OBF 2006 — 3ª fase · 3ª série | Física resolvida

Q01

Aquecimento sob êmbolo e carga — Três etapas do processo

O dispositivo representado mostra um recipiente cilíndrico que contém em seu interior um êmbolo “E”. Ambos são isolados termicamente e apresentam capacidade térmica irrelevante. O êmbolo tem massa mE=300kg, desliza sem atrito e tem uma base circular de área S=100cm². No ambiente representado pela letra “A” existe 1mol (4,00.10⁻³kg) de gás hélio na temperatura To=300K capaz de equilibrar a pressão exercida pelo peso PE do êmbolo superposta à pressão atmosférica patm=1,00atm, mantendo, assim, a medida “a” igual a 0,600m. Num dado instante a tomada é conectada a uma fonte de tensão constante e igual a 110V para, por meio do resistor R, aquecer o gás citado. O resistor é mantido ligado até o instante em que o êmbolo, graças à expansão gasosa, sofra um deslocamento total igual a 2b. A peça “F”, de massa mF=100kg, está simplesmente apoiada na parte superior do recipiente e será deslocada com a subida do êmbolo. Esta peça é dotada de um orifício para manter o ar, no ambiente “B”, sob pressão igual à pressão atmosférica. Admitindo que cP seja o calor especifico do gás hélio para as evoluções isobáricas, que cV=3125J/(kg·°C) seja o calor específico para as evoluções isométricas, que a relação γ= cP /cV seja igual a 1,664 , que a medida de “b” seja igual a 0,200m e que a resistência elétrica do resistor R seja igual 1210Ω, calcule:

a) a quantidade de calor Q1 absorvida pela massa gasosa para que o êmbolo E apenas encoste na peça F.

b) o intervalo de tempo ∆t que deve permanecer ligado o resistor.

c) o rendimento η do dispositivo considerando o trabalho realizado e o consumo de energia elétrica.

Gás sob êmbolo E e peça superior F; alturas a e b e resistor ligado a 110 V.

Resposta TEF: a) 2080 J. b) 593 s. c) 30,35%, no tratamento pretendido do caderno.

Resolução comentada · Método TEF

Há três etapas quase estáticas: expansão sob o êmbolo, aquecimento a volume fixo até levantar F e expansão sob as duas massas. Use os dados e as razões de estado do caderno.

$$p_1=10^5+\frac{300(10)}{0{,}010}=4\times10^5\ \mathrm{Pa}$$

$$p_2=10^5+\frac{400(10)}{0{,}010}=5\times10^5\ \mathrm{Pa}$$

$$c_P=1{,}664(3125)=5200\ \mathrm{J/(kg\,K)}$$

$$T_1=300\frac{0{,}8}{0{,}6}=400\ \mathrm K$$

$$Q_1=0{,}004(5200)(400-300)=2080\ \mathrm J$$

No contato, o volume fica fixo enquanto a pressão sobe.

$$T_2=400\frac54=500\ \mathrm K$$

$$Q_2=0{,}004(3125)(500-400)=1250\ \mathrm J$$

Na última expansão, o comprimento da coluna vai de 0,8 a 1,0 m.

$$T_3=500\frac{1{,}0}{0{,}8}=625\ \mathrm K$$

$$Q_3=0{,}004(5200)(625-500)=2600\ \mathrm J$$

$$Q_{total}=2080+1250+2600=5930\ \mathrm J$$

$$P_{eletrica}=\frac{110^2}{1210}=10\ \mathrm W$$

$$\Delta t=\frac{5930}{10}=593\ \mathrm s$$

$$W=4\times10^5(0{,}002)+5\times10^5(0{,}002)=1800\ \mathrm J$$

$$\eta=\frac{1800}{5930}\approx30{,}35\%$$

Este é o resultado pretendido, pelas relações entre estados da fonte. Há um pequeno desajuste nos dados: os calores específicos implicam nR = 8,3 J/K, mas p₀V₀/T₀ = 8,0 J/K. Portanto o conjunto não é rigorosamente autoconsistente para um único gás ideal; não convém atribuir precisão maior que a dos dados.

Q02

Carga de bateria real — Corrente limitada por resistor

Um estudante improvisou um “carregador” de baterias para "carregar" a bateria de seu telefone. Por meio de alguns ensaios, percebeu que o seu "carregador" apresentava uma força eletromotriz (f.e.m.) constante E1=4V associada a uma resistência interna r1=5Ω. A bateria de seu telefone tem uma f.e.m. E2 que varia desde 3,2V (descarregada) até 3,6V (carregada) e resistência interna constante r2=1Ω. Como, de acordo com o que consta no manual do fabricante da bateria, a máxima corrente elétrica de carga não pode ultrapassar 80mA (“carga” segura) o aluno coloca um resistor R no circuito para atender a essa exigência. O esquema representa a montagem executada e mostra os terminais do carregador (pontos A e B) e os terminais da bateria (pontos C e D). Determine:

a) o valor da resistência do resistor R que possibilite, no menor tempo possível, para este circuito, a “carga” segura da bateria.

b) a diferença de potencial entre C e D ao final da carga.

