Núcleos atômicos podem girar rapidamente e emitir raios γ . Nesse processo, o núcleo perde energia, passando sucessivamente por estados de energia cada vez mais baixos, até chegar ao estado fundamental, que é o estado de menor energia desse sistema. Nos laboratórios onde esses núcleos são estudados, detectores registram dados dos pulsos da radiação γ emitida, obtendo informações sobre o período de rotação nuclear. A perda de energia devido à emissão de radiação eletromagnética altera o período de rotação nuclear. O gráfico mostra quatro valores do período de rotação de um dos isótopos do núcleo de érbio (¹⁵⁸Er) durante um certo intervalo de tempo, obtidos a partir de dados experimentais. Obtenha o valor da
a) velocidade angular de rotação, ω , do núcleo no instante t = 8 × 10⁻¹² s, em rad/s;
b) aceleração angular média, α , do núcleo entre os instantes t = 2 × 10⁻¹² s e t = 8 × 10⁻¹² s, em rad/s²;
c) aceleração centrípeta, a_c, de uma porção de matéria nuclear localizada a uma distância R = 6 × 10⁻¹⁵ m do eixo de rotação nuclear para o instante t = 8 × 10⁻¹² s;
d) energia, E, emitida pelo ¹⁵⁸Er sob a forma de radiação eletromagnética entre os instantes t = 2 × 10⁻¹² s e t = 8 × 10⁻¹² s.
Note e adote: Radiação γ : radiação eletromagnética de frequência muito alta. Energia rotacional do núcleo E_R = (1/2) I ω² , onde I = 12 × 10⁻⁵⁵ J s² é constante. π = 3
a) Em $t=8\times10^{-12}\,\text{s}$, o gráfico fornece $T=9\times10^{-21}\,\text{s}$. Assim, $\omega=2\pi/T=6/(9\times10^{-21})\approx6,7\times10^{20}\,\text{rad/s}$.
b) Em $t=2\times10^{-12}\,\text{s}$, $T=7\times10^{-21}\,\text{s}$ e $\omega_i\approx8,6\times10^{20}\,\text{rad/s}$. Logo, $\alpha_m=(\omega_f-\omega_i)/\Delta t\approx-3,2\times10^{31}\,\text{rad/s}^2$.
c) $a_c=\omega^2R\approx(6,7\times10^{20})^2(6\times10^{-15})\approx2,7\times10^{27}\,\text{m/s}^2$.
d) $E=\frac12I(\omega_i^2-\omega_f^2)\approx1,7\times10^{-13}\,\text{J}$.
Um grupo de alunos, em uma aula de laboratório, eletriza um canudo de refrigerante por atrito, com um lenço de papel. Em seguida, com o canudo, eles eletrizam uma pequena esfera condutora, de massa 9 g, inicialmente neutra, pendurada em um fio de seda isolante, de comprimento L, preso em um ponto fixo P. No final do processo, a esfera e o canudo estão com cargas de sinais opostos.
a) Descreva as etapas do processo de eletrização da esfera. Em seguida, os alunos colocam a esfera eletrizada (E₁) em contato com outra esfera (E₂), idêntica à primeira, eletricamente neutra e presa na extremidade de outro fio de seda isolante, também de comprimento L, fixo no ponto P. O sistema adquire a configuração ilustrada na figura, sendo d = 8 cm. Para o sistema em equilíbrio nessa configuração final, determine
b) o módulo da tensão $\vec T$ em um dos fios isolantes;
c) o módulo da carga q₂ da esfera E₂;
d) a diferença N entre o número de elétrons e de prótons na esfera E₂ após a eletrização.
Note e adote: Para a situação descrita, utilize: cos θ = 1 e sen θ = 0,1. Aceleração da gravidade: 10 m/s². Força elétrica entre duas cargas puntiformes Q₁ e Q₂, distantes r uma da outra: K Q₁ Q₂/r² K = 9 × 10⁹ N m²/C². Carga do elétron: 1,6 × 10⁻¹⁹ C. Ignore a massa dos fios.
a) O canudo eletrizado é aproximado da esfera neutra, provocando separação de cargas. Mantendo-o próximo, toca-se a esfera para ligá-la à Terra; desfaz-se primeiro o contato com a Terra e depois se afasta o canudo. A esfera fica eletrizada por indução, com carga de sinal oposto à do canudo.
b) No equilíbrio vertical, $T\cos\theta=mg$. Com $\cos\theta=1$, $T=0,009\times10=9\times10^{-2}\,\text{N}$.
c) $F_e=T\sin\theta=9\times10^{-3}\,\text{N}$. Como as cargas são iguais, $F_e=Kq^2/d^2$, resultando em $q=8\times10^{-8}\,\text{C}$.
d) $N=q/e=(8\times10^{-8})/(1,6\times10^{-19})=5\times10^{11}$.
