UEMA 2016 | PAES (2ª Fase)

a) No diagrama de corpo livre (desprezando a massa da chave), devemos representar a força potente ($F = 200\text{ N}$) aplicada pelo cliente na extremidade livre da chave, perpendicular ao braço, e a força resistente aplicada pelo parafuso na outra extremidade (eixo de rotação).

b) Considerando a massa da chave, o diagrama deve incluir, além das forças citadas no item A, o vetor Força Peso ($\vec{P} = m\vec{g}$) apontando verticalmente para baixo e localizado no centro de massa do braço de alavanca (no meio da haste, se considerarmos a haste homogênea).

c) O torque (ou momento) total aplicado ao parafuso é a soma dos torques produzidos pela força aplicada ($F$) e pelo peso da própria chave ($P$). Se o peso atua no centro de massa (metade do braço $b/2$), a expressão é:

$$M_{total} = M_F + M_P$$

$$M_{total} = F \cdot b + P \cdot \frac{b}{2} \implies M_{total} = F \cdot b + m \cdot g \cdot \frac{b}{2}$$

d) Desprezando a massa da chave, o torque necessário é fornecido apenas pela força do cliente. Sabendo que o torque necessário é de $M = 120\text{ N}\cdot\text{m}$ e a força máxima que o cliente exerce é $F = 200\text{ N}$:

$$M = F \cdot b$$

$$120 = 200 \cdot b$$

$$b = \frac{120}{200} = 0{,}6\text{ m}$$

Para o menor esforço, o braço de alavanca deve ser de, pelo menos, $0{,}6\text{ m}$ (ou $60\text{ cm}$).

a) Em uma máquina frigorífica, ocorre a utilização de trabalho mecânico externo (do compressor) para forçar a transferência de calor de uma região de menor temperatura (fonte fria) para uma região de maior temperatura (fonte quente).

b) A lei natural subjacente é a Segunda Lei da Termodinâmica, particularmente o enunciado de Clausius, que estabelece que o calor não pode fluir espontaneamente de um corpo frio para um corpo quente; para que isso ocorra, é necessária a realização de um trabalho externo sobre o sistema.

c) A eficiência (ou coeficiente de desempenho) de uma máquina frigorífica é a razão entre o que se deseja obter (o calor retirado da fonte fria, $Q_2$) e o que se gasta para isso (o trabalho mecânico realizado pelo compressor, $\tau$).

$$e = \frac{Q_2}{\tau}$$

d) Substituindo os valores fornecidos no item ($Q_2 = 200\text{ J}$ e $\tau = 400\text{ J}$):

$$e = \frac{200}{400} = 0{,}5$$

A eficiência da máquina frigorífica é de $0{,}5$ (ou $50\%$).

a) Como os amortecedores estão estragados e a mola foi considerada "ideal" (sem atrito ou perdas de energia), não há forças dissipativas atuando no sistema. Portanto, o movimento executado será um Movimento Harmônico Simples (MHS).

b) Primeiro, determinamos a constante elástica da mola ($k$). O peso do motorista ($P = mg$) causa uma compressão de $x = 2{,}50\text{ cm} = 0{,}025\text{ m}$.

$$F_{elastica} = P \implies k \cdot x = m_{motorista} \cdot g$$

$$k \cdot 0{,}025 = 80 \cdot 10$$

$$k = \frac{800}{0{,}025} = 32000\text{ N/m}$$

Agora, calculamos o período de oscilação ($T$) considerando a massa total do sistema ($M_{total} = M_{carro} + m_{motorista} = 1200 + 80 = 1280\text{ kg}$).

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{M_{total}}{k}}$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{1280}{32000}}$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{128}{3200}} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{100}} = 2\pi \cdot \frac{2}{10} = 0{,}4\pi\text{ s}$$

A frequência ($f$) é o inverso do período:

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}4\pi} = \frac{2{,}5}{\pi}\text{ Hz} \approx 0{,}8\text{ Hz}$$

a) Considerando a relação entre a tensão ($V$), a distância ($d$) e a intensidade do campo elétrico uniforme ($E$), temos a equação:

$$E = \frac{V}{d}$$

Convertendo a distância para o Sistema Internacional ($d = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m}$) e substituindo o valor da diferença de potencial ($V = 1500\text{ V}$):

$$E = \frac{1500}{0{,}20} = 7500\text{ V/m}$$

b) Pela Primeira Lei de Ohm, a corrente elétrica ($i$) é a razão entre a diferença de potencial ($V$) e a resistência elétrica ($R$):

$$i = \frac{V}{R}$$

Substituindo $V = 1500\text{ V}$ e a resistência assumida de $R = 120\text{ }\Omega$:

$$i = \frac{1500}{120} = 12{,}5\text{ A}$$

(Caso o enunciado original tenha pretendido expressar $R = 1200\text{ }\Omega$, a corrente elétrica seria calculada analogamente: $i = 1500 / 1200 = 1{,}25\text{ A}$).

