Na década de 1970, uma equipe de pesquisadores liderados pela astrônoma estadunidense Vera Rubin, estudando a velocidade com que as estrelas orbitavam o centro de galáxias espirais, verificou que as estrelas mais próximas da periferia das galáxias tinham velocidades muito superiores ao esperado. A velocidade esperada era calculada através do que se estimava de massa, $M(R)$, de estrelas, poeira e gás contidas dentro de um raio $R$, através da expressão que obedece às Leis de Newton da Gravitação,
$v=\sqrt{\dfrac{G\,M(R)}{R}}$, onde $G$ é a constante da Gravitação.
As altas velocidades implicariam que as galáxias só conseguiriam manter essas estrelas vinculadas, gravitacionalmente, a elas, caso houvesse muito mais matéria ali, além da conhecida: essa “massa faltante” seria de uma matéria de natureza ainda hoje não conhecida, chamada de matéria escura.
Observando o movimento de uma estrela a $20{,}0\text{ kPc}$ de distância do centro de uma galáxia X, esperava-se a velocidade orbital de módulo $10{,}0\text{ km/s}$, com base nas estimativas de massa da matéria conhecida, mas o módulo de velocidade medido foi de $250{,}0\text{ km/s}$.
Com base nessas informações,
⇒ Determine a relação entre a massa de matéria escura e a massa de matéria conhecida, dentro do raio de $20{,}0\text{ kPc}$ da galáxia X.
⇒ Calcule o tempo, em segundos, que essa estrela leva para completar uma volta em torno do centro galáctico, adotando $1{,}0\text{ kPc}=3\cdot10^{16}\text{ km}$.
1) A velocidade esperada depende só da massa conhecida e a velocidade medida, da massa total (conhecida + escura), no mesmo raio $R$:
$v_{esp}=\sqrt{\dfrac{G\,M_{con}}{R}}$ e $v_{med}=\sqrt{\dfrac{G\,M_{tot}}{R}}$.
Dividindo:
$\dfrac{v_{esp}}{v_{med}}=\sqrt{\dfrac{M_{con}}{M_{con}+M_{esc}}}\Rightarrow\dfrac{10}{250}=\sqrt{\dfrac{M_{con}}{M_{con}+M_{esc}}}$.
Elevando ao quadrado:
$\dfrac{1}{625}=\dfrac{M_{con}}{M_{con}+M_{esc}}\Rightarrow 625=1+\dfrac{M_{esc}}{M_{con}}\Rightarrow\dfrac{M_{esc}}{M_{con}}=624$.
2) O raio da órbita é $R=20{,}0\text{ kPc}=20\cdot3\cdot10^{16}\text{ km}$ e a velocidade medida é $v=250{,}0\text{ km/s}$. Em uma volta completa:
$P=\dfrac{2\pi R}{v}=2\pi\cdot\dfrac{20\cdot3\cdot10^{16}}{250}=4{,}8\pi\times10^{15}\text{ s}$.