Gerador E₁ e resistência interna r₁ carregam receptor E₂ com r₂ através de resistor R.

Resposta TEF: a) 4 Ω. b) 3,64 V.

Resolução comentada · Método TEF

No início, a diferença entre forças eletromotrizes é máxima e a corrente deve ser 80 mA.

$$0{,}080=\frac{4-3{,}2}{5+R+1}$$

$$R=4\ \Omega$$

No fim da carga, a força contraeletromotriz chega a 3,6 V.

$$i_f=\frac{4-3{,}6}{5+4+1}=0{,}040\ \mathrm A$$

Como a bateria recebe corrente pelo terminal positivo, sua tensão terminal é maior que a força contraeletromotriz.

$$U_f=3{,}6+1(0{,}040)=3{,}64\ \mathrm V$$

O modelo é uma associação de gerador, resistor e receptor; não constitui orientação de montagem de carregador atual.

Q03

Esferas condutoras concêntricas — Campo e energia de uma carga de prova

Um corpo esférico, condutor, oco, de espessura irrelevante e com carga total nula tem um raio RB=50,0cm e envolve um corpo esférico, a ele concêntrico, condutor e em equilíbrio eletrostático que apresenta um raio RA=10,0cm e contém uma carga elétrica QA=1,00µC de eletricidade positiva. Num dado instante um corpúsculo de massa m=2,00.10⁻⁷g contendo uma carga q=1,00nC de eletricidade positiva, abandona a superfície do corpo interno, acelera e, como o corpo maior apresenta um furo, tal corpúsculo passa por ele e é detectado movendo-se na posição x=100,0cm como mostrado. Todo o sistema encontra-se no vácuo. Nessas condições:

a) calcule a intensidade da força elétrica sobre o corpúsculo no instante em que ele passa por um ponto entre os condutores situado a 20,0.10⁻² m do centro deles.

b) calcule a velocidade do corpúsculo ao passar pela posição x=100,0cm.

Condutores esféricos concêntricos de raios 10 e 50 cm; pequeno furo permite saída da carga até x igual a 100 cm.

Resposta TEF: a) 2,25 × 10⁻⁴ N, radial para fora. b) 900 m/s.

Resolução comentada · Método TEF

A casca neutra tem carga −Q na superfície interna e +Q na externa. No espaço entre condutores, o campo radial depende da carga central.

$$E(0{,}20)=\frac{9\times10^9(10^{-6})}{0{,}20^2}=2{,}25\times10^5\ \mathrm{N/C}$$

$$F=qE=2{,}25\times10^{-4}\ \mathrm N$$

A casca idealizada é fina; o potencial é contínuo na travessia de seu furo. Da superfície interna, r = 0,10 m, até r = 1,0 m:

$$\Delta V=9\times10^9(10^{-6})(10-1)=81000\ \mathrm V$$

$$\frac12mv^2=q\Delta V$$

$$v=\sqrt{\frac{2(10^{-9})(81000)}{2\times10^{-10}}}=900\ \mathrm{m/s}$$

A força é radial para fora. O furo é tratado como pequeno o bastante para não alterar significativamente o campo esfericamente simétrico.

Q04

Projéteis de avião em movimento — Tempo de alcance e frequência de impacto

Dois aviões de combate A e B voam em trajetória retilínea e horizontal e estão alinhados. Estando distanciados 600m um do outro, o que vem atrás inicia uma seqüência de disparos contra o outro, à razão de 1 projétil a cada um quarto de segundo. A velocidade dos projéteis vP/A, relativamente ao avião A, é constante e igual a 500m/s e, como o tempo de seu percurso é muito curto, o efeito de queda do projétil pela gravidade é irrelevante na análise desta situação. Considerando que o avião que vem por trás voa com uma velocidade vA=100m/s, que a velocidade do da frente é vB=120 m/s, e que essas velocidades são constantes, calcule:

a) o tempo que o primeiro projétil disparado leva para atingir o avião que vai à frente.

b) a distância entre dois projéteis lançados consecutivamente.

c) o número de projéteis, por segundo, que atinge a aeronave da frente.

Aviões A e B movem-se para a direita; A dispara projéteis em direção a B.

Resposta TEF: a) 1,25 s. b) 125 m. c) 3,84 impactos por segundo.