a) No desenho esquemático, deve-se representar as linhas do campo magnético $\vec{B}$ perpendiculares ao plano do movimento (por exemplo, "entrando" ou "saindo" da folha com símbolos de "x" ou pontos). A trajetória da carga $q$ deve ser uma circunferência, com o vetor velocidade $\vec{v}$ tangencial a ela e a força magnética $\vec{F}_m$ sempre apontando para o centro da circunferência.

b) Ao adentrar o campo magnético ortogonalmente, a Força Magnética que atua sobre a carga possui módulo constante ($F_m = qvB$) e é, a cada instante, perpendicular ao vetor velocidade. Como não realiza trabalho, a energia cinética e a magnitude da velocidade permanecem inalteradas, e a força magnética atua unicamente como Força Centrípeta, curvando a trajetória de forma constante e gerando o Movimento Circular Uniforme (MCU).

c) A expressão que relaciona o período $T$ do MCU com o campo magnético é obtida igualando a Força Magnética à Força Centrípeta ($qvB = \frac{mv^2}{R} \implies R = \frac{mv}{qB}$), e substituindo $v = \frac{2\pi R}{T}$:

$$T = \frac{2\pi \cdot m}{q \cdot B}$$

Isolando o campo magnético $B$ e considerando a aproximação $\pi \approx 3{,}14$ (o que faz com que $T \approx \pi \times 10^{-6}\text{ s}$):

$$B = \frac{2\pi \cdot m}{q \cdot T} = \frac{2 \cdot 3{,}14 \cdot 6{,}0 \times 10^{-25}}{2{,}0 \times 10^{-15} \cdot 3{,}14 \times 10^{-6}}$$

Simplificando os termos ($3{,}14$ se cancela):

$$B = \frac{12{,}0 \times 10^{-25}}{2{,}0 \times 10^{-21}} = 6{,}0 \times 10^{-4}\text{ T}$$

d) Para achar a velocidade da partícula com as novas propriedades e raio de curvatura igual ao enunciado ($R = 1{,}0\text{ cm} = 0{,}01\text{ m}$), partimos da igualdade $F_m = F_{cp}$:

$$q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{R} \implies v = \frac{R \cdot q \cdot B}{m}$$

Substituindo os valores:

$$v = \frac{0{,}01 \cdot 4{,}0 \times 10^{-15} \cdot 4 \times 10^{-4}}{8{,}0 \times 10^{-25}}$$

$$v = \frac{16 \times 10^{-21}}{8{,}0 \times 10^{-25}} = 2{,}0 \times 10^4\text{ m/s}$$

a) A palavra "ano" refere-se à grandeza física Tempo.

b) A palavra "luz", neste contexto científico e de acordo com a física moderna (Postulados da Relatividade de Einstein), está associada à grandeza física Velocidade, referindo-se especificamente à constante de velocidade da luz no vácuo ($c \approx 3 \times 10^8\text{ m/s}$).

c) A terminologia "ano-luz" é uma unidade de medida associada à grandeza física Distância (ou Comprimento). É amplamente utilizada em Astronomia para expressar enormes distâncias espaciais.

d) Pela definição clássica da cinemática para movimento uniforme, a distância percorrida ($\Delta S$) é o produto da velocidade pelo tempo gasto. Sendo $c$ a velocidade da luz e $\Delta t$ o intervalo de tempo de um ano (convertido em segundos), temos:

$$v = \frac{\Delta S}{\Delta t} \implies \Delta S = v \cdot \Delta t$$

Portanto, 1 ano-luz é matematicamente expresso por:

$$1\text{ a.l.} = c \cdot (1\text{ ano em segundos})$$

$$1\text{ a.l.} \approx (3 \times 10^8\text{ m/s}) \cdot (365 \times 24 \times 3600\text{ s}) \approx 9{,}46 \times 10^{15}\text{ m}$$