Considere uma corda A, de massa desprezível, passando por uma polia presa ao teto por outra corda B, conforme a figura a seguir. Pelas duas extremidades da corda A uma pessoa de massa $m$ se pendura e permanece em equilíbrio estático próximo à superfície da Terra. Considere a aceleração gravitacional com módulo $g$. A relação entre as tensões nas cordas e o peso da pessoa é
A pessoa segura as duas pontas da corda A. Então ela é sustentada por dois trechos de corda, cada um com tração $T_A$:
$$2T_A=mg\;\Longrightarrow\;T_A=\frac{mg}{2}$$
A polia, por sua vez, é puxada para baixo por esses dois trechos e segurada pela corda B. Com a polia de massa desprezível:
$$T_B=2T_A=mg$$
Então $T_A=\dfrac{T_B}{2}=\dfrac{mg}{2}$. A corda B segura o peso inteiro, e cada lado da corda A segura só metade. É a vantagem de se pendurar pelas duas pontas.
Um corredor parte do repouso com aceleração constante em uma pista horizontal. Suponha que ele imponha uma aceleração tal que seus pés fiquem na iminência do deslizamento em relação ao solo. Se a força de atrito estático máxima corresponde a 60% de seu peso, quantos metros o atleta percorre nos primeiros 2 segundos? Considere $g=10\text{ m/s}^2$.
Quem empurra o corredor para frente é o atrito do chão nos pés. Na iminência de escorregar, essa força está no máximo: $60\%$ do peso.
$$ma=0{,}6\,mg\;\Longrightarrow\;a=6\ \text{m/s}^2$$
Partindo do repouso, em $2\ \text{s}$:
$$s=\frac{at^2}{2}=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{m}$$
Vale notar: é o atrito que acelera o corredor. Sem ele (numa pista de gelo), não haveria como sair do lugar.
Um chuveiro elétrico tem uma resistência ôhmica de $10\Omega$. Após duas horas ligado, verificou-se que o consumo de energia foi de $2{,}42\text{ kW}\cdot\text{hora}$. Assim, a tensão em Volts da rede em que o chuveiro foi ligado é
Energia consumida dividida pelo tempo dá a potência:
$$P=\frac{2{,}42\ \text{kWh}}{2\ \text{h}}=1{,}21\ \text{kW}=1210\ \text{W}$$
Com $P=\dfrac{U^2}{R}$:
$$U=\sqrt{PR}=\sqrt{1210\cdot10}=\sqrt{12\,100}=110\ \text{V}$$
Repare que o kWh é unidade de energia, e não de potência. Muita gente divide ou multiplica pelas 2 horas no lugar errado.
Dois objetos de $1\text{ kg}$ cada movem-se em linhas retas com velocidades $V_A=1\text{ m/s}$ e $V_B=2\text{ m/s}$. Após certo tempo, as velocidades dos dois objetos aumentam de $1\text{ m/s}$ cada. Desprezando todas as forças de atrito, nesse intervalo de tempo o trabalho total (em Joules) realizado sobre os carros A e B é, respectivamente,
Pelo teorema da energia cinética, o trabalho total é a variação da energia cinética. As duas velocidades aumentam $1\ \text{m/s}$, mas os trabalhos não são iguais.
$$W_A=\frac{1}{2}\cdot1\cdot(2^2-1^2)=1{,}5\ \text{J}\qquad W_B=\frac{1}{2}\cdot1\cdot(3^2-2^2)=2{,}5\ \text{J}$$
A energia cinética depende do quadrado da velocidade. Acelerar de 2 para 3 custa mais que de 1 para 2, mesmo sendo o mesmo ganho de velocidade. A alternativa B faz a conta como se fosse linear.
A figura (i) mostra uma fonte luminosa que faz incidir luz sobre um material semitransparente. Em dois pontos, A e B, mostrados na figura (i), são medidas as intensidades $I$ de luz para vários comprimentos de onda $\lambda$, e os resultados são mostrados no gráfico (ii). A curva sólida corresponde à medição em A, e a tracejada, em B. Despreze os efeitos devidos à reflexão de luz no material e considere o experimento realizado no vácuo. Assim, sobre o material, é correto afirmar-se que
A curva A mostra a luz que chega ao material; a curva B, a que sai do outro lado. Onde B fica muito abaixo de A, o material absorveu aquela cor.
As duas quedas fortes da curva tracejada estão em $420\ \text{nm}$ (azul) e $534\ \text{nm}$ (verde). Nos outros comprimentos de onda, B acompanha A de perto.
Então o material absorve mais fortemente o azul e o verde. A C diz o contrário: é justamente nessas cores que ele menos transmite.
