UFG · 2014 — 2ª Fase — Questões de Física comentadas — Método TEF

Duas perguntas em uma: o tipo de ligação química e a força magnética entre os fios. Comecemos pela parte química, que é curta.

Ligação rompida. Os organismos do biofilme se alimentam de matéria orgânica, e é a quebra das ligações carbono-carbono dessas moléculas que libera a energia. Não há cobre na matéria orgânica que serve de alimento; o cobre está nos fios do circuito.

Correntes nos fios. Pela figura, os fios 1 e 2 estão em paralelo entre A e B, então ambos ficam submetidos à mesma tensão de $4\ \text{V}$: $I_1=\dfrac{4}{3}\ \text{A}$ e $I_2=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\ \text{A}$. As duas correntes percorrem os fios no mesmo sentido, de A para B.

Força entre fios paralelos. Cada fio cria um campo magnético no outro, e correntes de mesmo sentido se atraem, com intensidade $F=\dfrac{\mu_0\,I_1\,I_2\,L}{2\pi\,d}$. Como $\dfrac{\mu_0}{2\pi}=2\times10^{-7}\ \text{T·m/A}$:

$F=2\times10^{-7}\times\dfrac{\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\times9}{2\times10^{-3}}=2\times10^{-7}\times\dfrac{8}{2\times10^{-3}}=8\times10^{-4}\ \text{N}$.

Repare que $8\times10^{-4}\ \text{N}$ é bem menor que o peso de uma folha de papel, o que mostra como essa força é pequena, apesar de as correntes serem da ordem de 1 A.

Continuação do circuito da questão anterior. Precisamos da potência que os fios consomem, para saber quanta potência o biofilme precisa gerar.

Ser vivo. O enunciado fala de organismos procariontes, isto é, sem núcleo definido. Entre as opções (bactéria, protozoário, alga), só a bactéria é procarionte; protozoários e algas são eucariontes.

Potência consumida. Os fios estão em paralelo: $R_{eq}=\dfrac{3\times6}{3+6}=2\ \Omega$. Com $U=4\ \text{V}$: $P=\dfrac{U^2}{R_{eq}}=\dfrac{16}{2}=8\ \text{W}$. (Conferindo pelas correntes: $I=\tfrac43+\tfrac23=2\ \text{A}$ e $P=UI=8\ \text{W}$.)

Área do biofilme. Cada $\text{m}^2$ gera $200\ \text{mW}=0{,}2\ \text{W}$. Então $A=\dfrac{8}{0{,}2}=40\ \text{m}^2$.

Cuidado com a unidade: $200\ \text{mW}$ são $0{,}2\ \text{W}$, e não $2\ \text{W}$. Esquecer a conversão de mW para W dá $4\ \text{m}^2$ ou $80\ \text{m}^2$, e nenhum desses valores está entre as opções.

Colisões bidimensionais parecem assustadoras, mas há um truque: cada eixo se resolve separadamente. O que se conserva é a quantidade de movimento total em $x$ e em $y$.

Olhe para o eixo $y$. Antes da colisão, a partícula $m_1$ chega horizontalmente (só tem $v_0$ em $x$) e o alvo está em repouso. Logo, a quantidade de movimento inicial em $y$ é zero. Como não há forças externas, ela tem de continuar zero depois do choque.

Depois, a $m_1$ sobe ($v_{1y}=+5\ \text{m/s}$) e o alvo desce ($v_{2y}=-2\ \text{m/s}$): os dois “empurrões” verticais se cancelam.

$m_1v_{1y}+m_2v_{2y}=0\ \Rightarrow\ 0{,}2\times5+m_2\times(-2)=0\ \Rightarrow\ m_2=\dfrac{1{,}0}{2}=0{,}5\ \text{kg}$.

O bom da sacada é que não precisamos dos valores de $v_0$ nem das componentes em $x$: elas complicariam o problema. Regra prática: se uma das componentes começa em zero, comece por ela.

Duas partes: o trajeto da água na planta (Biologia) e a energia para evaporá-la (Física).

Trajeto. A água entra pelas raízes e sobe por vasos condutores, o xilema, até as folhas. Nas folhas, ela atravessa o mesófilo (o tecido interno, onde ocorre a fotossíntese) e sai na forma de vapor pelos estômatos, pequenos poros da epiderme. Ordem: xilema $\to$ mesófilo $\to$ estômatos. Isso descarta A e C (mesófilo antes do xilema) e E (estômatos antes do mesófilo).

Volume e massa da gota. O diâmetro é $2{,}0\ \text{mm}$, então o raio é $r=1{,}0\ \text{mm}=10^{-3}\ \text{m}$, e $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\times3\times(10^{-3})^3=4\times10^{-9}\ \text{m}^3$. Com $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$: $m=\rho V=4\times10^{-6}\ \text{kg}$.

Energia. $Q=m\,L=4\times10^{-6}\times2{,}45\times10^{6}\approx9{,}8\ \text{J}$.

