UECE 19.1 | 2ª Fase

Uma lente delgada é dita convergente quando faz com que um feixe de raios paralelos ao eixo principal, ao atravessá-la, convirja para um único ponto do outro lado da lente. Esse ponto de convergência é, por definição, o foco da lente — não o vértice (o vértice é apenas o ponto geométrico central da lente, onde o eixo principal a intercepta, e não tem relação com a convergência dos raios).

Uma lente divergente, ao contrário, faz com que raios paralelos ao eixo principal se espalhem após atravessá-la, como se estivessem partindo de um foco virtual do lado de onde vieram os raios — ela nunca concentra energia luminosa em um ponto real, o que já a descarta para a finalidade de aquecimento proposta (alternativas A e D).

Como o objetivo é concentrar os raios solares (paralelos ao eixo principal) em um ponto para aquecê-lo, a lente deve ser convergente, e esse ponto de concentração é exatamente o foco da lente — alternativa C.

Sempre que a luz incide sobre uma interface entre dois meios de índices de refração diferentes (aqui, ar e vidro), parte da energia luminosa é refletida de volta ao primeiro meio e parte é transmitida (refratada) para o segundo meio — esse é o comportamento geral descrito pelas equações de Fresnel, salvo em situações particulares como incidência rasante ou reflexão total interna (que exige que a luz esteja indo de um meio mais refringente para um menos refringente com ângulo maior que o crítico, o que não é o caso aqui, pois a luz vem do ar, menos refringente, para o vidro, mais refringente).

Como o vidro é descrito como semitransparente e não há condição de reflexão total interna nessa geometria (luz do ar incidindo no vidro), não pode haver reflexão total (o que descarta a alternativa D) nem refração total sem nenhuma reflexão (o que descarta as alternativas A e C, que afirmam refração total).

Assim, o raio solar que chega ao painel é, de fato, parcialmente refletido pela superfície do vidro e parcialmente refratado para o interior do vidro — alternativa B.

Como o ferro (resistência $R_{ferro}$) e o cabo (resistência $R_{cabo}$) estão em série, a mesma corrente $I$ percorre ambos, e a tensão da rede $V$ se divide entre eles proporcionalmente às resistências: $V_{ferro}=V\cdot\dfrac{R_{ferro}}{R_{ferro}+R_{cabo}}$.

A potência (calor gerado por efeito Joule) no ferro é $P_{ferro}=I^2R_{ferro}=\dfrac{V^2R_{ferro}}{(R_{ferro}+R_{cabo})^2}$. Para maximizar essa potência entregue ao ferro (fração da tensão da rede efetivamente aproveitada por ele), é necessário que $R_{cabo}$ seja desprezível frente a $R_{ferro}$, de modo que praticamente toda a tensão da rede caia sobre o ferro, e a energia dissipada seja concentrada nele.

Se $R_{cabo}$ fosse muito maior que $R_{ferro}$ (alternativa A), a maior parte da tensão e da potência seria dissipada como calor no próprio cabo (aquecendo-o e desperdiçando energia), tornando o ferro ineficiente. As alternativas B e C, que relacionam a resistência do cabo à corrente ou à tensão da rede (grandezas variáveis, não uma característica fixa do condutor), não fazem sentido físico como critério de projeto do cabo.

Logo, para maior eficiência na geração de calor pelo ferro, a resistência do cabo deve ser muito menor do que a do ferro de passar — alternativa D.

Com a abertura simétrica das pernas em 120° entre si, cada perna forma um ângulo de $120°/2=60°$ em relação à vertical (à linha que passa pelo quadril, perpendicular ao solo). Supondo o peso do(a) atleta ($P=mg=70\times10=700\text{ N}$) igualmente dividido entre os dois pés apoiados no chão, a força normal em cada pé vale $N=350\text{ N}$, vertical (perpendicular ao solo).

O torque dessa força normal em relação ao ponto central do quadril é $\tau=N\cdot r\cdot\text{sen}\,\theta$, onde $r=1\text{ m}$ é a distância entre o ponto de aplicação e o quadril, e $\theta$ é o ângulo entre o vetor força (vertical) e o vetor posição ao longo da perna. Como a perna faz $60°$ com a vertical, o ângulo entre a força normal (vertical) e a perna (direção do vetor $r$) é exatamente $60°$.

