Provas Anteriores | UFC 2010 · 2ª Etapa

Q01

Mecânica — Cinemática — Movimento relativo em escadas rolantes

Duas pessoas pegam simultaneamente escadas rolantes, paralelas, de mesmo comprimento $l$, em uma loja, sendo que uma delas desce e a outra sobe. A escada que desce tem velocidade $V_A=1\ \text{m/s}$ e a que sobe é $V_B$. Considere o tempo de descida da escada igual a $12\ \text{s}$.

Sabendo-se que as pessoas se cruzam a $1/3$ do caminho percorrido pela pessoa que sobe, determine:

a velocidade $V_B$ da escada que sobe;
o comprimento das escadas;
a razão entre os tempos gastos na descida e na subida das pessoas.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

A) $V_B=0{,}5\ \text{m/s}$

B) $l=12\ \text{m}$

C) $t_d/t_s=1/2$

Resolução

Até o encontro, a pessoa que desce percorre $2l/3$, enquanto a pessoa que sobe percorre $l/3$. Como o tempo até o encontro é o mesmo:

$$\frac{2l}{3}=V_A t$$

$$\frac{l}{3}=V_B t.$$

Dividindo as duas relações:

$$\frac{V_B}{V_A}=\frac12.$$

Como $V_A=1\ \text{m/s}$:

$$V_B=0{,}5\ \text{m/s}.$$

O comprimento da escada é:

$$l=V_A t_d=1\cdot12=12\ \text{m}.$$

Para os percursos completos:

$$l=V_A t_d$$

$$l=V_B t_s.$$

Logo:

$$\frac{t_d}{t_s}=\frac{V_B}{V_A}=\frac12.$$

Pontuação oficial: itens A e B, $3$ pontos cada; item C, $4$ pontos.

Q02

Eletricidade — Eletrostática — Movimento de carga em campo elétrico

Uma partícula de massa $m$ e carga elétrica $q$ é largada do repouso de uma altura $9H$, acima do solo. Do solo até uma altura $h'=5H$, existe um campo elétrico horizontal de módulo constante $E$. Considere a gravidade local de módulo constante $g$, a superfície do solo horizontal e despreze quaisquer efeitos de dissipação de energia.

Determine:

o tempo gasto pela partícula para atingir a altura $h'$;
o tempo gasto pela partícula para atingir o solo;
o tempo gasto pela partícula sob ação do campo elétrico;
o módulo do deslocamento horizontal da partícula, desde o instante em que a partícula é largada até o instante em que a partícula atinge o solo.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

A) $t'=\sqrt{8H/g}$

B) $t_t=\sqrt{18H/g}$

C) $t=\sqrt{2H/g}$

D) $\Delta x=qEH/(mg)$

Resolução

Até a altura $5H$, a partícula cai uma distância $4H$. Como ela parte do repouso:

$$4H=\frac12gt'^2.$$

Logo:

$$t'=\sqrt{\frac{8H}{g}}.$$

Até o solo, a queda total é $9H$:

$$9H=\frac12gt_t^2,$$

portanto:

$$t_t=\sqrt{\frac{18H}{g}}.$$

O tempo durante o qual a carga permanece na região de campo é:

$$t=t_t-t'=\sqrt{\frac{18H}{g}}-\sqrt{\frac{8H}{g}}=\sqrt{\frac{2H}{g}}.$$

No eixo horizontal, a aceleração é constante:

$$a_x=\frac{qE}{m}.$$

Como a velocidade horizontal inicial é nula:

$$\Delta x=\frac12a_xt^2.$$

Substituindo:

$$\Delta x=\frac12\frac{qE}{m}\frac{2H}{g}=\frac{qEH}{mg}.$$

Pontuação oficial: itens A e B, $2$ pontos cada; itens C e D, $3$ pontos cada.

Q03

Mecânica — Dinâmica — Atrito e força elástica

Uma força constante, horizontal, de módulo $F$ é aplicada a um corpo de peso $10\ \text{N}$, que está sobre uma mesa horizontal e preso a uma mola de constante elástica $2\ \text{N/m}$. Inicialmente a mola não está deformada e a força $F$ está na direção de deformação da mola.

Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o corpo e a mesa são, respectivamente, $\mu_e=0{,}5$ e $\mu_c=0{,}4$. Considere $g=10\ \text{m/s}^2$ e que, durante o movimento, o corpo não muda o sentido da sua velocidade.

