A Física de Partículas investiga fenômenos que ocorrem em altas energias e em escalas extremamente pequenas, nas quais os efeitos relativísticos, associados à velocidade da luz $c$ (em m/s), e os efeitos quânticos, relacionados à constante de Planck dividida por $2\pi$, $\hbar$ (em J·s), tornam-se fundamentais. Nesse contexto, utiliza-se um sistema de unidades naturais, em que essas constantes universais são incorporadas às equações. Adotando-se $c = \hbar = 1$, todas as grandezas passam a ser expressas em potências de energia (ou, de forma equivalente, de massa). Sabendo que, no SI, as dimensões fundamentais são comprimento (L), massa (M) e tempo (T), a constante de gravitação universal $G$ de Newton possui, em unidades naturais, a sua dimensão dada por
Em unidades naturais ($c=\hbar=1$), as dimensões de comprimento e tempo tornam-se equivalentes à de massa. De $[c]=LT^{-1}=1$, obtemos $T=L$. De $[\hbar]=ML^2T^{-1}=1$ e substituindo $T=L$: $ML^2L^{-1}=ML=1 \Rightarrow L=M^{-1}$ (e também $T=M^{-1}$).
Como $[G]=L^3M^{-1}T^{-2}$, substituindo: $[G]=(M^{-1})^3\cdot M^{-1}\cdot(M^{-1})^{-2}=M^{-3}\cdot M^{-1}\cdot M^{2}=M^{-2}$ — alternativa A.
Um bloco cúbico homogêneo de aresta $L$ e densidade $d$ flutua parcialmente submerso em uma cuba preenchida com um líquido de densidade $D$. Na face superior do bloco, existe uma cavidade cúbica, aberta superiormente, de aresta igual a $L/2$, escavada centralmente, de modo que a cavidade não atinge o fundo nem as faces laterais do bloco. Ao despejar-se, lentamente, o líquido presente na cuba nessa cavidade, o bloco começa a submergir até ficar na iminência de afundar definitivamente. Nessas condições, o volume $V$ de líquido que deve ser colocado na cavidade, admitindo-se que o bloco permanece na vertical durante o processo, é igual a
Na iminência de afundar, o volume submerso é o do cubo inteiro, $L^3$, logo o empuxo vale $E=DgL^3$. O peso a sustentar é o do bloco sólido (volume $L^3-(L/2)^3=7L^3/8$, já descontada a cavidade) mais o do líquido despejado na cavidade (volume $V$, mesma densidade $D$ do banho): $P_{bloco}+P_{líquido}=dg\dfrac{7L^3}{8}+DgV$.
Igualando ao empuxo: $dg\dfrac{7L^3}{8}+DgV=DgL^3 \Rightarrow V=L^3-\dfrac{7d}{8D}L^3=\dfrac{L^3}{8}\left(8-\dfrac{7d}{D}\right)$ — alternativa C.
Satélites artificiais são utilizados em diversas aplicações. O movimento orbital desses satélites é mantido pela força gravitacional da Terra, que atua como resultante centrípeta do movimento. Desprezando a resistência do ar, considere um satélite que descreve uma órbita circular de período $T$ em torno da Terra, de raio $R$ e aceleração da gravidade de módulo $g$ em sua superfície. Se o satélite está a uma altitude $h$ acima da superfície, de modo que o raio de sua órbita é $R+h$, o valor de $T^2 g/4\pi^2$, em termos de $R$ e $h$, é
A gravidade na superfície é $g=GM/R^2 \Rightarrow GM=gR^2$. Pela 3ª Lei de Kepler, para a órbita de raio $R+h$: $T^2=\dfrac{4\pi^2(R+h)^3}{GM}=\dfrac{4\pi^2(R+h)^3}{gR^2}$.
Logo, $\dfrac{T^2g}{4\pi^2}=\dfrac{(R+h)^3}{R^2}$ — alternativa D.