Logo, $\tau=350\times1\times\text{sen}(60°)=350\,\text{sen}(60°)\text{ N}\cdot\text{m}$ — alternativa D.

Seja $2r$ tanto o diâmetro da base quanto a altura do cilindro (dado do enunciado). A pressão hidrostática em um ponto depende apenas da profundidade abaixo da superfície livre do líquido (aqui, em um recipiente fechado cheio de água, do topo do recipiente): $P=P_0+\rho g h$, onde $h$ é a distância vertical até o ponto mais próximo da mesa.

Na situação (i), o cilindro está em pé sobre sua base circular: o ponto mais próximo da mesa é toda a base, a uma profundidade $h=2r$ (a altura total do cilindro) abaixo do topo. Na situação (ii), o cilindro está deitado de lado: o ponto mais próximo da mesa é o ponto mais baixo da superfície lateral curva, e a distância vertical até o topo do cilindro (ponto mais alto) é igual ao diâmetro da base, também $2r$. Logo, a profundidade do ponto mais próximo da mesa é a mesma ($2r$) nas duas situações, e $P_{(i)}=P_{(ii)}$ — o que já descarta as alternativas B e D.

Já $F_{(i)}$ e $F_{(ii)}$, conforme o enunciado, são as pressões (força por área de contato) exercidas pelo recipiente sobre a mesa — não a força total. A força total de reação da mesa é sempre igual ao peso total do sistema (recipiente + água), idêntico nas duas orientações — mas a área de contato com a mesa é muito diferente: na situação (i), a base circular inteira toca a mesa (área $\pi r^2$, relativamente grande), distribuindo o peso e gerando uma pressão de contato relativamente baixa; na situação (ii), o cilindro deitado toca a mesa apenas ao longo de uma linha estreita (a geratriz de contato entre a superfície curva e o plano), uma área de contato muito menor, concentrando a mesma força total em uma região muito pequena e gerando uma pressão de contato muito maior — o mesmo princípio pelo qual uma faca afiada corta mais facilmente que uma superfície romba, para a mesma força aplicada ($P=F/A$).

Assim, $P_{(i)}=P_{(ii)}$ (pressão hidrostática no ponto mais baixo da água) e $F_{(i)}alternativa A.

A energia mecânica total do sistema massa-mola é a soma da energia potencial elástica e da energia cinética: $E=\dfrac{1}{2}kx^2+\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}k[A\cos(\omega t)]^2+\dfrac{1}{2}m[A\omega\,\text{sen}(\omega t)]^2$.

Usando $\omega^2=k/m$, ou seja, $m\omega^2=k$, o segundo termo se reescreve como $\dfrac12 m\omega^2A^2\,\text{sen}^2(\omega t)=\dfrac12 kA^2\,\text{sen}^2(\omega t)$. Substituindo: $E=\dfrac12kA^2\cos^2(\omega t)+\dfrac12kA^2\,\text{sen}^2(\omega t)=\dfrac12kA^2\left[\cos^2(\omega t)+\text{sen}^2(\omega t)\right]$.

Pela identidade fundamental da trigonometria, $\cos^2(\omega t)+\text{sen}^2(\omega t)=1$ para qualquer instante $t$. Logo, $E=\dfrac12kA^2$ — um valor constante, independente do tempo (como deve ser, já que o sistema é conservativo e não há dissipação) — alternativa A. As alternativas B e C descartam-se por apresentarem apenas uma das duas parcelas (potencial ou cinética isoladamente), ainda dependentes de $t$; a alternativa D erra a dimensão, faltando o fator $\omega^2$ (ou, equivalentemente, $k$) para se tornar uma energia.

A resistência elétrica de um condutor cilíndrico homogêneo é dada por $R=\rho\dfrac{L}{A}$, onde $\rho$ é a resistividade do material, $L$ é o comprimento e $A$ é a área da seção transversal.

