OBF 2006 — 3ª fase · 8ª série (EF) | Física resolvida

Q01

Eco — Tempo de ida e volta

O menor intervalo de tempo entre dois sinais sonoros consecutivos para que uma pessoa consiga distingui-los é de 0,1s. Considere uma pessoa à frente de uma parede num local onde a velocidade do som é de 340m/s.

a) Determine a menor distância x para que a pessoa possa ouvir o eco de sua voz;

b) Determine a distância x na qual o eco é ouvido 4,0s após a emissão da voz.

Pessoa diante de parede; distância x deve ser percorrida pelo som na ida e na volta.

Resposta TEF: a) 17 m. b) 680 m.

Resolução comentada · Método TEF

O som percorre a distância até a parede duas vezes, na ida e na volta.

$$2x=v\Delta t$$

$$x_{min}=\frac{340(0{,}1)}2=17\ \mathrm m$$

$$x_{4s}=\frac{340(4)}2=680\ \mathrm m$$

Usar vΔt sem dividir por dois forneceria o comprimento total do percurso sonoro, não a distância até a parede.

Q02

Movimento circular terrestre — Velocidades de translação e rotação

A análise de movimentos na mecânica Newtoniana baseia-se na definição de um sistema de referência. Um dos exemplos mais simples e evidentes é o movimento do sistema Terra-Sol. Em relação a um observador na Terra o Sol esta em movimento, já em relação a um observador no Sol a Terra realiza uma órbita quase circular ao seu redor. Porém em relação a um observador no centro de nossa galáxia (via-láctea), ambos estão em movimento. Faça uma estimativa para as seguintes velocidades da Terra para os referenciais indicados abaixo, expressando seus resultados em unidades de km/s:

a) velocidade orbital do centro da Terra com relação ao Sol;

b) velocidade de rotação da superfície da Terra com relação ao seu centro. Use como dados: RTS = 1,5x10¹¹m (raio médio da órbita da Terra ao redor do Sol); RT = 6,5x10⁶m (raio da Terra); use π=3.

Resposta TEF: a) Cerca de 29–30 km/s. b) Cerca de 0,45 km/s no equador; depende da latitude.

Resolução comentada · Método TEF

Use um ano de 365 dias e uma rotação de 24 h, com π = 3.

$$v_{orb}=\frac{2\pi(1{,}5\times10^{11})}{365(86400)}\approx2{,}85\times10^4\ \mathrm{m/s}\approx29\ \mathrm{km/s}$$

Para a rotação, a rapidez da superfície depende da latitude. No equador ela é máxima:

$$v_{eq}=\frac{2\pi(6{,}5\times10^6)}{86400}\approx451\ \mathrm{m/s}=0{,}451\ \mathrm{km/s}$$

Em latitude φ, v = veq cosφ. As estimativas arredondadas são cerca de 30 km/s na órbita e 0,45 km/s no equador.

Q03

Variação com altitude — Meio peso e órbitas

A força gravitacional F exercida pela Terra sobre um corpo de massa m a uma altura h da superfície da Terra é descrita pela seguinte equação: F = mg·Rₜ²/(Rₜ+h)², onde RT é o raio da terra (cerca de 6.500 km) e g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra.

a) A que distância da superfície da Terra o peso de uma pessoa terá a metade do valor da superfície?

b) Considerando que mesmo a distâncias comparáveis com o raio da Terra (a partir de sua superfície), a força gravitacional que atua em satélites não pode ser desprezada, o que mantém os satélites em órbita da Terra sem que os mesmos caiam sobre a sua superfície?

Resposta TEF: a) h = (√2 − 1)RT ≈ 2690 km. b) Velocidade tangencial orbital, com a gravidade como resultante centrípeta.