Considere um hemisfério rígido de raio $R$, com o plano meridiano vertical que contém seu eixo de simetria. Uma barra homogênea e indeformável, de comprimento $L$ e peso $P$, é colocada de modo que suas extremidades se apoiem simetricamente em dois pontos da superfície interna do hemisfério. Admita que as forças de contato sejam normais à superfície (sem atrito), e que a barra esteja em equilíbrio na horizontal. Sabendo que $0 < L < 2R$ e que a intensidade de cada reação normal é $N$, o valor de $(P/N)^2$ é
Por simetria, cada extremidade da barra toca a superfície esférica a uma distância horizontal $L/2$ do eixo vertical de simetria. Como o ponto de contato está sobre a esfera de raio $R$ centrada em $O$, sua profundidade em relação a $O$ é $\sqrt{R^2-(L/2)^2}$.
A reação normal $N$ em cada extremidade aponta ao longo do raio (na direção de $O$), formando um ângulo $\theta$ com a vertical tal que $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{R^2-(L/2)^2}}{R}=\dfrac{\sqrt{4R^2-L^2}}{2R}$.
Equilíbrio vertical da barra: $2N\cos\theta=P \Rightarrow \dfrac{P}{N}=2\cos\theta=\dfrac{\sqrt{4R^2-L^2}}{R} \Rightarrow \left(\dfrac{P}{N}\right)^2=\dfrac{4R^2-L^2}{R^2}$ — alternativa A.
Considere um sistema composto por duas máquinas operando em série e sem perda de acoplamento. O motor I funciona entre duas fontes de temperaturas $T_1$ e $T_3$ ($T_1 > T_3$), absorvendo da fonte quente uma quantidade de calor $Q_1$ e fornecendo um trabalho $W$. Seu rendimento é igual a 60% do rendimento de um motor de Carnot operando entre as mesmas temperaturas. O trabalho $W$, por sua vez, é inteiramente utilizado para acionar uma máquina frigorífica de Carnot (Máquina II) que opera entre temperaturas $T_3$ (fonte quente) e $T_4$ (fonte fria), removendo uma quantidade de calor $Q_4$ da fonte fria. Supondo que, para o sistema aqui descrito, $T_1 = 600\,\text{K}$, $T_3 = 400\,\text{K}$ e $T_4 = 300\,\text{K}$, a razão $Q_4/Q_1$ é (Nota: o COP da Máquina II é calculado pela razão entre o calor removido $Q_4$ da fonte fria e o trabalho $W$ realizado para isso.)
O rendimento de Carnot entre $T_1=600$ K e $T_3=400$ K é $\eta_C=1-T_3/T_1=1-2/3=1/3$. O rendimento real do Motor I é $\eta=0{,}6\times1/3=1/5$, logo $W=\eta Q_1=Q_1/5$.
A Máquina II é um refrigerador de Carnot entre $T_3=400$ K (quente) e $T_4=300$ K (fria), com $COP=\dfrac{Q_4}{W}=\dfrac{T_4}{T_3-T_4}=\dfrac{300}{100}=3$.
Logo, $Q_4=3W=3\cdot\dfrac{Q_1}{5}=0{,}6\,Q_1 \Rightarrow \dfrac{Q_4}{Q_1}=0{,}60$ — alternativa D.
Dispositivos de aceleração linear (linacs) aumentam a energia cinética de partículas carregadas, fazendo-as atravessar sucessivos "gaps" onde existe uma diferença de potencial elétrica. Em cada gap, uma partícula de carga $q$ recebe um acréscimo em sua energia elétrica de $q\Delta V_k$, onde $\Delta V_k$ é a diferença de potencial entre as placas do $k$-ésimo gap. Considere uma partícula de massa $m$ e carga $q$, inicialmente em repouso, que atravessa $N$ gaps idênticos em um linac. Suponha que os gaps foram projetados de modo que as diferenças de potencial $\Delta V_k$ tenham um ajuste geométrico, ou seja, $\Delta V_k = \Delta V\, r^{k-1}$ para $k = 1, 2, \ldots, N$, com $r > 0$. Nessa última relação, $\Delta V$ representa um acréscimo constante no potencial. Ademais, medindo-se a velocidade da partícula imediatamente após o $N$-ésimo gap, obtém-se $U$. Com base nesses dados, a razão carga/massa $q/m$ da partícula vale (Nota: admita que não há perdas por radiação nem por colisões e que as velocidades permanecem em regime não relativístico durante todo o processo.)
