Um objeto é abandonado do alto de um edifício. Um observador, de dentro do edifício, numa janela cuja borda está a $15\text{ m}$ do solo, vê o objeto passar pela borda $1\text{ s}$ antes de atingir o solo. Desprezando a resistência do ar, podemos afirmar que a altura do edifício é de
1. Análise do trecho inferior (da janela até o solo):
Seja $h_2 = 15\text{ m}$ a distância da janela ao solo e $t = 1\text{ s}$ o tempo gasto para percorrer essa distância. Pela equação da posição do MUV:
\[h_2 = v \cdot t + \frac{1}{2} g t^2\]Substituindo $h_2 = 15\text{ m}$, $t = 1\text{ s}$ e $g = 10\text{ m/s}^2$:
\[15 = v \cdot (1) + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (1)^2 \implies 15 = v + 5 \implies v = 10\text{ m/s}\]Onde $v$ é a velocidade instantânea do objeto ao passar pela borda da janela.
2. Análise do trecho superior (do topo até a janela):
Como o objeto foi abandonado do repouso ($v_0 = 0$), calculamos a distância $h_1$ percorrida do topo até a janela utilizando a Equação de Torricelli:
\[v^2 = v_0^2 + 2 g h_1 \implies 10^2 = 0 + 2 \cdot 10 \cdot h_1 \implies 100 = 20 h_1 \implies h_1 = 5\text{ m}\]3. Altura total do edifício:
\[H = h_1 + h_2 = 5\text{ m} + 15\text{ m} = 20\text{ m}\]A figura mostra um plano inclinado, no qual os blocos de massas $m_1$ e $m_2$ estão em equilíbrio estático. Seja $\theta$ o ângulo de inclinação do plano, e $T_1$, $T_2$ os módulos das trações que a corda transmite, respectivamente, aos blocos. Desprezando os atritos e sabendo que a massa $m_2$ é o dobro da massa $m_1$, podemos afirmar que
1. Tração no fio ideal:
Sendo o mesmo fio ideal e contínuo transmitindo a força entre os dois blocos, a tração tem o mesmo módulo ao longo de toda a sua extensão:
\[T_1 = T_2 = T\]2. Equilíbrio de cada bloco:
- Para o bloco suspenso $m_1$: $T = P_1 = m_1 \cdot g$
- Para o bloco $m_2$ sobre o plano inclinado: $T = P_{2x} = m_2 \cdot g \cdot \sin\theta$
3. Relação entre massas e o ângulo $\theta$:
Igualando as forças de tração:
\[m_1 \cdot g = m_2 \cdot g \cdot \sin\theta\]Como o enunciado informa que $m_2 = 2 m_1$:
\[m_1 \cdot g = 2 m_1 \cdot g \cdot \sin\theta \implies 1 = 2 \sin\theta \implies \sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^\circ\]Portanto, $T_1 = T_2$ e $\theta = 30^\circ$.
Um mergulhador está nadando horizontalmente a uma profundidade de $15\text{ m}$ numa região onde a pressão atmosférica ao nível do mar é $1{,}0 \times 10^5\text{ N/m}^2$ e, devido à salinidade excessiva, a água do mar tem densidade $1.100\text{ kg/m}^3$. A pressão externa que atua sobre o mergulhador é
1. Aplicação do Princípio de Stevin:
A pressão absoluta $P$ a uma profundidade $h$ em um fluido de densidade $\mu$ é dada por:
\[P = P_{\text{atm}} + \mu \cdot g \cdot h\]2. Substituição dos dados numéricos:
- $P_{\text{atm}} = 1{,}0 \times 10^5\text{ N/m}^2$
- $\mu = 1.100\text{ kg/m}^3$
- $g = 10\text{ m/s}^2$
- $h = 15\text{ m}$
Uma partícula de massa $m_1$, inicialmente com velocidade horizontal, choca-se com outra partícula de massa $m_2$ inicialmente em repouso, como mostra a figura. Os vetores que podem representar corretamente as velocidades das partículas imediatamente após o choque são
1. Conservação da Quantidade de Movimento:
Como o sistema é mecanicamente isolado, a quantidade de movimento total se conserva nos dois eixos ortogonais ($x$ e $y$):
\[Q_x(\text{antes}) = Q_x(\text{depois}) \quad \text{e} \quad Q_y(\text{antes}) = Q_y(\text{depois})\]2. Análise do Eixo $y$ (Vertical):
Antes da colisão, o movimento ocorria unicamente na horizontal (eixo $+x$), de modo que $Q_y(\text{antes}) = 0$. Após o choque, as componentes verticais da quantidade de movimento devem se anular ($Q_y(\text{depois}) = 0$), exigindo que os vetores velocidade das duas partículas possuam componentes verticais em sentidos opostos (uma para cima e outra para baixo).