Resolução comentada · Método TEF

Iguale a força ao valor mg/2 e cancele mg.

$$\frac{R_T^2}{(R_T+h)^2}=\frac12$$

$$R_T+h=\sqrt2R_T$$

$$h=(\sqrt2-1)R_T\approx2690\ \mathrm{km}$$

O satélite não fica em equilíbrio de forças: a gravidade é a resultante centrípeta que curva continuamente sua trajetória. Sua velocidade tangencial e a altitude apropriadas fazem a queda livre acompanhar a curvatura da Terra, em vez de atingir a superfície.

Q04

Periodicidade e passos — Concordância entre soldados

Dois soldados iniciam uma marcha lado a lado com uma velocidade constante v = 60m/min; seus passos têm respectivamente comprimentos de P1=60cm e P2=40cm. Ambos iniciam a marcha com o pé direito (denominada de primeira concordância) e no mesmo instante de tempo. Entende-se por concordância toda situação em que os dois soldados batem no chão simultaneamente os pés direitos, ou os esquerdos.

a) Até que haja uma nova concordância, a partir do ponto inicial, quantos passos irão dar o primeiro e o segundo soldado?

b) Quantas concordâncias irão ocorrer a cada minuto?

Resposta TEF: a) 4 e 6 passos. b) 25 novas concordâncias por minuto.

Resolução comentada · Método TEF

A velocidade comum é 1 m/s. Os intervalos entre passos são 0,60 s e 0,40 s. Os primeiros apoios simultâneos depois da partida ocorrem em 1,20 s, mas com pés opostos.

Para coincidir também o pé, ambos precisam ter dado números pares de passos. A menor solução é quatro passos do primeiro e seis do segundo.

$$4(0{,}60)=6(0{,}40)=2{,}40\ \mathrm s$$

$$N=\frac{60}{2{,}40}=25$$

Há 25 novas concordâncias por minuto; a contagem não inclui novamente a concordância inicial.

Q05

Termostato — Balanço com perdas durante o aquecimento

Um ferro de passar roupa elétrico tem uma capacidade calorífica de C=66cal/oC e uma potência elétrica de 550W. O ferro tem um termostato que o desliga automaticamente quando a temperatura atinge um valor de temperatura T0. Quando a temperatura tem uma queda de 6°C o termostato aciona novamente o sistema elétrico até que a temperatura atinja novamente T0, completando assim um ciclo de funcionamento. O ferro perde calor a uma taxa constante de R=11cal/s. Determine quanto tempo o sistema elétrico do ferro permanece ligado e desligado durante um ciclo. Considere que 1cal = 4,2J

Resposta TEF: Ligado: aproximadamente 3,30 s. Desligado: 36 s.

Resolução comentada · Método TEF

O valor oficial de aproximadamente 3 s omite a perda de 11 cal/s durante o aquecimento. Incluindo-a, o tempo ligado é 3,30 s.

A variação de 6 °C corresponde a 396 cal.

$$Q=C\Delta T=66(6)=396\ \mathrm{cal}$$

Desligado, o ferro perde 11 cal/s.

$$t_{off}=\frac{396}{11}=36\ \mathrm s$$

Ligado, a potência útil é a elétrica convertida em cal/s menos a perda, que continua ocorrendo.

$$P_{liq}=\frac{550}{4{,}2}-11\approx119{,}95\ \mathrm{cal/s}$$

$$t_{on}=\frac{396}{119{,}95}\approx3{,}30\ \mathrm s$$

O comentário oficial obtém aproximadamente 3 s desconsiderando a perda durante a etapa ligada. Com a perda constante especificada no enunciado, são cerca de 3,30 s.

Q06

Vento transversal — Latitude de chegada e deriva

Um avião voa com velocidade constante de 100km/h na em direção ao norte. A uma hora de distância de um marco denominado de B na sua rota um vento de leste para oeste com velocidade de 100km/h começa a soprar na trajetória do avião. Pergunta-se:

a) Quanto tempo o avião irá demorar para chegar na mesma latitude do marco B?

b) Qual a distância entre o marco B e a posição do avião ao chegar nesta latitude?

Resposta TEF: a) 1 h. b) 100 km a oeste de B.

