Considere uma partícula lançada verticalmente para cima sob a ação da gravidade. É CORRETO afirmar que, em relação ao solo, ao atingir o ponto mais alto de sua trajetória,
1. Análise do ponto mais alto (ápice do lançamento):
No ponto mais alto da trajetória, o corpo inverte o sentido do seu movimento, de modo que sua velocidade instantânea se anula ($v = 0$).
2. Aceleração atuante:
Como a única força atuante é a força peso (desprezando a resistência do ar), a aceleração permanece constante e igual à aceleração da gravidade ($\vec{a} = \vec{g} = 10\text{ m/s}^2 \neq 0$).
Uma viagem de avião de Vitória-ES a Campinas-SP é realizada em 1 hora e 30 minutos. Sendo a distância aérea entre essas cidades de 750 km, a velocidade escalar média deste avião é de
1. Conversão do tempo e aplicação da fórmula:
O intervalo de tempo de $1\text{ h } 30\text{ min}$ equivale a $\Delta t = 1{,}5\text{ h}$.
\[v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{750\text{ km}}{1{,}5\text{ h}} = 500\text{ km/h}\]Uma pedra é arremessada diretamente para baixo, do alto de um edifício de 15 m de altura. A pedra é arremessada com uma velocidade de módulo $10\text{ m/s}$. O intervalo de tempo que essa pedra leva para atingir o solo é de
1. Função horária da posição no MUV:
Adotando a orientação para baixo com origem no topo:
\[h = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2 \implies 15 = 10 t + \frac{1}{2} (10) t^2\] \[5 t^2 + 10 t - 15 = 0 \implies t^2 + 2 t - 3 = 0\]2. Resolução da equação do segundo grau:
\[(t + 3)(t - 1) = 0 \implies t = 1{,}0\text{ s}\]Um bloco de massa 5,0 kg se move, sem atrito, sobre uma superfície plana e horizontal sob a ação de duas forças horizontais de sentidos opostos, como mostra a figura. As intensidades das forças $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ são de 17 N e 9,0 N, respectivamente. Sob essas condições, o módulo da aceleração do bloco é de
1. Cálculo da força resultante:
\[F_{\text{res}} = F_1 - F_2 = 17\text{ N} - 9{,}0\text{ N} = 8{,}0\text{ N}\]2. Aplicação da Segunda Lei de Newton:
\[a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{8{,}0\text{ N}}{5{,}0\text{ kg}} = 1{,}6\text{ m/s}^2\]Uma mola de constante elástica $3{,}0 \times 10^2\text{ N/m}$ se encontra presa ao teto por uma de suas extremidades. Na outra extremidade da mola, encontra-se preso um bloco de massa 2,7 kg. O bloco se encontra em repouso em relação ao solo. Sob essas condições, a elongação da mola é de
1. Equilíbrio estático no eixo vertical:
A força elástica equilibra a força peso do bloco:
\[F_e = P \implies k \cdot x = m \cdot g\] \[(300) \cdot x = 2{,}7 \times 10 = 27 \implies x = \frac{27}{300} = 0{,}09\text{ m} = 9{,}0\text{ cm}\]Os blocos A e B estão presos às extremidades de um fio ideal que passa por uma polia também ideal, como mostra a figura. A massa do bloco A é o triplo da massa do bloco B. Qualquer forma de atrito é desprezível. O módulo da aceleração do bloco B é de
1. Equação do movimento para o sistema suspenso:
Com $m_A = 3 m_B$, a aceleração do sistema em uma máquina de Atwood é dada por:
\[a = \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} g = \frac{3 m_B - m_B}{3 m_B + m_B} g = \frac{2 m_B}{4 m_B} g = \frac{1}{2} g\] \[a = \frac{10}{2} = 5{,}0\text{ m/s}^2\]Um bloco de massa 3,0 kg é abandonado, em repouso, sobre um plano inclinado. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico (ou cinético) entre o bloco e a superfície do plano são $\mu_e = \sqrt{3}$ e $\mu_d = 0{,}50$, respectivamente. O ângulo de inclinação máxima do plano para que o bloco permaneça em repouso é de
1. Limite da iminência de escorregamento:
No plano inclinado, a componente do peso paralela ao plano equilibra o atrito estático máximo:
\[P_x = F_{\text{at,máx}} \implies m g \sin\theta = \mu_e \cdot m g \cos\theta \implies \tan\theta = \mu_e\] \[\tan\theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ\]Em uma pista circular de 95 m de diâmetro, um ciclista inicia sua corrida, a partir do repouso, acelerando $0{,}40\text{ m/s}^2$. Nesse instante, passa por ele um segundo ciclista com velocidade de módulo $7{,}0\text{ m/s}$ e no mesmo sentido do primeiro. O primeiro ciclista alcançará o segundo após