O novo resistor é feito do mesmo material (mesma $\rho$), com o dobro do comprimento ($L'=2L$) e o triplo da área da base ($A'=3A$): $R'=\rho\dfrac{2L}{3A}=\dfrac{2}{3}\left(\rho\dfrac{L}{A}\right)=\dfrac{2}{3}R$.

Portanto, a razão entre a nova resistência e a primeira é $\dfrac{R'}{R}=\dfrac{2}{3}$ — alternativa C.

O sistema em análise é definido como "o vagão e a carga em seu interior" — ou seja, um sistema de massa variável, que perde massa continuamente à medida que o líquido vaza. O momento linear desse sistema é $p(t)=m(t)\,v(t)$, com $m(t)$ decrescente.

Derivando: $\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{dm}{dt}\,v+m\,\dfrac{dv}{dt}$. O líquido que vaza sai com a mesma velocidade horizontal que o vagão no instante em que deixa o sistema (não recebe nenhum "empurrão" horizontal adicional ao vazar, apenas cai verticalmente); para essa condição, a equação de movimento do vagão restante é $m\dfrac{dv}{dt}=F_{ext}$ (a força aplicada pela locomotiva), de modo que $\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{dm}{dt}\,v+F_{ext}$.

Como $\dfrac{dm}{dt}\neq0$ (a massa do sistema diminui continuamente com o vazamento) e $v\neq0$ (o vagão está em movimento), o termo $\dfrac{dm}{dt}\,v$ é não nulo: o momento linear do sistema vagão+carga interna varia tanto pela força externa aplicada quanto pela perda de massa (o líquido que sai carrega consigo parte do momento do sistema) — alternativa B. Isso descarta a alternativa A (que ignora o efeito da perda de massa), a C (que ignora a força aplicada, claramente relevante pois altera $v$) e a D.

Da equação $F=G\dfrac{Mm}{d^2}$, isola-se a constante: $G=\dfrac{F\,d^2}{M\,m}$. A unidade de $F$ é o newton (N); a unidade de $d^2$ é $\text{m}^2$; as unidades de $M$ e $m$ são ambas quilogramas (kg).

Substituindo as unidades: $[G]=\dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}\cdot\text{kg}}=\dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ — alternativa D.

"Ligadas à rede elétrica" significa que cada lâmpada é conectada diretamente aos terminais da tomada, ficando submetida à mesma tensão eficaz $V$ da rede, de forma independente uma da outra (não em série entre si).

A resistência de um filamento é $R=\rho\dfrac{L}{A}$: quanto mais espesso o filamento (maior área de seção transversal $A$, mantendo comprimento e material semelhantes), menor sua resistência elétrica.

Como ambas as lâmpadas estão sob a mesma tensão $V$, a potência dissipada em cada uma é $P=\dfrac{V^2}{R}$: a lâmpada de menor resistência (filamento mais espesso) dissipa mais potência, logo brilha mais intensamente — alternativa C.

Um fio retilíneo percorrido por corrente elétrica gera, ao seu redor, um campo magnético cujas linhas de campo formam círculos concêntricos ao fio, contidos em planos perpendiculares a ele (regra da mão direita). Isso já descarta a alternativa D, pois há claramente um efeito magnético do fio sobre a bússola (experimento histórico de Oersted).

Em um ponto logo acima do fio, o vetor campo magnético é tangente a essa circunferência, ou seja, aponta em uma direção horizontal perpendicular ao fio (e perpendicular também à linha que liga o ponto ao fio, mas na prática, para um ponto diretamente acima, o campo resultante é perpendicular à direção do fio).

Como a agulha da bússola se alinha com a direção do campo magnético resultante no local onde ela se encontra, e esse campo é perpendicular ao fio, o ponteiro da bússola se alinha com a perpendicular ao fio — alternativa A.

As dimensões básicas envolvidas são: comprimento $[L]=\text{L}$, aceleração da gravidade $[g]=\text{L}\,\text{T}^{-2}$, massa $[M]=\text{M}$, e período $[T]=\text{T}$ (tempo). Substituindo na relação proposta: $\text{T}=\text{L}^a\left(\text{L}\,\text{T}^{-2}\right)^b\text{M}^c=\text{L}^{a+b}\,\text{T}^{-2b}\,\text{M}^c$.

