Duas placas metálicas planas e circulares, de raio R, separadas por uma distância d << R, estão dispostas na direção horizontal. Entre elas, é aplicada uma diferença de potencial V, de modo que a placa de cima fica com carga negativa e a de baixo, positiva. No centro da placa superior, está afixado um fio isolante de comprimento L < d com uma pequena esfera metálica presa em sua extremidade, como mostra a figura. Essa esfera tem massa m e está carregada com carga negativa − q. O fio é afastado da posição de equilíbrio de um ângulo θ , e a esfera é posta em movimento circular uniforme com o fio mantendo o ângulo θ com a vertical. Determine
a) o módulo E do campo elétrico entre as placas;
b) os módulos T e F, respectivamente, da tração no fio e da força resultante na esfera;
c) a velocidade angular ω da esfera.
Note e adote: A aceleração da gravidade é g. Forças dissipativas devem ser ignoradas.
a) Como o campo é aproximadamente uniforme, $E=V/d$.
b) O campo aponta para cima; sobre a carga negativa, a força elétrica $qE$ aponta para baixo e soma-se ao peso. No eixo vertical, $T\cos\theta=mg+qV/d$, logo $T=\dfrac{mg+qV/d}{\cos\theta}$. A resultante é horizontal e centrípeta: $F=T\sin\theta=(mg+qV/d)\tan\theta$.
c) Como o raio da trajetória é $L\sin\theta$, $T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta$. Assim, $\omega=\sqrt{\dfrac{g+qV/(md)}{L\cos\theta}}$.
O foguete Saturno V, um dos maiores já construídos, foi lançado há 50 anos para levar os primeiros humanos à Lua. Tinha cerca de 3.000 ton de massa total, 110 m de altura e diâmetro máximo de 10 m. O primeiro estágio, acionado no lançamento, tinha 2.000 ton de combustível. Todo este combustível foi queimado e ejetado em 180 s com velocidade V de escape dos gases, e aproximadamente igual a 3.000 m/s. Determine os valores aproximados
a) da taxa média α , em kg/s, com que o combustível foi ejetado;
b) do módulo F da força resultante sobre o foguete no instante imediatamente antes do término da queima do combustível do primeiro estágio, considerando α constante;
c) dos módulos a da aceleração do foguete e v da sua velocidade, no instante imediatamente antes do término da queima do combustível do primeiro estágio.
Note e adote: 1 ton = 10³ kg Considere a aceleração da gravidade g igual a 10 m/s² A força motora de um foguete, chamada força de empuxo, é dada por Fe = α Ve A velocidade de um foguete em trajetória vertical é dada por v = Ve ln(m0/m) − gt, em que m0 é a massa total no lançamento e m, a massa restante após um intervalo de tempo t. ln(x) é uma função que assume os seguintes valores, aproximadamente: ln(1,5) = 0,4; ln(2) = 0,7; ln( 3) =1,1
a) $\alpha=2,0\times10^6/180\approx1,1\times10^4\,\text{kg/s}$.
b) O empuxo é $F_e=\alpha V_e\approx3,3\times10^7\,\text{N}$. Restam $1,0\times10^6\,\text{kg}$, cujo peso é $1,0\times10^7\,\text{N}$. Logo, $F_R\approx2,3\times10^7\,\text{N}$, para cima.
c) $a=F_R/m\approx23\,\text{m/s}^2$. Pela expressão fornecida, $v=V_e\ln(m_0/m)-gt=3000\ln3-10\times180\approx1500\,\text{m/s}$.
Uma fábrica montou uma linha de produção que tem necessidade de um fluxo contínuo de água, de 8 l/min, numa temperatura 15°C acima da temperatura ambiente. Para obter esse resultado, foi utilizado um aquecedor de água híbrido, consistindo de um coletor solar e de um aquecedor elétrico que complementa o aquecimento da água. Considere a distribuição diária de intensidade de radiação solar I dada pela figura e determine
a) a potência total P, em W, que este sistema de aquecimento necessita ter;
b) a área A do coletor para que, no horário de pico da intensidade de radiação solar, a água seja aquecida 15°C acima da temperatura ambiente, apenas pelo coletor solar, considerando que a sua eficiência seja 40%;
c) a quantidade de energia elétrica complementar $E_e$, em kWh, usada em um dia, com o sistema operando das 7 h às 17 h, considerando a área calculada no item (b).