Determine:

o valor da força $F$ mínima para colocar o corpo em movimento;
o espaço percorrido pelo corpo, em função de $F$, até parar;
o valor máximo de $F$ para que ocorra este movimento.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

A) para iniciar o movimento, $F>5\ \text{N}$; o limiar é $5\ \text{N}$.

B) $x=F-4$, com $F$ em $\text{N}$ e $x$ em $\text{m}$.

C) $F_{máx}=13\ \text{N}$.

Resolução

A força máxima de atrito estático é:

$$f_{e,máx}=\mu_eN=0{,}5\cdot10=5\ \text{N}.$$

Assim, para sair do repouso, a força aplicada deve superar $5\ \text{N}$.

Durante o movimento:

$$f_c=\mu_cN=0{,}4\cdot10=4\ \text{N}.$$

Se $x$ é o deslocamento até a primeira parada, o trabalho da força resultante deve ser igual à variação da energia cinética, que é zero entre os dois instantes de repouso:

$$Fx-4x-\frac12kx^2=0.$$

Com $k=2\ \text{N/m}$:

$$Fx-4x-x^2=0.$$

Para $x eq0$:

$$x=F-4.$$

Após parar, para que o bloco permaneça em equilíbrio:

$$-kx+F+f_e=0.$$

Substituindo $k=2$ e $x=F-4$:

$$-2(F-4)+F+f_e=0,$$

de onde:

$$f_e=F-8.$$

Como $f_e\leq5\ \text{N}$:

$$F\leq13\ \text{N}.$$

Pontuação oficial: itens A e B, $3$ pontos cada; item C, $4$ pontos.

Q04

Termologia — Dilatação Térmica — Dilatação linear

Um triângulo retângulo isósceles é montado com arames de materiais distintos, de modo que nos catetos o material possui coeficiente de dilatação térmica linear $A\sqrt2\ ^\circ\text{C}^{-1}$, enquanto na hipotenusa o material possui coeficiente de dilatação térmica linear $A/\sqrt2\ ^\circ\text{C}^{-1}$.

Determine a variação de temperatura para que o triângulo torne-se equilátero.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

$\Delta T=1/A\ ^\circ\text{C}$

Resolução

Se os catetos têm comprimento inicial $l_0$, a hipotenusa mede:

$$l_0\sqrt2.$$

Após a variação de temperatura, os catetos medem:

$$l_0(1+A\sqrt2\Delta T).$$

A hipotenusa mede:

$$l_0\sqrt2\left(1+\frac{A}{\sqrt2}\Delta T ight).$$

Para o triângulo tornar-se equilátero:

$$l_0(1+A\sqrt2\Delta T)=l_0\sqrt2\left(1+\frac{A}{\sqrt2}\Delta T ight).$$

Cancelando $l_0$ e reorganizando:

$$1+A\sqrt2\Delta T=\sqrt2+A\Delta T.$$

Logo:

$$A(\sqrt2-1)\Delta T=\sqrt2-1,$$

e, portanto:

$$\Delta T=\frac1A\ ^\circ\text{C}.$$

Pontuação oficial: $10$ pontos.

Q05

Termologia — Gases Ideais — Parede móvel em equilíbrio

Um cilindro de área de seção reta $S$ e comprimento $L$, completamente isolado, é dividido em partições A e B, ambas de volumes iguais, por uma parede diatérmica, móvel e impermeável. Cada partição é preenchida com um gás ideal, de modo que a partição A possui o dobro do número de mols da partição B. Ambas as partições encontram-se em uma mesma temperatura $T$ durante o processo.

Despreze quaisquer efeitos de atrito e, quando o sistema estiver em equilíbrio, determine:

os volumes das partições A e B em função de $S$ e $L$;
o módulo do deslocamento da parede em função de $L$.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

A) $V_A=2SL/3$ e $V_B=SL/3$

B) $\Delta x=L/6$

Resolução

Se a partição B possui $n$ mols, a partição A possui $2n$ mols. Pela equação dos gases ideais:

$$P_AV_A=2nRT$$

$$P_BV_B=nRT.$$

No equilíbrio mecânico:

$$P_A=P_B.$$

Logo:

$$V_A=2V_B.$$

Como:

$$V_A+V_B=SL,$$

temos:

$$3V_B=SL.$$

Portanto:

$$V_B=\frac{SL}{3}$$

$$V_A=\frac{2SL}{3}.$$

Inicialmente a parede estava no meio do cilindro, em $L/2$. No equilíbrio, a menor partição tem comprimento $L/3$. Assim:

$$\Delta x=\frac{L}{2}-\frac{L}{3}=\frac{L}{6}.$$

Pontuação oficial: item A, $6$ pontos; item B, $4$ pontos.

