Um predador, partindo do repouso, alcança sua velocidade máxima de $54\text{ km/h}$ em $4\text{ s}$ e mantém essa velocidade durante $10\text{ s}$. Se não alcançar sua presa nesses $14\text{ s}$, o predador desiste da caçada. A presa, partindo do repouso, alcança sua velocidade máxima, que é $4/5$ da velocidade máxima do predador, em $5\text{ s}$ e consegue mantê-la por mais tempo que o predador. Suponha-se que as acelerações são constantes, que o início do ataque e da fuga são simultâneos e que predador e presa partem do repouso. Para o predador obter sucesso em sua caçada, a distância inicial máxima entre ele e a presa é de
1. Deslocamento do Predador ($t = 14\text{ s}$):
- Velocidade máxima: $v_{\max,1} = 54\text{ km/h} = 15\text{ m/s}$
- Aceleração nos primeiros $4\text{ s}$: $a_1 = \frac{15}{4} = 3{,}75\text{ m/s}^2$
- Distância percorrida ao acelerar ($0 \text{ a } 4\text{ s}$): $d_{1,a} = \frac{1}{2} \cdot 3{,}75 \cdot 4^2 = 30\text{ m}$
- Distância a velocidade constante ($10\text{ s}$): $d_{1,b} = 15 \times 10 = 150\text{ m}$
- Deslocamento total do predador: $D_1 = 30 + 150 = 180\text{ m}$
2. Deslocamento da Presa ($t = 14\text{ s}$):
- Velocidade máxima: $v_{\max,2} = \frac{4}{5} \times 15 = 12\text{ m/s}$
- Aceleração nos primeiros $5\text{ s}$: $a_2 = \frac{12}{5} = 2{,}4\text{ m/s}^2$
- Distância percorrida ao acelerar ($0 \text{ a } 5\text{ s}$): $d_{2,a} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}4 \cdot 5^2 = 30\text{ m}$
- Distância a velocidade constante ($9\text{ s}$ restantes): $d_{2,b} = 12 \times 9 = 108\text{ m}$
- Deslocamento total da presa: $D_2 = 30 + 108 = 138\text{ m}$
3. Distância inicial máxima ($d_{\max}$):
\[d_{\max} = D_1 - D_2 = 180\text{ m} - 138\text{ m} = 42\text{ m}\]Um pêndulo, formado por uma massa presa a uma haste rígida e de massa desprezível, é posto para oscilar com amplitude angular $\theta_0$. Durante a oscilação, no exato instante em que a massa atinge a altura máxima ($\theta = \theta_0$), como mostrado na figura, a ligação entre a haste e a massa se rompe. No instante imediatamente após o rompimento, os vetores que melhor representam a velocidade e a aceleração da massa são
1. Análise do vetor velocidade no ponto extremo:
Na altura máxima da oscilação ($\theta = \theta_0$), o pêndulo atinge o ponto de inversão de movimento, portanto sua velocidade escalar e vetorial é instantaneamente nula: $|\vec{v}| = 0$.
2. Análise do vetor aceleração imediatamente após o rompimento:
Ao se romper a haste, a tensão se anula e a esfera passa a ficar submetida unicamente à força peso. Desse modo, o corpo entra em queda livre sob ação exclusiva da gravidade: $\vec{a} = \vec{g}$ (vertical para baixo).
