinamômetro este acusa 5,00N ao ar livre e 4,50 N quando mergulhada na água. Determine a massa de ouro presente na estátua admitindo a densidade do ar como sendo nula, a densidade da água igual a 1,00g/cm³, a densidade do alumínio igual a 2,50g/cm³ e a densidade do ouro igual a 20,00g/cm³.

Resposta TEF: Massa de ouro: 3/7 kg ≈ 428,6 g.

Resolução comentada · Método TEF

O peso dá a massa total, e a perda de peso em água dá o volume total.

$$m=\frac5{10}=0{,}50\ \mathrm{kg}=500\ \mathrm g$$

$$V=\frac{0{,}50}{1000(10)}=5\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}=50\ \mathrm{cm^3}$$

Admitindo volumes aditivos, com x em gramas de ouro:

$$\frac{x}{20}+\frac{500-x}{2{,}5}=50$$

$$x=\frac{3000}{7}\ \mathrm g\approx428{,}6\ \mathrm g$$

O restante, aproximadamente 71,4 g, é alumínio.

Q13

Custo de iluminação — Economia e compensação do preço

Uma propaganda de determinada lâmpada eletrônica afirma que a sua lâmpada de 25W tem um “brilho” equivalente ao de uma lâmpada incandescente de potência igual a 75W. Um usuário pretende substituir a lâmpada incandescente pela lâmpada eletrônica por entender que ela apresenta um "consumo" menor. Considere que a lâmpada eletrônica custa R$16,00 e a incandescente, R$2,00; que 1kWh de energia elétrica custa R$0,35 e que qualquer que seja a lâmpada, ela deverá ficar acesa durante 8 horas por dia.

a) Calcule o custo anual da energia elétrica para manter acesa a lâmpada eletrônica.

b) Se as duas lâmpadas tiverem que ficar ligadas simultaneamente, por quanto tempo (dias de uso) a lâmpada eletrônica deverá funcionar para ser economicamente mais vantajosa que a incandescente? (admita que ambas as lâmpadas não se “queimem” durante esse período).

Resposta TEF: a) R$ 25,55 por ano. b) Igualdade aos 100 dias; vantagem após esse prazo.

Resolução comentada · Método TEF

Para a lâmpada de 25 W, usando 365 dias:

$$E=0{,}025(8)(365)=73\ \mathrm{kWh}$$

$$C=73(0{,}35)=25{,}55\ \mathrm{reais}$$

Compare cada opção funcionando pelo mesmo tempo. A economia por dia de uso é:

$$\Delta C_d=(0{,}075-0{,}025)(8)(0{,}35)=0{,}14\ \mathrm{real/dia}$$

$$d=\frac{16-2}{0{,}14}=100\ \mathrm{dias}$$

Há igualdade dos custos totais aos 100 dias; depois disso a lâmpada de 25 W é mais vantajosa, nas hipóteses de preço e durabilidade do enunciado.

Q14

Torque de atrito em polia — Potência de motor em regime constante

O dispositivo representado consta de um motor elétrico “W” que apresenta uma polia “P” de raio r=5,0cm presa ao seu eixo de rotação. Uma correia “C” de couro é mantida esticada por meio de duas molas “M1” e “M2” de modo a manter a correia friccionando a polia com o motor funcionando. Admita que o motor está trabalhando com uma freqüência f estável e igual a 20 Hz e que as molas M1 e M2 estão tracionadas por forças que valem F1=400N e F2=100N respectivamente. A partir destes dados calcule:

a) a energia Em, em joule, dissipada termicamente, oriunda da fricção entre a polia e a correia, durante uma única rotação;

b) a potência motriz Pm deste motor em kW.

Polia do motor sob correia tracionada por molas M₁ e M₂ em sentidos opostos.

Resposta TEF: a) 90 J por rotação. b) 1,8 kW.

Resolução comentada · Método TEF

As forças nas extremidades da correia geram torques opostos.

$$\tau=(400-100)(0{,}05)=15\ \mathrm{N\,m}$$

Usando π = 3, o trabalho dissipado por volta é:

$$E_{volta}=\tau(2\pi)=15(6)=90\ \mathrm J$$

$$P=90(20)=1800\ \mathrm W=1{,}8\ \mathrm{kW}$$

O torque resistente depende da diferença das trações da correia.

