FMP | 2015

As velocidades são registradas a cada segundo. Entre o 15º e o 21º registro passam-se seis segundos; logo, a aceleração constante é $$a=\frac{3{,}2-8{,}0}{21-15}=-0{,}80\,\mathrm{m/s^2}.$$ A velocidade inicial da frenagem é $72\,\mathrm{km/h}=20\,\mathrm{m/s}$.

Aplicamos a equação de Torricelli, sem precisar somar os registros: $$v^2=v_0^2+2a\Delta x\quad\Rightarrow\quad0=20^2-1{,}6\Delta x.$$

Portanto, $$\Delta x=\frac{400}{1{,}6}=250\,\mathrm{m}.$$ O instante inicial foi excluído da progressão de registros, mas continua sendo a referência física da frenagem.

Alternativa B.

Pela lei de Snell, com ângulos medidos em relação à normal, $$n_1\sin i=n_2\sin r\quad\Rightarrow\quad\sin r=\frac{1{,}20}{0{,}75}\sin30^\circ=0{,}80.$$ Como o segundo meio é menos refringente, o raio se afasta da normal, de modo que $r>i$.

O seno do desvio $\delta=r-i$ é obtido pela diferença de arcos. Como $\cos r=\sqrt{1-0{,}8^2}=0{,}60$, $$\sin\delta=\sin r\cos30^\circ-\cos r\sin30^\circ.$$

Usando a aproximação fornecida, $\sqrt3\approx1{,}7$, resulta $$\sin\delta\approx0{,}80\cdot0{,}85-0{,}60\cdot0{,}50=0{,}38.$$ A questão fornece índices hipotéticos; o cálculo segue esses valores. O seno de uma diferença não é a diferença dos senos.

Alternativa C.

O cone está totalmente imerso e em equilíbrio sem apoio nas paredes. Assim, o empuxo iguala seu peso: $\rho_LVg=mg$, ou $m=\rho_LV$. Precisamos, primeiro, determinar o volume do cone.

O raio da base é $r=5\,\mathrm{cm}$. A área lateral é $\pi r\ell=65\pi\,\mathrm{cm^2}$, portanto a geratriz vale $\ell=13\,\mathrm{cm}$. Pelo triângulo formado por raio, altura e geratriz, $$h=\sqrt{13^2-5^2}=12\,\mathrm{cm}.$$

Com $\pi\approx3$, $$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\cdot3\cdot25\cdot12=300\,\mathrm{cm^3}.$$ Logo, $$m=1{,}4\cdot300=420\,\mathrm{g}.$$ A geratriz de 13 cm não deve ser confundida com a altura de 12 cm.

Alternativa E.

Na figura, a base é um hexágono regular de lado $6\,\mathrm{m}$, e a coluna líquida tem altura $8\,\mathrm{m}$. Dividindo o hexágono em seis triângulos equiláteros, $$A=6\frac{6^2\sqrt3}{4}=54\sqrt3\approx91{,}8\,\mathrm{m^2}.$$

A pressão absoluta no fundo inclui a pressão atmosférica aplicada à superfície livre: $$p=p_0+\rho gh=10^5+1000\cdot10\cdot8=1{,}8\times10^5\,\mathrm{Pa}.$$

A pressão é uniforme sobre o fundo horizontal. Assim, $$F=pA=1{,}8\times10^5\cdot91{,}8=1{,}6524\times10^7\,\mathrm{N}=16\,524\,\mathrm{kN}.$$ Esse é o valor da força calculada com a pressão absoluta, usado pelo gabarito. Se fosse pedido apenas o acréscimo devido à coluna líquida, usaríamos $\rho gh$, sem $p_0$.

Alternativa D.

As distâncias $x$ e $y$ representam, na situação adotada pela questão, as distâncias do objeto e da imagem à lente. Pela equação de Gauss, $$\frac1f=\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}.$$

As duas relações fornecidas permitem calcular a distância focal sem determinar separadamente as posições: $$\frac1f=\frac{50}{400}\,\mathrm{cm^{-1}}\quad\Rightarrow\quad f=\frac{400}{50}=8\,\mathrm{cm}.$$

Equivalentemente, as distâncias são $10\,\mathrm{cm}$ e $40\,\mathrm{cm}$, em qualquer ordem. Não se deve usar a média aritmética de $x$ e $y$ como distância focal.

