Quando uma estrela originalmente com massa entre oito e vinte massas solares explode em um evento do tipo supernova, o núcleo colapsado remanescente é denominado “estrela de nêutrons”. Tipicamente, as estrelas de nêutrons possuem massa de $2\cdot10^{30}\,\text{kg}$ esfericamente distribuída num raio de apenas $10\,\text{km}$. Considerando a constante da gravitação universal $G=6,67\cdot10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e a velocidade de escape da Terra $v_T=11,2\,\text{km/s}$, a ordem de grandeza da razão $v_n/v_T$, onde $v_n$ denota a velocidade de escape da estrela de nêutrons típica, é igual a:
A velocidade de escape de um astro esférico é
\[v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}.\]Para a estrela de nêutrons, $R=10\,\text{km}=10^4\,\text{m}$:
\[v_n=\sqrt{\frac{2\cdot6,67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}}{10^4}}\approx1,63\cdot10^8\,\text{m/s}.\]Como $v_T=1,12\cdot10^4\,\text{m/s}$:
\[\frac{v_n}{v_T}\approx1,46\cdot10^4.\]A ordem de grandeza é, portanto, $10^4$.
Um estudante parado sobre uma escada rolante em movimento percorre os $20\,\text{m}$ de comprimento da escada em $40\,\text{s}$. Se ele se movimentar sobre a escada com uma velocidade de módulo $0,5\,\text{m/s}$ (em relação à escada) e sentido idêntico ao desta, o estudante percorrerá os mesmos $20\,\text{m}$ da escada em:
A velocidade da escada é
\[v_e=\frac{20}{40}=0,5\,\text{m/s}.\]Caminhando no mesmo sentido com $0,5\,\text{m/s}$ em relação à escada, a velocidade em relação ao solo é
\[v=0,5+0,5=1,0\,\text{m/s}.\]Logo,
\[\Delta t=\frac{20}{1,0}=20\,\text{s}.\]Numa pista de testes retilínea, o computador de bordo de um automóvel registra o gráfico do produto $va$ da velocidade, $v$, pela aceleração, $a$, do automóvel em função do tempo, $t$. O analista de testes conclui que nos instantes $t\mathrel{<}t_1$ e $t\mathrel{>}t_1$ o movimento do automóvel era:
O sinal do produto $v\,a$ informa se o módulo da velocidade aumenta ou diminui.
Para $t\mathrel{<}t_1$, o gráfico mostra $va\mathrel{>}0$: velocidade e aceleração têm o mesmo sinal, portanto o módulo de $v$ aumenta e o movimento é acelerado.
Para $t\mathrel{>}t_1$, $va\mathrel{<}0$: velocidade e aceleração têm sinais opostos, portanto o módulo de $v$ diminui e o movimento é retardado.
Numa corrida de automóveis, realizada num circuito circular de raio $2\,\text{km}$, o líder e o segundo colocado movem-se, respectivamente, com velocidades angulares constantes e iguais a $60\,\text{rad/h}$ e $80\,\text{rad/h}$. Num certo instante, a distância entre eles, medida ao longo da pista, é de $100\,\text{m}$. Após quanto tempo o segundo colocado irá empatar com o líder? (Para efeito de cálculo, considere os automóveis como partículas.)
A separação angular correspondente a um arco $s=100\,\text{m}$ num raio $R=2000\,\text{m}$ é
\[\Delta\theta=\frac{s}{R}=\frac{100}{2000}=0,05\,\text{rad}.\]A velocidade angular relativa é
\[\Delta\omega=80-60=20\,\text{rad/h}.\]Logo,
\[\Delta t=\frac{0,05}{20}\,\text{h}=0,0025\,\text{h}=9\,\text{s}.\]Sobre uma partícula em movimento ao longo de uma circunferência, é correto afirmar que:
Em qualquer movimento cuja trajetória seja uma circunferência, o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à trajetória.
A aceleração só é exclusivamente radial no movimento circular uniforme. Se o módulo da velocidade variar, existe também componente tangencial da aceleração. Por isso, a afirmação universalmente correta é a alternativa D.
