De férias em Macapá, cidade brasileira situada na linha do equador e a 51° de longitude oeste, Maria faz um selfie em frente ao monumento do marco zero do equador. Ela envia a foto a seu namorado, que trabalha em um navio ancorado próximo à costa da Groenlândia, a 60° de latitude norte e no mesmo meridiano em que ela está. Considerando apenas os efeitos da rotação da Terra em torno de seu eixo, determine, para essa situação,
a) a velocidade escalar $v_M$ de Maria;
b) o módulo $a_M$ da aceleração de Maria;
c) a velocidade escalar $v_n$ do namorado de Maria;
d) a medida do ângulo $\alpha$ entre as direções das acelerações de Maria e de seu namorado.
Maria e seu namorado estão parados em relação à superfície da Terra.
As velocidades e acelerações devem ser determinadas em relação ao centro da Terra.
Considere a Terra uma esfera com raio $6\times10^6\,\text{m}$.
Duração do dia $\approx80.000\,\text{s}$.
$\pi\approx3$.
Ignore os efeitos da translação da Terra em torno do Sol.
$\operatorname{sen}30^\circ=\cos60^\circ=0,5$.
$\operatorname{sen}60^\circ=\cos30^\circ\approx0,9$.
a) $v_M=2\pi R/T=2(3)(6\times10^6)/(8\times10^4)=450\,\text{m/s}$.
b) $a_M=v_M^2/R=450^2/(6\times10^6)\approx3,4\times10^{-2}\,\text{m/s}^2$.
c) Na latitude de $60^\circ$, o raio da trajetória é $R\cos60^\circ=R/2$. Portanto, $v_n=v_M/2=225\,\text{m/s}$.
d) As duas acelerações apontam perpendicularmente para o eixo de rotação terrestre. Como Maria e seu namorado estão no mesmo meridiano, essas direções são paralelas e de mesmo sentido: $\alpha=0^\circ$.
Um cilindro termicamente isolado tem uma de suas extremidades fechadas por um pistão móvel, também isolado, que mantém a pressão constante no interior do cilindro. O cilindro contém uma certa quantidade de um material sólido à temperatura $T_i=-134\,°\text{C}$. Um aquecedor transfere continuamente 3000 W de potência para o sistema, levando-o à temperatura final $T_f=114\,°\text{C}$. O gráfico e a tabela apresentam os diversos processos pelos quais o sistema passa em função do tempo.
a) Determine a energia total, $E$, fornecida pelo aquecedor desde $T_i=-134\,°\text{C}$ até $T_f=114\,°\text{C}$.
b) Identifique, para esse material, qual dos processos (I, II, III, IV ou V) corresponde à mudança do estado sólido para o estado líquido.
c) Sabendo que a quantidade de energia fornecida pelo aquecedor durante a vaporização é $1,2\times10^6\,\text{J}$, determine a massa, $M$, do material.
d) Determine o calor específico a pressão constante, $c_p$, desse material no estado líquido.
Calor latente de vaporização do material = $800\,\text{J/g}$.
Desconsidere as capacidades térmicas do cilindro e do pistão.
a) $E=P\Delta t=3000\times760=2,28\times10^6\,\text{J}$.
b) A fusão ocorre no primeiro patamar de temperatura: processo II.
c) $Q_v=ML_v$, então $M=(1,2\times10^6)/800=1500\,\text{g}=1,5\,\text{kg}$.
d) No processo III, $Q=P\Delta t=3000(328-78)=7,5\times10^5\,\text{J}$. Como $\Delta T=200\,°\text{C}$, $c_p=Q/(M\Delta T)=2,5\,\text{J/(g·°C)}$.
Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, $M_P$, e o raio, $R_P$, desse planeta são diferentes da massa, $M_T$, e do raio, $R_T$, do planeta Terra, por fatores $\alpha$ e $\beta$: $M_P=\alpha M_T$ e $R_P=\beta R_T$.
a) Qual seria a relação entre $\alpha$ e $\beta$ se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?
Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra.