1. Funções horárias do espaço ao longo da trajetória:
- Ciclista 1 (MUV a partir do repouso): $s_1 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (0{,}40) t^2 = 0{,}20 t^2$
- Ciclista 2 (MU com velocidade constante): $s_2 = v_2 t = 7{,}0 t$
2. Condição de encontro ($s_1 = s_2$):
\[0{,}20 t^2 = 7{,}0 t \implies 0{,}20 t = 7{,}0 \implies t = \frac{7{,}0}{0{,}20} = 35\text{ s}\]Cada uma das turbinas de um F/A-18 Hornet desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião) de 9.000 N. Sua velocidade máxima é de 1.900 km/h. Quando o F/A-18 está voando com sua velocidade máxima, a potência instantânea gerada em cada uma de suas turbinas é de
1. Cálculo da potência mecânica instantânea ($P = F \cdot v$):
Convertendo a velocidade para m/s:
\[v = \frac{1.900}{3{,}6}\text{ m/s}\] \[P = F \cdot v = 9.000\text{ N} \times \frac{1.900}{3{,}6}\text{ m/s} = 2.500 \times 1.900 = 4.750.000\text{ W} = 4.750\text{ kW}\]Uma rampa para "skates" tem 1,8 m de altura medidos a partir da pista plana abaixo. Um "skatista", a partir do repouso, desce pela rampa. Considerando que não há perda de energia, o módulo da velocidade do "skatista", ao chegar à pista plana, é de
1. Conservação da Energia Mecânica:
\[E_{p,g} = E_c \implies m g h = \frac{1}{2} m v^2 \implies v = \sqrt{2 g h}\] \[v = \sqrt{2 \times 10 \times 1{,}8} = \sqrt{36} = 6{,}0\text{ m/s}\]Um cilindro reto, de raio 60 cm, gira em torno de seu eixo com uma velocidade angular de $\frac{\pi}{12}\text{ rad/s}$. Em determinado instante, uma pequena partícula (de massa desprezível em relação à massa total do cilindro) se desprende da superfície lateral do cilindro. O módulo da velocidade com que se desprende a pequena partícula é de
1. Relação entre velocidade tangencial e angular:
Com $R = 60\text{ cm} = 0{,}6\text{ m}$ e $\omega = \frac{\pi}{12}\text{ rad/s}$:
\[v = \omega \cdot R = \left(\frac{\pi}{12}\right) \cdot (0{,}6) = \frac{0{,}6 \pi}{12} = \frac{\pi}{20}\text{ m/s}\]Uma esfera homogênea de massa M e raio R move-se, sem atrito, com velocidade constante $\vec{v}$ sobre um plano horizontal. A esfera, então, choca-se frontalmente com outra esfera, em repouso, idêntica à primeira. Também não há atrito entre o plano e a segunda esfera. O choque entre as esferas pode ser considerado completamente elástico. A velocidade adquirida pela segunda esfera, inicialmente em repouso, após a colisão é:
1. Propriedade das colisões elásticas entre massas iguais:
Em uma colisão unidimensional e perfeitamente elástica entre dois corpos de massas idênticas, ocorre a troca completa de velocidades entre eles.
A primeira esfera para instantaneamente e transfere integralmente seu estado de movimento para a segunda esfera, que passa a se mover com velocidade $\vec{v}$.
Um homem está sobre uma balança de molas que se encontra sobre o piso de um elevador. Quando o elevador está em repouso em relação ao solo, a leitura da balança é de 80 kg. Se o elevador sobe com velocidade constante de módulo $2\text{ m/s}$ em relação ao solo, a leitura da balança é de
1. Análise do movimento uniforme do elevador:
Como o elevador sobe em Movimento Uniforme ($v = \text{constante}$), a aceleração resultante é nula ($a = 0$).
2. Leitura da balança:
Sem aceleração, a força normal exercida pelo piso equivale exatamente ao peso real do homem ($N = P$). Assim, a indicação da balança permanece inalterada em 80 kg.
Uma chapa homogênea, de espessura desprezível, tem o formato de um triângulo equilátero de altura 60 cm. A distância de um de seus vértices ao centro de massa da chapa é de
1. Localização do centro de massa de um triângulo:
O centro de massa de uma chapa triangular homogênea coincide com seu baricentro, que divide as alturas/medianas na proporção $2:1$ a partir do vértice.
