Um automóvel com massa de $1000\,\text{kg}$ percorre, com velocidade constante $V=20\,\text{m/s}$ (ou $72\,\text{km/h}$), uma estrada (ver figura) com dois trechos horizontais (I e III), um em subida (II) e um em descida (IV). Nos trechos horizontais o motor do automóvel desenvolve uma potência de $30\,\text{kW}$ para vencer a resistência do ar, que pode ser considerada constante ao longo de todo o trajeto percorrido. Suponha que não há outras perdas por atrito. Use $g=10\,\text{m/s}^2$. São dados: $\sin\alpha=0{,}10$ e $\sin\beta=0{,}15$.
Determine:
a) o valor, em newtons, da componente paralela a cada trecho da estrada das forças $F_I$, $F_{II}$ e $F_{IV}$, aplicadas pela estrada ao automóvel nos trechos I, II e IV, respectivamente.
b) o valor, em kW, da potência $P_{II}$ que o motor desenvolve no trecho II.
Nos trechos horizontais, a potência do motor é empregada apenas para vencer a resistência do ar. Logo,
$P=F_{ar}V\Rightarrow F_{ar}=\dfrac{30\,000}{20}=1500\,\text{N}$.
a) No trecho I, a velocidade é constante e horizontal:
$F_I=F_{ar}=1500\,\text{N}$.
No trecho II, a força da estrada deve equilibrar a resistência do ar e a componente do peso ao longo da subida:
$F_{II}=F_{ar}+mg\sin\alpha=1500+1000\cdot10\cdot0{,}10=2500\,\text{N}$.
No trecho IV, a componente do peso no sentido da descida é
$mg\sin\beta=1000\cdot10\cdot0{,}15=1500\,\text{N}$,
exatamente igual à resistência do ar. Portanto, $F_{IV}=0$.
b) $P_{II}=F_{II}V=2500\cdot20=50\,000\,\text{W}=50\,\text{kW}$.
A figura representa uma lente convergente L, com focos F e F', e um quadrado ABCD, situado num plano que contém o eixo da lente. Construa, na própria figura, a imagem A'B'C'D' do quadrado, formada pela lente. Use linhas tracejadas para indicar todas as linhas auxiliares utilizadas para construir as imagens. Represente com traços contínuos somente as imagens dos lados do quadrado, no que couber na folha. Identifique claramente as imagens A', B', C' e D' dos vértices.
A construção deve ser feita vértice a vértice. Para cada ponto do quadrado, traça-se um raio que passa pelo centro óptico da lente sem sofrer desvio e outro raio paralelo ao eixo principal, que após atravessar a lente passa pelo foco imagem $F'$.
A interseção desses raios fornece a imagem do vértice considerado; repetindo o procedimento para A, B, C e D obtêm-se A', B', C' e D'.
Como a posição e a escala da figura original não estão presentes no arquivo fornecido, não é possível fixar com fidelidade as posições finais dos quatro vértices sem inventar dados geométricos.
Dois satélites artificiais A e B descrevem órbitas circulares no plano equatorial da Terra. O satélite A está a uma distância $R_A$ do centro da Terra e estacionário com relação a um observador fixo em um ponto do equador da Terra.
a) Esse mesmo observador vê o satélite B passar por uma mesma posição, numa vertical sobre ele, a cada dois dias, sempre à mesma hora. Quais os dois possíveis valores da velocidade angular de B, no referencial inercial em relação ao qual a Terra gira em torno de seu eixo com um período de $24\,\text{h}$? Expresse o resultado em rad/h.
b) Calcule, em função de $R_A$, os valores dos raios das órbitas correspondentes às velocidades angulares encontradas no item anterior.
Como A é estacionário em relação ao observador terrestre, sua velocidade angular é a da Terra:
$\omega_A=\dfrac{2\pi}{24}=\dfrac{\pi}{12}\,\text{rad/h}$.
a) Para que B volte à mesma vertical a cada $48\,\text{h}$, a velocidade angular relativa deve satisfazer
$|\omega_B-\omega_A|=\dfrac{2\pi}{48}=\dfrac{\pi}{24}\,\text{rad/h}$.
Assim,
$\omega_B=\dfrac{\pi}{12}\pm\dfrac{\pi}{24}$,
isto é, $\omega_{B1}=\dfrac{\pi}{8}\,\text{rad/h}$ e $\omega_{B2}=\dfrac{\pi}{24}\,\text{rad/h}$.
b) Para uma órbita circular, $\omega^2R^3=GM$. Comparando com A:
$\dfrac{R_B}{R_A}=\left(\dfrac{\omega_A}{\omega_B}\right)^{2/3}$.