3. Análise do Eixo $x$ (Horizontal):
Como $Q_x(\text{antes}) > 0$, a soma das componentes horizontais das velocidades no estado final também deve ser positiva. A opção E é a única que representa adequadamente a conservação vetorial nos dois eixos.
O sonar de um barco de pesca localiza um cardume diretamente abaixo da embarcação. O tempo decorrido desde a emissão do sinal até a chegada do eco ao sonar é de $0{,}5\text{ s}$ e a frequência do sinal recebido é maior que a frequência do sinal emitido. Se a velocidade de propagação do som na água do mar é de $1.600\text{ m/s}$, a profundidade do cardume e seu deslocamento relativo ao sonar, respectivamente, são
1. Análise do movimento relativo (Efeito Doppler):
Como a frequência aparente recebida pelo receptor é maior do que a frequência do som emitido ($f' > f$), o Efeito Doppler garante que o cardume está se aproximando da embarcação.
2. Cálculo da profundidade:
O tempo total entre a emissão e a recepção do eco (ida e volta) é $\Delta t_{\text{total}} = 0{,}5\text{ s}$. O tempo necessário apenas para o pulso ir da embarcação até o cardume é:
\[t = \frac{0{,}5\text{ s}}{2} = 0{,}25\text{ s}\]A profundidade $h$ do cardume é:
\[h = v \cdot t = 1.600\text{ m/s} \times 0{,}25\text{ s} = 400\text{ m}\]Uma placa metálica tem sua temperatura elevada uniformemente de $20^\circ\text{C}$ para $30^\circ\text{C}$. No final do processo, verifica-se que a razão entre as áreas final $A_f$ e inicial $A_i$ é $A_f / A_i = 1{,}001$. Com esses dados podemos afirmar que o coeficiente de dilatação linear do material da placa, em ${}^\circ\text{C}^{-1}$, é
1. Equação da dilatação superficial:
\[A_f = A_i (1 + \beta \Delta\theta) \implies \frac{A_f}{A_i} = 1 + \beta \Delta\theta\]2. Determinação do coeficiente superficial ($\beta$):
Com $\Delta\theta = 30^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 10^\circ\text{C}$ e $A_f / A_i = 1{,}001$:
\[1{,}001 = 1 + \beta \cdot 10 \implies \beta \cdot 10 = 0{,}001 \implies \beta = 10^{-4}\text{ }^\circ\text{C}^{-1}\]3. Relação com o coeficiente linear ($\alpha$):
Como $\beta = 2 \alpha$:
\[2 \alpha = 10^{-4} \implies \alpha = 0{,}5 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-5}\text{ }^\circ\text{C}^{-1}\]Um objeto maciço é fixado no prato de uma balança e esta, por sua vez, é fixada no piso sempre horizontal de uma das cabinas de uma roda gigante. Seja $L$ a leitura da balança feita com a roda gigante em repouso. Com a roda gigante girando no sentido horário, a cabina com a balança vai passar pelas posições A, B, C e D, mostradas na figura. Sejam $L_A$, $L_B$, $L_C$ e $L_D$ as leituras da balança feitas, respectivamente, quando a cabina passa pelas posições A, B, C e D. Qual das afirmativas abaixo é a verdadeira?
1. Leitura em repouso:
Sem movimento de rotação, a força normal exercida pela balança é igual ao peso do objeto: $L = P$.
2. Análise no topo da trajetória (Ponto B):
A aceleração centrípeta aponta para baixo (em direção ao centro da roda). A resultante centrípeta é dada por:
\[F_{\text{cp}} = P - L_B \implies L_B = P - F_{\text{cp}} < P \implies L_B < L\]3. Análise no ponto mais baixo da trajetória (Ponto D):
A aceleração centrípeta aponta para cima (em direção ao centro da roda). A resultante centrípeta é dada por:
\[F_{\text{cp}} = L_D - P \implies L_D = P + F_{\text{cp}} > P \implies L_D > L\]Portanto, ordenando as leituras: $L_D > L > L_B$.
