Estamos no ano de 2095 e a "interplanetariamente" famosa FIFA (Federação Interplanetária de Futebol Amador) está organizando o Campeonato Interplanetário de Futebol, a se realizar em MARTE no ano 2100. Ficou estabelecido que o comprimento do campo deve corresponder à distância do chute de máximo alcance conseguido por um bom jogador. Na TERRA esta distância vale $L_T=100\,\text{m}$. Suponha que o jogo seja realizado numa atmosfera semelhante à da TERRA e que, como na TERRA, possamos desprezar os efeitos do ar, e ainda, que a máxima velocidade que um bom jogador consegue imprimir à bola seja igual à na TERRA. Suponha que $M_M/M_T=0{,}1$ e $R_M/R_T=0{,}5$, onde $M_M$ e $R_M$ são a massa e o raio de MARTE e $M_T$ e $R_T$ são a massa e raio da TERRA.
a) Determine a razão $g_M/g_T$ entre os valores da aceleração da gravidade em MARTE e na TERRA.
b) Determine o valor aproximado $L_M$, em metros, do comprimento do campo em MARTE.
c) Determine o valor aproximado do tempo $t_M$, em segundos, gasto pela bola, em um chute de máximo alcance, para atravessar o campo em MARTE (adote $g_T=10\,\text{m/s}^2$).
a) Na superfície de um planeta, $g=GM/R^2$. Portanto,
$\dfrac{g_M}{g_T}=\dfrac{M_M/M_T}{(R_M/R_T)^2}=\dfrac{0{,}1}{(0{,}5)^2}=0{,}4$.
b) No lançamento de máximo alcance, $\theta=45^\circ$ e $L=v_0^2/g$. Como a velocidade máxima de chute é a mesma nos dois planetas,
$\dfrac{L_M}{L_T}=\dfrac{g_T}{g_M}=\dfrac1{0{,}4}=2{,}5$.
Logo, $L_M=2{,}5\cdot100=250\,\text{m}$.
c) Na Terra, $100=v_0^2/10$, então $v_0=10\sqrt{10}\,\text{m/s}$. Em Marte, $g_M=4\,\text{m/s}^2$. Para $\theta=45^\circ$,
$t_M=\dfrac{2v_0\sin45^\circ}{g_M}=\dfrac{\sqrt2\,10\sqrt{10}}4=5\sqrt5\,\text{s}\approx11\,\text{s}$.
As curvas A e B na figura representam a variação da temperatura ($T$) em função do tempo ($t$) de duas substâncias A e B, quando $50\,\text{g}$ de cada uma é aquecida separadamente, a partir da temperatura inicial de $20^\circ\text{C}$, na fase sólida, recebendo calor numa taxa constante de $20\,\text{cal/s}$.
Considere agora um experimento em que $50\,\text{g}$ de cada uma das substâncias são colocadas em contato térmico num recipiente termicamente isolado, com a substância A na temperatura inicial $T_A=280^\circ\text{C}$ e a substância B na temperatura inicial $T_B=20^\circ\text{C}$.
a) Determine o valor do calor latente de fusão $L_B$ da substância B.
b) Determine a temperatura de equilíbrio do conjunto no final do experimento.
c) Se a temperatura final corresponder à mudança de fase de uma das substâncias, determine a quantidade da mesma em cada uma das fases.
Como cada substância recebe calor à taxa constante de $20\,\text{cal/s}$, os intervalos de tempo do gráfico permitem calcular calores e capacidades térmicas.
Para B, o aquecimento sólido de $20^\circ\text{C}$ a $80^\circ\text{C}$ dura $30\,\text{s}$:
$20\cdot30=50\,c_{Bs}(80-20)\Rightarrow c_{Bs}=0{,}20\,\text{cal}/(\text{g}\,{}^\circ\text{C})$.
a) O patamar de fusão de B, a $80^\circ\text{C}$, dura de $30\,\text{s}$ a $90\,\text{s}$:
$Q_f=20(90-30)=1200\,\text{cal}$.
$L_B=\dfrac{1200}{50}=24\,\text{cal/g}$.
Para A, o trecho de $20^\circ\text{C}$ a $300^\circ\text{C}$ dura $70\,\text{s}$:
$20\cdot70=50\,c_A(300-20)\Rightarrow c_A=0{,}10\,\text{cal}/(\text{g}\,{}^\circ\text{C})$.
b) Se A resfriar de $280^\circ\text{C}$ até $80^\circ\text{C}$, cede
$Q_A=50\cdot0{,}10(280-80)=1000\,\text{cal}$.
