Provas Anteriores | UFC 2000 · 2ª Etapa

Q01

Eletricidade — Circuitos elétricos — Potência dissipada em associação de resistores

Os três resistores do circuito mostrado na figura abaixo têm resistências iguais. Calcule a potência total dissipada no circuito quando a potência, $P_1$, dissipada no resistor $R_1$, for 32 watts.

Resistor R1 em série com a associação em paralelo de R2 e R3

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

$P=48\ \text{W}$

Resolução

Seja $R_1=R_2=R_3=R$. A associação em paralelo de $R_2$ e $R_3$ equivale a um resistor $R_4=\dfrac R2$, em série com $R_1$, então a mesma corrente $i$ passa por $R_1$ e $R_4$.

Como $P=Ri^2$, a potência em $R_4$ é a metade da potência em $R_1$: $\dfrac{32}{2}=16$ W.

A potência total é

$$P=32+16=48\ \text{W}.$$

Q02

Termologia — Gases e teoria cinética — Reservatórios ligados a temperaturas diferentes

Um sistema é formado por dois reservatórios, 1 e 2, de mesmo volume, $V_0$, ligados por um tubo fino (veja figura ao lado). Inicialmente, ambos os reservatórios estão cheios de um gás ideal, à mesma temperatura absoluta, $T_0$, e à mesma pressão, $P_0$. A temperatura do reservatório 2 é então duplicada, enquanto a do reservatório 1 é mantida igual a $T_0$.

Dois reservatórios esféricos, 1 e 2, ligados por um tubo fino

Calcule o número total de mols de gás no sistema, em função de $T_0$, $P_0$, $V_0$ e da constante universal dos gases, $R$.
Calcule a pressão final do sistema.

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

a) $n=\dfrac{2P_0V_0}{RT_0}$

b) $P=\dfrac43P_0$

Resolução

a) Para um gás ideal em equilíbrio, $PV=nRT$. Em cada reservatório, inicialmente,

$$n_1=n_2=\dfrac{P_0V_0}{RT_0},$$

então o número total de mols é

$$n=2n_1=\dfrac{2P_0V_0}{RT_0}.$$

b) Ao aquecer o reservatório 2, sua pressão aumenta e moléculas passam para o reservatório 1, até as pressões se igualarem num valor $P$. O número total de mols não muda:

$$n=n_1'+n_2'=\dfrac{PV_0}{RT_0}+\dfrac{PV_0}{R(2T_0)}=\dfrac32\,\dfrac{PV_0}{RT_0}.$$

Igualando ao resultado do item (a), $\dfrac{2P_0V_0}{RT_0}=\dfrac32\,\dfrac{PV_0}{RT_0}$, e então

$$P=\dfrac43P_0.$$

Q03

Mecânica — Hidrostática — Tensão no fio com cilindro parcialmente submerso

Um cilindro reto está suspenso por um fio e metade de seu volume está submersa em água, como indica a figura. Se $T$ é a tensão no fio, nessas condições, e $T_0$ é a tensão no fio quando a água é retirada, calcule a razão $T/T_0$. A densidade do cilindro é dada por $\rho_c=2{,}5\,\rho_a$, sendo $\rho_a$ a densidade da água.

Cilindro suspenso por um fio, com metade do volume mergulhada na água de um recipiente

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

$T/T_0=0{,}80$

Resolução

As forças sobre o cilindro são o peso $mg$, a tensão $T$ (para cima) e o empuxo $E$ (para cima). O equilíbrio exige

$$T+E=mg.$$

Sendo $V$ o volume do cilindro, $m=\rho_cV$ e o empuxo é o peso da água deslocada, com metade do volume: $E=\rho_a\dfrac V2\,g$. Logo

$$T=mg-E=\left(\rho_c-\dfrac{\rho_a}{2}\right)Vg.$$

Sem a água, $T_0=mg=\rho_cVg$. Portanto

$$\dfrac{T}{T_0}=\dfrac{\rho_c-\rho_a/2}{\rho_c}=\dfrac{2{,}50-0{,}50}{2{,}50}=0{,}80.$$

Q04

Mecânica — Grandezas e unidades — Estimativa de razão de massas

No filme Armageddon, é mostrado um asteróide, em rota de colisão com a Terra. O diâmetro desse asteróide mede cerca de 1000 km, mas, de acordo com vários astrônomos, os maiores asteróides com alguma probabilidade de colidir com a Terra têm um diâmetro de 10 km. São os chamados exterminadores. Faça uma estimativa da razão entre as massas desses dois tipos de asteróides.

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

$\dfrac{m_i}{m_r}\approx10^{6}$

Resolução

Supondo asteróides de mesma densidade, a razão entre a massa $m_i$ do asteróide imaginário, mostrado no filme, e a massa $m_r$ do asteróide real é a razão entre seus volumes. Para corpos de mesma forma, o volume é proporcional ao cubo do diâmetro:

$$\dfrac{m_i}{m_r}=\left(\dfrac{1000}{10}\right)^3=(100)^3=10^{6}.$$

Q05

Óptica e Ondulatória — Acústica — Freqüência a partir do gráfico

O gráfico abaixo representa a amplitude de um sinal sonoro em função do tempo $t$, medido em milissegundos. Ache a freqüência desse sinal.