Dois satélites descrevem órbitas circulares em torno da Terra. O raio da órbita do satélite mais afastado da terra é o dobro do raio da órbita do satélite mais próximo. Considere-se que $V_a$ e $V_p$ são, respectivamente, os módulos das velocidades do satélite afastado e do satélite próximo. A relação entre esses módulos é
1. Velocidade orbital de um satélite em órbita circular:
Igualando a força gravitacional à força resultante centrípeta:
\[F_g = F_{\text{cp}} \implies \frac{G M m}{R^2} = \frac{m V^2}{R} \implies V = \sqrt{\frac{G M}{R}}\]2. Relação entre as velocidades dos satélites:
Como $R_a = 2 R_p$:
\[V_a = \sqrt{\frac{G M}{2 R_p}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{G M}{R_p}} = \frac{V_p}{\sqrt{2}}\]Considerem-se dois copos cilíndricos, cada um de raio $R = 10\text{ cm}$. Na superfície de um lago, as extremidades abertas dos dois copos são perfeitamente justapostas, formando um cilindro hermeticamente fechado. Esse cilindro é levado ao fundo do lago, que está a $20\text{ m}$ abaixo da superfície. Nessa profundidade, mantendo-se um dos copos em repouso, aplica-se sobre o outro uma força direcionada ao longo do eixo do cilindro, com o propósito de separá-lo do primeiro.
Considerando-se que a densidade da água é $1\text{ g/cm}^3$, o módulo da força aplicada, a partir da qual os copos se separam, é de
1. Pressões interna e externa ao fundo do lago:
- Área da seção do copo: $A = \pi R^2 = \pi (0{,}1)^2 = 10^{-2} \pi\text{ m}^2$
- Pressão interna aprisionada na superfície: $P_{\text{int}} = P_{\text{atm}} = 10^5\text{ N/m}^2$
- Pressão externa a $20\text{ m}$ de profundidade: \[P_{\text{ext}} = P_{\text{atm}} + \rho \cdot g \cdot h = 10^5 + (1.000 \cdot 10 \cdot 20) = 3 \times 10^5\text{ N/m}^2\]
2. Força necessária para separar os copos:
A força mínima $F$ deve superar a diferença de pressão hidrostática exercida sobre a área transversal da junção:
\[\Delta P = P_{\text{ext}} - P_{\text{int}} = 3 \times 10^5 - 10^5 = 2 \times 10^5\text{ N/m}^2\] \[F = \Delta P \cdot A = (2 \times 10^5) \cdot (10^{-2} \pi) = 2\pi \times 10^3\text{ N}\]A figura abaixo mostra uma mola de constante elástica $k$, comprimida a uma distância $d$ de sua posição de equilíbrio. Na extremidade livre da mola, é fixado o bloco A, de massa $M$. À frente do bloco A, encontra-se o bloco B, de massa $m$. Os blocos A e B estão em contato, porém não ligados. Após a mola ser liberada, o bloco B é lançado sobre o plano horizontal. Considere-se que o atrito com o plano é desprezível. A velocidade final do bloco B é de
1. Conservação da energia mecânica:
Enquanto a mola se distende, ela empurra simultaneamente o conjunto de massa total $(M + m)$. No ponto de relaxamento da mola (deformação nula), cessa a aceleração exercida pela mola e o bloco B se desacopla do bloco A, prosseguindo com velocidade constante $v$.
\[E_{pe} = E_c \implies \frac{1}{2} k d^2 = \frac{1}{2} (M + m) v^2\]2. Isolando a velocidade $v$:
\[v^2 = \frac{k d^2}{M + m} \implies v = d \sqrt{\frac{k}{M + m}}\]Uma lente convergente, de distância focal $0{,}75\text{ cm}$, está situada $5\text{ cm}$ à frente de um espelho côncavo, de distância focal $1\text{ cm}$. Um anteparo é colocado como mostra a figura. Um objeto é colocado entre o espelho e a lente, de tal modo que duas imagens são formadas no anteparo, ambas de mesmo tamanho. A distância entre o objeto e o espelho é de
1. Análise com a posição do objeto a $x = 2\text{ cm}$ do espelho:
Dado que a distância entre a lente e o espelho é de $5\text{ cm}$:
- Imagem formada pelo espelho côncavo ($f_E = 1\text{ cm}$): \[\frac{1}{f_E} = \frac{1}{p_E} + \frac{1}{p_E'} \implies \frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{p_E'} \implies p_E' = 2\text{ cm}\] A imagem conjugada pelo espelho é real e se projeta a $2\text{ cm}$ do espelho ($3\text{ cm}$ da lente).