Q06

Eletricidade — Eletrodinâmica — Resistores em polígono

Considere um conjunto de $N$ resistores, cada um com resistência $R$. Os resistores estão conectados sobre um plano, formando um polígono de $N$ lados.

De que maneira deve-se medir a resistência equivalente, para que se obtenha o maior valor possível dela?

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

Deve-se medir entre dois vértices que dividam o polígono em dois caminhos com números de resistores tão iguais quanto possível.

Para $N$ par: $k=N/2$.

Para $N$ ímpar: $k=(N-1)/2$ ou $k=(N+1)/2$.

Resolução

Se os pontos de medida dividem o polígono em dois caminhos com $k$ e $N-k$ resistores, as resistências desses ramos são:

$$kR$$

$$ (N-k)R.$$

Esses dois ramos estão em paralelo:

$$\frac1{R_{eq}}=\frac1{kR}+\frac1{(N-k)R}.$$

Daí:

$$R_{eq}=\frac{k(N-k)}{N}R.$$

O fator $k(N-k)$ é máximo quando os dois caminhos têm comprimentos tão próximos quanto possível.

Assim, para $N$ par:

$$k=\frac N2.$$

Para $N$ ímpar:

$$k=\frac{N-1}{2}$$

ou:

$$k=\frac{N+1}{2}.$$

Portanto, a medida deve ser feita entre vértices diametralmente opostos, quando isso for possível, ou entre os vértices mais próximos dessa condição.

Pontuação oficial: $10$ pontos.

Q07

Eletricidade — Eletrodinâmica — Potência em série e paralelo

Considere dois resistores, $R_1=R$ e $R_2=3R$, e uma bateria de força eletromotriz $\varepsilon$ de resistência interna nula.

Quando esses elementos de circuito são ligados em série, a potência fornecida pela bateria à associação de resistores é $P_s$, enquanto, na associação em paralelo, a potência fornecida pela bateria aos resistores é $P_p$.

Determine a razão $P_s/P_p$.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

$P_s/P_p=3/16$

Resolução

Em série:

$$R_s=R+3R=4R.$$

A corrente é:

$$i_s=\frac{\varepsilon}{4R}.$$

A potência fornecida é:

$$P_s=\varepsilon i_s=\frac{\varepsilon^2}{4R}.$$

Em paralelo:

$$R_p=\frac{R\cdot3R}{R+3R}=\frac{3R}{4}.$$

Logo:

$$i_p=\frac{\varepsilon}{R_p}=\frac{4\varepsilon}{3R}.$$

$$P_p=\varepsilon i_p=\frac{4\varepsilon^2}{3R}.$$

Assim:

$$\frac{P_s}{P_p}=\frac{\varepsilon^2/(4R)}{4\varepsilon^2/(3R)}=\frac{3}{16}.$$

Pontuação oficial: $10$ pontos.

Q08

Eletromagnetismo — Força Magnética — Movimento circular de carga

Em um dado instante de tempo, uma partícula X, de massa $m$ e carga elétrica nula, e uma partícula Y, de massa $m$ e carga elétrica positiva $q$, entram com velocidades iguais e de módulo $v$, em uma região na qual está presente um campo magnético uniforme de intensidade $B$. As partículas são lançadas em um mesmo plano perpendicular ao campo magnético.

Desconsidere quaisquer efeitos gravitacionais e de dissipação de energia.

Determine o intervalo de tempo $\Delta t$ para o qual as partículas terão suas velocidades em sentidos opostos.
Determine a variação da energia cinética total do sistema no intervalo de tempo encontrado no item anterior.

Resposta — UFC 2010 · 2ª Etapa

A) $\Delta t=\pi m/(qB)$

B) $\Delta E_c=0$

Resolução

A partícula X é neutra, portanto não sofre força magnética e mantém velocidade constante em módulo, direção e sentido.

A partícula Y sofre força magnética perpendicular à velocidade e descreve movimento circular uniforme.

As velocidades ficam em sentidos opostos quando Y completa meia volta. O período do movimento circular é:

$$T=\frac{2\pi m}{qB}.$$

Logo:

$$\Delta t=\frac T2=\frac{\pi m}{qB}.$$

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade e não realiza trabalho. Assim, o módulo da velocidade de Y não muda. Como X também mantém sua velocidade, a energia cinética total do sistema permanece constante:

$$\Delta E_c=0.$$

Pontuação oficial: item A, $6$ pontos; item B, $4$ pontos.