Um fio com um extremo fixo no teto de um ônibus em movimento retilíneo possui uma partícula presa na sua outra extremidade. No instante ilustrado na figura, o fio faz um ângulo de $30^{\circ}$ com a vertical. Considere a aceleração da gravidade $g=10\,\text{m/s}^2$, $\sin(30^{\circ})=1/2$ e $\cos(30^{\circ})=\sqrt{3}/2$. Nesse instante, o módulo da aceleração do ônibus vale, em $\text{m/s}^2$:
Para a partícula permanecer com inclinação constante em relação ao ônibus, as componentes da tensão satisfazem
\[T\cos\theta=mg,\qquad T\sin\theta=ma.\]Dividindo:
\[\tan\theta=\frac{a}{g}.\]Com $\theta=30^{\circ}$:
\[a=g\tan30^{\circ}=10\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{10}{\sqrt3}\,\text{m/s}^2.\]Um goleiro arremessa uma bola de futebol de $400\,\text{g}$ com uma velocidade inicial de $20\,\text{m/s}$, a partir de uma altura de $1\,\text{m}$ acima do campo de futebol. A bola quica várias vezes no gramado até que para sobre este. Considerando a bola como uma partícula material e a aceleração da gravidade de módulo $10\,\text{m/s}^2$, qual a energia dissipada da bola desde o lançamento até o repouso final?
A energia mecânica inicial, tomando o gramado como nível de referência, é
\[E_i=\frac12mv^2+mgh.\]Com $m=0,4\,\text{kg}$:
\[E_i=\frac12(0,4)(20)^2+(0,4)(10)(1)=80+4=84\,\text{J}.\]No final, a bola está em repouso no gramado, portanto $E_f=0$. Toda a energia mecânica inicial foi dissipada: $84\,\text{J}$.
Um tijolo de peso $P$ encontra-se em repouso, suspenso por uma mola de constante elástica $k$, como mostra a figura. Admitindo que a energia potencial elástica ($E_p$) da mola é nula quando esta não está comprimida nem distendida, pode-se afirmar que, na situação de equilíbrio da figura, $E_p$ é igual a:
No equilíbrio, a força elástica equilibra o peso:
\[kx=P\Rightarrow x=\frac{P}{k}.\]A energia potencial elástica vale
\[E_p=\frac12kx^2=\frac12k\left(\frac{P}{k}\right)^2=\frac{P^2}{2k}.\]Considere que as massas da Terra e do Sol sejam respectivamente iguais a $6\cdot10^{24}\,\text{kg}$ e $2\cdot10^{30}\,\text{kg}$. Considere, ainda, que as distâncias médias da Terra à Lua e do Sol à Lua sejam respectivamente iguais a $4\cdot10^8\,\text{m}$ e $1,5\cdot10^{11}\,\text{m}$. Com base nesses dados, pode-se concluir que, tipicamente, a força gravitacional que o Sol exerce sobre a Lua é:
Na razão entre as forças, a massa da Lua e $G$ se cancelam:
\[\frac{F_S}{F_T}=\frac{M_S}{M_T}\left(\frac{r_T}{r_S}\right)^2.\]Substituindo:
\[\frac{F_S}{F_T}=\frac{2\cdot10^{30}}{6\cdot10^{24}}\left(\frac{4\cdot10^8}{1,5\cdot10^{11}}\right)^2\approx2,37.\]Logo, a força solar é maior por um fator da ordem de 2.
Na brincadeira de bola de gude, uma pequena bola de vidro em movimento (bola A) colide com outra bola de vidro inicialmente parada sobre uma superfície horizontal (bola B). O gráfico a seguir ilustra o módulo da força que uma bola exerce sobre a outra durante a colisão. Desprezando o atrito das bolas com a superfície e considerando que a bola A tem massa de $5\,\text{g}$, a variação na velocidade da bola A devido à colisão com a bola B tem módulo:
O impulso é a área sob o gráfico $F\times t$. O gráfico é triangular:
\[I=\frac12\,(2\cdot10^{-3})(1)=10^{-3}\,\text{N}\cdot\text{s}.\]Pelo teorema do impulso:
\[I=m\,|\Delta v|.\]Com $m=5\,\text{g}=5\cdot10^{-3}\,\text{kg}$:
\[|\Delta v|=\frac{10^{-3}}{5\cdot10^{-3}}=0,20\,\text{m/s}=20\,\text{cm/s}.\]Deseja-se verificar se um determinado líquido é álcool, cuja densidade, $\rho_{\text{álcool}}$, é conhecida. Para tanto, um cubo de plástico de massa $M$ é construído e mergulhado num recipiente com o líquido. O cubo é oco em seu interior, e nenhum líquido pode penetrar nele. Caso o líquido em questão seja álcool, o cubo deve ficar em equilíbrio totalmente submerso. Para que essa verificação se faça corretamente, é necessário, portanto, construir o cubo com um volume total igual a:
Em equilíbrio totalmente submerso, o empuxo deve igualar o peso:
\[\rho_{\text{álcool}}Vg=Mg.\]Logo,
\[V=\frac{M}{\rho_{\text{álcool}}}.\]Um estudante observa ondas num lago. Ele nota que uma folha oscilando na superfície do lago, devido a essas ondas, leva $0,5\,\text{s}$ para ir do ponto mais baixo ao ponto mais alto de sua oscilação. Ele conclui que a frequência de oscilação das ondas na superfície do lago é igual a:
Ir do ponto mais baixo ao ponto mais alto corresponde a meio período:
\[\frac{T}{2}=0,5\,\text{s}\Rightarrow T=1,0\,\text{s}.\]Portanto,
\[f=\frac1T=1\,\text{Hz}.\]Uma fenda de largura $2,002\,\text{cm}$ precisa ser perfeitamente vedada por uma pequena barra quando a temperatura no local atingir $130\,^{\circ}\text{C}$. A barra possui comprimento de $2\,\text{cm}$ à temperatura de $30\,^{\circ}\text{C}$, como ilustra a figura (os comprimentos mostrados não estão em escala). Considerando desprezível a alteração na largura da fenda com a temperatura, a barra apropriada para este fim deve ser feita de:
A dilatação necessária é
\[\Delta L=2,002-2,000=0,002\,\text{cm}.\]A variação de temperatura é $\Delta T=100\,^{\circ}\text{C}$. Pela dilatação linear:
\[\Delta L=L_0\alpha\Delta T.\]Logo,
\[\alpha=\frac{0,002}{2\cdot100}=10^{-5}\,^{\circ}\text{C}^{-1},\]valor correspondente ao aço.
Constituem mecanismos de transmissão de calor os seguintes processos:
Os três mecanismos fundamentais de transferência de energia térmica são condução, convecção e radiação. Expansão, contração e rarefação não constituem mecanismos básicos de transmissão de calor.
Num calorímetro ideal, uma massa $M_a$ de água líquida a uma temperatura $T$ é misturada com uma massa $M_g$ de gelo a $0\,^{\circ}\text{C}$. Denotam-se respectivamente por $c$ e $L$ o calor específico da água líquida e o calor de fusão do gelo no Sistema Internacional de Unidades. Quando o equilíbrio térmico é atingido à temperatura de $0\,^{\circ}\text{C}$, não há mais gelo no calorímetro. Pode-se concluir que a temperatura $T$, expressa em $^{\circ}\text{C}$, vale:
A água inicialmente quente esfria até $0\,^{\circ}\text{C}$ e cede
\[Q_a=M_acT.\]Como todo o gelo funde a $0\,^{\circ}\text{C}$:
\[Q_g=M_gL.\]No calorímetro ideal, $Q_a=Q_g$:
\[M_acT=M_gL\Rightarrow T=\frac{M_gL}{M_ac}.\]A figura ilustra um recipiente isolado termicamente do meio exterior contendo um gás. Durante um processo termodinâmico, um êmbolo comprime o gás. Ao final do processo, a energia interna do gás aumenta em $4\,\text{J}$. Pode-se afirmar que, nesse processo,
O recipiente é termicamente isolado, portanto $Q=0$. Pela primeira lei, usando $W_{\text{sobre}}$ como o trabalho realizado sobre o gás:
\[\Delta U=Q+W_{\text{sobre}}.\]Como $\Delta U=+4\,\text{J}$:
\[W_{\text{sobre}}=4\,\text{J}.\]A pressão e o volume de um gás são denotados respectivamente por $p$ e $V$. O gás passa por uma transformação termodinâmica ilustrada num diagrama $p$ versus $V$. Assinale o único diagrama a seguir que representa uma transformação em que trabalho é realizado sobre o gás.
Em um diagrama $p\times V$, basta observar o sentido da variação do volume.
Quando o volume aumenta, ocorre expansão e o gás realiza trabalho sobre o meio externo. Quando o volume diminui, ocorre compressão e o meio externo realiza trabalho sobre o gás.
No diagrama D, a seta aponta para valores menores de $V$. Portanto, o gás está sendo comprimido e há trabalho realizado sobre o gás.
Um feixe de luz monocromática muda de meio, passando do ar para a água. Considerando que a luz pode ser descrita como uma onda propagante, assinale a única grandeza que certamente permanece constante nesse processo.
