UniRV 2021/2 — Medicina Aparecida de Goiânia

Q11

Mecânica — Gravitacao — Variacao do peso com a altitude

As disputas de poderes se apresentam nas mais diversas formas. Com frequência, noticiários comunicam a construção de grandiosos prédios, exibindo luxo, empoderamento econômico e tecnológico. O prédio mais alto do mundo se encontra na Arábia Saudita, não é de se espantar! No Brasil, também existem prédios imponentes. Conhecendo o comportamento da Lei da Gravitação de Newton: $F=\dfrac{G\,M\,m}{r^2}$, em que, G é a constante gravitacional, M e m são as massas dos corpos que experimentam a força e r é a distância entre os centros de massas dos corpos, julgue as afirmativas em V para verdadeiras ou F para falsas, tomando como base as informações da tabela. (Dados: G = 6,67x10^-11 Nm²/kg²; massa da Terra = 5,98x10²⁴ kg; raio médio da Terra = 6,77x10⁶ m)

Prédio	Localização	Altura (m)
Kingdom Tower	Jidá – Arábia Saudita	610
Yachthouse by Pininfarina	Balneário Camboriú	281
Infinity Coast	Balneário Camboriú	234
Complexo Orion	Goiânia	191
Epic Tower	Balneário Camboriú	190

A)O peso de uma pessoa, no pico do prédio saudita, é mais de duas vezes maior do que o peso da mesma pessoa no pico do prédio mais alto brasileiro.

B)O peso de uma pessoa, no pico do prédio saudita, é quase a metade do peso da mesma pessoa no térreo do prédio mais alto brasileiro.

C)A diferença entre o peso de uma pessoa no térreo e o peso da mesma pessoa no ponto mais alto do prédio goiano é de 1,91 N.

D)A aceleração gravitacional varia tão pouco na ordem de grandeza da altura dos prédios que a variação do peso de uma pessoa no térreo e no pico dos prédios é desprezível.

Gabarito oficial (preliminar)

F · F · F · V

Resolução

A) Falsa. $P=\dfrac{GMm}{r^2}$ depende do inverso do quadrado de $r$. Com $r_1=6{,}77\times10^6+610\ \text{m}$ e $r_2=6{,}77\times10^6+281\ \text{m}$, a razão $r_1/r_2$ é praticamente 1 (diferença de cerca de $5\times10^{-5}$ em valor relativo). Os pesos são quase idênticos, e o do prédio saudita é, na verdade, ligeiramente menor.

B) Falsa. Pelo mesmo raciocínio, a diferença entre as distâncias ao centro da Terra é desprezível diante de $6{,}77\times10^6\ \text{m}$. A razão entre os pesos é próxima de 1, não de 1/2. Para o peso cair à metade seria preciso $r$ multiplicado por $\sqrt2$, isto é, subir milhares de quilômetros.

C) Falsa. A aceleração da gravidade no térreo é $g=\dfrac{GM}{R^2}=\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}98\times10^{24}}{(6{,}77\times10^6)^2}\approx 8{,}7\ \text{m/s}^2$. A variação é $\Delta P\approx m\,g\,\dfrac{2h}{R}\approx m\cdot8{,}7\cdot\dfrac{2\cdot191}{6{,}77\times10^6}\approx 4{,}9\times10^{-4}\,m\ \text{N}$, com $m$ em kg. Além disso, o valor depende da massa da pessoa, que o enunciado não fornece. Obter 1,91 N exigiria uma massa de cerca de 3,9 toneladas.

D) Verdadeira. Como $h\ll R$, a variação relativa de $g$ é cerca de $2h/R$: para 610 m, aproximadamente $2\times10^{-4}$ (0,02%). Na prática, o peso é o mesmo em qualquer ponto de um edifício.

Q12

Mecânica — Trabalho e energia — Trabalho energia cinetica e rendimento

A maioria das pessoas que desejam adquirir um veículo ainda dão mais importância para a potência máxima desenvolvida pelo modelo. Outras levam em conta a cilindrada (tamanho do motor em litros) para fazer sua escolha. Mas poucos sabem que o que mais importa para o uso rotineiro de um veículo é o torque máximo do motor, e em qual região de rotação ele é disponibilizado para o motorista. A tabela a seguir traz informações de alguns modelos de veículos. De acordo com os seus conhecimentos, julgue as afirmativas em V para verdadeiras ou F para falsas.

Modelo	Potência (cv)	Massa (toneladas)	Tempo gasto de 0 a 100 km/h
Uno Mille 1.0	55	0,81	17,8
Corsa 1.4	105	1,046	11,8
BMW 645 CI	333	1,69	7,1

A)A BMW é o modelo que realiza mais trabalho para atingir 100 km/h, consequentemente é o modelo que consome mais energia.

B)O Uno Mille é o modelo que realiza menos trabalho para atingir 100 km/h, consequentemente é o modelo que consome menos energia.

C)O Corsa 1.4 é menos eficiente, em termos de energia, comparado à BMW.

D)O Corsa 1.4 é menos eficiente, em termos de energia, comparado ao Uno.

Gabarito oficial (preliminar)

V · V · F · V

Resolução

A) Verdadeira. Partindo do repouso, o trabalho da força resultante é $W=\dfrac{1}{2}mv^2$, com $v=100\ \text{km/h}\approx27{,}8\ \text{m/s}$ ($v^2\approx772\ \text{m}^2/\text{s}^2$). Resultam $W_\text{Uno}\approx3{,}1\times10^5\ \text{J}$, $W_\text{Corsa}\approx4{,}0\times10^5\ \text{J}$ e $W_\text{BMW}\approx6{,}5\times10^5\ \text{J}$. A BMW, mais pesada, é a que mais trabalha. Estimando a energia consumida por $E=P\,\Delta t$ ($1\ \text{cv}\approx735\ \text{W}$), obtêm-se cerca de $7{,}2\times10^5$ J (Uno), $9{,}1\times10^5$ J (Corsa) e $1{,}7\times10^6$ J (BMW): também é a BMW que mais consome.

B) Verdadeira. O Uno tem a menor massa e, portanto, a menor energia cinética final (cerca de $3{,}1\times10^5$ J). A energia consumida estimada por $P\,\Delta t$ ($\approx7{,}2\times10^5$ J) também é a menor das três.

C) Falsa. Rendimento $\eta=\dfrac{W}{P\,\Delta t}$: Corsa $\approx\dfrac{4{,}0\times10^5}{9{,}1\times10^5}\approx44\%$; BMW $\approx\dfrac{6{,}5\times10^5}{1{,}7\times10^6}\approx37\%$. O Corsa aproveita melhor a energia que a BMW, de modo que ele não é o menos eficiente dos dois.

D) Verdadeira. O gabarito preliminar divulgado dá este item como verdadeiro. Com o modelo $\eta=W/(P\,\Delta t)$ usado acima, os valores são muito próximos: Uno $\approx43{,}4\%$ e Corsa $\approx44{,}3\%$. Na conta, portanto, o Corsa sai marginalmente mais eficiente, e o item só se sustenta se a comparação adotada pela banca for outra (por exemplo, em termos de consumo por potência). Fica registrado o gabarito preliminar oficial.