O acelerador de partículas circular LHC, situado na fronteira da Suíça com a França, gerará, a partir de 2009, cerca de 600 milhões de colisões entre prótons a cada segundo. Destas colisões, apenas $0,000017\%$ serão de interesse científico. Pode-se concluir que a ordem de grandeza do número de colisões de interesse científico por segundo será de:
Convertemos o percentual para forma decimal:
\[0,000017\%=1,7\cdot10^{-7}.\]Como $600$ milhões correspondem a $6\cdot10^8$ colisões por segundo:
\[N=6\cdot10^8\cdot1,7\cdot10^{-7}=1,02\cdot10^2.\]Portanto, a ordem de grandeza é $10^2$.
A posição de um móvel que executa um movimento unidimensional ao longo de uma linha reta é dada em função do tempo por $x(t)=7t-3t^2$. O tempo $t$ é dado em segundos, e a posição $x$, em metros. Nestas circunstâncias, qual é a velocidade média deste móvel entre os instantes de tempo $t=0\,\text{s}$ e $t=4\,\text{s}$?
A velocidade média é dada por $v_m=\Delta x/\Delta t$. Temos:
\[x(0)=0\qquad\text{e}\qquad x(4)=7\cdot4-3\cdot4^2=28-48=-20\,\text{m}.\]\[v_m=\frac{-20-0}{4-0}=-5\,\text{m/s}.\]Um corpo move-se numa trajetória circular de raio $r=\pi\,\text{m}$, com uma velocidade de módulo constante, $v=4\,\text{m/s}$. Para tal situação, quanto tempo tal objeto leva para dar uma volta completa ao longo desta trajetória?
Em uma volta completa, o corpo percorre o comprimento da circunferência:
\[\Delta s=2\pi r=2\pi\cdot\pi=2\pi^2\,\text{m}.\]Como $v=\Delta s/T$:
\[T=\frac{2\pi^2}{4}=\frac{\pi^2}{2}\,\text{s}.\]Segundo a primeira lei de Newton, é correto afirmar que:
A primeira lei de Newton estabelece que, se a força resultante é nula, o vetor velocidade permanece constante.
Isso exige constância simultânea de módulo, direção e sentido da velocidade. Portanto, a alternativa A é a afirmação completa.
Num planeta em que a aceleração da gravidade tem módulo $5\,\text{m/s}^2$, uma partícula cai em queda livre a partir do repouso no instante $t=0$. Denotando o eixo perpendicular à superfície do planeta como eixo $x$, e considerando o seu sentido positivo para cima, assinale o gráfico que ilustra a velocidade $v_x$ desta partícula, em $\text{m/s}$, em função do tempo $t$, em segundos.
Como o sentido positivo foi escolhido para cima, a aceleração gravitacional tem componente
\[a_x=-5\,\text{m/s}^2.\]Partindo do repouso:
\[v_x=v_0+a_xt=-5t.\]Logo, o gráfico é uma reta que parte da origem com inclinação negativa; em $t=2\,\text{s}$, $v_x=-10\,\text{m/s}$. Isso corresponde ao gráfico E.
A figura ilustra três blocos A, B e C, cada um deles de massa $M$, conectados entre si através de fios ideais, inextensíveis e de massas desprezíveis. O bloco C é puxado para a direita por uma força de módulo $F$, que é paralela ao plano horizontal. Não existe atrito entre os blocos e o plano horizontal. Nesta situação, qual é o módulo da força resultante que atua no bloco B?
Considerando os três blocos como um único sistema, a massa total é $3M$:
\[a=\frac{F}{3M}.\]O bloco B possui massa $M$, portanto sua força resultante é
\[F_{R,B}=Ma=M\frac{F}{3M}=\frac{F}{3}.\]Para levar uma partícula material de um ponto A até um ponto B, a força resultante agindo sobre ela realiza trabalho igual a $5\,\text{J}$. Sabe-se também que, nesse percurso, $5\,\text{J}$ de energia são dissipados. A variação da energia potencial da partícula, entre os pontos A e B, vale, em joules:
Pelo teorema da energia cinética:
\[\Delta E_c=W_R=5\,\text{J}.\]A dissipação de $5\,\text{J}$ significa que a energia mecânica varia de
\[\Delta E_m=-5\,\text{J}.\]Como $E_m=E_c+E_p$:
\[-5=5+\Delta E_p\Rightarrow\Delta E_p=-10\,\text{J}.\]A figura ilustra um bloco de massa $m$ que é abandonado em repouso a uma distância vertical $D$ de uma mola ideal não deformada, de constante elástica $k$. O módulo da aceleração da gravidade no local é denotado por $g$, e as perdas por atrito e resistência do ar são desprezadas. Para tal situação, qual é a deformação sofrida pela mola quando o bloco atinge sua velocidade máxima?
