UNIFEI · 2003

O arco percorrido corresponde a um quarto da circunferência: $s=(2\pi R)/4=\pi\,\mathrm m$. O deslocamento é a corda entre as extremidades de um quadrante: $|\Delta\vec r|=\sqrt{R^2+R^2}=2\sqrt2\,\mathrm m$. Portanto o módulo da velocidade vetorial média é $|\vec v_m|=|\Delta\vec r|/\Delta t=\sqrt2/2\,\mathrm{m/s}$. Distância percorrida e deslocamento não são iguais nesse trajeto.

O corpo desloca 20,0 L de água, isto é, $0,020\,\mathrm{m^3}$. O empuxo é $E=\rho gV=1000(10)(0,020)=200\,\mathrm N$, e o peso é $P=8,0(10)=80\,\mathrm N$. Em equilíbrio, o empuxo é equilibrado pelo peso e pela força da mola: $E=P+kx$. Assim, $kx=120\,\mathrm N$ e, com $k=50\,\mathrm{N/cm}$, $x=2,4\,\mathrm{cm}$.

Admitindo que o choque com a parede não introduza componente vertical e desprezando o ar, a queda de 1,2 m leva $t=\sqrt{2h/g}=\sqrt{2(1,2)/10}\,\mathrm s$. Para percorrer 2,4 m na horizontal nesse tempo, $v_x=2,4/t$, com $v_x^2=24\,\mathrm{m^2/s^2}$. A queda acrescenta $v_y^2=2gh=24\,\mathrm{m^2/s^2}$. Logo $K=\frac12m(v_x^2+v_y^2)=\frac12(1)(48)=24\,\mathrm J$. A velocidade inicial de 6,0 m/s, antes do choque, não determina sozinha a velocidade após o choque.

A chuva é tomada como vertical, sem momento horizontal inicial. Assim, na ausência de força horizontal externa, $(5,0)(2,0)=(5,0+m)(0,5)$, de onde $m=15\,\mathrm{kg}$. Com densidade da água de $1000\,\mathrm{kg/m^3}$, o volume recolhido é $0,015\,\mathrm{m^3}$ e, sobre 1 m², corresponde a uma lâmina de 15 mm. À taxa de 1,5 mm/min, $t=15/1,5=10\,\mathrm{min}$.

Da lei de Fourier, $\lambda=Q\delta/(A\Delta Tt)$. Em unidades SI, $[\lambda]=\mathrm{J\,m/(m^2\,K\,s)}=\mathrm{W/(m\,K)}$. Como $1\,\mathrm J=1\,\mathrm{kg\,m^2/s^2}$, resulta $[\lambda]=\mathrm{kg\,m/(s^3\,K)}$.

Cada cubo tem volume $3,0^3=27,0\,\mathrm{cm^3}$ e massa $27,0(0,9)=24,3\,\mathrm g$. Para equilíbrio exatamente a 4,0 °C, a água cede $1000(1)(25-4)=21000\,\mathrm{cal}$; cada grama de gelo recebe $80+1(4)=84\,\mathrm{cal}$ para fundir e aquecer. São necessários 250 g para chegar a 4 °C. Dez cubos têm 243 g e não bastam; onze têm 267,3 g e dão temperatura inferior a 4 °C. Todo o gelo funde, e, aproximando a densidade da água líquida por 1 g/cm³ e desprezando variações volumétricas, o volume final é $(1000+267,3)/1000=1,2673\,\mathrm L$, cerca de $1,27\,\mathrm L$.

Tomando a elongação positiva indicada na figura, o corpo parte de $x=A=0,5\,\mathrm m$. Então $x(t)=0,5\cos(2\pi t)\,\mathrm m$ e $v(t)=-\pi\sin(2\pi t)\,\mathrm{m/s}$. Os dois gráficos são senoidais, com período $T=2\pi/\omega=1,0\,\mathrm s$. O gráfico de posição começa em 0,5 m; o de velocidade começa em zero e inicialmente é negativo, atingindo módulo máximo $\pi\,\mathrm{m/s}$. Se deslocamento for medido a partir da posição inicial, use $x(t)-x(0)$.

Para reproduzir a estimativa do caderno, supomos corrente constante de $4,0\times10^5\,\mathrm A$ durante $\Delta t=75\,\mathrm{ms}=0,075\,\mathrm s$, e campo uniforme de $4,0\times10^5\,\mathrm{V/m}$. Em 1 m, $\Delta V=4,0\times10^5\,\mathrm V$ e $R=\Delta V/I=1,0\,\Omega$, ou $1,0\,\Omega/\mathrm m$. A carga é $Q=I\Delta t=3,0\times10^4\,\mathrm C$; a energia por metro é $I^2R\Delta t=1,2\times10^{10}\,\mathrm J$. O enunciado informa duração média e amplitude que pode ser atingida: sem a forma temporal da corrente, esses valores são estimativas, não a carga e energia exatas de uma descarga real.

Pela regra da mão direita aplicada ao enrolamento, a resposta fornecida representa o campo no núcleo do ímã circulando no sentido horário no plano da folha, para o sentido da corrente indicado na figura. Para a taxa, $144\,\mathrm{km/h}=40\,\mathrm{m/s}=4000\,\mathrm{cm/s}$; multiplicando pela densidade de 7000 bits/cm, obtemos $4000(7000)=2,8\times10^7\,\mathrm{bits/s}$. Sob o modelo simplificado do enunciado, com uma mudança de sentido por transição, são até $2,8\times10^7$ mudanças por segundo. A relação exata depende da codificação utilizada.