Para ter uma noção: $9{,}8\ \text{J}$ é a energia necessária para erguer $1\ \text{kg}$ por $1\ \text{m}$. Evaporar uma gotinha de 2 mm custa isso, o que mostra por que a transpiração é um mecanismo tão eficiente de resfriamento das folhas.

Erros à espreita: usar o diâmetro em vez do raio multiplica o volume por 8, o que dá $78{,}4\ \text{J}$ (alternativa E); e errar a conversão de g para kg dá $9{,}8\times10^{-3}\ \text{J}$ (alternativas A e B).

Vale entender a pergunta: quais aspectos da relatividade restrita não rompem com a Física clássica? Vamos avaliar cada alternativa.

A) Invariância do tempo. Esse é o tempo absoluto de Newton, que é a ideia clássica. A relatividade restrita nega isso: o tempo se dilata para quem está em movimento. Logo não é “prevista” pela relatividade.

B) Contração do espaço. É uma previsão da relatividade e não existe na Física clássica.

C) Invariância da velocidade da luz. É o postulado central de Einstein, contrário à soma clássica de velocidades.

D) Diferença entre massa inercial e gravitacional. Na Física clássica (e na relatividade geral), elas são iguais, e não diferentes.

E) Conservação da quantidade de movimento. É válida nas duas teorias. A relatividade restrita muda a expressão do momento, que passa a ser $p=\gamma m v$, mas o princípio de conservação continua valendo. A expressão relativística tende à clássica ($p=mv$) para velocidades muito menores que $c$.

É um bom exemplo de como uma teoria nova costuma conservar as leis de conservação da antiga.

O caminho tem quatro etapas: tensão da pilha $\to$ resistência do filamento $\to$ corrente $\to$ número de elétrons por segundo.

1) Tensão da pilha. A diferença de potencial é a diferença entre os dois potenciais: $U=|1{,}18-(-0{,}34)|=1{,}52\ \text{V}$. (Detalhe curioso: os sinais impressos na prova estão trocados em relação à tabela usual, em que $E^0_{Cu}=+0{,}34\ \text{V}$ e $E^0_{Mn}=-1{,}18\ \text{V}$. O resultado é o mesmo, $E_{cátodo}-E_{ânodo}=0{,}34-(-1{,}18)=1{,}52\ \text{V}$, e é isso que importa para a ddp.)

2) Resistência do filamento. O diâmetro é $0{,}056\ \text{mm}$, então $r=0{,}028\ \text{mm}=2{,}8\times10^{-5}\ \text{m}$. A área da seção é $A=\pi r^2\approx3\times(2{,}8\times10^{-5})^2=2{,}35\times10^{-9}\ \text{m}^2$. Pela 2ª lei de Ohm, $R=\dfrac{\rho\,L}{A}=\dfrac{5{,}6\times10^{-8}\times0{,}7}{2{,}35\times10^{-9}}\approx16{,}7\ \Omega$.

3) Corrente. $i=\dfrac{U}{R}=\dfrac{1{,}52}{16{,}7}\approx9{,}1\times10^{-2}\ \text{A}$.

4) Elétrons por segundo. Corrente é carga por tempo, então $N=\dfrac{i}{e}=\dfrac{9{,}1\times10^{-2}}{1{,}6\times10^{-19}}\approx5{,}7\times10^{17}$ elétrons a cada segundo.

Cuidados típicos: o diâmetro do fio precisa virar raio (esquecer a divisão por 2 quadruplica o erro na área) e o milímetro precisa virar metro. Note também que o fio de tungstênio tem só $0{,}056\ \text{mm}$ de diâmetro, cerca de metade da espessura de um fio de cabelo.

A questão combina Química (a reação) com Termodinâmica (trabalho de um gás). O fio condutor é o número de mols de gás produzido.

1) A reação. $\text{Mg}+2\,\text{HCl}\rightarrow\text{MgCl}_2+\text{H}_2$. Para cada mol de $\text{Mg}$ que reage, forma-se 1 mol de $\text{H}_2$. O gás empurra o pistão.

2) O trabalho do gás. O pistão tem massa desprezível e desliza sem atrito, então o gás se expande contra a pressão atmosférica, que é constante. O trabalho é $W=P\,\Delta V$. Como o gás é ideal e a temperatura permanece $27\,^\circ\text{C}=300\ \text{K}$ (as paredes são condutoras de calor), $P\,\Delta V=nRT$. Note que, no início, não havia gás, e portanto todo o volume final é a variação de volume.

$n=\dfrac{W}{RT}=\dfrac{240}{8{,}0\times300}=0{,}10\ \text{mol de }\text{H}_2$.

3) Massa de magnésio. Como a proporção é 1:1, foram consumidos $0{,}10\ \text{mol}$ de $\text{Mg}$, e $m=0{,}10\times24{,}3=2{,}43\ \text{g}$.