Uma massa $m$ presa a uma mola de constante elástica $k$ oscila sobre um plano horizontal sem atrito de modo que sua velocidade em função do tempo é dada por $v=v_{\max}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)$. Desprezando-se todos os atritos, a energia potencial elástica em função do tempo é dada por
Sem atrito, a energia mecânica é constante e igual à energia cinética máxima, $E=\frac12mv_{\max}^2$. A energia potencial é o que falta para completar esse total.
$$U=E-K=\frac12mv_{\max}^2-\frac12mv_{\max}^2\cos^2(\omega t)=\frac12mv_{\max}^2\,\text{sen}^2(\omega t)$$
Usamos $1-\cos^2=\text{sen}^2$. Faz sentido: quando a velocidade é máxima ($\cos=1$), a mola está no comprimento natural e a energia potencial é zero. As alternativas C e D caem na análise dimensional: $\frac12k$ sozinho não tem unidade de energia.
Considere dois experimentos em que uma esfera, construída com um material isolante térmico perfeito e impermeável, flutua em água a diferentes temperaturas. No experimento I, a água está a $20\text{ °C}$, com densidade $998{,}2\text{ g/L}$. No experimento II, a água está a $90\text{ °C}$, com densidade $965{,}3\text{ g/L}$. A razão entre os volumes submersos $V_{II}/V_I$ da esfera nos dois experimentos é aproximadamente
A esfera flutua nos dois casos, então o empuxo é igual ao peso nos dois: $\rho\,V_{\text{sub}}\,g=mg$. O volume submerso é inversamente proporcional à densidade da água.
$$\frac{V_{II}}{V_I}=\frac{\rho_I}{\rho_{II}}=\frac{998{,}2}{965{,}3}\approx1{,}034$$
A água quente é menos densa, então a esfera afunda um pouco mais (cerca de $3\%$) para deslocar o mesmo peso. A esfera ser isolante serve para garantir que ela mesma não se aqueça e mude de volume.
Em um dado experimento um gás ideal armazenado em um recipiente metálico tem seu volume reduzido muito rapidamente, de modo que se possa aproximar como nula qualquer transferência de calor com o meio externo. Em um segundo experimento com o mesmo sistema a velocidade de compressão é muito menor, de modo que não se possa usar essa aproximação. Suponha que antes do início dos dois processos de compressão o gás esteja em equilíbrio térmico com o meio. Assim, pode-se afirmar corretamente que
Compressão rápida (adiabática): não há tempo para trocar calor. O trabalho feito sobre o gás vira energia interna e ele esquenta. Não há perda para o meio.
Compressão lenta: o recipiente metálico conduz calor e o gás tem tempo de trocar energia com o ambiente. A tendência é o gás ficar perto da temperatura do meio e ceder a ele o calor correspondente ao trabalho recebido.
Então só no segundo experimento há perda de energia do gás para o meio. A B inverte a ideia: na compressão lenta, a energia interna quase não muda.
Um recipiente com ar comprimido é fechado por uma tampa de $12\text{ cm}^2$ de área e peso desprezível. Para manter esse recipiente fechado é necessária a aplicação de uma força normal à tampa no valor de $240\text{ N}$. Considere que a pressão atmosférica é de $10^5\text{ Pa}$. Assim, a pressão do ar no recipiente, em Pa, é
A tampa é empurrada para fora pelo ar de dentro e para dentro pela atmosfera e pela força aplicada. Em equilíbrio:
$$p_{\text{int}}A=p_{\text{atm}}A+F$$
Com $A=12\ \text{cm}^2=12\cdot10^{-4}\ \text{m}^2$, a força aplicada equivale a uma pressão extra de $\dfrac{240}{12\cdot10^{-4}}=2\cdot10^5\ \text{Pa}$.
$$p_{\text{int}}=10^5+2\cdot10^5=3\cdot10^5\ \text{Pa}$$
Quem esquece a atmosfera do lado de fora marca $2\cdot10^5$, que nem está nas opções. A conversão de área é o outro ponto de atenção: centímetro quadrado para metro quadrado é $10^{-4}$.
Considere dois osciladores harmônicos simples, I e II, cujos movimentos estão defasados conforme a figura a seguir. Assim, a diferença de fase entre os movimentos desses osciladores é aproximadamente
Compare pontos equivalentes das duas curvas. Quando o oscilador I está no máximo, o II passa pelo zero descendo; quando o I passa pelo zero descendo, o II está no mínimo.
Ou seja, o II está sempre um quarto de ciclo adiantado em relação ao I. Um quarto de período corresponde a
$$\Delta\varphi=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$
As linhas tracejadas da figura marcam justamente esse deslocamento de um quarto de período. Uma diferença de $\pi$ deixaria as curvas espelhadas (um no máximo quando o outro está no mínimo).