2. Cálculo da distância:
\[d = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \times 60\text{ cm} = 40\text{ cm}\]Um cilindro maciço e homogêneo rola, sem deslizar, sobre uma superfície plana e horizontal. O cilindro tem raio R, massa m e momento de inércia $I = \frac{1}{2} m R^2$ em relação a seu eixo. O módulo da velocidade do centro de massa do cilindro é v. Em relação à superfície, a energia cinética total do cilindro é
1. Composição da energia cinética em rolamento sem deslizamento:
\[E_k = E_{k,\text{traslação}} + E_{k,\text{rotação}} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2\]2. Substituição dos parâmetros ($\omega = v/R$):
\[E_{k,\text{rotação}} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} m R^2\right) \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{4} m v^2\] \[E_k = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4} m v^2 = \frac{3}{4} m v^2\]Um nadador começa a nadar na direção transversal à corrente de um rio de margens retas e paralelas e de largura de 2,6 km. O módulo da velocidade do nadador em relação à água é de $1,3\text{ m/s}$ e o da corrente em relação às margens é de $0,80\text{ m/s}$. Após a travessia, o deslocamento rio abaixo do nadador é de
1. Tempo de travessia na direção perpendicular às margens:
\[t = \frac{L}{v_{\text{nadador}}} = \frac{2.600\text{ m}}{1{,}3\text{ m/s}} = 2.000\text{ s}\]2. Arraste paralelo às margens (deslocamento rio abaixo):
\[d = v_{\text{corrente}} \cdot t = 0{,}80\text{ m/s} \times 2.000\text{ s} = 1.600\text{ m} = 1{,}6\text{ km}\]Um pequeno corpo de massa m, inicialmente em repouso no ponto A, desliza sobre uma superfície semicircular ACB sem atrito, conforme mostra a figura. A força exercida pela superfície sobre o corpo no ponto D é
1. Geometria e Conservação da Energia:
O ângulo do arco até o ponto D é $150^\circ$, o que corresponde a uma profundidade em relação ao diâmetro $AB$ de $h = R \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} R$. Pela conservação da energia mecânica:
\[m g h = \frac{1}{2} m v^2 \implies m g \left(\frac{R}{2}\right) = \frac{1}{2} m v^2 \implies v^2 = g R\]2. Força normal no ponto D:
O raio no ponto D faz um ângulo de $60^\circ$ com a vertical. A força resultante centrípeta é dada pela diferença entre a reação normal $N$ e a componente radial do peso:
\[F_{\text{cp}} = N - m g \cos 60^\circ = \frac{m v^2}{R}\] \[N - \frac{1}{2} m g = \frac{m (g R)}{R} = m g \implies N = m g + \frac{1}{2} m g = \frac{3}{2} m g\]Uma partícula pontual de massa 3 kg se move no plano XY sob a ação de uma força constante cujas componentes são $F_x = 6\text{ N}$ e $F_y = -9\text{ N}$. No instante inicial, $t = 0$, as componentes da velocidade inicial são $v_x = -2\text{ m/s}$ e $v_y = 0$. O módulo da velocidade no instante $t = 2\text{ s}$ é
1. Acelerações nos eixos $x$ e $y$:
\[a_x = \frac{F_x}{m} = \frac{6}{3} = 2\text{ m/s}^2 \quad \text{e} \quad a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{-9}{3} = -3\text{ m/s}^2\]2. Componentes da velocidade em $t = 2\text{ s}$:
\[v_x(2) = v_{x0} + a_x t = -2 + (2)(2) = 2\text{ m/s}\] \[v_y(2) = v_{y0} + a_y t = 0 + (-3)(2) = -6\text{ m/s}\]3. Módulo da velocidade resultante:
\[v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\text{ m/s}\]Se o módulo da velocidade do som é igual a $340\text{ m/s}$, então o módulo da velocidade de um F-22 Raptor que se desloca com velocidade igual ao dobro da velocidade do som é de
1. Cálculo da velocidade em m/s:
\[v = 2 \times 340\text{ m/s} = 680\text{ m/s}\]2. Conversão para km/h:
\[v = 680 \times 3{,}6 = 2.448\text{ km/h}\]Quatro pequenas esferas idênticas, de massa 2,0 kg cada uma delas, estão presas às extremidades de um quadro plano de massa desprezível. As esferas estão à mesma distância de 1,0 m do centro do quadro. O sistema gira com velocidade angular $\omega = 3{,}0\text{ rad/s}$ ao redor de um eixo que passa perpendicularmente pelo centro do quadro. O momento angular total do sistema em relação a esse eixo é de
1. Momento de inércia do sistema de massas pontuais:
\[I = \sum m_i r_i^2 = 4 \times (2{,}0\text{ kg} \times (1{,}0\text{ m})^2) = 8{,}0\text{ kg}\cdot\text{m}^2\]2. Momento angular ($L = I \cdot \omega$):
\[L = 8{,}0\text{ kg}\cdot\text{m}^2 \times 3{,}0\text{ rad/s} = 24\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}\]Considere um disco cujo momento de inércia em relação a seu eixo seja igual a $6{,}4 \times 10^{-5}\text{ kg}\cdot\text{m}^2$. Esse disco começa a girar em torno de seu eixo, a partir do repouso, acelerando uniformemente até atingir uma velocidade angular de $24\text{ rad/s}$ em 0,80 s. O torque resultante sobre o disco é de
1. Aceleração angular ($\alpha$):
\[\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{24\text{ rad/s}}{0{,}80\text{ s}} = 30\text{ rad/s}^2\]2. Fundamental da Dinâmica de Rotação ($\tau = I \cdot \alpha$):
\[\tau = (6{,}4 \times 10^{-5}\text{ kg}\cdot\text{m}^2) \times 30\text{ rad/s}^2 = 192 \times 10^{-5} = 1{,}92 \times 10^{-3}\text{ N}\cdot\text{m} \approx 1{,}9 \times 10^{-3}\text{ N}\cdot\text{m}\]Um arqueiro dispara uma flecha horizontalmente, mirando o centro de um alvo. Essa flecha tem velocidade de partida de $280\text{ m/s}$ e acerta o alvo 45 cm abaixo do centro. O efeito da resistência do ar é desprezível. A resposta que mais se aproxima da distância entre o arqueiro e o alvo é de
1. Tempo de queda vertical ($h = 45\text{ cm} = 0{,}45\text{ m}$):
\[h = \frac{1}{2} g t^2 \implies 0{,}45 = 5 t^2 \implies t^2 = 0{,}09 \implies t = 0{,}3\text{ s}\]2. Distância horizontal alcançada:
\[d = v_x \cdot t = 280\text{ m/s} \times 0{,}3\text{ s} = 84\text{ m}\]Um objeto de 0,50 kg é abandonado de uma altura de 7,2 m, atingindo o solo. O objeto leva $2{,}0 \times 10^{-3}\text{ s}$ para atingir completamente o repouso depois de tocar o solo. A força média exercida pelo objeto sobre o solo é de
1. Velocidade de impacto imediatamente antes do solo:
\[v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 7{,}2} = \sqrt{144} = 12\text{ m/s}\]2. Teorema do Impulso para a força média de desaceleração:
\[I = \Delta Q \implies F_{\text{méd}} \cdot \Delta t = m \cdot v\] \[F_{\text{méd}} \cdot (2{,}0 \times 10^{-3}) = 0{,}50 \times 12 = 6{,}0 \implies F_{\text{méd}} = \frac{6{,}0}{2{,}0 \times 10^{-3}} = 3{,}0 \times 10^3\text{ N}\]Uma força atua sobre um carro de 1.090 kg, de tal modo que a velocidade do carro aumenta com a distância percorrida, segundo a equação $v = \frac{x}{10}\text{ (m/s)}$. O trabalho exercido pela força para deslocar o carro de uma posição inicial $x = 0$ até uma posição final $x = 20\text{ m}$ é de
1. Determinação das velocidades nos pontos inicial e final:
- Em $x_i = 0$: $v_i = \frac{0}{10} = 0\text{ m/s}$
- Em $x_f = 20\text{ m}$: $v_f = \frac{20}{10} = 2\text{ m/s}$
2. Aplicação do Teorema do Trabalho e Energia Cinética ($W = \Delta E_c$):
\[W = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} (1.090) (2)^2 - 0 = 2.180\text{ J}\]Uma bola de bilhar, movendo-se com velocidade constante de módulo $5{,}0\text{ m/s}$, colide com outra bola de bilhar idêntica em repouso. Após a colisão, a direção de movimento da primeira bola forma um ângulo de $60^\circ$ em relação a sua linha original de movimento e a da segunda bola um ângulo de $30^\circ$, conforme mostra a figura. Após a colisão, o módulo da velocidade da primeira bola é de
1. Conservação da quantidade de movimento no eixo perpendicular à direção inicial:
Como $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$, as direções de espalhamento são perpendiculares. No eixo perpendicular à trajetória inicial:
\[m \cdot v_1 \sin 60^\circ = m \cdot v_2 \sin 30^\circ \implies v_1 \frac{\sqrt{3}}{2} = v_2 \frac{1}{2} \implies v_2 = \sqrt{3} v_1\]2. Conservação da quantidade de movimento no eixo original de movimento:
\[m \cdot v_0 = m \cdot v_1 \cos 60^\circ + m \cdot v_2 \cos 30^\circ\] \[5{,}0 = v_1 \left(\frac{1}{2}\right) + (\sqrt{3} v_1) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} v_1 + \frac{3}{2} v_1 = 2 v_1\] \[2 v_1 = 5{,}0 \implies v_1 = 2{,}5\text{ m/s}\]