Q15

Tábua com carga móvel — Reação de apoio em função da posição

Uma bola de peso PB=100N, rolando em movimento retilíneo e uniforme, atravessa a “ponte” formada por uma tábua homogênea, de secção constante e de peso PT=300N apoiada por peças identificadas pelas letras “A” e “B”. A distância de A até B vale 0,60m e a distância que vai de B até C vale 0,20m. A partir destes dados:

a) calcule o valor da reação de apoio RA no ponto A quando a bola estiver passando em cima do apoio B;

b) obtenha uma expressão RA = f(x) que dá a reação de apoio RA em função da posição x para o intervalo 0,00m ≤ x ≤ 0,80m.

Tábua AC de 0,80 m apoiada em A e B a 0,60 m; bola na posição x desde A.

Resposta TEF: a) 100 N. b) RA(x) = 200 − (500/3)x N, com x em metros.

Resolução comentada · Método TEF

A tábua tem peso de 300 N aplicado em x = 0,40 m; o apoio B está em x = 0,60 m. Tome momentos em B.

$$R_A(0{,}60)=300(0{,}20)+100(0{,}60-x)$$

$$R_A(x)=200-\frac{500}{3}x\quad(0\leq x\leq0{,}80)$$

Com a bola sobre B, x = 0,60 m:

$$R_A=100\ \mathrm N$$

No intervalo todo, a reação permanece positiva; o apoio A mantém contato.

Q16

Blocos vinculados por corda — Atrito e deslocamento relativo

Dois blocos homogêneos e em forma de paralelepípedo, de massas mA=3,0kg e mB=2,0kg estão apoiados num piso e formam um sistema confome a figura. Por meio de um cordão, deseja-se puxar e imprimir um movimento retilíneo uniformemente acelerado ao sistema, inicialmente em repouso. Considerando que o coeficiente de atrito cinético entre a superfície de B e a do piso vale µB/P=0,40; que entre as superfícies de A e de B vale µA/B=0,50; que a medida “a” vale 18cm e que o operador puxa o bloco B com uma força F=55N, calcule:

a) a intensidade da aceleração do bloco A;

b) depois de quanto tempo o centro do bloco A ficará alinhado verticalmente com a lateral do bloco B?

Blocos A e B empilhados, ligados por corda sobre polias fixas; operador puxa B.

Resposta TEF: a) 1,0 m/s². b) 0,30 s.

Resolução comentada · Método TEF

A corda obriga os blocos a acelerar com módulos iguais e sentidos opostos. O atrito entre eles é 15 N e o do piso é 20 N.

$$T-15=3a$$

$$55-15-20-T=2a$$

$$a=1\ \mathrm{m/s^2}$$

O centro de A precisa deslocar-se a/2 = 0,09 m relativamente a B, sendo a = 0,18 m a largura indicada. Como se movem em sentidos opostos, a aceleração relativa é 2 m/s².

$$0{,}09=\frac12(2)t^2$$

$$t=0{,}30\ \mathrm s$$

Equivalentemente, cada bloco percorre 0,045 m. Não se pode tratá-los como blocos livres sem o vínculo da corda.

Q17

Jato totalmente desviado — Força da parede

A mangueira de regar jardins representada lança um jato de 0,500 dm³ de água por segundo com uma velocidade igual a 2,00m/s contra uma parede formando um ângulo α igual a 37o. Supondo que a água seja totalmente desviada como indicado, calcule o valor da força de reação da parede contra o jato.

Jato incide e retorna com mesmo módulo de velocidade a 37° da normal à parede.

Resposta TEF: 1,60 N, normal à parede e dirigida para fora dela.

Resolução comentada · Método TEF

A vazão mássica é 0,50 kg/s. O desvio desenhado inverte a componente normal à parede, conservando a componente vertical.

$$F_x=-2\dot m v\cos37^\circ$$

$$F_x=-2(0{,}50)(2{,}00)(0{,}80)=-1{,}60\ \mathrm N$$

$$F_y=0$$

A reação da parede sobre a água tem módulo 1,60 N e aponta para longe da parede. Sem a inversão indicada no desenho, o fator dois não se aplicaria.