A figura a seguir ilustra um sistema de vasos comunicantes. O sistema é completamente preenchido com água e as extremidades das três colunas verticais são fechadas por tampas rígidas cujas áreas são $A_1<A_2<A_3$, conforme a figura. Assim, pode-se afirmar corretamente que, na presença de gravidade, as pressões nas tampas são melhor relacionadas por
Num líquido em equilíbrio, a pressão depende só da profundidade. As três tampas estão na mesma altura (a linha tracejada), então estão na mesma profundidade e sofrem a mesma pressão.
As áreas diferentes mudam a força em cada tampa ($F=PA$): a tampa 3, maior, é empurrada com mais força. Mas a pressão é igual.
$$P_1=P_2=P_3$$
É exatamente o princípio da prensa hidráulica: mesma pressão, forças proporcionais às áreas.
A figura abaixo mostra um instantâneo de dois pulsos que se propagam sem deformação em uma corda. Os pulsos foram gerados nas extremidades opostas da corda, de modo que o representado pela curva tracejada se propague no sentido positivo de $x$ e o outro pulso no sentido negativo. Assuma que a corda é um meio homogêneo e linear para essa propagação, e que os pulsos se propagam com velocidade $2\text{ m/s}$, em módulo. Assim, o pico máximo na direção $y$ da corda $1\text{ s}$ após esse instantâneo é
Cada pulso anda $2\ \text{m}$ em $1\ \text{s}$. O tracejado, centrado em $x=-2$, vai para $x=0$; o outro, centrado em $x=2$, também chega a $x=0$. Os dois picos se encontram no mesmo ponto.
Num meio linear, os deslocamentos se somam (superposição):
$$y_{\max}=\frac{1}{100}+\frac{1}{100}=\frac{1}{50}\ \text{m}$$
Depois do encontro, cada pulso segue seu caminho com a forma original: eles passam um pelo outro sem se alterar.
Um resistor ôhmico é ligado a uma bateria de tensão $V_0$ para aquecer um volume de água de $24\text{ °C}$ até $37\text{ °C}$ dentro de certo intervalo de tempo, desprezando qualquer perda para o meio ambiente. Para que a mesma quantidade de água seja igualmente aquecida em 25% do tempo anterior, a tensão da bateria deve ser multiplicada por um fator de
A energia necessária para aquecer a água é a mesma nos dois casos. Se o tempo cai para $25\%$ (um quarto), a potência precisa ser quatro vezes maior.
Para o mesmo resistor, $P=\dfrac{U^2}{R}$: a potência é proporcional ao quadrado da tensão. Para quadruplicar a potência, basta dobrar a tensão.
$$\frac{P'}{P}=\left(\frac{U'}{U}\right)^2=4\;\Longrightarrow\;\frac{U'}{U}=2$$
A pegadinha é marcar 4, esquecendo que a potência cresce com o quadrado da tensão.
Dois sistemas massa-mola oscilam sem atrito sobre uma superfície horizontal. As massas são idênticas, cada uma com valor $m$, e as molas têm constantes elásticas $k_s$ e $k_m$. O sistema com $k_s$ realiza uma oscilação completa em $1\text{ s}$ e o oscilador com $k_m$ oscila com período de 1 minuto. Para isso, as constantes elásticas das molas podem ser relacionadas por
O período do massa-mola é $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$. Com as massas iguais, só as constantes mudam:
$$\frac{T_m}{T_s}=\sqrt{\frac{k_s}{k_m}}$$
O sistema com $k_m$ leva $60\ \text{s}$ e o com $k_s$ leva $1\ \text{s}$:
$$\sqrt{\frac{k_s}{k_m}}=60$$
Período maior significa mola mais mole. Então $k_m$ é bem menor que $k_s$ (3600 vezes menor, na verdade), e a razão $k_s/k_m$ sob a raiz dá 60.
Dois instantâneos de uma onda harmônica transversal que se propaga na direção $x$ em um meio não dispersivo são mostrados na figura a seguir. A diferença de tempo entre esses instantâneos é de $0{,}5\text{ s}$. Assim, a velocidade de propagação da onda é, em m/s,
Primeiro, o comprimento de onda. Pela figura, a curva contínua sobe, desce e volta ao eixo em $x=6{,}28\ \text{m}$: um ciclo completo. Então $\lambda=6{,}28\ \text{m}$.