Gráfico da amplitude de um sinal sonoro em função do tempo, em milissegundos, de 0 a 100 ms, com um padrão que se repete

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

$f=20\ \text{Hz}$

Resolução

O sinal do gráfico se repete a cada intervalo de 50 ms: o padrão de 0 a 50 ms é idêntico ao de 50 a 100 ms. Logo o período é $T=50\ \text{ms}$ e a freqüência é

$$f=\dfrac1T=\dfrac{1}{50\times10^{-3}\ \text{s}}=20\ \text{Hz}.$$

Q06

Mecânica — Movimento harmônico simples — Pêndulo simples com prego

Uma partícula é suspensa por um fio, de massa desprezível, de 1,6 m de comprimento, formando um pêndulo, como mostra a figura. No ponto P, situado 1,2 m, verticalmente, abaixo do ponto O, há um prego que impede a passagem do fio. A partícula é liberada quando o fio forma um ângulo $\theta$, muito pequeno, com a vertical. Quando o fio encontra o prego, a partícula continua seu movimento até atingir o ponto mais alto de seu percurso. Calcule o tempo que ela leva desde o ponto inicial até esse ponto final. Considere $g=10\ \text{m/s}^2$, a aceleração da gravidade no local.

Pêndulo de fio com 1,6 m de comprimento, preso em O, com um prego em P na vertical de O; o fio forma um ângulo θ pequeno com a vertical

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

$\Delta t=0{,}3\pi\ \text{s}\approx0{,}94\ \text{s}$

Resolução

Como $\theta$ é muito pequeno, o movimento é o de um pêndulo simples, cujo período é $T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.

Primeiro a partícula se comporta como pêndulo de comprimento $\ell=1{,}6$ m e leva um quarto do período para ir da posição inicial até a vertical. Depois que o fio encontra o prego, o comprimento livre é $\ell'=1{,}6-1{,}2=0{,}4$ m e a partícula leva outro quarto do período desse segundo pêndulo para chegar à altura máxima.

$$\Delta t=\dfrac14\left(2\pi\sqrt{\dfrac{1{,}6}{10}}\right)+\dfrac14\left(2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}4}{10}}\right)=\dfrac14\,(0{,}8\pi)+\dfrac14\,(0{,}4\pi)=0{,}3\pi\approx0{,}94\ \text{s}.$$

Q07

Óptica e Ondulatória — Óptica geométrica — Transmissão de luz em lâminas

Considere uma lâmina de vidro, semi-transparente, que transmite 80% da luz que incide perpendicularmente sobre ela. Calcule a percentagem de luz transmitida através de uma pilha de três dessas lâminas, em seqüência.

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

Cerca de $51\%$

Resolução

Seja $I_0$ a intensidade da luz incidente na primeira lâmina e $I_1$, $I_2$ e $I_3$ as intensidades da luz que emerge da primeira, da segunda e da terceira lâminas. Cada lâmina transmite 80% do que recebe:

$$I_1=0{,}8\,I_0$$ $$I_2=0{,}8\,I_1=(0{,}8)^2I_0=0{,}64\,I_0$$ $$I_3=0{,}8\,I_2=(0{,}8)^3I_0=0{,}512\,I_0\approx0{,}51\,I_0$$

Passam cerca de 51% da luz incidente.

Q08

Eletricidade — Campo elétrico — Partícula em campo elétrico uniforme

Uma partícula tem massa $m$ e carga elétrica $q$. Ela é projetada no plano $xy$, com velocidade $v_0$, ao longo do eixo $x$, a partir da origem (ver figura). Nessa região há um campo elétrico uniforme, na direção do eixo $y$, apontando de cima para baixo. A partícula sofre um desvio igual a $h$, indo atingir o ponto P, de coordenadas $(L,h)$.

Partícula lançada da origem com velocidade v0 ao longo do eixo x, numa região de campo elétrico E vertical para baixo; ela atinge o ponto P de coordenadas (L, h)

Qual o sinal da carga elétrica da partícula? Justifique sua resposta.
Qual o valor do módulo, $E$, do campo elétrico?

Resposta — UFC 2000 · 2ª Etapa

a) Carga negativa.

b) $E=\dfrac{2mv_0^2h}{|q|\,L^2}$

Resolução

a) A aceleração da partícula é $\vec a=\dfrac qm\vec E$. Na figura, o desvio é para cima, isto é, a aceleração aponta em sentido contrário ao campo, que aponta para baixo. Logo a carga da partícula é negativa.

b) Na direção $y$, a velocidade inicial é nula e a aceleração é constante, $a=\dfrac{|q|E}{m}$, então $h=\tfrac12at^2$. Na direção $x$ não há aceleração: $L=v_0t$, ou seja, $t=\dfrac{L}{v_0}$. Substituindo,

$$h=\dfrac12\,\dfrac{|q|E}{m}\left(\dfrac{L}{v_0}\right)^2\ \Rightarrow\ E=\dfrac{2mv_0^2h}{|q|\,L^2}.$$