Um erro a evitar: usar $27$ em vez de $300\ \text{K}$ na fórmula dos gases (a temperatura absoluta é obrigatória). Já as alternativas com valores menores correspondem a erros de fator 10 ou 2 em algum passo.

A fusão nuclear libera uma energia enorme por reação, mas medida em MeV, uma unidade minúscula, então precisaremos converter para joules para compará-la com a potência em watts.

1) Energia por par de reações. As duas reações ocorrem com a mesma frequência $f$ (número de eventos por segundo de cada tipo). A energia liberada a cada “par” é $E_1+E_2=3{,}0+4{,}0=7{,}0\ \text{MeV}=7{,}0\times10^{6}\times1{,}6\times10^{-19}=1{,}12\times10^{-12}\ \text{J}$.

2) Frequência. Potência é energia por tempo, $P=f\,(E_1+E_2)$. Então $f=\dfrac{11{,}2}{1{,}12\times10^{-12}}=1{,}0\times10^{13}\ \text{s}^{-1}$.

3) Nêutrons. Só a primeira reação libera um nêutron ($^{2}\text{H}+{}^{2}\text{H}\rightarrow{}^{3}\text{He}+n$). Na outra, o produto é um próton. Como cada reação da primeira espécie ocorre $f$ vezes por segundo, são emitidos $1{,}0\times10^{13}$ nêutrons por segundo.

A armadilha é usar $E_1+E_2$ com o total de nêutrons no lugar dos eventos que os produzem (ou dividir por 3 MeV ou 4 MeV, isolados), o que leva a $3\times10^{13}$ ou $4\times10^{13}$ (alternativas B e C).

Um detalhe para quem for conferir: a segunda reação vem impressa na prova como $^{2}\text{H}+{}^{2}\text{H}\rightarrow{}^{3}\text{He}+{}^{1}\text{H}$, que não conserva a carga (2 à esquerda, 3 à direita); o produto correto seria o trítio, $^{3}\text{H}$. O erro é do enunciado original e não muda a conta, porque só o número de nêutrons e as energias entram nela.

A questão parece tecnológica, mas se resolve com uma ideia simples de ondas: um radar “enxerga” bem os objetos cujo tamanho é comparável ao comprimento de onda. O enunciado até diz isso: os componentes vegetais que espalham a onda têm a mesma ordem de grandeza do comprimento de onda.

Comprimento de onda. Com $f=0{,}1\ \text{GHz}=10^{8}\ \text{Hz}$, $\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\times10^{8}}{10^{8}}=3\ \text{m}$. Ou seja, a onda “vê” estruturas de alguns metros: troncos, copas de árvores, grandes áreas com ou sem floresta.

O que é possível monitorar. Com essa escala (e resolução vertical de $3\ \text{m}$), o radar distingue bem a diferença entre uma floresta densa (muito espalhamento em troncos e copas) e uma área aberta cultivada. É a ferramenta certa para acompanhar grandes mudanças na cobertura, como a substituição de mata nativa por extensas lavouras. Detalhes mais finos, como o tipo de cultura em uma lavoura (A), pequenas roças de subsistência (C) ou seringueiras isoladas (E), estão abaixo da escala do radar.

Esse raciocínio de escala vale para qualquer sensoriamento: quanto menor o detalhe, menor precisa ser o comprimento de onda usado.

A ideia do pontilhismo é que, à distância, os pontos deixam de ser vistos individualmente e as cores se misturam no olho. Isso acontece quando o olho não consegue mais resolver os pontos, isto é, quando o ângulo entre eles fica menor que o ângulo mínimo dado pelo critério de Rayleigh.

Ângulo mínimo do olho. $\theta_{min}\approx1{,}22\,\dfrac{\lambda}{d}=1{,}22\times\dfrac{500\times10^{-9}}{2{,}0\times10^{-3}}=3{,}05\times10^{-4}\ \text{rad}$.

Ângulo entre os pontos, visto de uma distância $D$. Pela figura, $\theta\approx\dfrac{\Delta x}{D}$ (ângulos pequenos). O limite ocorre quando $\dfrac{\Delta x}{D}=\theta_{min}$, isto é,

$D=\dfrac{\Delta x}{\theta_{min}}=\dfrac{1{,}22\times10^{-3}}{3{,}05\times10^{-4}}=4{,}0\ \text{m}$.

Uma sacada: como $\Delta x=1{,}22\ \text{mm}$ tem justamente o fator $1{,}22$, ele se cancela: $D=\dfrac{\Delta x\,d}{1{,}22\,\lambda}=\dfrac{10^{-3}\times2\times10^{-3}}{5\times10^{-7}}=4{,}0\ \text{m}$. O enunciado foi feito para isso.

Sentido do resultado. Mais perto que $4\ \text{m}$, o ângulo entre os pontos é maior que $\theta_{min}$ e eles são vistos separados. Só a partir de $4\ \text{m}$ o observador percebe a mistura de cores, e por isso $4\ \text{m}$ é a distância mínima.