Agora compare os dois instantâneos. A curva tracejada é a contínua invertida: onde uma tem crista, a outra tem vale, e as duas cruzam o eixo nos mesmos pontos. Isso corresponde a um deslocamento de meia onda:
$$\Delta x=\frac{\lambda}{2}=3{,}14\ \text{m}$$
Esse deslocamento aconteceu em $0{,}5\ \text{s}$:
$$v=\frac{3{,}14}{0{,}5}=6{,}28\ \text{m/s}$$
A armadilha é a alternativa B, $3{,}14\ \text{m/s}$: ela aparece para quem lê o $3{,}14$ do eixo e divide por $1\ \text{s}$, ou para quem acha que a onda andou só um quarto de onda. Tecnicamente, a onda poderia ter andado meia onda mais um número inteiro de ondas, mas a menor velocidade compatível, e a única entre as opções, é $6{,}28\ \text{m/s}$.
Algumas quantidades que são adimensionais têm unidades de medida. Por exemplo, ângulos podem ser medidos em unidades de radianos, mas são quantidades adimensionais. Considere o ângulo $\theta$ em radianos e $T$ e $T_0$ em °C. As unidades de medida de $(\cos\theta)$, $(T_0\cdot\log\theta)$ e $[\log(T/T_0)]$ são, respectivamente,
Seno, cosseno e logaritmo só aceitam argumentos sem dimensão e devolvem números puros.
$\cos\theta$: sem unidade (o radiano não "passa" para o resultado). $T_0\log\theta$: o logaritmo é um número puro, multiplicado por uma temperatura, então a unidade é °C. $\log(T/T_0)$: a razão entre duas temperaturas não tem unidade, e o logaritmo dela também não.
Sem unidade, °C e sem unidade. É a alternativa D.
Considere um objeto de massa $m$ acima da superfície da Terra, cuja massa é $M_T$, e a uma distância $d$ do seu centro. Aplicando-se a segunda lei de Newton ao objeto e supondo que a única força atuando nele seja dada pela lei da gravitação universal, com $G$ sendo a constante de gravitação universal, sua aceleração é
Se a única força é a gravitacional, ela é a resultante:
$$\frac{GM_Tm}{d^2}=ma\;\Longrightarrow\;a=\frac{GM_T}{d^2}$$
A massa do objeto se cancela: todos os corpos caem com a mesma aceleração no mesmo lugar. Na superfície da Terra, com $d=R_T$, essa expressão dá os conhecidos $9{,}8\ \text{m/s}^2$.
Uma das propriedades do capacitor é armazenar energia. Essa característica é a base de um desfibrilador, aparelho usado para conter a fibrilação de um coração vitimado por um ataque. Considere um desfibrilador com um capacitor de $64\mu\text{F}$ completamente carregado, com uma tensão de $5\text{ kV}$ entre suas placas. Suponha que em cada aplicação do aparelho seja usada 25% da energia total acumulada. Assim, a energia, em Joules, utilizada em uma dessas aplicações é
A energia armazenada num capacitor é $E=\dfrac{CU^2}{2}$:
$$E=\frac{64\cdot10^{-6}\cdot(5\cdot10^3)^2}{2}=\frac{64\cdot10^{-6}\cdot25\cdot10^6}{2}=800\ \text{J}$$
Cada aplicação usa $25\%$ disso:
$$E_{\text{aplicação}}=\frac{800}{4}=200\ \text{J}$$
Esses $800\ \text{J}$ são a alternativa D, a armadilha de quem esquece o último passo. E o $5\ \text{kV}$ precisa ir ao quadrado, o que faz a energia crescer muito.
Um sistema constituído por um gás ideal pode evoluir do estado inicial $i$ para os estados finais $f_I$, $f_{II}$ e $f_{III}$ por três diferentes processos, conforme a figura a seguir. A relação entre as variações de energia interna em cada processo, $E_I$, $E_{II}$ e $E_{III}$, é
Para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura. Os três estados finais estão sobre a mesma isoterma, $T+\Delta T$, e todos partem do mesmo estado $i$.
Então a variação de temperatura é a mesma nos três processos, e a variação de energia interna também.
$$\Delta E_I=\Delta E_{II}=\Delta E_{III}$$
O que muda de um caminho para outro é o trabalho e o calor: energia interna é função de estado, trabalho e calor dependem do caminho.
Em dois disparos de uma arma de fogo, as balas colidem perpendicularmente à superfície de duas placas de aço verticais idênticas, e diretamente no seu centro geométrico. O projétil do segundo disparo tem massa maior que o do primeiro e em ambos as balas saem com a mesma velocidade inicial. Apenas no segundo disparo a placa foi derrubada. Desprezando-se o atrito do ar, a explicação mais plausível para que a placa tenha sido derrubada é:
Mesma velocidade, massa maior: o segundo projétil chega com maior momento linear, $p=mv$.
Na colisão, o impulso transmitido à placa depende da quantidade de movimento que o projétil traz. Mais momento, mais impulso, e a placa tomba.
As alternativas B e C sobre energia potencial gravitacional não fazem sentido: o tiro é horizontal e a altura do projétil é a mesma nos dois disparos.