A velocidade é máxima no instante em que a aceleração se anula. Durante a compressão, atuam o peso $mg$ para baixo e a força elástica $kx$ para cima.
\[mg-kx=0.\]Logo,
\[x=\frac{mg}{k}.\]A distância inicial $D$ altera a energia e o valor da velocidade máxima, mas não a deformação na qual a aceleração se anula.
Uma partícula é lançada verticalmente, a partir da superfície de um planeta, com velocidade igual à velocidade de escape, $v_e$, daquele planeta. Desprezando os atritos e a influência de outros planetas e estrelas, o módulo da velocidade desta partícula a uma distância infinita do planeta de origem é igual:
A velocidade de escape é definida como a velocidade mínima para que o corpo chegue ao infinito sem retornar. No caso limite, a energia mecânica total é nula.
No infinito, a energia potencial gravitacional tende a zero; portanto, a energia cinética também deve tender a zero:
\[v(\infty)=0.\]Um corpo de massa $m=2\,\text{kg}$ se movimenta sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade constante $v=8\,\text{m/s}$. Tal corpo choca-se frontalmente com um outro de mesma massa, que se encontrava em repouso sobre a superfície. Sabe-se que, após a colisão, os dois corpos aderem um ao outro, passando a se movimentar juntos. Em tal contexto, qual é a velocidade do conjunto de corpos unidos após o choque entre eles?
Durante a colisão, conserva-se a quantidade de movimento:
\[m\cdot8+m\cdot0=(2m)v_f.\]Assim,
\[v_f=4\,\text{m/s}.\]No recipiente mostrado na figura, a densidade do líquido em repouso é denotada por $\rho$, e a aceleração da gravidade, por $g$. Com todas as grandezas expressas no Sistema Internacional de Unidades, a diferença de pressão entre os pontos A e B é dada por:
Pela lei de Stevin, a diferença de pressão depende apenas da diferença vertical de profundidade:
\[p_B-p_A=\rho g\,\Delta h.\]Na figura, $\Delta h=3\,\text{m}$. Logo,
\[p_B-p_A=3\rho g.\]A distância horizontal de $4\,\text{m}$ não interfere na diferença hidrostática de pressão.
Uma onda senoidal transversal se propaga numa corda de acordo com a equação $y(x,t)=0,2\sin(4\pi x-\pi t/2-\pi/4)$, onde $x$ e $y$ são expressos em metros, e $t$, em segundos. A velocidade de propagação dessa onda vale, em $\text{m/s}$:
Comparando com $y=A\sin(kx-\omega t+\varphi)$:
\[k=4\pi\,\text{rad/m}\qquad\text{e}\qquad\omega=\frac{\pi}{2}\,\text{rad/s}.\]A velocidade de propagação é
\[v=\frac{\omega}{k}=\frac{\pi/2}{4\pi}=\frac18\,\text{m/s}.\]Aquecer um determinado corpo de $45\,\text{K}$ a $180\,\text{K}$ (temperaturas medidas na escala Kelvin) equivale, na escala Celsius, a provocar nesse corpo uma variação de temperatura igual a:
As escalas Kelvin e Celsius possuem o mesmo tamanho de unidade. Portanto, variações de temperatura têm o mesmo valor numérico:
\[\Delta T=180-45=135\,\text{K}=135\,^{\circ}\text{C}.\]Um relógio de pêndulo é um dispositivo composto por uma pequena esfera, suspensa por um fio metálico. Sabe-se que tal fio apresenta um determinado coeficiente de dilatação térmica linear. O pêndulo em questão oscila periodicamente sob a ação de forças gravitacionais. Baseados em tais informações, podemos dizer que os relógios de pêndulo:
O período de um pêndulo simples é
\[T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.\]No verão, o fio metálico se dilata e $L$ aumenta. Consequentemente, $T$ aumenta: cada oscilação demora mais e o relógio atrasa.
Três esferas maciças idênticas, feitas de ferro, são colocadas no interior de um calorímetro ideal. Inicialmente, as temperaturas das esferas são respectivamente iguais a $30\,^{\circ}\text{C}$, $50\,^{\circ}\text{C}$ e $70\,^{\circ}\text{C}$. Qual será a temperatura das esferas quando o sistema atingir o equilíbrio térmico?