Resolução comentada · Método TEF

A velocidade do projétil em relação ao solo é a soma da velocidade relativa ao avião A com a do próprio avião.

$$v_P=500+100=600\ \mathrm{m/s}$$

$$t_1=\frac{600}{600-120}=1{,}25\ \mathrm s$$

Em cada intervalo de emissão de 0,25 s, o avião A também avança. O espaçamento entre projéteis é:

$$d=(600-100)(0{,}25)=125\ \mathrm m$$

$$f_{impacto}=\frac{600-120}{125}=3{,}84\ \mathrm{s^{-1}}$$

O espaçamento não é 600 × 0,25 porque o ponto de lançamento se move.

Q05

Explosão de granada — Centro de massa e impulso

O canhão mostrado dispara uma granada de massa m=6,00kg da posição O(xO;yO) (0m;0m) que atinge seu ponto mais alto na posição P(xP;yP) de coordenadas (3000m;1125m). Decorridos 20,0s após o disparo, a granada explode e seus fragmentos “a” e “b” de massas iguais a ma=2,00kg e mb=4,00kg, respectivamente, caem segundo trajetórias coplanares à trajetória anterior à explosão. Despreze a resistência do ar e calcule:

a) o valor das coordenadas do ponto de explosão;

b) as coordenadas de posição A(xA;yA) do fragmento “a” no instante em que o fragmento “b”, 1,0 segundo após a explosão, toca o solo em um ponto B(xB;yB), cuja posição é dada pelas coordenadas (3000m;300m);

c) o valor, em N, da força F da explosão, constante, de duração 1ms e que atuou no fragmento A. (deixar indicada a raiz quadrada)

Trajetória da granada de O até ápice P e explosão em dois fragmentos.

Resposta TEF: a) Explosão em (4000 m; 1000 m). b) Fragmento de 2 kg em (6600 m; 2235 m). c) Força de módulo 60000√8249 N ≈ 5,45 MN.

Resolução comentada · Método TEF

O ápice de 1125 m dá a componente vertical inicial de 150 m/s e ocorre após 15 s. O alcance horizontal de 3000 m até o ápice dá vₓ = 200 m/s. Na explosão, em t = 20 s:

$$(x_E,y_E)=(4000,1000)\ \mathrm m$$

$$\vec v_{antes}=(200,-50)\ \mathrm{m/s}$$

Um segundo depois, o centro de massa segue a trajetória que a granada intacta teria.

$$(x_{CM},y_{CM})=(4200,945)\ \mathrm m$$

Com o fragmento de 4 kg em (3000,300), o de 2 kg está em:

$$x_A=\frac{6(4200)-4(3000)}2=6600\ \mathrm m$$

$$y_A=\frac{6(945)-4(300)}2=2235\ \mathrm m$$

As velocidades imediatamente depois da explosão resultam da trajetória do fragmento B e do momento conservado no curtíssimo evento.

$$\vec v_B=(-1000,-695)\ \mathrm{m/s}$$

$$\vec v_A=(2600,1240)\ \mathrm{m/s}$$

$$\Delta\vec p_A=2[(2600,1240)-(200,-50)]=(4800,2580)\ \mathrm{N\,s}$$

$$\vec F_{media}=(4{,}80\times10^6,2{,}58\times10^6)\ \mathrm N$$

$$|\vec F_{media}|\approx5{,}45\times10^6\ \mathrm N$$

Desprezou-se o impulso gravitacional durante o milissegundo da explosão.

Q06

Carga em caminhão — Curva inclinada e frenagem

O caminhão representado na figura transporta uma bobina de aço. Os coeficientes de atrito estático µE e cinemático µC, entre a bobina e a carroceria são respectivamente iguais a 0,18 e 0,15. Considere que o caminhão esteja se movendo com uma velocidade escalar igual a 20m/s em uma estrada em duas situações distintas: a primeira, num trecho horizontal da estrada que apresenta uma curva circular com a pista inclinada lateralmente (fig.1), e a segunda (fig.2), em um trecho reto e horizontal da estrada.

a) Calcule, no primeiro caso, o menor valor do raio de curvatura da pista ocupada pelo caminhão que possibilite que ele complete a curva sem que a sua carga deslize na carroceria.

b) Calcule, no segundo caso, a velocidade com que a bobina de aço colide contra a cabina do veículo quando ele é obrigado a frear com uma desaceleração constante e parar em exatos 10s.

Caminhão em curva inclinada e depois em frenagem com carga a 200 cm da cabine.

Resposta TEF: a) Raio mínimo de aproximadamente 62,0 m. b) √2 m/s relativamente à cabine.