Na refração, a frequência é determinada pela fonte e não muda ao atravessar a interface. Consequentemente, o período
\[T=\frac1f\]também permanece constante.
A velocidade e o comprimento de onda mudam porque $v=\lambda f$. A direção pode ou não mudar, dependendo da incidência, e a intensidade pode variar por reflexão e transmissão.
Quando uma pessoa se aproxima de um espelho plano ao longo da direção perpendicular a este e com uma velocidade de módulo $1\,\text{m/s}$, é correto afirmar que a sua imagem:
Em um espelho plano, a imagem fica à mesma distância atrás do espelho que o objeto está à frente. Se o objeto se aproxima do espelho a $1\,\text{m/s}$, a distância imagem–espelho também diminui à mesma taxa.
Portanto, a imagem se aproxima do espelho a $1\,\text{m/s}$. (A velocidade relativa entre pessoa e imagem seria $2\,\text{m/s}$.)
Um estudante posiciona um objeto a $1\,\text{cm}$ de um espelho esférico côncavo, de distância focal igual a $0,5\,\text{cm}$. A imagem que ele observa é:
Pela equação dos espelhos:
\[\frac1f=\frac1p+\frac1{p'}.\]Com $f=0,5\,\text{cm}$ e $p=1\,\text{cm}$:
\[2=1+\frac1{p'}\Rightarrow p'=1\,\text{cm}.\]Como $p'\mathrel{>}0$, a imagem é real.
Um lápis de altura $16\,\text{cm}$ encontra-se diante de um espelho esférico convexo, com distância focal de valor absoluto $40\,\text{cm}$. A imagem do lápis tem a mesma orientação deste e altura igual a $3,2\,\text{cm}$. A que distância do espelho encontra-se o lápis?
O aumento linear é
\[A=\frac{h'}{h}=\frac{3,2}{16}=0,2.\]Para espelhos, $A=-p'/p$. Como a imagem é direita, $p'\mathrel{<}0$:
\[0,2=-\frac{p'}p\Rightarrow p'=-0,2p.\]Para o espelho convexo, $f=-40\,\text{cm}$. Pela equação de Gauss:
\[-\frac1{40}=\frac1p+\frac1{-0,2p}=\frac1p-\frac5p=-\frac4p.\]Logo, $p=160\,\text{cm}$.
A figura mostra uma casca esférica carregada uniformemente, com vácuo no seu interior e no seu exterior. Considere as duas seguintes situações: (i) casca feita de material condutor e (ii) casca feita de material isolante. O campo elétrico no ponto P nestas situações será, respectivamente,
A casca é esférica e está uniformemente carregada. Em qualquer ponto situado no interior de uma casca esférica uniformemente carregada, as contribuições do campo elétrico produzidas pelas diferentes regiões da casca se compensam, resultando em campo elétrico nulo.
No caso da casca condutora, o campo interno é nulo no equilíbrio eletrostático. No caso da casca isolante uniformemente carregada, a simetria esférica conduz ao mesmo resultado para pontos internos.
Assim, em ambas as situações, o campo elétrico no ponto $P$ é nulo.
Uma partícula de massa $0,1\,\text{kg}$ e carga $10^{-6}\,\text{C}$ cai verticalmente numa região de campo elétrico uniforme e vertical, de módulo $10^5\,\text{N/C}$. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade igual a $10\,\text{m/s}^2$, os valores mínimo e máximo da aceleração dessa partícula valem:
O peso vale
\[P=mg=0,1\cdot10=1,0\,\text{N}.\]A força elétrica tem módulo
\[F_e=qE=10^{-6}\cdot10^5=0,1\,\text{N}.\]Como o campo é vertical, a força elétrica pode somar-se ao peso ou opor-se a ele. Assim:
\[a_{\min}=\frac{1,0-0,1}{0,1}=9\,\text{m/s}^2,\qquad a_{\max}=\frac{1,0+0,1}{0,1}=11\,\text{m/s}^2.\]A resistência equivalente entre os terminais A e B da bateria ideal no circuito elétrico a seguir é igual a:
O fio diagonal liga diretamente o nó superior, após o resistor $2R$, ao nó inferior. Isso estabelece um curto-circuito entre esses nós.
Consequentemente, os dois resistores verticais $R$ ficam submetidos a diferença de potencial nula e não participam da resistência equivalente.