Nas condições do item a), obtenha, em função de $\beta$,
b) a razão $r_g=g_P/g_T$ entre o valor da aceleração da gravidade, $g_P$, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, $g_T$, na superfície da Terra;
c) a razão $r_t=t_P/t_T$ entre o intervalo de tempo, $t_P$, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, $t_T$, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento $L$, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);
d) a razão $r_v=v_P/v_T$ entre os módulos das velocidades do robô no planeta, $v_P$, e na Terra, $v_T$.
A Terra e o planeta são esféricos.
O módulo da força gravitacional $F$ entre dois corpos de massas $M_1$ e $M_2$, separados por uma distância $r$, é dado por $F=G\dfrac{M_1M_2}{r^2}$, em que $G$ é a constante de gravitação universal.
O período de um pêndulo simples de comprimento $L$ é dado por $T=2\pi(L/g)^{1/2}$, em que $g$ é a aceleração local da gravidade.
Os passos do robô têm o mesmo tamanho na Terra e no planeta.
a) Igualando as densidades, $M_P/R_P^3=M_T/R_T^3$. Portanto, $\alpha=\beta^3$.
b) $r_g=(M_P/M_T)(R_T/R_P)^2=\alpha/\beta^2=\beta$.
c) Como $T\propto1/\sqrt g$, $r_t=\sqrt{g_T/g_P}=1/\sqrt\beta$.
d) Os passos têm o mesmo tamanho e $v\propto1/t$. Logo, $r_v=t_T/t_P=\sqrt\beta$.
Telas sensíveis ao toque são utilizadas em diversos dispositivos. Certos tipos de tela são constituídos, essencialmente, por duas camadas de material resistivo, separadas por espaçadores isolantes. Uma leve pressão com o dedo, em algum ponto da tela, coloca as placas em contato nesse ponto, alterando o circuito elétrico do dispositivo. As figuras mostram um esquema elétrico do circuito equivalente à tela e uma ilustração da mesma. Um toque na tela corresponde ao fechamento de uma das chaves $C_n$, alterando a resistência equivalente do circuito.
A bateria fornece uma tensão $V=6\,\text{V}$ e cada resistor tem $0,5\,\text{k}\Omega$ de resistência. Determine, para a situação em que apenas a chave $C_2$ está fechada, o valor da
a) resistência equivalente $R_E$ do circuito;
b) tensão $V_{AB}$ entre os pontos A e B;
c) corrente $i$ através da chave fechada $C_2$;
d) potência $P$ dissipada no circuito.
Ignore a resistência interna da bateria e dos fios de ligação.
a) Com $C_2$ fechada, a parte à esquerda de B fica sem diferença de potencial. À direita de B há dois ramos, cada um com três resistores em série: $3R\parallel3R=3R/2$. Portanto, $R_E=3(0,5\,\text{k}\Omega)/2=0,75\,\text{k}\Omega$.
b) Como A e B estão ligados por uma rede sem fonte e sem corrente, $V_A=V_B$. Logo, $V_{AB}=0$.
c) A corrente total é $I=V/R_E=6/750=8\,\text{mA}$. Ela se divide igualmente entre os dois ramos de $3R$, portanto $i=4\,\text{mA}$.
d) $P=V^2/R_E=36/750=4,8\times10^{-2}\,\text{W}$.
Um grupo de estudantes, pretendendo estudar fenômeno análogo ao das cores comumente observadas em manchas de óleo, fez o seguinte experimento: depositou uma gota de um líquido, com índice de refração $n=2,5$, sobre a água contida em um recipiente cilíndrico de raio 10 cm. O líquido se espalha com espessura homogênea sobre toda a superfície da água, como esquematizado na figura.
a) Se o volume da gota do líquido for $0,0045\,\text{cm}^3$, qual será a espessura $E$ da camada do líquido sobre a água?
b) Um feixe de luz propaga-se no ar, incide perpendicularmente na superfície do líquido e sofre reflexão nas superfícies do líquido e da água. Quando a espessura $E$ da camada do líquido for igual a $\dfrac{\lambda}{2n}$, sendo $\lambda$ o comprimento de onda da luz incidente, ocorre interferência destrutiva entre a luz refletida no líquido e a luz refletida na água. Determine o valor de $\lambda$ para essa condição.
c) Determine o volume da gota do líquido que deveria ser depositada sobre a água para que não se observe luz refletida quando luz verde de um laser, com frequência $0,6\times10^{15}\,\text{Hz}$, incidir perpendicularmente na superfície do líquido.