Alternativa B.

A força indicada tem direção e sentido do eixo $z$, com módulo $3\,\mathrm{N}$. Na figura, o deslocamento de P até Q eleva o objeto de $z=0$ para $z=1\,\mathrm{m}$. As mudanças nas coordenadas horizontais não contribuem para o trabalho dessa força vertical.

O trabalho de uma força constante é o produto escalar com o deslocamento: $$W=\vec F_z\cdot\Delta\vec r=F_z\Delta z=3\cdot1=3\,\mathrm{N\,m}=3\,\mathrm{J}.$$

O resultado é positivo porque força e componente vertical do deslocamento apontam para cima. Usar o comprimento total da diagonal exigiria multiplicar também pelo cosseno do ângulo com a força; usar apenas $\Delta z$ já faz essa projeção.

Alternativa E.

As esferas são idênticas; portanto, têm a mesma capacidade térmica. Desprezando perdas, a temperatura final de cada par é a média das temperaturas iniciais: $$T_f=\frac{T_1+T_2}{2}.$$

Há $\binom42=6$ pares equiprováveis. Com as temperaturas da figura, os resultados são: MN, $5^\circ\mathrm C$; MP, $0^\circ\mathrm C$; MQ, $-8^\circ\mathrm C$; NP, $15^\circ\mathrm C$; NQ, $7^\circ\mathrm C$; PQ, $2^\circ\mathrm C$.

Somente o par MQ produz temperatura negativa. Assim, $$\mathcal P(T_f\ge0)=\frac56.$$ O par MP deve ser contado entre os favoráveis: temperatura zero é não negativa, embora não seja positiva.

Alternativa E.

A diferença de altura entre P e Q é $5{,}0-2{,}0=3{,}0\,\mathrm{m}$, e a distância entre esses pontos ao longo da rampa é $7{,}8\,\mathrm{m}$. Logo, $$\sin\theta=\frac{3{,}0}{7{,}8}=\frac5{13}.$$ Como a rampa sobe para a direita, o ângulo é agudo, e $\cos\theta=12/13$.

Na iminência de escorregar, a componente do peso paralela ao plano é equilibrada pelo atrito estático máximo: $$mg\sin\theta=\mu_sN,\qquad N=mg\cos\theta.$$

Portanto, $$\mu_s=\tan\theta=\frac{5/13}{12/13}=\frac5{12}.$$ A massa cancela. A altura de 5 metros não pode ser usada diretamente com o trecho PQ, cuja elevação é de apenas 3 metros.

Alternativa A.

A primeira distensão é o primeiro termo $a_1$ da progressão geométrica de razão $r=-2/3$. Como $|r|<1$, sua soma infinita é $$S=\frac{a_1}{1-r}\quad\Rightarrow\quad a_1=8{,}4\left(1+\frac23\right)=14\,\mathrm{cm}.$$

Essa é a deformação inicial da mola, que deve ser convertida para metros: $x=0{,}14\,\mathrm{m}$. A energia potencial elástica armazenada antes de soltar a massa é $$E=\frac12kx^2=\frac12\cdot50\cdot(0{,}14)^2=0{,}4900\,\mathrm{J}.$$

O sinal negativo da razão alterna distensões e compressões. O cálculo da energia inicial usa o primeiro termo positivo, e não a soma 8,4 cm nem o segundo termo da sequência.

Alternativa D.

Na associação em paralelo, $$\frac1{R_{eq}}=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}=\frac{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}{R_1R_2R_3}.$$

As resistências são as raízes de $2x^3-13x^2+22x-8=0$. Pelas relações de Viète, a soma dos produtos dois a dois é $22/2=11$, e o produto das três raízes é $8/2=4$.

Assim, $$\frac1{R_{eq}}=\frac{11}{4}\,\Omega^{-1}\quad\Rightarrow\quad R_{eq}=\frac4{11}\,\Omega.$$ É possível obter o paralelo sem calcular cada raiz individualmente. O valor $11/4$ corresponde ao inverso da resistência equivalente.

Alternativa A.