Em sistemas de energia solar, o ângulo com que a luz solar incide sobre o painel fotovoltaico influencia diretamente a eficiência da geração elétrica. A trajetória aparente do sol no céu, ao longo do dia, pode ser representada por funções trigonométricas, permitindo modelar o comportamento do ângulo de elevação solar em função do tempo.
Em determinada localidade, o ângulo de elevação solar $\theta(t)$, em radianos, ao longo do tempo $t$ (em horas após o nascer do sol), pode ser aproximado pela função:
$$\theta(t)=\frac{\pi}{4}\ \mathrm{sen}\!\left(\frac{\pi t}{12}\right)$$Essa modelagem é válida para o intervalo $0\le t\le12$, representando o período do nascer ao pôr do sol.
Julgue os itens a seguir analisando a situação que foi descrita.
I. No instante t = 6 horas, o sol atinge o ponto mais alto no céu, com um ângulo de elevação de $\dfrac{\pi}{4}$ radianos.
II. A elevação do sol ao nascer ($t=0$) e ao pôr do sol ($t=12$) é nula, o que indica que o sol está no horizonte.
III. A função $\theta(t)$ é crescente em todo o intervalo de 0 a 12 horas.
Marque a afirmativa em que está(ão) o(s) item(ns) correto(s).
O seno vale $1$ quando o argumento é $\pi/2$, isto é, $\dfrac{\pi t}{12}=\dfrac\pi2\Rightarrow t=6$ h. Então $\theta(6)=\dfrac\pi4\cdot1=\dfrac\pi4$, o máximo (item I).
Nos extremos: $\theta(0)=\dfrac\pi4\,\mathrm{sen}\,0=0$ e $\theta(12)=\dfrac\pi4\,\mathrm{sen}\,\pi=0$ (item II).
Como o argumento vai de $0$ a $\pi$, o seno sobe até $t=6$ e depois desce: $\theta$ cresce de $0$ a $6$ h e decresce de $6$ a $12$ h. Não é crescente em todo o intervalo (item III falso).
Durante os testes em uma linha automatizada de produção de empacotamento, engenheiros monitoram o comportamento de objetos sobre uma esteira acelerada por motores elétricos. O bom funcionamento do sistema depende do controle preciso das forças envolvidas para que os produtos não sejam danificados ao longo do transporte. Em determinado experimento, uma força resultante de 10 kgf é aplicada sobre uma caixa, produzindo nela uma aceleração de $2{,}5\ \text{m/s}^2$.
Com base nessa situação, qual é a massa da caixa? (Considere 1 kgf = 10 N)
Converta a força para o SI: $F=10\ \text{kgf}\cdot10=100\ \text{N}$. Pela segunda lei de Newton, $F=ma$:
$$m=\frac{F}{a}=\frac{100}{2{,}5}=40\ \text{kg}.$$Os $4$ kg viriam de usar $F=10$ sem converter.
Durante o desenvolvimento de sistemas inteligentes de assistência veicular, engenheiros automotivos testam algoritmos que ajustam a velocidade de um carro automaticamente ao contornar curvas. Em um dos testes, um automóvel com massa de 900 kg percorre uma curva plana de raio 30 m, e os dados do sistema indicam que a velocidade do carro no trecho é de 10 m/s (equivalente a 36 km/h). Para garantir segurança e estabilidade, o algoritmo também considera o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o asfalto, que neste cenário é de 0,50 e a aceleração da gravidade $g=10\ \text{m/s}^2$.
Com base nessas informações e nos fundamentos da dinâmica circular, julgue os itens a seguir.
I. A força centrípeta necessária para manter o carro na trajetória curva, a 10 m/s, é de 3.000 N.
II. A força de atrito disponível entre os pneus e o solo é suficiente para manter o carro na curva sem derrapar.
III. A velocidade máxima que o veículo pode atingir na curva sem perder a aderência ao solo é de aproximadamente 13,4 m/s.
Marque a afirmativa em que está(ão) o(s) item(ns) correto(s).
Item I. A força centrípeta é a resultante necessária para a curva:
$$F_{cp}=\frac{mv^2}{R}=\frac{900\cdot10^2}{30}=3000\ \text{N}.$$Item II. Numa curva plana, a centrípeta vem do atrito estático. O máximo disponível é
$$F_{at,\,max}=\mu mg=0{,}50\cdot900\cdot10=4500\ \text{N}.$$Como $3000<4500$, o atrito basta e o carro não derrapa.
Item III. No limite, $\mu mg=\dfrac{mv_{max}^2}{R}$, de modo que a massa se cancela:
$$v_{max}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0{,}5\cdot10\cdot30}=\sqrt{150}\approx12{,}2\ \text{m/s}.$$O valor $13{,}4$ do item III não confere: ele sai de $\sqrt{180}$, que seria o resultado com $R=36$ m.
Durante uma atividade experimental em um laboratório de Física, um grupo de estudantes buscava determinar a velocidade de propagação da luz em um tipo específico de vidro utilizado em instrumentos ópticos. Para isso, direcionaram um feixe de luz monocromática, propagando-se no ar, sobre a superfície de um bloco de vidro. O ângulo de incidência da luz foi de $\theta_1=30^\circ$, e o ângulo de refração observado no interior do vidro foi de $\theta_2=19^\circ$.
Considere as seguintes informações:
- índice de refração do ar: $n_{ar}=1{,}0$;
- $\mathrm{sen}\,30^\circ=0{,}5$;
- $\mathrm{sen}\,19^\circ\approx0{,}32$, e;
- velocidade da luz no vácuo: $3{,}0\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.
Com base nesses dados, qual é a velocidade aproximada de propagação da luz desse vidro?
Pela lei de Snell, $n_{ar}\,\mathrm{sen}\,\theta_1=n_{v}\,\mathrm{sen}\,\theta_2$:
$$n_v=\frac{1{,}0\cdot0{,}5}{0{,}32}\approx1{,}56.$$O índice de refração relaciona a velocidade da luz no vácuo à do meio, $n=c/v$:
$$v=\frac{c}{n_v}=\frac{3{,}0\times10^{8}}{1{,}56}\approx1{,}9\times10^{8}\ \text{m/s}.$$A luz se propaga mais devagar no vidro que no ar, e o resultado é menor que $c$, como esperado.
Durante uma obra rodoviária, dois caminhões-pipa percorrem um trecho retilíneo de 30 km para molhar a pista. O caminhão A parte do ponto inicial às 8h com velocidade constante de 60 km/h. O caminhão B parte do mesmo ponto às 8h15, com velocidade constante de 80 km/h, percorrendo o mesmo trajeto.
Ao considerar que ambos mantêm suas velocidades constantes durante o percurso, é correto afirmar que:
Tome $t$ em horas a partir das 8h. Funções horárias: $s_A=60t$ e $s_B=80\,(t-0{,}25)$ (B parte 15 min depois, isto é, $0{,}25$ h).
$$60t=80t-20\ \Rightarrow\ t=1\ \text{h}\quad(\text{9h}),\qquad s=60\ \text{km}.$$O encontro, se os caminhões seguissem, ocorreria às 9h, no km 60, mas o trecho tem só $30$ km. O caminhão A termina o percurso em $t=30/60=0{,}5$ h, às 8h30, quando B está em $80\,(0{,}5-0{,}25)=20$ km. Portanto A sai do trecho antes de B alcançá-lo.
Os valores "8h45" e "km 30" nas outras alternativas não correspondem a nenhuma das condições do problema; "8h30 no km 20" mistura a chegada de A com a posição de B naquele instante.