Galileu Galilei, ao exprimir a relação da cinemática para os corpos em MRUV, descreveu o movimento de uma bola que descia um plano inclinado como a lei dos números ímpares consecutivos, ou seja, na $1^a$ unidade de tempo ($t$) da rolagem no plano, a bola percorria uma unidade de distância ($d$); na $2^a$, $1+3=4$ unidades de distância; na $3^a$, $1+3+5=9$, e assim por diante. Dessa forma, ele chegou ao que, hoje, podemos expressar por $d=k \cdot t^2$, em que $k = \text{constante de proporcionalidade}$ (que pode ser até igual a unidade $=1$). Cerca de 100 anos antes de Galileu, Leonardo da Vinci também descobriu o movimento acelerado expresso pelas unidades de espaço e tempo. Porém ele dizia, erroneamente, que os corpos deviam cair (ou rolar sobre um plano inclinado) de acordo com os números inteiros consecutivos. Isso poderia ser escrito como
1. Análise da hipótese de Leonardo da Vinci:
Segundo a hipótese incorreta descrita no enunciado, a distância percorrida até a $t$-ésima unidade de tempo corresponde à soma dos números inteiros consecutivos de $1$ até $t$:
- Na $1^a$ unidade ($t=1$): $d_1 = 1$
- Na $2^a$ unidade ($t=2$): $d_2 = 1 + 2 = 3$
- Na $3^a$ unidade ($t=3$): $d_3 = 1 + 2 + 3 = 6$
2. Soma de uma Progressão Aritmética (PA):
A soma dos $t$ primeiros números inteiros consecutivos é dada pela fórmula da soma da PA de primeiro termo $1$ e razão $1$:
\[S_t = \frac{(1 + t) \cdot t}{2} = \frac{t + t^2}{2}\]3. Equação com a constante $k$:
Multiplicando a expressão pela constante de proporcionalidade $k$:
\[d = \frac{k(t + t^2)}{2}\]A fotografia a seguir ilustra qual processo?
1. Análise do efeito de longa exposição astronômica:
A fotografia de longa exposição (conhecida como *star trails*) captura arcos circulares concêntricos traçados pela luz emitida pelas estrelas durante a noite.
Esses trajetos circulares ocorrem devido ao movimento de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo. Para um observador na superfície da Terra, o céu noturno parece girar em torno do polo celeste elevado (Polo Sul ou Polo Norte celeste), caracterizando a rotação aparente das estrelas.
A relação sesquiáltera entre período ($T$) e distância média ($a$) pode ser atribuída a qual personagem da história da Ciência e como pode ser escrita?
1. A Terceira Lei de Kepler (Lei Harmônica):
Formulada por Johannes Kepler, a $3^a$ Lei das órbitas planetárias afirma que o quadrado do período de revolução ($T$) de um planeta ao redor do Sol é proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol ($a$).
A relação sesquiáltera (razão de expoentes $3/2$, pois $T \propto a^{3/2}$) é expressa matematicamente como:
\[\frac{T^2}{a^3} = \text{constante}\]A ponte do estreito de Tacoma (fotografia a seguir), no Estado de Washington (EUA), desabou após um fenômeno que pode ser identificado como
1. Fenômeno de Ressonância:
A ponte suspensa de Tacoma Narrows colapsou em 1940 devido ao fenômeno da ressonância mecânica induzida pela ação de rajadas de vento periódicas. Quando a frequência externa do escoamento de ar coincidiu com a frequência natural de torção da estrutura da ponte, ocorreu um aumento dramático na amplitude das oscilações mecânicas, levando a estrutura à ruptura.
"O valor do empuxo que atua em um objeto mergulhado em um líquido é igual ao peso do líquido deslocado pelo objeto". Esse é o princípio de
1. Princípio de Arquimedes:
O enunciado descreve fielmente o Princípio de Arquimedes, que estabelece que todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido em equilíbrio sofre a ação de uma força vertical para cima (empuxo) cuja intensidade é igual ao peso do volume de fluido deslocado:
\[E = P_{\text{fluido deslocado}} = \rho_{\text{fluido}} \cdot V_{\text{submerso}} \cdot g\]A equação de Bernoulli corresponde, na Hidrodinâmica, a uma lei de conservação na dinâmica dos corpos rígidos e é válida para o regime estacionário de fluido incompressível e não viscoso. Essa lei de conservação é do(a)
1. Conservação da Energia em Fluidos em Escoamento:
A Equação de Bernoulli ($p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constante}$) deriva diretamente da aplicação do Teorema Trabalho-Energia Cinética ao escoamento ideal de fluidos. Ela expressa a conservação da energia mecânica por unidade de volume ao longo de uma linha de corrente.
A ilustração a seguir corresponde a uma das páginas do livro de Robert Hooke, *Lectiones Cutlerianae*. Nela Hooke demonstra a força elástica ($F$) em uma mola submetida a uma deformação ($x$) pela presença de uma massa. Essa lei pode ser escrita como (Obs.: $K = \text{constante}$)
1. Formulação da Lei de Hooke:
A Lei de Hooke descreve a força elástica restauradora proporcional à deformação linear $x$ sofrida pela mola:
\[F = -K \cdot x\]O sinal negativo indica que a força elástica atua sempre em sentido oposto ao deslocamento $x$ da extremidade livre em relação à posição de equilíbrio.
Uma máquina térmica absorve calor a uma temperatura de $727^\circ\text{C}$ e a exaure a uma temperatura de $527^\circ\text{C}$. Se a máquina opera com a máxima eficiência possível, para 2000 Joules de entrada de calor, a quantidade de trabalho que o motor realiza terá um valor aproximado de
1. Conversão das temperaturas para Kelvin:
- $T_H = 727^\circ\text{C} + 273 = 1000\text{ K}$
- $T_C = 527^\circ\text{C} + 273 = 800\text{ K}$
2. Rendimento de Carnot ($\eta$):
\[\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{800}{1000} = 0{,}20 \quad (20\%)\]3. Trabalho mecânico realizado ($W$):
\[W = \eta \cdot Q_H = 0{,}20 \times 2000\text{ J} = 400\text{ J}\]No circuito mostrado a seguir, as resistências são dadas em ohms, com uma bateria ideal de 3 volts. Qual dos resistores dissipa a maior potência?
1. Análise do circuito elétrico:
O resistor $R_1 = 50\ \Omega$ está posicionado no ramo principal do circuito, em série com a fonte de $3{,}0\text{ V}$. Logo, a corrente elétrica total ($i_{\text{total}}$) passa obrigatoriamente por $R_1$.
Nos nós subsequentes, a corrente total se divide entre o resistor $R_2$ ($50\ \Omega$) e a malha formada por $R_3$, $R_4$ e $R_5$. Nenhum outro resistor recebe a totalidade da corrente.
2. Potência dissipada ($P = R \cdot i^2$):
Sendo $P_1 = 50 \cdot i_{\text{total}}^2$, e sabendo que as correntes em todos os outros resistores são estritamente menores que $i_{\text{total}}$, o resistor $R_1$ dissipa a maior potência elétrica no circuito.