Para $\omega_B=\pi/8$:
$R_{B1}=R_A\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2/3}$.
Para $\omega_B=\pi/24$:
$R_{B2}=R_A\,2^{2/3}$.
Um cilindro maciço, de massa $m=45\,\text{kg}$, altura $H=0{,}30\,\text{m}$ e base de área $S=0{,}050\,\text{m}^2$, está imerso em água, como mostra a figura, sendo mantido em equilíbrio estático por um fio fino ao qual se aplica uma tensão $T_0$. Use $g=10\,\text{m/s}^2$ e considere a massa específica da água $\rho=1000\,\text{kg/m}^3$. Começa-se então a puxar o cilindro na direção $y$, para cima, com velocidade constante e muito pequena.
a) Trace no papel de gráfico acima o valor, em newtons, da tensão $T$ no fio em função da posição $y$ da base inferior do cilindro, desde $y=-0{,}70\,\text{m}$ até $y=+0{,}50\,\text{m}$. Marque os valores da escala utilizada no eixo da tensão $T$.
b) Determine o trabalho total $W$, em joules, realizado pela tensão $T$, para o deslocamento descrito no item a.
O peso do cilindro vale $P=mg=450\,\text{N}$. Quando ele está totalmente submerso,
$E=\rho gSH=1000\cdot10\cdot0{,}050\cdot0{,}30=150\,\text{N}$,
e, como o movimento é quase estático, $T=P-E=300\,\text{N}$.
a) Enquanto $y\le -0{,}30\,\text{m}$, o cilindro permanece totalmente submerso e $T=300\,\text{N}$.
Para $-0{,}30\mathrel{<}y\mathrel{<}0$, a altura submersa é $-y$, então
$E=\rho gS(-y)=-500y$ e $T=450+500y$.
Quando $y\ge0$, o cilindro está fora da água e $T=450\,\text{N}$.
Portanto, o gráfico é horizontal em $300\,\text{N}$ de $-0{,}70$ a $-0{,}30\,\text{m}$, cresce linearmente até $450\,\text{N}$ em $y=0$, e permanece horizontal em $450\,\text{N}$ até $y=+0{,}50\,\text{m}$.
b) O trabalho é a área sob o gráfico $T\times y$:
$W=300(0{,}40)+\dfrac{300+450}{2}(0{,}30)+450(0{,}50)$.
$W=120+112{,}5+225=457{,}5\,\text{J}$.
Um conjunto de dois carrinhos com um rapaz sentado no carrinho dianteiro, e nele preso pelo cinto de segurança, encontra-se inicialmente na altura $h$ (posição A da figura) de uma montanha russa. A massa $m$ do rapaz é igual à massa de cada um dos carrinhos. O conjunto começa a descida com velocidade inicial nula. Ao chegar ao ponto B da parte plana da trajetória, o rapaz solta o carrinho traseiro e o empurra para trás com impulso suficiente para fazê-lo retornar ao ponto A de partida, onde o carrinho chega com velocidade nula. Despreze os atritos.
a) Determine a altura máxima $H$ a que chega o carrinho dianteiro.
b) Houve variação de energia mecânica do conjunto quando o rapaz empurrou o carrinho traseiro? Se houve, calcule essa variação. Se não houve, escreva “a energia mecânica se conservou”.
Antes do empurrão, a massa total é $3m$. Da conservação da energia entre A e B,
$3mgh=\dfrac12(3m)v^2\Rightarrow v=\sqrt{2gh}$.
O carrinho traseiro deve voltar sozinho até A e chegar com velocidade nula. Logo, imediatamente após o empurrão, sua velocidade em B tem módulo $v$ e sentido contrário ao movimento inicial.
Durante o curto intervalo do empurrão, conserva-se a quantidade de movimento horizontal:
$3mv=2mV-mv\Rightarrow V=2v$.
a) Para o rapaz mais o carrinho dianteiro,
$\dfrac12(2m)V^2=(2m)gH\Rightarrow H=\dfrac{V^2}{2g}=\dfrac{4v^2}{2g}=4h$.
b) Antes do empurrão, $E_i=3mgh$. Depois,
$E_f=\dfrac12m v^2+\dfrac12(2m)(2v)^2=mgh+8mgh=9mgh$.
Assim, $\Delta E=E_f-E_i=6mgh$. A energia mecânica aumentou porque o rapaz realizou trabalho interno usando energia química.