A energia cinética final vem do trabalho elétrico total sobre a partícula: $\dfrac{1}{2}mU^2=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}q\,\Delta V_k=q\,\Delta V\sum_{k=1}^{N}r^{k-1}=q\,\Delta V\cdot\dfrac{r^N-1}{r-1}$.
Isolando $q/m$: $\dfrac{q}{m}=\dfrac{U^2(r-1)}{2\,\Delta V(r^N-1)}$ — alternativa B.
Em um laboratório de Física, um estudante realiza um experimento com um espelho esférico côncavo de Gauss, de distância focal $F$, que se encontra imerso em meio homogêneo e transparente. Um objeto linear de altura $H$ é colocado a uma distância $3F$ do vértice do espelho. Forma-se então uma imagem real de altura $Y$ a uma distância $X$ do vértice do espelho. Em seguida, o objeto é posicionado a distância $X$ do vértice do mesmo espelho, onde dá origem a uma outra imagem de altura $Z$. Assim, é correto afirmar que a razão $Z/Y$ entre as alturas das imagens é
Para o objeto em $p=3F$: $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{3F}+\dfrac{1}{p'} \Rightarrow \dfrac{1}{p'}=\dfrac{2}{3F} \Rightarrow p'=X=\dfrac{3F}{2}$. O aumento linear é $m_1=-p'/p=-1/2$, logo $Y=H/2$.
Recolocando o objeto em $p=X=3F/2$: $\dfrac{1}{F}=\dfrac{2}{3F}+\dfrac{1}{p''} \Rightarrow \dfrac{1}{p''}=\dfrac{1}{3F} \Rightarrow p''=3F$. O aumento é $m_2=-p''/p=-3F/(3F/2)=-2$, logo $Z=2H$.
Portanto, $\dfrac{Z}{Y}=\dfrac{2H}{H/2}=4$ — alternativa D.
Alguns dispositivos não ôhmicos (filamentos incandescentes ou componentes semicondutores) apresentam relação não linear entre tensão e corrente, podendo, em certos intervalos de operação, admitir dois valores de corrente para a mesma tensão aplicada. Um dispositivo não ôhmico apresenta uma relação entre a diferença de potencial $V$ (em volts) e a corrente $I$ (em ampères) dada por $V = -AI^2 + BI$, com $A > 0$ e $B > 0$. Quando duas amostras idênticas desse dispositivo são ligadas em paralelo a uma diferença de potencial fixa $V_0$, com $0 < V_0 < B^2/4A$, as correntes que percorrem cada amostra correspondem às duas raízes reais e positivas $I_1$ e $I_2$ da equação quadrática acima. Suponha que, no regime de operação considerado, uma das correntes seja três vezes a outra, isto é, $I_2 = 3I_1$. Nessas condições, a tensão $V_0$ (expressa em termos de $A$ e $B$) vale
Da equação $AI^2-BI+V_0=0$, as raízes $I_1,I_2$ satisfazem (relações de Girard) $I_1+I_2=B/A$ e $I_1I_2=V_0/A$.
Com $I_2=3I_1$: $I_1+3I_1=4I_1=B/A \Rightarrow I_1=B/(4A)$, e $I_2=3B/(4A)$.
Logo, $V_0=A\,I_1I_2=A\cdot\dfrac{B}{4A}\cdot\dfrac{3B}{4A}=\dfrac{3B^2}{16A}$ — alternativa C.