Dois recipientes A e B de mesmo volume $V$ são conectados através de um tubo curto, de volume desprezível, e dotado de uma torneira inicialmente fechada. O recipiente A contém $N$ mols de um gás ideal a uma temperatura $T$ e no recipiente B é feito vácuo. Considere que todo o sistema seja isolado adiabaticamente. Após a torneira ser aberta e o sistema atingir o equilíbrio, a temperatura do gás será
1. Expansão Livre contra o Vácuo:
O processo descrito caracteriza uma expansão livre de um gás ideal. Como o gás se expande contra o vácuo (sem resistência mecânica externa), o trabalho realizado é nulo ($W = 0$).
2. Isolamento Térmico:
Por ser um recipiente isolado adiabaticamente, não há trocas de calor com o ambiente ($Q = 0$).
3. Primeira Lei da Termodinâmica:
\[\Delta U = Q - W = 0 - 0 = 0\]Como a energia interna de um gás ideal depende unicamente da sua temperatura absoluta, $\Delta U = 0 \implies \Delta T = 0$. A temperatura final do gás permanece igual a $T$.
Certa quantidade de um gás ideal é levada do estado A ao estado B pelo processo AB, e do estado B ao estado C pelo processo BC, como mostrado no diagrama pressão x temperatura da figura. Com base nesse diagrama, pode-se afirmar que
1. Análise da transformação AB no diagrama $P \times T$:
No diagrama dado, o processo de $A$ até $B$ é representado por um segmento vertical, o que significa que a temperatura absoluta se mantém constante ($T_A = T_B$). Trata-se de uma transformação isotérmica.
2. Energia Interna de um Gás Ideal:
Para um gás ideal, a energia interna $U$ depende unicamente de sua temperatura absoluta. Uma vez que $T_A = T_B$, a energia interna do gás permanece inalterada durante toda a etapa $AB$ ($\Delta U_{AB} = 0$).
Em uma corda de densidade linear de massa $\mu$ é produzido um trem de ondas transversais de comprimento $\lambda$ e frequência $f$ que se propaga na direção horizontal. A velocidade de um ponto da corda no instante em que este está na crista da onda é de
1. Comportamento dos pontos do meio em ondas transversais:
Enquanto a onda transversal se propaga horizontalmente com velocidade $v_{\text{onda}}$, cada ponto individual da corda oscila apenas na direção vertical (perpendicular à propagação) em Movimento Harmônico Simples (MHS).
2. Inversão do sentido do movimento:
Nas extremidades dessa oscilação vertical (as cristas e os vales da onda), ocorre a inversão do sentido de vibração do ponto. Portanto, na crista da onda, a velocidade de oscilação do ponto é instantaneamente igual a zero ($v = 0$).
Doze posições equidistantes são marcadas sobre uma circunferência de raio $R$, como as horas de um relógio analógico. Em cada posição é colocada uma carga positiva $Q$, exceto na posição correspondente às duas horas, onde é colocada uma carga negativa $-Q$, de mesmo módulo que as outras. Seja $k$ a constante elétrica do vácuo. Com relação ao vetor campo elétrico no centro da circunferência, resultante dessa distribuição de cargas, podemos afirmar que
1. Princípio da Superposição e Simetria:
Caso houvesse 12 cargas idênticas $+Q$ simetricamente dispostas no relógio, o campo elétrico resultante no centro seria zero por cancelamento de vetores opostos.
2. Equivalência da carga em $2\text{ horas}$:
A presença de uma carga $-Q$ nas $2\text{ horas}$ equivale à combinação de uma carga $+Q$ com uma carga de $-2Q$ na mesma posição.
A distribuição simétrica com $+Q$ em todas as posições produz campo nulo. Resta apenas o efeito da carga de $-2Q$ localizada às $2\text{ horas}$.
3. Campo Resultante:
Como a carga equivalente é negativa, o campo elétrico aponta em sua direção (para as 2 horas), com módulo igual a:
\[E_{\text{res}} = k \frac{|-2Q|}{R^2} = \frac{2 k Q}{R^2}\]Um raio de luz incide na superfície que separa os meios 1 e 2, cujos índices de refração são, respectivamente, $n_1$ e $n_2$. Com base na forma da trajetória do raio transmitido indicada na figura, podemos dizer que
1. Análise da trajetória da luz no meio 2:
Ao penetrar e subir no meio 2, o raio luminoso descreve uma trajetória curva, afastando-se progressivamente da normal em relação às camadas sucessivas.