Resolução comentada · Método TEF

O comentário oficial fornece 100√2 km no item b. Essa é a distância desde o ponto inicial; a separação entre B e o avião, na mesma latitude, é 100 km.

O marco B está a 100 km para o norte da posição em que o vento começa. A componente norte de 100 km/h permanece igual; a componente para oeste passa a 100 km/h.

$$t=\frac{100}{100}=1\ \mathrm h$$

$$\Delta x=100(1)=100\ \mathrm{km}$$

Na latitude de B, o avião fica exatamente 100 km a oeste do marco. A distância de 100√2 km é o módulo do deslocamento desde o ponto de início do vento, não a distância de B ao avião nesse instante.

Q07

Sombra por fonte pontual — Trajetória da extremidade

Um homem com 1,8m de altura caminha com velocidade de 1,0m/s numa trajetória retilínea que passa a 2,0m de um poste de 5,4m de altura. A lâmpada do poste pode ser considerada como uma fonte de luz pontual. A sombra do homem é projetada numa calçada plana e horizontal. Responda às seguintes questões abaixo relacionadas com o enunciado acima:

a) Determine a trajetória do ponto extremo da sombra;

b) Determine a equação do comprimento da sombra como função da posição do homem;

c) Determine a equação horária do ponto extremo da sombra.

Resposta TEF: a) Reta paralela à caminhada, a 3 m do poste. b) Comprimento pés-ponta: ℓ(x) = √(x² + 4)/2. c) S(t) = (1,5t; 3) m, com origem temporal no ponto mais próximo.

Resolução comentada · Método TEF

A expressão oficial √[9 + (1,5t)²] mede do poste à ponta. O comprimento da sombra desde os pés do homem é um terço desse valor.

Coloque o poste na origem do plano da calçada e a trajetória do homem na reta y = 2 m. Escolha t = 0 no ponto mais próximo do poste, com o homem em H(t) = (t,2), em metros.

Por semelhança, a distância do poste à ponta da sombra é 5,4/(5,4 − 1,8) = 1,5 vez a distância ao homem.

$$S(t)=1{,}5H(t)=(1{,}5t,3)$$

A ponta descreve uma reta paralela à caminhada, a 3 m do poste, com rapidez 1,5 m/s. Se x é a coordenada do homem ao longo da caminhada, o comprimento da sombra, entre seus pés e a ponta, é:

$$\ell(x)=\frac12\sqrt{x^2+4}$$

Já a distância do poste à ponta é outra grandeza:

$$|OS|=\frac32\sqrt{x^2+4}$$

O comentário oficial chama esta última distância de tamanho da sombra. As duas foram separadas para declarar com clareza os extremos usados na medida.

Q08

Encontro com cristas — Salva-vidas nadando contra as ondas

Numa praia as ondas se sucedem a cada intervalo de tempo de 10s (tempo entre duas ondas consecutivas), sendo que a distância entre duas delas é de 30m. Um salva vidas observa um banhista que se encontra em apuros, e jogando-se ao mar, após a passagem de uma onda, nada em direção a este com uma velocidade de 1,0m/s. Após 3min o salva-vidas chega ao banhista. Pergunta-se:

a) Quantas ondas o salva-vidas transpôs nadando, até alcançar o banhista?

b) Para o salva vidas, qual foi o intervalo de tempo entre duas ondas consecutivas?

Resposta TEF: a) 24 ondas depois da partida. b) 7,5 s.

Resolução comentada · Método TEF

As cristas propagam-se a 3 m/s e o nadador avança contra elas a 1 m/s.

$$v_{onda}=\frac{30}{10}=3\ \mathrm{m/s}$$

$$v_{rel}=3+1=4\ \mathrm{m/s}$$

$$T_{encontro}=\frac{30}{4}=7{,}5\ \mathrm s$$

$$N=\frac{3(60)}{7{,}5}=24$$

São 24 encontros depois da onda que passou no instante da partida, incluindo o encontro que coincide com a chegada aos 180 s. A distância entre cristas no referencial do mar continua sendo 30 m.

Dados da prova