- Imagem 1 produzida diretamente pela lente ($f_L = 0{,}75\text{ cm}$):
O objeto está a $p_1 = 5 - 2 = 3\text{ cm}$ da lente.
\[\frac{1}{f_L} = \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_1'} \implies \frac{1}{0{,}75} = \frac{1}{3} + \frac{1}{p_1'} \implies \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{p_1'} \implies p_1' = 1\text{ cm}\] - Imagem 2 produzida pela lente a partir dos raios refletidos no espelho:
A imagem do espelho atua como objeto para a lente, situada a $p_2 = 5 - 2 = 3\text{ cm}$ da lente.
\[\frac{1}{p_2'} = \frac{1}{0{,}75} - \frac{1}{3} = 1 \implies p_2' = 1\text{ cm}\]
Ambas as imagens se formam exatamente sobre a mesma posição do anteparo ($1\text{ cm}$ atrás da lente) e possuem o mesmo tamanho.
No interior de um calorímetro ideal, contendo inicialmente $400\text{ g}$ de gelo à temperatura de $-20^\circ\text{C}$, são colocados $500\text{ g}$ de água à temperatura de $90^\circ\text{C}$. Considere-se que o calor específico do gelo é $0{,}5\text{ cal/g}^\circ\text{C}$ e que o calor latente de solidificação da água é $-80\text{ cal/g}$. A temperatura final de equilíbrio no interior do calorímetro é de
1. Balanço de trocas de calor no calorímetro ideal:
- Calor para aquecer o gelo de $-20^\circ\text{C}$ até $0^\circ\text{C}$: \[Q_1 = m_g \cdot c_g \cdot \Delta T = 400 \cdot 0{,}5 \cdot 20 = 4.000\text{ cal}\]
- Calor para fundir todo o gelo a $0^\circ\text{C}$: \[Q_2 = m_g \cdot L_f = 400 \cdot 80 = 32.000\text{ cal}\]
- Calor total necessário para derreter todo o gelo: $36.000\text{ cal}$.
- Calor liberado pela água ao resfriar de $90^\circ\text{C}$ a $0^\circ\text{C}$: \[Q_3 = m_a \cdot c_a \cdot 90 = 500 \cdot 1 \cdot 90 = 45.000\text{ cal}\]
2. Temperatura final de equilíbrio ($T_f > 0^\circ\text{C}$):
Como $45.000\text{ cal} > 36.000\text{ cal}$, o gelo derrete completamente. Montando a equação de trocas de calor:
\[4.000 + 32.000 + 400 \cdot 1 \cdot T_f + 500 \cdot 1 \cdot (T_f - 90) = 0\] \[36.000 + 900 T_f - 45.000 = 0 \implies 900 T_f = 9.000 \implies T_f = 10^\circ\text{C}\]Uma certa quantidade de gás ideal é levada de um estado inicial a um estado final por três processos distintos, representados no diagrama PxV da figura abaixo. O calor e o trabalho associados a cada processo são, respectivamente, $Q_1$ e $W_1$, $Q_2$ e $W_2$, $Q_3$ e $W_3$. Está correto afirmar que
1. Comparação dos Trabalhos ($W$):
No diagrama $P \times V$, o trabalho realizado é graficamente igual à área sob a curva de cada processo. Observando as trajetórias:
\[\text{Área}_1 > \text{Área}_2 > \text{Área}_3 \implies W_1 > W_2 > W_3\]2. Comparação dos Calores trocados ($Q$):
Como os estados inicial $i$ e final $f$ são os mesmos para as três trajetórias, a variação da energia interna $\Delta U$ é idêntica para todas ($\Delta U_1 = \Delta U_2 = \Delta U_3$). Pela $1^\text{a}$ Lei da Termodinâmica ($Q = W + \Delta U$):