O uso de transformadores em práticas didáticas permite a compreensão de conceitos físicos, como a indução eletromagnética e a transformação de tensão. Um destes transformadores, com enrolamento primário contendo 2400 espiras, é ligado a uma rede elétrica de $120\,\text{V}$ (tensão nominal no primário). O secundário do transformador possui derivações, entre as quais as de $6\,\text{V}$ e $12\,\text{V}$. Em um teste típico, uma mesma lâmpada é conectada sucessivamente às derivações, e as potências dissipadas são medidas, sendo $P_6 = 5\,\text{W}$ e $P_{12} = 20\,\text{W}$. Com base nesses dados, o número de espiras correspondente à derivação de $12\,\text{V}$ é
Em um transformador ideal, a razão entre espiras é igual à razão entre as tensões: $\dfrac{N_{12}}{N_{prim}}=\dfrac{12}{120} \Rightarrow N_{12}=2400\times\dfrac{12}{120}=240$ espiras — alternativa C.
As potências $P_6=5$ W e $P_{12}=20$ W descrevem o comportamento não ôhmico da lâmpada em cada derivação, mas não são necessárias para obter o número de espiras, que depende apenas da razão de tensões do transformador ideal.
Em equipamentos elétricos reais, há sempre perdas internas de natureza resistiva e, em certas situações, a condição de ajuste do equipamento para atingir a potência útil máxima é relevante. Uma fonte ideal de tensão de $120\,\text{V}$ alimenta um equipamento cujo modelo elétrico pode ser representado por uma resistência interna $r = 10\,\Omega$ (responsável pelas perdas) em série com uma resistência ajustável $R$, correspondente à carga útil do equipamento. Quando o equipamento é ajustado de modo que a potência dissipada na resistência $R$ é máxima, a corrente elétrica $I$, que percorre o circuito, é
Pelo teorema da máxima transferência de potência, a potência em $R$ é máxima quando $R=r=10\,\Omega$. A resistência total do circuito é então $r+R=20\,\Omega$.
A corrente é $I=\dfrac{V}{r+R}=\dfrac{120}{20}=6\,\text{A}$ — alternativa A.
Dois alto-falantes idênticos emitem sons de mesma frequência e em fase, sendo colocados frente a frente a $4{,}0\,\text{m}$ de distância entre si. Um estudante caminha ao longo da linha que liga os dois alto-falantes e percebe alternância entre regiões de som intenso e regiões de quase silêncio. Sabendo que a frequência emitida é de $340\,\text{Hz}$ e que a velocidade de propagação do som no ar é de $340\,\text{m/s}$, a distância entre dois pontos consecutivos de silêncio é
O comprimento de onda é $\lambda=v/f=340/340=1{,}0$ m. Caminhando ao longo da linha que une as fontes em fase, a diferença de caminho até cada fonte varia linearmente com a posição, criando um padrão de interferência com pontos de silêncio (destrutiva) espaçados de $\lambda/2$.
Logo, a distância entre dois pontos de silêncio consecutivos é $\lambda/2=0{,}50$ m — alternativa B.
Considerando duas escalas termométricas lineares A e B, calibradas nas CNTP, com temperaturas de vaporização da água dadas respectivamente por $T_A$ e $T_B$, determinou-se a variação entre os pontos de vaporização da água e fusão do gelo para as escalas A e B, obtendo-se os valores $\Delta A$ e $\Delta B$ respectivamente. Assim, é correto afirmar que a temperatura $T$ que apresenta o mesmo valor numérico nas duas escalas é
Sendo $F_A$ e $F_B$ os pontos de fusão nas escalas A e B, temos $\Delta A=T_A-F_A$ e $\Delta B=T_B-F_B$. A conversão entre escalas lineares exige $\dfrac{T-F_A}{\Delta A}=\dfrac{T-F_B}{\Delta B}$ para a temperatura $T$ de igual valor numérico nas duas escalas.
Isolando $T$ e substituindo $F_A=T_A-\Delta A$, $F_B=T_B-\Delta B$, os termos $\Delta A\,\Delta B$ se cancelam, resultando em $T=\dfrac{T_A\Delta B-T_B\Delta A}{\Delta B-\Delta A}$ — alternativa A.