Como as três esferas são idênticas, possuem as mesmas massas e o mesmo calor específico. Em um calorímetro ideal:
\[mc(T_f-30)+mc(T_f-50)+mc(T_f-70)=0.\]Cancelando $mc$:
\[3T_f=150\Rightarrow T_f=50\,^{\circ}\text{C}.\]A afirmação “é impossível transformar completamente calor em trabalho, com nenhuma outra mudança ocorrendo no ambiente” diz respeito à:
A afirmação corresponde ao enunciado de Kelvin-Planck da segunda lei da Termodinâmica: nenhuma máquina térmica cíclica pode converter integralmente em trabalho o calor recebido de uma única fonte.
Um sistema sofre uma transformação termodinâmica do estado A para o estado B. Denotando por $Q$ o calor cedido pelo sistema nessa transformação, por $W$ o trabalho realizado pelo sistema, e por $\Delta E=E_B-E_A$ a variação da energia interna do sistema, a primeira lei da Termodinâmica para esta transformação pode ser expressa como:
Na convenção usual, a primeira lei pode ser escrita como
\[\Delta E=Q_{\text{recebido}}-W.\]O enunciado define $Q$ como o calor cedido pelo sistema; portanto, $Q_{\text{recebido}}=-Q$. Assim:
\[\Delta E=-Q-W.\]A figura a seguir ilustra a refração de um feixe de luz monocromática de um meio A, com índice de refração igual a 1, para um meio B, cujo índice de refração é igual a: Dados: $\sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=1/2$ e $\cos(30^{\circ})=\sin(60^{\circ})=\sqrt{3}/2$.
Os ângulos indicados no desenho estão medidos em relação à interface. Logo, em relação à normal:
\[i=60^{\circ}\qquad\text{e}\qquad r=30^{\circ}.\]Pela lei de Snell:
\[n_A\sin i=n_B\sin r.\]Como $n_A=1$:
\[n_B=\frac{\sin60^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3.\]A figura ilustra a vista superior de uma sala quadrada, de comprimento $L$, onde uma pessoa está situada num ponto P, defronte a um espelho plano E, de comprimento total $D$. Se a distância da pessoa à parede onde está o espelho é $x$, qual deve ser o comprimento mínimo do espelho para que a pessoa possa visualizar toda a largura $y$ da porta de entrada da sala, que está localizada às suas costas?
Refletindo virtualmente a porta atrás do espelho, o problema reduz-se a triângulos semelhantes. A distância horizontal da pessoa à imagem virtual da parede da porta é $L+x$, enquanto a distância da pessoa ao espelho é $x$.
Para as larguras correspondentes:
\[\frac{D}{y}=\frac{x}{L+x}.\]Logo,
\[D=\frac{xy}{L+x}.\]A respeito do fenômeno da refração de um feixe de luz monocromática, é correto afirmar que:
Na refração, a frequência é determinada pela fonte e permanece constante. Já a velocidade depende do meio:
\[v=\frac{c}{n}.\]Assim, ao passar para um meio de menor índice de refração, a velocidade pode aumentar. Portanto, C é correta.
Ao observar o espelho retrovisor do carro que dirige, um motorista vê a imagem direita e reduzida de uma moto. Sabe-se que o espelho usado no carro é esférico. Denotando por $D_m$ a distância da moto ao espelho, e por $D_i$, a distância da imagem ao espelho, podemos afirmar que o espelho é:
O espelho convexo fornece, para qualquer objeto real, imagem virtual, direita e reduzida.
Além disso, a imagem forma-se atrás do espelho entre o vértice e o foco, de modo que seu módulo de distância ao espelho é menor que a distância do objeto:
\[D_i\mathrel{<}D_m.\]Duas pequenas esferas metálicas idênticas, A e B, localizadas no vácuo, estão carregadas com cargas $Q_A=-2Q$ e $Q_B=+2Q$. As esferas são postas em contato através de pinças isolantes ideais e, após atingirem o equilíbrio eletrostático, são separadas. Após a separação, os valores de $Q_A$ e $Q_B$ são respectivamente iguais a:
A carga total do sistema é
\[Q_T=-2Q+2Q=0.\]Como as esferas são idênticas, ao entrarem em contato a carga total se divide igualmente:
\[Q_A'=Q_B'=\frac{Q_T}{2}=0.\]Assinale, a seguir, a propriedade física de um determinado material associada à oposição ao fluxo de corrente elétrica através dele.
A resistividade $\rho$ é uma propriedade característica do material que mede sua oposição à condução elétrica. Para um fio homogêneo:
\[R=\rho\frac{L}{A}.\]A resistência $R$ depende também da geometria do condutor; por isso, a propriedade intrínseca do material pedida é a resistividade.
