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Q21

Dimensões e unidades — função da posição

Atua sobre um objeto uma força resultante constante, conferindo-lhe uma posição, em função do tempo, dada por $y(t)=bt^3/2$. Sabendo-se que o tempo é dado em segundos, e a posição, em metros, a constante $b$ tem no SI a dimensão

A)$\mathrm{1/s^3}$

B)$\mathrm{m/s}$

C)$\mathrm{m/s^2}$

D)$\mathrm{m/s^3}$

E)$\mathrm{s^3}$

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

Usamos a homogeneidade dimensional da expressão fornecida, $y(t)=bt^3/2$. O número 2 é adimensional. Como a posição é medida em metros e o tempo em segundos, $$[y]=[b][t]^3\quad\Rightarrow\quad[b]=\frac{[y]}{[t]^3}=\mathrm{m/s^3}.$$

Logo, a unidade da constante $b$ é metro por segundo ao cubo, alternativa D. O cubo está aplicado ao tempo, e a divisão por 2 não altera a dimensão.

A afirmação de força resultante constante não é compatível com essa função cúbica para uma massa constante: sua aceleração seria $a(t)=3bt$. Essa inconsistência do texto não muda a unidade pedida, que é determinada pela função impressa.

Alternativa D.

Q22

Hidrostática — prensa hidráulica

Uma prensa hidráulica é composta por dois reservatórios: um cilíndrico e outro em forma de prisma com base quadrada. O diâmetro do êmbolo do reservatório cilíndrico tem a mesma medida que o lado do êmbolo do reservatório prismático. Esses êmbolos são extremamente leves e podem deslocar-se para cima ou para baixo, sem atrito, e perfeitamente ajustados às paredes dos reservatórios. Sobre o êmbolo cilíndrico está um corpo de peso $P$. A força que deve ser aplicada no êmbolo quadrado para elevar esse corpo deve ter intensidade mínima igual a

FMP 2014, questão 22: figura original 1 — Figura original da questão 22

A)$\frac P\pi$

B)$\frac{2P}\pi$

C)$\frac{4P}\pi$

D)$\frac{\pi P}{2}$

E)$\frac{\pi P}{4}$

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

Seja $a$ o lado do êmbolo quadrado. O diâmetro do êmbolo circular também é $a$, portanto suas áreas são $$A_q=a^2,\qquad A_c=\pi\left(\frac a2\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}.$$

Pelo princípio de Pascal, o acréscimo de pressão aplicado ao fluido transmite-se aos dois êmbolos. No limiar de elevação, a força sustentada no êmbolo circular iguala o peso $P$: $$\frac{F}{A_q}=\frac{P}{A_c}.$$

Consequentemente, $$F=P\frac{a^2}{\pi a^2/4}=\frac{4P}{\pi}.$$ Como o êmbolo quadrado tem área maior, a força nele aplicada é maior que $P$. A pressão é a mesma, mas as forças não são iguais quando as áreas diferem.

Alternativa C.

Q26

Eletrodinâmica — resistores em progressão aritmética

Os valores de três resistores formam uma progressão aritmética. As resistências equivalentes quando os três são ligados em série e quando os três são ligados em paralelo são, respectivamente, $15\,\Omega$ e $\frac{40}{33}\,\Omega$. Multiplicando-se os números que correspondem aos valores desses três resistores obtém-se

A)45

B)80

C)105

D)120

E)125

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

Representamos as resistências por $5-r$, $5$ e $5+r$, em ohms. O termo central vale $5\,\Omega$, pois a associação em série tem resistência total $15\,\Omega$.

Em paralelo, a soma dos inversos deve ser o inverso de $40/33\,\Omega$: $$\frac1{5-r}+\frac15+\frac1{5+r}=\frac{33}{40}.$$ Reunindo os termos, $$\frac{75-r^2}{5(25-r^2)}=\frac{33}{40}\quad\Rightarrow\quad40(75-r^2)=165(25-r^2).$$

Da equação resulta $r^2=9$. As resistências são $2\,\Omega$, $5\,\Omega$ e $8\,\Omega$, independentemente da ordem da progressão. O produto dos números que expressam seus valores é $2\cdot5\cdot8=80$, alternativa B.

Alternativa B.

Q27

Cinemática — lançamento vertical e vértice da parábola

Em um certo planeta, um corpo é atirado verticalmente para cima, no vácuo, de um ponto acima do solo horizontal. A altura, em metros, atingida pelo corpo é dada pela função $h(t)=At^2+Bt+C$, em que $t$ está em segundos. Decorridos 4 segundos do lançamento, o corpo atinge a altura máxima de 9 metros e, 10 segundos após o lançamento, o corpo toca o solo. A altura do ponto de lançamento, em metros, é

A)0

B)2

C)3

D)5

E)6

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

A altura máxima de $9\,\mathrm{m}$ ocorre em $t=4\,\mathrm{s}$. Escrevemos a função quadrática na forma de vértice: $$h(t)=9+A(t-4)^2.$$ O coeficiente $A$ é negativo, pois a parábola tem concavidade para baixo.