Um espectrômetro óptico, representado na figura, utiliza um prisma como elemento de dispersão da luz de diferentes comprimentos de onda. O espectrômetro possui uma fenda de entrada de luz, F₁, uma lente convergente, L₁, um prisma de 1 1 vidro com ângulos internos de 60° e uma segunda lente convergente, L₂, que permite a focalização do comprimento de onda 2 da luz refratada pelo prisma em uma fenda, F₂, imediatamente à frente do detector D. Cada comprimento de onda é focalizado 2 em posições laterais diferentes no plano focal de L₂. 2
a) Determine a distância focal, f, da lente L₁, posicionada a 30 mm da fenda F₁, para que um feixe de luz branca, difratado pela fenda F₁, incida no prisma com os seus raios paralelos entre si.
b) O espectrômetro foi construído impondo-se que um raio de luz violeta (λ_violeta = 400 nm) se propague no interior do prisma (n = 1,53 para a luz violeta), paralelamente à sua face inferior. Nesta condição, determine o valor do ângulo de incidência, i, da luz branca, em relação à normal à superfície do prisma. Para este espectrômetro, o gráfico na página de respostas apresenta o desvio angular, d, entre o feixe incidente e o feixe emergente do prisma, em função do comprimento de onda da luz refratada.
c) Determine a diferença no desvio angular, Δd, entre os feixes de luz violeta (λ_violeta = 400 nm) e vermelha (λ_vermelho = 700 nm) refratados pelo prisma.
d) Considere que a distância da lente L₂ ao ponto P seja 20 cm. Determine o deslocamento lateral, ΔS, em relação à posição de medida para o raio violeta, do conjunto F₂ e D, para que o feixe de luz vermelha seja detectado.
Note e adote: sen 30° = 0,50; sen 40° = 0,65; sen 50° = 0,77; sen 60 o = 0,87. Para ângulos pequenos ( θ < 15°), utilizar a aproximação trigonométrica sen θ ≈ tg θ ≈ θ /60 , para θ em graus. 1 nm = 10⁻⁹ m. Índice de refração do ar: nar = 1. A abertura de ambas as fendas é cerca de 10 vezes os comprimentos de ondas envolvidos.
a) Para que os raios saiam paralelos, a fenda deve estar no foco de $L_1$. Portanto, $f=30\,\text{mm}$.
b) A geometria fornece refração de $30^\circ$. Pela lei de Snell, $\sin i=1,53\sin30^\circ\approx0,77$, portanto $i=50^\circ$.
c) A leitura do gráfico da folha de respostas fornece $\Delta d\approx3^\circ$.
d) $\Delta S=20\tan3^\circ\approx20(3/60)=1\,\text{cm}$.
O motor Stirling, uma máquina térmica de alto rendimento, é considerado um motor ecológico, pois pode funcionar com diversas fontes energéticas. A figura I mostra esquematicamente um motor Stirling com dois cilindros. O ciclo termodinâmico de Stirling, mostrado na figura II, representa o processo em que o combustível é queimado externamente para aquecer um dos dois cilindros do motor, sendo que uma quantidade fixa de gás inerte se move entre eles, expandindo-se e contraindo-se. Nessa figura está representado um ciclo de Stirling no diagrama P × V para um mol de gás ideal monoatômico. No estado A, a pressão é P_A = 4 atm, a temperatura é T₁ = 27°C e o volume é V_A. A partir do estado A, o gás é comprimido isotermicamente até um terço do volume inicial, atingindo o estado B. Na isoterma T₁, a quantidade de calor trocada é Q₁ = 2.640 J, e, na isoterma T₂, é Q₂ = 7.910 J. Determine
a) o volume V_A, em litros;
b) a pressão P_D, em atm, no estado D;
c) a temperatura T₂. Considerando apenas as transformações em que o gás recebe calor, determine
d) a quantidade total de calor recebido em um ciclo, Q_R, em J.