A figura ilustra um triângulo equilátero de lado $L$, com duas cargas puntiformes $+q$ e $-q$ fixas em dois de seus vértices. Todo o sistema se encontra no vácuo, onde a constante eletrostática é denotada por $k$. Sabe-se que $\cos(60^{\circ})=1/2$ e $\sin(60^{\circ})=\sqrt{3}/2$. Nestas circunstâncias, assinale a alternativa que indica corretamente os valores do módulo do campo elétrico resultante, $E$, e do potencial elétrico total, $V$, no vértice superior do triângulo (ponto P da figura):
As duas cargas estão à mesma distância $L$ de P. O potencial é escalar:
\[V=\frac{kq}{L}+\frac{k(-q)}{L}=0.\]Os campos têm o mesmo módulo $E_0=kq/L^2$. Suas componentes verticais se cancelam e as componentes horizontais, de módulo $E_0\cos60^{\circ}$, somam-se:
\[E=2E_0\cos60^{\circ}=2\frac{kq}{L^2}\frac12=\frac{kq}{L^2}.\]Três pequenas esferas idênticas e de raios desprezíveis, carregadas positivamente com carga $Q$, cada uma, encontram-se em equilíbrio no vácuo, de acordo com o arranjo da figura. As esferas B e C estão fixas a uma distância de $10\,\text{cm}$ da esfera A. Sobre a esfera A, atuam apenas a sua força peso, de módulo $0,9\,\text{N}$, e as forças eletrostáticas. Sabendo que a constante elétrica no vácuo vale $9\cdot10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, que $\sin(30^{\circ})=1/2$ e que $\cos(30^{\circ})=\sqrt{3}/2$, o valor de $Q$, em coulombs, é igual a:
As forças elétricas de B e C sobre A têm módulos iguais $F_e$ e componentes horizontais opostas. As componentes verticais somam-se:
\[2F_e\sin30^{\circ}=0,9.\]Como $\sin30^{\circ}=1/2$:
\[F_e=0,9\,\text{N}.\]Pela lei de Coulomb, com $r=0,10\,\text{m}$:
\[0,9=9\cdot10^9\frac{Q^2}{(0,10)^2}.\]\[Q^2=10^{-12}\Rightarrow Q=10^{-6}\,\text{C}.\]Dois resistores elétricos ôhmicos, de resistências iguais a $R_1$ e $R_2$, são ligados em paralelo. A resistência equivalente do sistema é denotada por $R$. Com relação a tal situação, assinale a alternativa correta.
Para dois resistores em paralelo:
\[\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}.\]Multiplicando toda a igualdade por 2:
\[\frac2R=\frac2{R_1}+\frac2{R_2},\]que é exatamente a alternativa E.
Um capacitor, de capacitância $1\,\mu\text{F}=10^{-6}\,\text{F}$, é mantido sob uma tensão de $2\,\text{V}$. A energia potencial eletrostática armazenada no capacitor vale, em joules.
A energia armazenada no capacitor é
\[U=\frac12CV^2.\]Substituindo:
\[U=\frac12\cdot10^{-6}\cdot(2)^2=2\cdot10^{-6}\,\text{J}.\]A figura ilustra uma carga elétrica puntiforme $+q$ que penetra com velocidade de módulo $v$ numa região de campo magnético uniforme de módulo $B$ e sentido e direção indicados. Tal região é mostrada em cinza na figura. Sabe-se que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor campo magnético. Assinale a alternativa que indica a trajetória da carga (indicada pelas linhas tracejadas) durante o seu movimento na região onde atua o campo magnético:
A força magnética sobre uma carga positiva é
\[\vec F=q\,\vec v\times\vec B.\]A velocidade aponta para cima e o campo magnético entra no plano da página ($\otimes$). Pela regra da mão direita, a força inicial aponta para a esquerda.
Como a força permanece perpendicular à velocidade, a carga descreve um arco de circunferência curvando-se para a esquerda, correspondente à trajetória 4.
A figura ilustra um fio metálico bem fino, retilíneo e infinito, percorrido por uma corrente elétrica de valor constante $i$. O sistema encontra-se no vácuo, onde a permeabilidade magnética é denotada por $\mu_0$. Para tal situação, assinale a alternativa que apresenta o valor correto do módulo do campo magnético gerado por tal corrente, em função da distância $r$ ao fio:
Para um fio retilíneo muito longo, a lei de Ampère fornece:
\[B\,(2\pi r)=\mu_0 i.\]Logo,
\[B=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}.\]Ao aproximarmos um ímã de um anel metálico, notamos que uma corrente elétrica se estabelece no anel enquanto houver movimento relativo entre eles. Esse fenômeno físico é descrito pela lei de:
O movimento relativo entre o ímã e o anel altera o fluxo magnético através do anel. A força eletromotriz induzida é descrita pela lei de Faraday:
\[\mathcal{E}=-\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}.\]O sinal negativo representa a lei de Lenz, que determina o sentido da corrente induzida.