Note e adote: Calor específico da água = 1 cal/goC Densidade da água = 1 kg/l 1 cal = 4 J
a) A vazão mássica é $8/60\approx0,133\,\text{kg/s}$. Logo, $P=\dot mc\Delta T=0,133\times4200\times15=8400\,\text{W}$.
b) No pico, $I\approx1000\,\text{W/m}^2$. De $0,40IA=P$, resulta $A=8400/400=21\,\text{m}^2$.
c) O gráfico indica intensidade média de $700\,\text{W/m}^2$. A potência solar média útil é $0,40\times700\times21=5880\,\text{W}$; a elétrica média é $8400-5880=2520\,\text{W}$. Em 10 h, $E=25,2\,\text{kWh}$.
Um bloco de massa m = 400 g está encostado em uma mola que foi comprimida de Δx = 0,2 m em relação a seu comprimento natural. Em um determinado instante, a mola é solta e o bloco adquire velocidade e percorre uma distância d = 0,5 m sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito μ = 0,3 e executa um loop de raio R = 0,9 m. Determine
a) a energia cinética ΔE perdida pelo bloco ao longo do percurso de comprimento d ;
b) as velocidades mínimas vA e vB que o bloco deve ter, respectivamente, nos pontos A e B, indicados na figura, para conseguir completar o loop;
c) o menor valor da constante elástica k da mola para que o bloco complete o loop.
Note e adote: Aceleração da gravidade = 10 m/s² Não há atrito entre o bloco e a pista em loop. Ignore a resistência do ar. A figura é esquemática e não está em escala.
a) $\Delta E=\mu mgd=0,3\times0,4\times10\times0,5=0,6\,\text{J}$.
b) No topo, no limite de contato, $v_A=\sqrt{gR}=3\,\text{m/s}$. Conservando energia entre B e A: $v_B^2=v_A^2+4gR=45$, então $v_B=3\sqrt5\,\text{m/s}$.
c) A energia mínima na base é $mv_B^2/2=9\,\text{J}$. Assim, $k(0,2)^2/2=9+0,6$, resultando em $k=480\,\text{N/m}$.
Considere o circuito mostrado na figura, onde todos os resistores têm resistência R = 200 Ω . A diferença de potencial V , entre AB os pontos A e B, é 120 V. Determine
a) a resistência $R_{eq}$ equivalente deste circuito;
b) a corrente total $i$ no circuito e a corrente $i_4$ no resistor $R_4$;
c) a potência total $P$ dissipada no circuito e a potência $P_3$ dissipada no resistor $R_3$.
a) $R_1\parallel R_2=100\,\Omega$ e $R_4\parallel R_5=100\,\Omega$; esses equivalentes estão em série, totalizando $200\,\Omega$. Esse ramo está em paralelo com $R_3=200\,\Omega$, logo $R_{eq}=100\,\Omega$.
b) $i=120/100=1,2\,\text{A}$. O ramo superior recebe $0,6\,\text{A}$ e a corrente se divide igualmente em $R_4$ e $R_5$: $i_4=0,3\,\text{A}$.
c) $P=V^2/R_{eq}=144\,\text{W}$. Como $R_3$ está diretamente entre A e B, $P_3=120^2/200=72\,\text{W}$.
Em uma cuba de ondas contendo água, uma haste vibra com frequência 5 Hz, paralelamente à superfície da água e à lateral esquerda da cuba. A haste produz ondas planas que se propagam para a direita, como ilustra a figura.
a) Determine, a partir da figura, o comprimento de onda λ da onda plana. Na cuba, em x = 0, há um anteparo rígido, paralelo às frentes da onda plana, com duas pequenas fendas cujos centros estão em y = ± b/2. O lado direito da figura mostra o resultado da interferência das duas ondas que se propagam a partir das fendas. Determine
b) a coordenada $y_1$, para $y > 0$, do primeiro mínimo de interferência na parede do lado direito da cuba. Calcule o valor da distância $b$, entre os centros das fendas, considerando que a posição do primeiro mínimo pode ser aproximada por $y_1 = D\lambda/(2b)$, em que $D$ é a distância entre as fendas e o lado direito da cuba;
c) a frequência f de vibração da haste para que o primeiro mínimo de interferência, na parede do lado direito da cuba, esteja na coordenada y = 15 cm, considerando que a velocidade da onda não depende da frequência.
a) Pela escala, a separação entre frentes sucessivas é $\lambda=2\,\text{cm}$.
b) A figura fornece $D=30\,\text{cm}$ e o primeiro mínimo em $y_1\approx10\,\text{cm}$. Assim, $b=D\lambda/(2y_1)=30\times2/(2\times10)=3\,\text{cm}$.
c) A velocidade é $v=f\lambda=5\times2=10\,\text{cm/s}$. Para $y_1=15\,\text{cm}$, $\lambda'=2by_1/D=3\,\text{cm}$; portanto, $f'=v/\lambda'=10/3\approx3,3\,\text{Hz}$.