Note e adote: Calor específico a volume constante: C_V = 3 R/2 Constante universal do gases: R = 8 J/(mol K) = 0,08 atm ℓ / (mol K) 0 ° C = 273 K 1 atm = 10⁵ Pa 1 m³ = 1000 ℓ
a) $V_A=nRT_1/P_A=(1)(0,08)(300)/4=6\,\ell$.
b) Como $V_B=V_A/3$ e a transformação $AB$ é isotérmica, $P_B=3P_A=12\,\text{atm}$. A transformação $CD$ é isotérmica e $V_D/V_C=3$, logo $P_D=P_C/3=12\,\text{atm}$.
c) Para as isotermas, $|Q|=nRT\ln3$. Portanto, $T_2/T_1=Q_2/Q_1\approx3$, resultando em $T_2=900\,\text{K}$.
d) O gás recebe calor em $BC$ e $CD$: $Q_R=nC_V(T_2-T_1)+Q_2=12(600)+7910=15110\,\text{J}$.
Um alto-falante emitindo som com uma única frequência é colocado próximo à extremidade aberta de um tubo cilíndrico vertical preenchido com um líquido. Na base do tubo, há uma torneira que permite escoar lentamente o líquido, de modo que a altura da coluna de líquido varie uniformemente no tempo. Partindo-se do tubo completamente cheio com o líquido e considerando apenas a coluna de ar criada no tubo, observa-se que o primeiro máximo de intensidade do som ocorre quando a altura da coluna de líquido diminui 5 cm e que o segundo máximo ocorre um minuto após a torneira ter sido aberta. Determine
a) o módulo da velocidade V de diminuição da altura da coluna de líquido;
b) a frequência f do som emitido pelo alto-falante. Sabendo que uma parcela da onda sonora pode se propagar no líquido, determine
c) o comprimento de onda λ deste som no líquido;
d) o menor comprimento L da coluna de líquido para que haja uma ressonância deste som no líquido.
Note e adote: Velocidade do som no ar: v_ar = 340 m/s. Velocidade do som no líquido: v_liq = 1700 m/s. Considere a interface ar - líquido sempre plana. A ressonância em líquidos envolve a presença de nós na sua superfície.
a) Os dois primeiros máximos correspondem a colunas de ar de $\lambda/4$ e $3\lambda/4$. Como o primeiro ocorre em $5\,\text{cm}$, o segundo ocorre em $15\,\text{cm}$. Assim, $V=(15-5)/60=1/6\,\text{cm/s}$.
b) $\lambda_{ar}=4(5\,\text{cm})=0,20\,\text{m}$ e $f=v_{ar}/\lambda_{ar}=340/0,20=1700\,\text{Hz}$.
c) $\lambda_{liq}=v_{liq}/f=1700/1700=1\,\text{m}$.
d) Com nós nas duas extremidades da coluna líquida, o menor comprimento é $L=\lambda_{liq}/2=0,50\,\text{m}$.
Uma espira quadrada, de lado L, constituída por barras rígidas de material condutor, de resistência elétrica total R, se desloca no plano xy com velocidade $\vec v$ constante, na direção do eixo x. No instante t = 0, representado na figura, a espira começa a entrar em uma região do espaço, de seção reta quadrada, de lado 2L, onde há um campo magnético $\vec B$ perpendicular a $\vec v$ ; a velocidade da espira é mantida constante por meio da ação de um agente externo. O campo $\vec B$ é uniforme, constante e tem a direção do eixo z, entrando no plano xy.
a) A figura da página de respostas representa a situação para o instante t₁ = L/(2v). Indique nessa figura o sentido da corrente elétrica i₁ que circula pela espira e determine o seu valor.
b) Determine a corrente i₂ na espira para o instante t₂ = (3L)/(2v).
c) Determine a força eletromagnética $\vec F$ (módulo, direção e sentido) que atua na espira no instante t₃ = (5L)/(2v).
Note e adote: Força eletromotriz na espira parcialmente imersa no campo magnético: ε = L B v
a) Ao entrar, o fluxo para dentro da página aumenta. Pela lei de Lenz, a corrente é anti-horária e $i_1=\varepsilon/R=LBv/R$.
b) Em $t_2=3L/(2v)$, a espira está totalmente imersa em campo uniforme e o fluxo é constante. Logo, $i_2=0$.
c) Em $t_3=5L/(2v)$, a espira está saindo da região e a corrente é horária. A força se opõe ao movimento, na direção $x$ e sentido negativo, com módulo $F=iLB=L^2B^2v/R$.