Resolução comentada · Método TEF

O triângulo da inclinação dá sen α = 5/13 e cos α = 12/13. No limite de escorregar para fora da curva, o atrito aponta para baixo da inclinação.

$$N\cos\alpha-\mu_eN\sin\alpha=mg$$

$$N\sin\alpha+\mu_eN\cos\alpha=\frac{mv^2}{R}$$

$$R_{min}=\frac{20^2}{10}\frac{12-0{,}18(5)}{5+0{,}18(12)}\approx62{,}01\ \mathrm m$$

Na frenagem horizontal, o caminhão desacelera a 2 m/s², acima do limite estático 0,18g = 1,8 m/s². A bobina desliza, com desaceleração 0,15g = 1,5 m/s².

$$a_{rel}=2-1{,}5=0{,}5\ \mathrm{m/s^2}$$

$$v_{rel}=\sqrt{2(0{,}5)(2)}=\sqrt2\ \mathrm{m/s}$$

A colisão ocorre enquanto o caminhão ainda está freando.

Q07

Plataforma em translação circular — Contato e atrito em posições distintas

O dispositivo representado contém polias acopladas conforme mostrado. As polias maiores apresentam uma velocidade angular ω e são interligadas por uma barra, sobre a qual um corpo de massa m se encontra simplesmente apoiado. A distância do eixo de rotação das polias ao pino que as liga à barra vale R e o coeficiente de atrito estático entre o corpo e a barra vale µ. Com estes dados, desenvolva uma equação que mostre o valor máximo de ω:

a) para que o corpo continue apoiado na barra quando está no ponto mais alto de sua trajetória.

b) para que o corpo continue apoiado na barra, sem deslizar, quando está no ponto intermediário da trajetória, descendo, entre o ponto mais alto e o ponto mais baixo.

Duas polias acopladas por barra horizontal sustentam bloco; barra mantém orientação durante movimento circular.

Resposta TEF: a) √(g/R). b) √(μeg/R).

Resolução comentada · Método TEF

No topo, a aceleração é vertical para baixo. A normal permanece não negativa enquanto:

$$mg-N=m\omega^2R$$

$$\omega_{max,topo}=\sqrt{\frac gR}$$

Na posição lateral indicada, a aceleração é horizontal. A normal vale mg e o atrito fornece a componente centrípeta.

$$m\omega^2R\leq\mu_e mg$$

$$\omega_{max,lateral}=\sqrt{\frac{\mu_e g}{R}}$$

São limites para as duas posições solicitadas, não uma demonstração de estabilidade em toda a volta. Para garantir aderência em toda a trajetória, seria necessário examinar todas as fases.

Q08

Movimento helicoidal — Impacto de partícula em anteparo

No vácuo, uma partícula de massa igual 1,00.10⁻⁸kg e carga elétrica positiva q=10,0µC move-se a 1,30.10³m/s ao encontro de um anteparo. Durante o trajeto ela fica submetida a um campo magnético, uniforme e vertical para baixo, de indução B=0,50T. Como o tempo de percurso é muito curto para serem considerados os efeitos do campo gravitacional,

a) calcule o tempo de percurso da partícula desde o ponto onde ela está representada até o ponto de impacto.

b) calcule as coordenadas (x;y) do ponto de impacto.

Anteparo com eixos x e y; direção inicial definida por 120 e 50 cm, campo magnético vertical para baixo.

Resposta TEF: a) 1,0 ms. b) (−0,312 m; 0,500 m), usando as aproximações trigonométricas fornecidas.

Resolução comentada · Método TEF

A direção indicada fornece componentes de 1200 m/s perpendicularmente ao campo e 500 m/s paralelamente a ele. A componente paralela permanece constante.

$$v_\perp=1200\ \mathrm{m/s}$$

$$v_\parallel=500\ \mathrm{m/s}$$

$$R=\frac{mv_\perp}{qB}=\frac{10^{-8}(1200)}{10^{-5}(0{,}5)}=2{,}4\ \mathrm m$$

O anteparo está a 1,20 m na direção inicial da projeção horizontal.

$$\sin\beta=\frac{1{,}20}{2{,}40}=0{,}50$$

$$\beta=30^\circ$$

Com π = 3 e a frequência angular qB/m = 500 rad/s:

$$T=\frac{2\pi}{500}=0{,}012\ \mathrm s$$

$$t=\frac{30}{360}(0{,}012)=0{,}001\ \mathrm s$$

$$x=-2{,}4(1-0{,}87)=-0{,}312\ \mathrm m$$

$$y=500(0{,}001)=0{,}500\ \mathrm m$$

As coordenadas seguem os eixos do desenho, com x negativo para o lado da curvatura. A aproximação cos 30° = 0,87 é a fornecida pelo caderno.

Dados da prova