O estudo do movimento harmônico simples (MHS) é frequentemente facilitado pelo modelo de movimento circular uniforme (MCU), do qual o MHS é a projeção sobre o diâmetro tomado como eixo de referência. Em um experimento, um oscilador harmônico de amplitude $A$ é observado em quatro instantes igualmente espaçados ao longo de um período $T$, correspondendo a quatro posições igualmente distribuídas no círculo que representa o MCU. O deslocamento medido sobre o diâmetro a partir da posição de equilíbrio é dado por $x(t) = A\cos(2\pi t/T)$. Nessas condições, o valor da soma dos deslocamentos $x_1 + x_2 + x_3 + x_4$, correspondentes aos instantes $t = 0$, $T/4$, $T/2$ e $3T/4$, é
Calculando cada instante: $x_1=A\cos 0=A$; $x_2=A\cos(\pi/2)=0$; $x_3=A\cos(\pi)=-A$; $x_4=A\cos(3\pi/2)=0$.
Somando: $x_1+x_2+x_3+x_4=A+0-A+0=0$ — alternativa B.
Um entregador de mercadorias deve percorrer uma trajetória retilínea de comprimento $L$ em um intervalo de tempo $T$. Para percorrer o primeiro quarto da trajetória ($L/4$), ele utiliza a metade do intervalo de tempo. O valor do módulo da velocidade vetorial média necessária para percorrer o restante do percurso de forma que ele consiga realizar a entrega no intervalo de tempo $T$ é
No primeiro quarto ($L/4$), gasto no tempo $T/2$, resta percorrer $3L/4$ no tempo restante $T/2$.
A velocidade média nesse trecho restante é $v=\dfrac{3L/4}{T/2}=\dfrac{3L}{2T}$ — alternativa B.
Em um violão devidamente afinado, duas cordas $C_1$ e $C_2$, de mesmo comprimento $L$, submetidas às tensões $T_1$ e $T_2$ respectivamente, vibram no primeiro harmônico. Sendo a razão entre suas densidades lineares de massa $\mu_1/\mu_2 = 2$, é correto concluir que a relação entre as tensões $T_1/T_2$ para que as duas cordas vibrem na mesma frequência fundamental deve ser igual a
A frequência fundamental de uma corda vibrante é $f=\dfrac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}$. Para mesma frequência e mesmo comprimento $L$: $\dfrac{T_1}{\mu_1}=\dfrac{T_2}{\mu_2}$.
Logo, $\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{\mu_1}{\mu_2}=2$ — alternativa C.
Uma partícula de massa $M$ é lançada horizontalmente da coordenada $(0,H)$ do plano XY, com velocidade $V$, no vácuo nas proximidades da superfície da Terra. Ao tocar o solo, a partícula encontra-se na coordenada $(A,0)$. Assim, é correto afirmar que a coordenada $X$, medida a partir da origem quando a partícula tiver percorrido o primeiro quarto da altura $H$, é igual a
O tempo total de queda é $t_{total}=\sqrt{2H/g}$, com $A=V\,t_{total}$. Ao cair um quarto da altura ($\Delta y=H/4$): $\dfrac{H}{4}=\dfrac{1}{2}g\,t'^2 \Rightarrow t'=\sqrt{\dfrac{H}{2g}}$.
Comparando: $\dfrac{t'}{t_{total}}=\sqrt{\dfrac{H/(2g)}{2H/g}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$, logo $t'=t_{total}/2$.
Portanto, $X=V\,t'=V\,\dfrac{t_{total}}{2}=\dfrac{A}{2}$ — alternativa B.
Os vetores são fundamentais na Física, pois permitem representar grandezas que possuem direção, sentido e intensidade. A álgebra vetorial fornece as operações e propriedades necessárias para manipular essas grandezas com rigor matemático e coerência física. Sobre a álgebra vetorial, é correto afirmar que
Alternativa correta: B. O produto vetorial entre vetores paralelos é nulo, pois $|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\,\text{sen}\,\theta$ e, sendo $\theta=0$ ou $180°$, resulta $\text{sen}\,\theta=0$.
A está errada: o produto escalar resulta em uma grandeza escalar, não um vetor.
