UNIFEI · 2008 — Prova 1

Antes das colisões, a bola A desce sem atrito, e sua velocidade ao chegar em B é $v=\sqrt{2gH}$ (conservação da energia).

Caso perfeitamente inelástico, com massas iguais: as bolas ficam unidas e a quantidade de movimento se conserva, $m v=(m+m+m)V\Rightarrow V=\dfrac{v}{3}$. A altura que o conjunto atinge é $h=\dfrac{V^2}{2g}=\dfrac{v^2}{9\cdot 2g}=\dfrac{H}{9}$. Portanto a afirmação D é verdadeira e a B (altura H/3) é falsa, pois a energia cinética, ao ser proporcional ao quadrado da velocidade, fica dividida por 9 e não por 3.

Caso elástico: a afirmação A é falsa em geral, porque a velocidade que C recebe depende das massas. Com $m_A=m_B=2m_C$, A transfere toda a velocidade a B, e depois $v_C=\dfrac{2m_B}{m_B+m_C}\,v=\dfrac{4}{3}v$, o que leva C a $h=\dfrac{16}{9}H$ e não a $2H$. Logo, a C também é falsa.

A afirmação A é verdadeira: pela lei de Gauss, fora de uma esfera com distribuição esférica de carga, $E=\dfrac{kQ}{r^2}$, e só depende da carga total e da distância ao centro. A C e a D descrevem um condutor em equilíbrio eletrostático: o campo interno é nulo, o potencial é constante e as cargas em excesso ficam na superfície externa.

A B é a errada. No interior de uma casca cilíndrica infinitamente extensa, o campo é nulo (lei de Gauss), e não “constante e diferente de zero”. No interior de uma esfera uniformemente carregada em volume, não condutora, o campo é diferente de zero, mas cresce com a distância ao centro, portanto também não é constante. A afirmação, como um todo, é falsa nos dois casos.

O gelo flutua em repouso, de modo que o empuxo é igual ao seu peso: $\rho_a\,V_{des}\,g=m_g\,g$. O volume de água deslocado pelo gelo é então $V_{des}=\dfrac{m_g}{\rho_a}$, que é o volume que a massa de gelo ocuparia como água líquida.

Quando o gelo derrete, a massa $m_g$ se transforma em água líquida, de volume $V=\dfrac{m_g}{\rho_a}$, exatamente o volume que o gelo deslocava. O volume de líquido na vasilha, antes e depois, é o mesmo, portanto o nível da água não se altera. A porcentagem de gelo (20%) não interfere no resultado.

No ponto mais baixo (cipó vertical), a resultante centrípeta aponta para cima: $T-mg=\dfrac{m v^2}{R}$, o que dá $T=mg+\dfrac{m v^2}{R}$. Aí a tração é a maior possível, pois a velocidade é máxima e o peso se soma à força centrípeta.

Nos pontos mais altos, a velocidade é menor (nula nos extremos) e só parte do peso é compensada pelo cipó, $T=mg\cos\theta$, que é menor que no ponto mais baixo. Portanto, o cipó está mais sujeito a se romper quando passa pela vertical.

Começando pela direita: o ramo com $1\ \Omega$, $4\ \Omega$ e $5\ \Omega$ em série vale $1+4+5=10\ \Omega$, e está em paralelo com o resistor de $10\ \Omega$ vizinho: $\dfrac{10\cdot 10}{10+10}=5\ \Omega$.

Esse conjunto fica em série com $3\ \Omega$ e $2\ \Omega$, o que dá $5+3+2=10\ \Omega$, que está em paralelo com o outro resistor de $10\ \Omega$: resultam $5\ \Omega$. Com os resistores de $5\ \Omega$ e $2\ \Omega$ ligados à bateria, em série, $R_{eq}=5+2+5=12\ \Omega$.

A corrente fornecida pela bateria é $i=\dfrac{12}{12}=1\ \mathrm A$. No primeiro nó, ela se divide igualmente entre dois ramos de $10\ \Omega$: $0{,}5\ \mathrm A$ em cada um. Os $0{,}5\ \mathrm A$ do ramo com $3\ \Omega$ e $2\ \Omega$ chegam ao segundo nó, que divide a corrente igualmente entre dois ramos de $10\ \Omega$: $0{,}25\ \mathrm A$ passam pelo ramo que contém o resistor de $4\ \Omega$.

Pelo princípio da superposição, quando dois pulsos se encontram, o deslocamento de cada ponto da corda é a soma dos deslocamentos que cada pulso produziria sozinho naquele ponto.

Os dois pulsos têm o mesmo formato e a mesma amplitude, mas, ponto a ponto, um é o oposto do outro: onde um tem crista, o outro tem vale. O pulso da esquerda tem crista na parte de trás e vale na frente, e o da direita tem vale na parte da frente (no lado esquerdo do pulso) e crista atrás. Quando os dois ocupam por completo a região XY, de largura $\lambda$, a soma é nula em todos os pontos: a corda fica reta (interferência destrutiva total).

As demais figuras mostram um dos pulsos apenas, ou a soma com amplitude dobrada em alguma região, o que ocorreria se os pulsos fossem iguais ponto a ponto, e não opostos.

A força gravitacional é conservativa, de modo que a energia mecânica do planeta se mantém: $E=\dfrac{m v^2}{2}-\dfrac{G M m}{r}$ é constante. Portanto, a energia cinética é máxima onde a energia potencial é mínima, ou seja, onde a distância ao Sol $r$ é a menor possível.

O Sol ocupa um dos focos da elipse, o mais próximo da posição 4, que é então o ponto de menor distância (periélio). É nesse ponto que o planeta tem a maior velocidade, como diz a segunda lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais).

A força magnética sobre um trecho retilíneo de fio é $\vec F=I\,\vec L\times\vec B$, em que $\vec L$ tem o sentido da corrente. Aqui, a corrente $I$ aponta para cima e o campo $\vec B$ sai da página.

Pela regra da mão direita (ou, com eixos, $\hat y\times\hat z=\hat x$), a força é perpendicular tanto à corrente quanto ao campo: aponta para a direita no plano da página. Não é nula, pois a corrente é perpendicular ao campo, e não é perpendicular ao plano da página.