UFPB 1998 — 2ª Etapa — Questões de Física comentadas — Método TEF

Do gráfico, em $10\text{ s}$ a velocidade é $40\text{ m/s}$. Como a reta passa pela origem, a aceleração tangencial é constante:

$$a_t=\frac{40}{10}=4\text{ m/s}^2$$

O comprimento de uma volta é

$$C=2\pi R=2\cdot3\cdot36=216\text{ m}$$

Em três voltas, a moto percorre $648\text{ m}$. Partindo do repouso:

$$\Delta s=\frac{a_t t^2}{2}$$

$$648=\frac{4t^2}{2}\Rightarrow t^2=324\Rightarrow t=18\text{ s}$$

Nesse instante:

$$v=a_t t=4\cdot18=72\text{ m/s}$$

Logo, a aceleração centrípeta é

$$a_c=\frac{v^2}{R}=\frac{72^2}{36}=144\text{ m/s}^2$$

O triângulo do plano é $3$–$4$–$5$, portanto:

$$\sin\theta=\frac35,\qquad \cos\theta=\frac45$$

O peso do bloco vale $mg=5\text{ N}$ e, pelo enunciado, $F=5\text{ N}$. Na direção do plano, a componente da força horizontal é

$$F_{\parallel}=F\cos\theta=5\cdot\frac45=4\text{ N}$$

A componente do peso que aponta para baixo do plano é

$$P_{\parallel}=mg\sin\theta=5\cdot\frac35=3\text{ N}$$

Logo:

$$F_R=4-3=1\text{ N}$$

$$a=\frac{F_R}{m}=\frac{1}{0{,}5}=2\text{ m/s}^2$$

O deslocamento até o topo é a hipotenusa, $5\text{ m}$. O trabalho da força $F$ é

$$W_F=Fs\cos\theta=5\cdot5\cdot\frac45=20\text{ J}$$

O trabalho do peso é $-mgh=-0{,}5\cdot10\cdot3=-15\text{ J}$. Como o bloco parte do repouso:

$$E_c=W_{resultante}=20-15=5\text{ J}$$

Se a massa de $A$ é $m$, então a massa de $B$ é $m/2$. A quantidade de movimento se conserva nas direções horizontal e vertical.

Na direção vertical:

$$m v_A\sin\alpha=\frac{m}{2}v_B\sin\beta$$

$$0{,}6v_A=0{,}4v_B\Rightarrow v_B=1{,}5v_A$$

Na direção horizontal:

$$m\cdot10=m v_A\cos\alpha+\frac{m}{2}v_B\cos\beta$$

$$10=0{,}8v_A+0{,}3v_B$$

Substituindo $v_B=1{,}5v_A$:

$$10=0{,}8v_A+0{,}45v_A=1{,}25v_A$$

$$v_A=8\text{ m/s}$$

e

$$v_B=1{,}5\cdot8=12\text{ m/s}$$

A força gravitacional fornece a força centrípeta:

$$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$

Como o satélite percorre uma circunferência em um período $T$:

$$v=\frac{2\pi r}{T}$$

Substituindo:

$$M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}$$

$$M=\frac{4\cdot9\cdot(10^7)^3}{6\times10^{-11}\cdot(10^4)^2}$$

$$M=6\times10^{24}\text{ kg}$$

O volume submerso é

$$V_s=\frac23\cdot6\times10^{-2}=4\times10^{-2}\text{ m}^3$$

O empuxo vale

$$E=\rho_{água}gV_s$$

$$E=10^3\cdot10\cdot4\times10^{-2}=400\text{ N}$$

A massa da esfera é

$$m=\rho_{Cu}V=9\times10^3\cdot6\times10^{-2}=540\text{ kg}$$

e seu peso vale

$$P=mg=5400\text{ N}$$

Como a esfera está em equilíbrio:

$$T+E=P$$

$$T=5400-400=5000\text{ N}$$

A água, ao esfriar de $10^\circ\text{C}$ para $0^\circ\text{C}$, libera

$$Q_{água}=300\cdot1\cdot10=3000\text{ cal}$$

Para aquecer os $700\text{ g}$ de gelo de $-20^\circ\text{C}$ até $0^\circ\text{C}$, são necessárias

$$Q_{gelo}=700\cdot0{,}5\cdot20=7000\text{ cal}$$

Faltam, portanto,

$$7000-3000=4000\text{ cal}$$

Essa energia é liberada pelo congelamento de parte da água:

$$mL_f=4000$$

$$m\cdot80=4000\Rightarrow m=50\text{ g}$$

Assim, ao final:

$$m_{água}=300-50=250\text{ g}$$

$$m_{gelo}=700+50=750\text{ g}$$

Para uma mesma quantidade de gás ideal:

$$\frac{pV}{T}=\text{constante}$$

No estado $A$, $p_A=2\times10^5\text{ N/m}^2$, $V_A=1\times10^{-2}\text{ m}^3$ e $T_A=100\text{ K}$. No estado $B$, $p_B=1\times10^5\text{ N/m}^2$ e $V_B=3\times10^{-2}\text{ m}^3$. Logo:

$$\frac{T_B}{T_A}=\frac{p_BV_B}{p_AV_A}=\frac{1\times10^5\cdot3\times10^{-2}}{2\times10^5\cdot1\times10^{-2}}=\frac32$$

$$T_B=150\text{ K}$$

Para obter um valor numérico da energia interna é necessário conhecer o modelo microscópico do gás. Adotando o modelo monoatômico usual:

$$U_A=\frac32nRT_A=\frac32p_AV_A$$

$$U_A=\frac32\cdot2\times10^5\cdot10^{-2}=3{,}0\times10^3\text{ J}$$

O ciclo é percorrido no sentido horário. O trabalho líquido é a área interna do retângulo:

$$W=(2\times10^5-1\times10^5)(3\times10^{-2}-1\times10^{-2})$$

$$W=2{,}0\times10^3\text{ J}$$

O módulo do aumento linear é

$$|A|=\frac{90}{30}=3$$

Como a imagem é invertida e real:

$$\frac{q}{p}=3\Rightarrow q=3p$$

Objeto e imagem estão em lados opostos da lente, portanto:

$$p+q=40$$

$$p+3p=40\Rightarrow p=10\text{ cm}$$

Assim, $q=30\text{ cm}$. Pela equação de Gauss:

$$\frac1f=\frac1p+\frac1q=\frac1{10}+\frac1{30}=\frac4{30}$$

$$f=7{,}5\text{ cm}$$

Os resistores $R_2$ e $R_3$ estão em paralelo:

$$R_{23}=\frac{9\cdot18}{9+18}=6\Omega$$

Esse conjunto está em série com $R_1$:

$$R_{eq}=4+6=10\Omega$$

Logo, a corrente que atravessa a bateria é

$$i=\frac{\varepsilon}{R_{eq}}=\frac{20}{10}=2\text{ A}$$

A potência fornecida pela bateria é

$$P=\varepsilon i=20\cdot2=40\text{ W}$$

Como $E=Pt$:

$$t=\frac{3{,}6\times10^5}{40}=9{,}0\times10^3\text{ s}=2{,}5\text{ h}$$

Com a chave em $A$, somente $C_1$ fica ligado à bateria:

$$Q_0=C_1\varepsilon=4\mu\text{F}\cdot10\text{ V}=40\mu\text{C}$$

Ao passar a chave para $B$, a bateria é desligada do conjunto. O capacitor $C_1$ fica em paralelo com a associação em série de $C_2$ e $C_3$.

A capacitância equivalente de $C_2$ e $C_3$ é

$$C_{23}=\frac{C_2C_3}{C_2+C_3}=\frac{4\cdot2}{4+2}=\frac43\mu\text{F}$$

Assim:

$$C_{eq}=C_1+C_{23}=4+\frac43=\frac{16}{3}\mu\text{F}$$

Como a carga total disponível continua sendo $40\mu\text{C}$:

$$V_f=\frac{Q_0}{C_{eq}}=\frac{40}{16/3}=7{,}5\text{ V}$$

Logo:

$$Q_1=C_1V_f=4\cdot7{,}5=30\mu\text{C}$$

Na associação em série, os dois capacitores recebem cargas de mesmo módulo:

$$Q_2=Q_3=C_{23}V_f=\frac43\cdot7{,}5=10\mu\text{C}$$

Somente o trecho do fio que está dentro da região de campo magnético sofre força. Pela figura, esse comprimento é $L=1\text{ m}$.

Como o fio é perpendicular ao campo:

$$F=BiL$$

$$2{,}5\times10^{-4}=5\times10^{-4}\cdot i\cdot1$$

$$i=0{,}5\text{ A}$$

A corrente aponta para a direita e o campo magnético entra no plano da figura. Pela regra da mão direita, a força magnética sobre o fio aponta verticalmente para cima.

A área da espira é

$$A=(0{,}5)^2=0{,}25\text{ m}^2$$

Como a espira é perpendicular ao campo, o fluxo magnético é $\Phi=BA$. Pelo gráfico:

$$B(0)=B_0$$

$$B(0{,}5)=5B_0$$

Logo:

$$\Delta B=4B_0=4\cdot8\times10^{-3}=3{,}2\times10^{-2}\text{ T}$$

O módulo da força eletromotriz média é

$$\varepsilon_m=\frac{A\Delta B}{\Delta t}$$

$$\varepsilon_m=\frac{0{,}25\cdot3{,}2\times10^{-2}}{0{,}5}=1{,}6\times10^{-2}\text{ V}$$