O líquido não se mistura com a água.
O recipiente é um cilindro circular reto.
Velocidade da luz $c=3\times10^8\,\text{m/s}$.
$\pi\approx3$.
a) A área da superfície é $A=\pi r^2=3(10)^2=300\,\text{cm}^2$. Logo, $E=V/A=0,0045/300=1,5\times10^{-5}\,\text{cm}$.
b) $\lambda=2nE=2(2,5)(1,5\times10^{-5})=7,5\times10^{-5}\,\text{cm}=750\,\text{nm}$.
c) $\lambda=c/f=(3\times10^8)/(0,6\times10^{15})=5\times10^{-7}\,\text{m}=500\,\text{nm}$. Então $E=\lambda/(2n)=10^{-5}\,\text{cm}$ e $V=AE=300\times10^{-5}=3\times10^{-3}\,\text{cm}^3$.
Os primeiros astronautas a pousar na Lua observaram a existência de finas camadas de poeira pairando acima da superfície lunar. Como não há vento na Lua, foi entendido que esse fenômeno estava ligado ao efeito fotoelétrico causado pela luz solar: elétrons são extraídos dos grãos de poeira do solo lunar ao receberem energia da radiação eletromagnética proveniente do Sol e, assim, os grãos tornam-se positivamente carregados. O mesmo processo também arranca elétrons da superfície lunar, contribuindo para a carga positiva do lado iluminado da superfície da Lua. A altura de equilíbrio acima da superfície lunar dessas camadas depende da massa e da carga dos grãos. A partir dessas informações, determine
a) o módulo $F_e$ da força eletrostática que age sobre cada grão em equilíbrio da camada, sabendo que um grão de poeira tem massa $m=1,2\times10^{-14}\,\text{kg}$ e que a aceleração da gravidade nas proximidades da superfície da Lua é $g_L=1,6\,\text{m/s}^2$;
b) o módulo $E$ do campo elétrico na posição dessa camada de poeira, sabendo que a carga adquirida por um grão é $Q=1,9\times10^{-15}\,\text{C}$.
Uma característica do efeito fotoelétrico é a necessidade de os fótons da luz incidente terem uma energia mínima, abaixo da qual nenhum elétron é arrancado do material. Essa energia mínima está relacionada à estrutura do material e, no caso dos grãos de poeira da superfície lunar, é igual a $8\times10^{-19}\,\text{J}$.
c) Determine a frequência mínima $f$ dos fótons da luz solar capazes de extrair elétrons dos grãos de poeira.
Na superfície da Lua, $5\times10^5$ é o número de fótons por segundo incidindo sobre cada grão de poeira e produzindo emissão de elétrons.
d) Determine a carga $q$ emitida em 2 s por um grão de poeira, devido ao efeito fotoelétrico, considerando que cada fóton arranque apenas um elétron do grão.
Carga do elétron: $-1,6\times10^{-19}\,\text{C}$.
Energia do fóton: $\varepsilon=hf$; $f$ é a frequência e $h\approx6\times10^{-34}\,\text{J·s}$ é a constante de Planck.
Desconsidere as interações entre os grãos e a influência eletrostática dos elétrons liberados.
a) No equilíbrio, $F_e=mg_L=(1,2\times10^{-14})(1,6)=1,92\times10^{-14}\,\text{N}$.
b) $E=F_e/Q=(1,92\times10^{-14})/(1,9\times10^{-15})\approx10\,\text{N/C}$.
c) $f=\varepsilon/h=(8\times10^{-19})/(6\times10^{-34})\approx1,3\times10^{15}\,\text{Hz}$.
d) Em 2 s, são emitidos $N=10^6$ elétrons. Assim, $q=-Ne=-10^6(1,6\times10^{-19})=-1,6\times10^{-13}\,\text{C}$.