C está errada: o módulo da soma vetorial só é igual à soma dos módulos quando os vetores são paralelos e de mesmo sentido; em geral é menor.
D está errada: vetores ortogonais têm, por definição, produto escalar nulo (pois $\cos 90°=0$).
Uma carga pontual de módulo $q$ e massa $m$ é abandonada na origem do plano XY em repouso no vácuo. Nessa região, existe um campo elétrico uniforme $E$ orientado da esquerda para a direita, cujas linhas de campo são paralelas ao eixo $x$. Desprezando a força gravitacional, é correto afirmar que, nessas condições,
Alternativa correta: C. Pela 2ª Lei de Newton, $F=qE=ma \Rightarrow a=qE/m$. Se a carga for positiva, a força (e a aceleração) tem a mesma direção e sentido do campo — eixo x positivo — com módulo $qE/m$.
A está errada: existe força elétrica atuando ($F=qE\neq0$), logo a carga não permanece em repouso.
B está errada: mesmo com o sentido correto para uma carga negativa (eixo x negativo), a expressão da aceleração é dimensionalmente incorreta — o correto seria $qE/m$, não $mq/E$.
D está errada: o campo é inteiramente horizontal; não há componente vertical de força para gerar aceleração nessa direção.
Em um laboratório, estudam-se duas lentes, $L_1$ e $L_2$, esféricas de índices de refração iguais a $n$ imersas em meios transparentes isotrópicos. A lente $L_1$ (biconvexa) está em um meio de índice de refração $n_1 > n$, já a lente $L_2$ (bicôncava) está em um meio de índice de refração $n_2 < n$. Para essa configuração, é correto afirmar que
Regra geral: se o meio ao redor da lente for menos refringente que o material da lente ($n_{lente}>n_{meio}$), a lente se comporta da forma usual (biconvexa converge, bicôncava diverge). Se o meio for mais refringente que a lente ($n_{lente}<n_{meio}$), o comportamento se inverte.
Em $L_1$ (biconvexa), o meio tem $n_1>n$ — o meio é mais refringente que a lente — logo o comportamento se inverte, e $L_1$ passa a ser divergente.
Em $L_2$ (bicôncava), o meio tem $n_2<n$ — o meio é menos refringente que a lente — logo é o caso usual, e a lente bicôncava permanece divergente.
$L_1$ divergente e $L_2$ divergente — alternativa C.
Um fio condutor retilíneo muito longo encontra-se no plano XY, orientado na direção vertical ao longo do eixo Y. O fio é percorrido por uma corrente constante $I$ no sentido de baixo para cima. No primeiro quadrante, encontra-se uma espira condutora quadrada de lado $L$ e resistência $R$ que se move com velocidade constante $V$, para a direita, afastando-se do fio. Durante todo o movimento, dois de seus lados permanecem paralelos ao fio. Considerando o meio como vácuo, analise as seguintes afirmações:
I. O fluxo do campo magnético produzido pelo fio, através da espira, é constante no tempo; portanto, pela Lei de Faraday, a força eletromotriz induzida na espira é nula.
II. O fluxo magnético através da espira varia com o tempo, devido à variação espacial da intensidade do campo do fio sobre a área da espira conforme ela se afasta, gerando força eletromotriz induzida.
III. A força magnética resultante sobre a espira é não nula e aponta no sentido de afastá-la do fio.
É correto somente o que se afirma em
I é falsa: como a espira se afasta do fio, o campo do fio na região da espira diminui com o tempo, então o fluxo não é constante — há sim força eletromotriz induzida.
II é verdadeira: o campo $B=\mu_0I/(2\pi r)$ varia espacialmente (e portanto no tempo, conforme a espira se move) sobre a área da espira, alterando o fluxo e induzindo uma fem, conforme a Lei de Faraday.
III é falsa: pela Lei de Lenz, a corrente induzida se opõe à variação do fluxo (que diminui à medida que a espira se afasta); a força resultante tende a puxar a espira de volta para perto do fio (atrativa), e não a empurrar para mais longe.
Portanto, é correto apenas o que se afirma em II — alternativa B.