Q18

Menino sobre prancha — Referencial da distância percorrida

Exclusiva da 1ª série no caderno original

Na figura estão representados um menino de massa mm=40,0kg de pé sobre uma prancha lisa de madeira de massa mp=80kg que tem uma extensão de 5,00m. Menino e prancha estão, inicialmente, em repouso e a prancha está encostada num ancoradouro de um lago, flutuando em suas águas. Num dado instante o menino anda na prancha dirigindo-se para o ancoradouro, parando após deslocar-se 4,00 m em 10,0s. Desconsiderando eventos externos (ventos, movimento das águas, atrito fluido, entre outros), pede-se:

a) calcular a velocidade do menino relativamente ao ancoradouro enquanto caminha;

b) a distância mínima que fica a prancha do extremo do ancoradouro no instante em que o menino pára.

Menino em prancha flutuante inicialmente encostada no ancoradouro.

Resposta TEF: Se 4 m são relativos à prancha: menino a 0,267 m/s e afastamento de 1,33 m. Se relativos ao ancoradouro: 0,40 m/s e 2,0 m.

Resolução comentada · Método TEF

Se os quatro metros são percorridos relativamente à prancha, a velocidade relativa média é 0,40 m/s. Adote positivo para o ancoradouro.

$$v_m-v_p=0{,}40$$

$$40v_m+80v_p=0$$

$$v_m=\frac4{15}\ \mathrm{m/s}$$

$$v_p=-\frac2{15}\ \mathrm{m/s}$$

$$d=\frac2{15}(10)=\frac43\ \mathrm m$$

Se os quatro metros forem relativos ao ancoradouro, a outra leitura aceita oficialmente dá vₘ = 0,40 m/s e vₚ = −0,20 m/s, portanto d = 2,0 m. Os valores são velocidades médias se a caminhada não for uniforme.

Q19

Satélite e campo superficial — Lei de Kepler como medida de GM

Exclusiva da 1ª série no caderno original

O raio de um planeta vale 5,00.10⁶m e um de seus satélites descreve uma trajetória circular com um raio de curvatura igual a 1,50.10⁸m. Admita, como primeira aproximação, que o centro da órbita deste satélite coincida com o centro de massa deste planeta, pelo fato de que a massa do planeta é muito superior à do satélite. Calcule a aceleração da gravidade na superfície do planeta, sabendo-se que o período de revolução do satélite em torno do planeta é igual a 10 dias terrestres (dia de 24h).

Resposta TEF: Aproximadamente 6,51 m/s², usando π = 3.

Resolução comentada · Método TEF

Converta dez dias em 864000 segundos e use o raio da órbita medido desde o centro do planeta.

$$GM=\frac{4\pi^2r^3}{T^2}$$

$$g_{sup}=\frac{4\pi^2r^3}{T^2R^2}$$

$$g_{sup}=\frac{4(3)^2(1{,}50\times10^8)^3}{(864000)^2(5{,}00\times10^6)^2}\approx6{,}51\ \mathrm{m/s^2}$$

O valor segue π = 3, como orienta o caderno. O comentário oficial imprime 6,7 m/s², que não é o resultado dessa substituição numérica.

Q20

Estrutura de cabos — Cabo sem tração no equilíbrio limite

Exclusiva da 1ª série no caderno original

A estrutura representada sustenta, em equilíbrio, dois corpos de pesos P1 e P2. Como os ângulos α e β são iguais respectivamente a 143° e 106°, calcule:

a) o valor do esforço de tração que ocorre no cabo identificado pela letra c;

b) a relação P1/P2.

Estrutura de cabos a a f: polia sustenta P₁, nó A sustenta P₂; ângulos α 143° e β 106°.

Resposta TEF: a) Tc = 0. b) P₁/P₂ = 5/3 ≈ 1,67.

Resolução comentada · Método TEF

No nó inferior A, a componente vertical de T_d sustenta P₂. O ângulo agudo de d com a horizontal é 180° − 143° = 37°.

$$T_d\sin37^\circ=P_2$$

$$T_d=\frac{P_2}{0{,}60}=\frac53P_2$$

No nó B, os cabos b e d são colineares e opostos. Com β = 106°, o cabo c tem componente independente dessa reta. O equilíbrio exige:

$$T_c=0$$

$$T_b=T_d$$

A polia ideal transmite T_b ao peso P₁.

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac53$$

O cabo c está no limite de ficar frouxo. O comentário oficial inverte a divisão por sen 37° e apresenta 0,6 para a razão; a equação vertical exige 5/3.

Dados da prova