O som de freqüência mais baixa, dita fundamental, emitido por um tubo sonoro fechado numa extremidade, corresponde a um comprimento de onda igual a quatro vezes o comprimento $L$ do tubo. Sabe-se que o valor $V$ da velocidade do som no ar pode ser obtido pela expressão $V=20\sqrt{T}$, onde $V$ é em m/s e $T$ é a temperatura absoluta do ar em kelvin (K). Quando o tubo contém ar e estando ambos a $300\,\text{K}$ (temperatura ambiente), a freqüência fundamental emitida é $f_0=500$ hertz.
a) Determine o comprimento $L$ do tubo.
b) Desprezando a dilatação do tubo, determine a temperatura $T$, comum ao tubo e ao ar nele contido, na qual a freqüência fundamental emitida é $2f_0$.
c) Considerando agora a dilatação do tubo, o valor da freqüência fundamental emitida à temperatura $T$, calculada no item anterior, será maior, igual ou menor do que $2f_0$? Justifique.
A freqüência fundamental do tubo fechado é $f=V/(4L)$.
a) A $300\,\text{K}$,
$V=20\sqrt{300}=200\sqrt3\,\text{m/s}$.
Logo, $L=\dfrac{200\sqrt3}{4\cdot500}=\dfrac{\sqrt3}{10}\,\text{m}\approx0{,}173\,\text{m}$.
b) Com $L$ constante, dobrar a freqüência exige dobrar a velocidade do som. Como $V\propto\sqrt T$:
$\dfrac{2V_0}{V_0}=\sqrt{\dfrac{T}{300}}\Rightarrow T=1200\,\text{K}$.
c) A essa temperatura, a dilatação aumenta o comprimento do tubo. Como $f=V/(4L)$, o aumento de $L$ reduz a freqüência em relação ao valor calculado para comprimento constante. Portanto, a freqüência será menor que $2f_0$.
Um pesquisador estuda a troca de calor entre um bloco de ferro e certa quantidade de uma substância desconhecida, dentro de um calorímetro de capacidade térmica desprezível (Ver Figura 1). Em sucessivas experiências, ele coloca no calorímetro a substância desconhecida, sempre no estado sólido à temperatura $T_0=20^\circ\text{C}$, e o bloco de ferro, a várias temperaturas iniciais $T$, medindo em cada caso a temperatura final de equilíbrio térmico $T_e$. O gráfico da Figura 2 representa o resultado das experiências. A razão das massas do bloco de ferro e da substância desconhecida é $m_f/m_s=0{,}8$. Considere o valor do calor específico do ferro igual a $0{,}1\,\text{cal}/(\text{g}\,{}^\circ\text{C})$. A partir destas informações, determine para a substância desconhecida:
a) a temperatura de fusão, $T_{\text{fusão}}$.
b) o calor específico, $c_s$, na fase sólida.
c) o calor latente de fusão $L$.
a) O patamar do gráfico ocorre em $T_e=60^\circ\text{C}$. Portanto, $T_{\text{fusão}}=60^\circ\text{C}$.
b) No início do patamar, o ferro parte de $T=200^\circ\text{C}$ e o equilíbrio ocorre a $60^\circ\text{C}$. Antes de haver fusão:
$m_f c_f(200-60)=m_s c_s(60-20)$.
Como $m_f/m_s=0{,}8$ e $c_f=0{,}1$,
$0{,}8\cdot0{,}1\cdot140=c_s\cdot40\Rightarrow c_s=0{,}28\,\text{cal}/(\text{g}\,{}^\circ\text{C})$.
c) No fim do patamar, o ferro parte de $450^\circ\text{C}$ e termina a $60^\circ\text{C}$. O calor cedido por grama da substância é
$0{,}8\cdot0{,}1(450-60)=31{,}2\,\text{cal/g}$.
Para aquecer o sólido de $20^\circ\text{C}$ a $60^\circ\text{C}$ são necessários
$c_s\Delta T=0{,}28\cdot40=11{,}2\,\text{cal/g}$.
O restante corresponde à fusão:
$L=31{,}2-11{,}2=20\,\text{cal/g}$.
Duas cargas pontuais positivas, $q_1$ e $q_2=4q_1$, são fixadas a uma distância $d$ uma da outra. Uma terceira carga negativa $q_3$ é colocada no ponto P entre $q_1$ e $q_2$, a uma distância $X$ da carga $q_1$, conforme mostra a figura.
a) Calcule o valor de $X$ para que a força sobre a carga $q_3$ seja nula.
b) Verifique se existe um valor de $q_3$ para o qual tanto a carga $q_1$ como a $q_2$ permanecem em equilíbrio, nas posições do item a), sem necessidade de nenhuma outra força além das eletrostáticas entre as cargas. Caso exista, calcule este valor de $q_3$; caso não exista, escreva “não existe” e justifique.
a) Para que a força resultante em $q_3$ seja nula, as atrações exercidas por $q_1$ e $q_2$ devem ter o mesmo módulo:
$k\dfrac{q_1|q_3|}{X^2}=k\dfrac{4q_1|q_3|}{(d-X)^2}$.