\[W_1 > W_2 > W_3 \implies Q_1 > Q_2 > Q_3\]Os morcegos emitem ultrassons (movimento vibratório, cuja frequência é superior a $20.000\text{ Hz}$). Considere-se que o menor comprimento de onda emitido por um morcego é de $3{,}4 \times 10^{-3}\text{ m}$. Supondo-se que a velocidade do som no ar é de $340\text{ m/s}$, a frequência mais alta que um morcego emite é de
1. Aplicação da Equação Fundamental da Ondulatória:
\[v = \lambda_{\min} \cdot f_{\max}\]Substituindo $v = 340\text{ m/s}$ e $\lambda_{\min} = 3{,}4 \times 10^{-3}\text{ m}$:
\[340 = (3{,}4 \times 10^{-3}) \cdot f_{\max} \implies f_{\max} = \frac{340}{3{,}4 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^3 = 10^5\text{ Hz}\]A figura abaixo representa dois fios muito longos, paralelos e perpendiculares ao plano da página. Os fios são percorridos por correntes iguais e no mesmo sentido, saindo do plano da página. O vetor campo magnético no ponto P, indicado na figura, é representado por
1. Aplicação da Regra da Mão Direita:
Com as correntes saindo da página ($\odot$), as linhas de campo magnético giram no sentido anti-horário ao redor de cada fio:
- Fio da esquerda: no ponto P, o vetor campo magnético $\vec{B}_1$ é perpendicular ao segmento Fio1-P, apontando para cima e para a esquerda.
- Fio da direita: no ponto P, o vetor campo magnético $\vec{B}_2$ é perpendicular ao segmento Fio2-P, apontando para baixo e para a esquerda.
2. Superposição dos vetores no Ponto P:
Por simetria, as componentes verticais dos vetores $\vec{B}_1$ e $\vec{B}_2$ possuem módulos iguais e sentidos opostos, anulando-se mutuamente. As componentes horizontais somam-se no sentido para a esquerda ($\leftarrow$).
Duas lâmpadas de mesma resistência são ligadas em série e o conjunto é submetido a uma tensão V. Nessa configuração, o conjunto dissipa uma potência total $P_s = 200\text{ W}$. Se essas mesmas lâmpadas forem ligadas em paralelo e o conjunto submetido à mesma tensão V, a potência total $P_p$ dissipada pelo conjunto será de
1. Associação em Série ($R_{\text{eq},s} = 2 R$):
\[P_s = \frac{V^2}{R_{\text{eq},s}} \implies 200 = \frac{V^2}{2 R} \implies \frac{V^2}{R} = 400\text{ W}\]2. Associação em Paralelo ($R_{\text{eq},p} = R / 2$):
\[P_p = \frac{V^2}{R_{\text{eq},p}} = \frac{V^2}{R / 2} = 2 \frac{V^2}{R} = 2 \times 400\text{ W} = 800\text{ W}\]A massa da partícula alfa é quatro vezes a massa do próton, e sua carga é o dobro da carga do próton. Considere-se que uma partícula alfa e um próton são submetidos à influência de um mesmo campo elétrico externo. Os módulos das acelerações causadas pelo campo elétrico externo na partícula alfa e no próton são, respectivamente, $a_\alpha$ e $a_p$. A relação que essas acelerações satisfazem é
1. Aceleração produzida por campo elétrico ($a = F_e / m$):
Pela $2^\text{a}$ Lei de Newton combinada com a força elétrica $F_e = q E$:
\[a = \frac{q E}{m}\]2. Relação para a partícula alfa e para o próton:
- Próton: $a_p = \frac{q_p E}{m_p}$
- Partícula alfa ($m_\alpha = 4 m_p$ e $q_\alpha = 2 q_p$): \[a_\alpha = \frac{q_\alpha E}{m_\alpha} = \frac{2 q_p E}{4 m_p} = \frac{1}{2} \left(\frac{q_p E}{m_p}\right) = \frac{a_p}{2}\]
Isolando $a_p$, temos $a_p = 2 a_\alpha$.