Resta apenas o resistor $2R$ entre os terminais A e B:
\[R_{\text{eq}}=2R.\]Um estudante paga R$ 40,00 (quarenta reais) por mês pelo uso de um chuveiro elétrico de $5000\,\text{W}$ de potência. Sabendo que esta quantia resulta de uma cobrança a custo fixo por kWh de energia elétrica consumida mensalmente, ele decide economizar trocando este chuveiro por outro de $4000\,\text{W}$. Se o novo chuveiro for utilizado durante o mesmo tempo que o chuveiro antigo, a economia em um mês será de:
Para o mesmo tempo de uso e o mesmo preço por kWh, o custo é diretamente proporcional à potência.
O novo custo será
\[C_2=40\cdot\frac{4000}{5000}=40\cdot0,8=32\,\text{reais}.\]A economia é
\[40-32=8\,\text{reais}.\]O desfibrilador é um aparelho capaz de liberar rapidamente energia armazenada para combater a fibrilação nas vítimas de ataques cardíacos. Considere um desfibrilador portátil contendo um capacitor de capacitância $80\,\mu\text{F}$, onde $1\,\mu\text{F}=10^{-6}\,\text{F}$. Se esse capacitor for carregado a uma diferença de potencial de $4000\,\text{V}$, que quantidade de energia potencial elétrica o desfibrilador terá armazenado?
A energia de um capacitor é
\[U=\frac12CV^2.\]Com $C=80\cdot10^{-6}\,\text{F}$ e $V=4000\,\text{V}$:
\[U=\frac12(80\cdot10^{-6})(4000)^2=640\,\text{J}.\]Uma partícula carregada de massa $M$ passa sem sofrer deflexão por uma região no vácuo com campo elétrico uniforme de módulo $E$, direção vertical e sentido para baixo, gerado por duas extensas placas condutoras paralelas (ver figura). Denotando por $g$ o módulo da aceleração da gravidade, pode-se afirmar que a carga da partícula é:
O peso $Mg$ aponta para baixo. Para a partícula não sofrer deflexão, a força elétrica deve apontar para cima e ter o mesmo módulo.
Como o campo elétrico aponta para baixo, a carga precisa ser negativa. Em módulo:
\[|q|E=Mg\Rightarrow |q|=\frac{Mg}{E}.\]Três cargas puntiformes idênticas, $Q$, estão fixas no vácuo de acordo com o arranjo da figura. Denotando por $k$ a constante elétrica no vácuo, a energia potencial eletrostática do sistema de cargas é igual a:
A energia potencial do sistema é a soma das energias de cada par distinto:
\[U=kQ^2\left(\frac1L+\frac1L+\frac1{2L}\right).\]Portanto,
\[U=\left(2+\frac12\right)\frac{kQ^2}{L}=2,5\frac{kQ^2}{L}.\]Considere um fio delgado infinito, percorrido por uma corrente elétrica constante. As figuras A e B ilustram uma vista de cima da seção transversal do fio (representada pelo círculo escuro). Seja $R$ a distância ao fio. Sobre o vetor campo magnético gerado por este fio, é correto afirmar que ele possui:
As linhas de campo magnético produzidas por um fio retilíneo infinito são circunferências concêntricas ao fio, como na figura A.
O módulo é dado por
\[B=\frac{\mu_0 i}{2\pi R},\]portanto $B\propto1/R$.
A espira abaixo, de resistência elétrica $R$, é colocada numa região de campo magnético constante e uniforme, de módulo $B$, direção perpendicular ao plano da página e sentido saindo desta. Enquanto a espira é aquecida, sem afetar o campo magnético, a sua área aumenta. Como consequência, uma corrente elétrica é induzida, de intensidade proporcional a:
O fluxo magnético através da espira é dado por
\[\Phi_B=BA.\]Como $B$ permanece constante e a área da espira aumenta, o fluxo magnético que sai da página também aumenta.
Pela lei de Lenz, a corrente induzida deve criar um campo magnético em sentido contrário a esse aumento, isto é, entrando na página. Pela regra da mão direita, isso corresponde a uma corrente no sentido horário.
Em um mesmo intervalo de tempo $\Delta t$, a variação do fluxo é
\[|\Delta\Phi_B|=B|\Delta A|,\]de modo que a força eletromotriz induzida pode ser escrita, para esse intervalo, como
\[|\mathcal E|=\frac{|\Delta\Phi_B|}{\Delta t}=B\frac{|\Delta A|}{\Delta t}.\]Com a resistência $R$ da espira fixa e a mesma variação de área por unidade de tempo, a intensidade da corrente induzida é proporcional a $B$.