O corpo chega ao solo em $t=10\,\mathrm{s}$, quando $h=0$. Assim, $$0=9+A(10-4)^2\quad\Rightarrow\quad A=-\frac14\,\mathrm{m/s^2}.$$

A altura de lançamento é o valor da função em $t=0$: $$h(0)=9-\frac14(0-4)^2=9-4=5\,\mathrm{m}.$$ O instante do vértice permite reconstruir a trajetória sem supor que o lançamento ocorreu no solo.

Alternativa D.

Q28

Óptica — imagens entre espelhos planos

Um objeto é colocado entre dois espelhos planos cujas superfícies refletoras formam um ângulo $\alpha$. Sabe-se que a medida de $\alpha$ é um divisor positivo de 24 e que o número total de imagens que esse objeto produz é maior que 17 e menor que 59. Quantos são os possíveis valores de $\alpha$?

A)2

B)3

C)4

D)5

E)6

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

Para os ângulos considerados, o número de imagens é dado por $N=360^\circ/\alpha-1$. A condição do enunciado é estrita: $$17<N<59\quad\Rightarrow\quad18<\frac{360}{\alpha}<60.$$

Como $\alpha$ é positivo, obtemos $6^\circ<\alpha<20^\circ$. Os divisores positivos de 24 são $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ e $24$. Apenas $8$ e $12$ pertencem ao intervalo encontrado.

Verificando: para $\alpha=8^\circ$, há $44$ imagens; para $\alpha=12^\circ$, há $29$. Logo, existem dois valores possíveis. Os extremos $6^\circ$ e $20^\circ$ não satisfazem as desigualdades estritas.

Alternativa A.

Q29

Eletrostática — força resultante e probabilidade

A Figura acima ilustra duas cargas elétricas puntiformes que são mantidas fixas a uma distância de 1 metro. Uma terceira carga positiva $q$ será abandonada em um ponto C interior ao segmento imaginário AB que une as cargas +$Q$ e +4Q. Esse ponto C será escolhido aleatoriamente. A probabilidade de que a terceira carga, assim que for abandonada, se desloque sobre o segmento no sentido de A para B é

FMP 2014, questão 29: figura original 1 — Figura original da questão 29

A)$\frac{1}{6}$

B)$\frac{2}{5}$

C)$\frac{1}{5}$

D)$\frac{2}{3}$

E)$\frac{1}{3}$

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

Seja $x$ a distância de A ao ponto C, com $0<x<1\,\mathrm{m}$. As duas cargas fixas são positivas. A carga $+Q$ repele a carga de prova para a direita, e $+4Q$ a repele para a esquerda.

Para o movimento inicial ser de A para B, a força para a direita deve ser maior: $$\frac{kQq}{x^2}>\frac{4kQq}{(1-x)^2}.$$ Cancelando os fatores positivos e usando distâncias positivas, $$1-x>2x\quad\Rightarrow\quad x<\frac13\,\mathrm{m}.$$

A escolha aleatória e uniforme no segmento de $1\,\mathrm{m}$ favorece um intervalo de comprimento $1/3\,\mathrm{m}$. Portanto, a probabilidade é $1/3$. O ponto de equilíbrio não fica no meio do segmento, pois as cargas têm módulos diferentes.

Alternativa E.

Q30

Óptica — refração em lâmina de faces paralelas

A Figura acima ilustra um raio monocromático que se propaga no ar e incide sobre uma lâmina de faces paralelas, delgada e de espessura $d$ com ângulo de incidência igual a $60\,{}^\circ$. O raio sofre refração, se propaga no interior da lâmina e, em seguida, volta a se propagar no ar. Se o índice de refração do ar é 1, então o índice de refração do material da lâmina é

FMP 2014, questão 30: figura original 1 — Figura original da questão 30

A)$\frac{\sqrt{6}}{3}$

B)$\frac{\sqrt{6}}{2}$

C)$\frac{\sqrt{2}}{2}$

D)$\sqrt{6}$

E)$\sqrt{3}$

Gabarito oficial — FMP 2014 — caderno 1

Resolução

A figura informa que, dentro da lâmina, o raio avança horizontalmente uma distância $d$ enquanto atravessa uma espessura também igual a $d$. O ângulo de refração $r$, medido em relação à normal vertical, satisfaz $$\tan r=\frac{d}{d}=1\quad\Rightarrow\quad r=45^\circ.$$

Aplicamos a lei de Snell na entrada da lâmina, com índice do ar igual a 1 e incidência de $60^\circ$: $$n_{\mathrm{ar}}\sin60^\circ=n\sin45^\circ.$$

Assim, $$n=\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\frac{\sqrt6}{2}.$$ Os ângulos da lei de Snell são medidos em relação à normal, e não à superfície da lâmina.

Alternativa B.

FMP | 2014

Dados da prova