Para que essa igualdade seja dimensionalmente homogênea (o lado esquerdo tem apenas dimensão de tempo, expoente 1, e nenhuma dimensão de comprimento ou massa), os expoentes de cada grandeza básica devem coincidir dos dois lados: para o comprimento, $a+b=0$; para a massa, $c=0$; para o tempo, $-2b=1$.

Da última equação, $b=-\dfrac12$; substituindo em $a+b=0$, obtém-se $a=\dfrac12$. E $c=0$.

Logo, $a=1/2$, $b=-1/2$ e $c=0$ — alternativa D, consistente com a fórmula conhecida do período do pêndulo simples, $T=2\pi\sqrt{L/g}$, que de fato não depende da massa.

Para um resistor de resistência $R$, a potência dissipada pode ser expressa de três formas equivalentes, todas consequência da lei de Ohm ($V=IR$): $P=IV$, $P=I^2R$ e $P=V^2/R$.

Como $R$ é fixo (característica do próprio resistor), corrente e tensão não são independentes: qualquer redução de uma implica, automaticamente, a redução proporcional da outra (pela lei de Ohm). Assim, diminuir apenas a corrente (item II) já reduz a potência, pois $P=I^2R$ diminui diretamente com $I$ (e a tensão correspondente também cai, mas isso não invalida a afirmação de que a diminuição da corrente reduz a potência). Da mesma forma, diminuir apenas a tensão (item III) reduz a potência, pois $P=V^2/R$ diminui com $V$. E diminuir ambas simultaneamente (item I), o que ocorre de forma natural e conjunta em um resistor fixo, também reduz a potência.

Portanto, as três formas de descrever a redução de potência (diminuir a corrente, diminuir a tensão, ou diminuir ambas) estão corretas — alternativa B.

Como as camadas circulares de tijolos são concêntricas — ou seja, todas compartilham o mesmo eixo de simetria vertical central, apenas com raios decrescentes à medida que a chaminé sobe — a distribuição de massa permanece sempre simetricamente centrada nesse eixo vertical. Isso significa que o centro de massa não pode se deslocar horizontalmente (o que já descarta as alternativas B e D), pois a simetria em torno do eixo vertical é preservada a cada nova camada.

A cada camada adicionada, uma nova porção de massa é acrescentada a uma altura maior do que a média das camadas já existentes. Isso desloca o centro de massa do conjunto para cima, já que se está continuamente adicionando massa em posições cada vez mais elevadas — alternativa C. (A alternativa A, que propõe deslocamento para baixo, é fisicamente inconsistente com adicionar massa sempre no topo da estrutura já construída.)

No plano inclinado sem atrito, a única força responsável por acelerar a esfera ao longo da superfície é a componente do peso paralela ao plano, $F_{tangencial}=mg\,\text{sen}\,\theta$, onde $\theta$ é o ângulo de inclinação do plano (fixo, característica geométrica constante do plano).

Pela segunda lei de Newton, a aceleração ao longo do plano é $a=\dfrac{F_{tangencial}}{m}=g\,\text{sen}\,\theta$, que depende apenas de $g$ (constante) e $\theta$ (constante, pois o plano não muda de inclinação durante a descida) — portanto, $a$ é constante ao longo de todo o movimento, o que já descarta as alternativas A e B (que afirmam variação da aceleração).

Com aceleração constante e positiva (no sentido do movimento, descendo o plano) partindo de um estado de repouso ou de movimento inicial, a velocidade da esfera aumenta continuamente segundo $v=v_0+at$ — o que confirma a alternativa C e descarta a D.

Massa, energia e temperatura são todas grandezas escalares: cada uma é completamente especificada por um único número acompanhado de sua unidade (por exemplo, $5\text{ kg}$, $10\text{ J}$, $25°\text{C}$), sem necessidade de direção ou sentido — o que descarta as alternativas A, B e C.