Daí, $d-X=2X$ e $X=d/3$.
b) Para o equilíbrio de $q_1$, a atração por $q_3$ deve equilibrar a repulsão de $q_2$:
$k\dfrac{q_1|q_3|}{(d/3)^2}=k\dfrac{q_1(4q_1)}{d^2}$.
$9q_1|q_3|=4q_1^2\Rightarrow |q_3|=\dfrac{4}{9}q_1$.
Como $q_3$ é negativa, $q_3=-\dfrac49q_1$. Esse mesmo valor também equilibra $q_2$.
O circuito abaixo é formado por quatro resistores e um gerador ideal que fornece uma tensão $V=10$ volts. O valor da resistência do resistor $R$ é desconhecido. Na figura estão indicados os valores das resistências dos outros resistores.
a) Determine o valor, em ohms, da resistência $R$ para que as potências dissipadas em $R_1$ e $R_2$ sejam iguais.
b) Determine o valor, em watts, da potência $P$ dissipada no resistor $R_1$, nas condições do item anterior.
Seja $U$ a tensão nos dois ramos em paralelo. Em $R_1=32\,\Omega$:
$P_1=\dfrac{U^2}{32}$.
No ramo da direita, $R$ está em série com $R_2=2\,\Omega$, então
$I_2=\dfrac{U}{R+2}$ e $P_2=2I_2^2=\dfrac{2U^2}{(R+2)^2}$.
a) Igualando $P_1=P_2$:
$\dfrac1{32}=\dfrac2{(R+2)^2}\Rightarrow(R+2)^2=64\Rightarrow R=6\,\Omega$.
b) O ramo direito passa a ter $8\,\Omega$. Em paralelo com $32\,\Omega$:
$R_p=\dfrac{32\cdot8}{32+8}=6{,}4\,\Omega$.
Com $R_3=3{,}6\,\Omega$ em série, $R_{eq}=10\,\Omega$, portanto a corrente do gerador é $1\,\text{A}$. A tensão no paralelo é $U=10-1\cdot3{,}6=6{,}4\,\text{V}$.
$P_1=\dfrac{6{,}4^2}{32}=1{,}28\,\text{W}$.
Um mol de gás ideal é levado lentamente do estado inicial A ao estado final C, passando pelo estado intermediário B. A Figura 1 representa a variação do volume, $V$ do gás, em litros ($\ell$), em função da temperatura absoluta $T$, para a transformação em questão. A constante universal dos gases vale $R=0{,}082\,\text{atm}\cdot\ell/(\text{mol}\cdot\text{K})$.
a) Dentre as grandezas pressão, volume e temperatura, quais permanecem constantes no trecho AB? E no trecho BC?
b) Construa na Figura 2 o gráfico da pressão $P$ em função da temperatura absoluta $T$. Indique claramente os pontos correspondentes aos estados A, B e C. Marque os valores da escala utilizada no eixo da pressão $P$.
c) Escreva a função $P(T)$ que representa a pressão $P$ do gás em função da temperatura absoluta $T$, no intervalo de $300\,\text{K}$ a $600\,\text{K}$, com seus coeficientes dados numericamente.
Para um mol de gás ideal, $PV=RT$.
a) No trecho AB, o gráfico $V\times T$ é uma reta que passa pela origem, portanto $V/T$ é constante. Como $P=RT/V$, a pressão é constante.
No trecho BC, o gráfico é horizontal, logo o volume é constante.
b) Em AB, usando o ponto B, $T_B=300\,\text{K}$ e $V_B=24{,}6\,\ell$:
$P_B=\dfrac{0{,}082\cdot300}{24{,}6}=1\,\text{atm}$.
Assim, AB aparece no gráfico $P\times T$ como um segmento horizontal em $P=1\,\text{atm}$. Em BC, $V=24{,}6\,\ell$ e a pressão cresce linearmente com $T$. Em C, $T_C=600\,\text{K}$:
$P_C=\dfrac{0{,}082\cdot600}{24{,}6}=2\,\text{atm}$.
Portanto o trecho BC é o segmento de reta que liga $B(300\,\text{K},1\,\text{atm})$ a $C(600\,\text{K},2\,\text{atm})$.
c) Para $300\le T\le600$:
$P(T)=\dfrac{RT}{V}=\dfrac{0{,}082}{24{,}6}T=\dfrac{T}{300}\,\text{atm}$.