2. Aplicação da Lei de Snell-Descartes:
A relação $n(z) \cdot \sin\theta(z) = \text{constante}$ governa a refração em meios heterogêneos. Como o ângulo $\theta$ com a normal aumenta à medida que a coordenada de altura $z$ aumenta, o índice de refração $n_2$ deve necessariamente diminuir para compensar o aumento de $\sin\theta$.
Portanto, $n_2$ decresce com z.
Uma resistência de $1\text{ k}\Omega$ é imersa em um recipiente termicamente isolado, contendo 2 litros de água a uma temperatura de $20^\circ\text{C}$. Em um dado instante é estabelecida uma corrente de 2 A através da resistência. Considerando que $1\text{ cal} = 4\text{ J}$ e que a capacidade térmica do recipiente é desprezível, o tempo necessário para aumentar a temperatura da água para $30^\circ\text{C}$ é de
1. Potência elétrica dissipada pelo resistor:
Com $R = 1\text{ k}\Omega = 1.000\ \Omega$ e $i = 2\text{ A}$:
\[P = R \cdot i^2 = 1.000 \cdot (2)^2 = 4.000\text{ W} = 4.000\text{ J/s}\]2. Calor necessário para aquecer a água:
Para $2\text{ L}$ de água ($m = 2.000\text{ g}$) variando a temperatura em $\Delta\theta = 30^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C} = 10^\circ\text{C}$:
\[Q = m \cdot c \cdot \Delta\theta = 2.000\text{ g} \times 1\text{ cal/(g}\cdot{}^\circ\text{C)} \times 10^\circ\text{C} = 20.000\text{ cal}\]Convertendo para Joules ($1\text{ cal} = 4\text{ J}$):
\[Q = 20.000 \times 4 = 80.000\text{ J}\]3. Tempo necessário:
\[\Delta t = \frac{Q}{P} = \frac{80.000\text{ J}}{4.000\text{ W}} = 20\text{ s}\]No circuito mostrado na figura, o capacitor $C_1$ de capacitância C, está inicialmente carregado com uma carga Q, e os outros dois capacitores $C_2$ e $C_3$, cada um de capacitância 2C, estão descarregados. Após a chave S ser fechada e transcorrido um longo intervalo de tempo, a carga final no capacitor $C_1$ é
1. Capacitância equivalente da associação em série:
Os capacitores $C_2$ e $C_3$ (cada um de capacitância $2C$) estão ligados em série. A capacitância equivalente do ramo da direita é:
\[C_{\text{eq}} = \frac{2C \cdot 2C}{2C + 2C} = C\]2. Redistribuição de carga ao fechar a chave $S$:
Ao fechar a chave, o capacitor $C_1$ (capacitância $C$) passa a ficar em paralelo com o ramo equivalente de capacitância $C_{\text{eq}} = C$. Como as capacitâncias dos dois ramos paralelos são idênticas, a carga inicial $Q$ se dividirá igualmente entre os dois ramos ao atingir o equilíbrio eletrostático:
\[Q_1' = \frac{Q}{2}\]A figura mostra uma partícula com carga elétrica positiva entrando com velocidade $\vec{v}$ numa região onde existe um campo magnético uniforme $\vec{B}$, cujas linhas de campo penetram perpendicularmente no plano da página. Desejamos que a partícula mantenha sua trajetória e velocidade; com esse fim aplicamos um campo elétrico uniforme $\vec{E}$ à região. O módulo, a direção e o sentido de $\vec{E}$ são, respectivamente,
1. Força magnética atuante:
Pela Regra da Mão Esquerda para carga positiva $Q > 0$ movendo-se para a direita em um campo magnético $\vec{B}$ perpendicular e entrando na página, a força magnética $\vec{F}_m$ atua para cima, com módulo:
\[F_m = Q \cdot v \cdot B\]2. Condição para trajetória e velocidade constantes:
Para manter o movimento retilíneo e uniforme, a força elétrica resultante $\vec{F}_e$ deve equilibrar a força magnética, atuando com o mesmo módulo e em sentido oposto (para baixo):
\[F_e = F_m \implies Q \cdot E = Q \cdot v \cdot B \implies E = v \cdot B\]3. Direção e sentido do campo elétrico:
Dado que a carga é positiva ($Q > 0$), o campo elétrico $\vec{E}$ tem exatamente a mesma direção e sentido que a força elétrica $\vec{F}_e$: perpendicular a $\vec{B}$ e $\vec{v}$, apontando para baixo.