A força, por outro lado, é uma grandeza vetorial: para descrevê-la completamente, é preciso especificar não apenas seu módulo (intensidade), mas também sua direção (a reta ao longo da qual atua) e seu sentido (para qual dos dois lados dessa reta ela aponta) — alternativa D.

Diferentemente da luz no vácuo, o som se propaga em um meio material (o ar), de modo que a fórmula do efeito Doppler usa as velocidades da fonte e do observador em relação a esse meio, e não apenas a velocidade relativa entre eles. Para fonte se aproximando e observador se afastando, ambos com velocidade de módulo $V$ (mesma direção e sentido, o observador "fugindo" à frente da fonte que o persegue), a frequência percebida é $f'=f\left(\dfrac{v_{som}-V}{v_{som}-V}\right)$, usando a forma geral $f'=f\left(\dfrac{v_{som}-v_{obs}}{v_{som}-v_{fonte}}\right)$ com $v_{obs}=V$ (afastando-se, subtrai no numerador) e $v_{fonte}=V$ (aproximando-se, subtrai no denominador).

Como o numerador e o denominador sofrem exatamente a mesma redução ($v_{som}-V$ em ambos), a razão vale exatamente $1$, e $f'=f$: apesar de ambos estarem em movimento (fonte e observador), a frequência percebida pela pessoa não se altera — alternativa B. Esse resultado, à primeira vista contraintuitivo, mostra que não basta considerar apenas a velocidade relativa entre fonte e observador: o que importa são as velocidades de cada um em relação ao meio de propagação, e aqui elas se compensam exatamente.

A força de atrito atua sempre ao longo da superfície de contato, ou seja, ao longo da própria direção do deslocamento da criança sobre o tobogã — não há necessidade de projetar essa força com um fator $\cos\theta$, pois ela já é colinear (paralela, em sentido oposto) ao deslocamento real de $3\text{ m}$ percorrido sobre a rampa (o ângulo de $30°$ é relevante para decompor o peso, não a força de atrito, que já atua ao longo do plano).

O trabalho realizado pela força de atrito, em módulo, é $|W_{atrito}|=f\cdot d=0{,}1\text{ N}\times3\text{ m}=0{,}3\text{ J}$ (o trabalho é, na verdade, negativo, pois o atrito se opõe ao movimento, mas o valor pedido em módulo, entre as opções numéricas oferecidas, é $0{,}3$) — alternativa A.

Como $f=c/\lambda$, quanto menor o comprimento de onda, maior a frequência. A faixa de raios X dada vai de $\lambda=0{,}01\text{ nm}=10^{-11}\text{ m}$ (frequência mais alta da faixa) a $\lambda=10\text{ nm}=10^{-8}\text{ m}$ (frequência mais baixa da faixa).

Para que a radiação X tenha frequência menor que a de outra faixa espectral em toda a sua extensão, é preciso que essa outra faixa tenha comprimentos de onda menores que o próprio limite inferior do raio X ($10^{-11}\text{ m}$) em toda a sua extensão — ou seja, que a outra radiação seja mais energética (maior frequência) que o raio X inteiro.

A radiação gama, na alternativa D, tem comprimentos de onda entre $10^{-12}\text{ m}$ e $10^{-14}\text{ m}$ — ambos os limites são menores que $10^{-11}\text{ m}$ (o menor comprimento de onda do raio X), logo a radiação gama, em toda a sua faixa, tem frequência maior que toda a faixa de raios X. As demais alternativas (ultravioleta, infravermelho, visível) têm comprimentos de onda maiores que os do raio X, correspondendo a frequências menores, não maiores — alternativa D.

A taxa de emissão de partículas $\alpha$ é proporcional à quantidade de material radioativo ainda presente, decaindo segundo $N(t)=N_0\left(\dfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$, onde $T_{1/2}$ é a meia-vida.

A razão entre a taxa final e a inicial é $\dfrac{15}{120}=\dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3$. Comparando com $\left(\dfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$, conclui-se que $t/T_{1/2}=3$, ou seja, decorreram exatamente 3 meias-vidas no intervalo de 60 dias.

Logo, $T_{1/2}=\dfrac{60\text{ dias}}{3}=20\text{ dias}$ — alternativa A.