B precisa de
$Q_B=50\cdot0{,}20(80-20)=600\,\text{cal}$
para atingir sua temperatura de fusão. Restam $400\,\text{cal}$, insuficientes para fundir os $50\,\text{g}$. Logo, o equilíbrio ocorre no patamar de B:
$T_e=80^\circ\text{C}$.
c) A massa de B que funde é
$m_\ell=\dfrac{400}{24}=\dfrac{50}{3}\,\text{g}\approx16{,}7\,\text{g}$.
Assim, permanecem $50-\dfrac{50}{3}=\dfrac{100}{3}\,\text{g}\approx33{,}3\,\text{g}$ na fase sólida.
Duas cunhas A e B, de massas $M_A$ e $M_B$ respectivamente, se deslocam juntas sobre um plano horizontal sem atrito, com aceleração constante $\vec a$, sob a ação de uma força horizontal $\vec F$ aplicada à cunha A, como mostra a figura. A cunha A permanece parada em relação à cunha B, apesar de não haver atrito entre elas.
a) Determine a intensidade da força $\vec F$ aplicada à cunha A.
b) Determine a intensidade da força $\vec N$, que a cunha B aplica à cunha A.
c) Sendo $\theta$ o ângulo de inclinação da cunha B, determine a tangente de $\theta$.
a) Considerando A e B como um único sistema, a única força externa horizontal resultante é $F$. Como ambos têm aceleração $a$:
$F=(M_A+M_B)a$.
b) Sobre A atuam, além de $F$, o peso $M_Ag$ e a normal $N$ da cunha B. Como não há aceleração vertical,
$N\cos\theta=M_Ag$.
Sobre B, a componente horizontal da força exercida por A é a responsável por sua aceleração:
$N\sin\theta=M_Ba$.
Logo,
$N=\sqrt{(M_Ag)^2+(M_Ba)^2}$.
c) Dividindo as duas componentes da normal:
$\tan\theta=\dfrac{M_Ba}{M_Ag}$.
No circuito mostrado na Fig. 1, os três resistores têm valores $R_1=2\,\Omega$, $R_2=20\,\Omega$ e $R_3=5\,\Omega$. A bateria B tem tensão constante de $12\,\text{V}$. A corrente $i_1$ é considerada positiva no sentido indicado. Entre os instantes $t=0\,\text{s}$ e $t=100\,\text{s}$, o gerador G fornece uma tensão variável $V=0{,}5t$ ($V$ em volt e $t$ em segundo).
a) Determine o valor da corrente $i_1$ para $t=0\,\text{s}$.
b) Determine o instante $t_0$ em que a corrente $i_1$ é nula.
c) Trace a curva que representa a corrente $i_1$ em função do tempo $t$, no intervalo de $0$ a $100\,\text{s}$. Utilize os eixos da figura ao lado indicando claramente a escala da corrente, em ampère (A).
d) Determine o valor da potência $P$ recebida ou fornecida pela bateria B no instante $t=90\,\text{s}$.
Tomando o nó inferior como referência, o terminal superior da bateria B está a $12\,\text{V}$ e o terminal superior do gerador G está a $V_G=0{,}5t$.
Se $U$ é o potencial do nó superior comum a $R_1$ e $R_2$, pela lei dos nós:
$\dfrac{V_G-U}{5}+\dfrac{12-U}{2}=\dfrac{U}{20}$.
Daí, $U=\dfrac{4V_G+120}{15}=\dfrac{2t+120}{15}$.
Como $i_1$ foi definida para cima,
$i_1=\dfrac{12-U}{2}=2-\dfrac{t}{15}$.
a) Para $t=0$, $i_1=2\,\text{A}$.
b) $i_1=0\Rightarrow 2-t/15=0$, logo $t_0=30\,\text{s}$.
c) O gráfico é uma reta de equação $i_1(t)=2-t/15$, passando por $(0,2)$ e $(30,0)$; em $t=100\,\text{s}$, $i_1=-14/3\,\text{A}$.
d) Em $t=90\,\text{s}$, $i_1=-4\,\text{A}$. Portanto a corrente real atravessa a bateria para baixo, entrando em seu terminal positivo. A bateria recebe potência:
$P=12\cdot4=48\,\text{W}$.
Na figura abaixo, em escala, estão representados uma lente L delgada, divergente, com seus focos F, e um espelho plano E, normal ao eixo da lente. Uma fina haste AB está colocada normal ao eixo da lente. Um observador O, próximo ao eixo e à esquerda da lente, mas bastante afastado desta, observa duas imagens da haste. A primeira, A$_1$B$_1$, é a imagem direta de AB formada pela lente. A segunda, A$_2$B$_2$, é a imagem, formada pela lente, do reflexo A'B' da haste AB no espelho E.
a) Construa e identifique as 2 imagens: A$_1$B$_1$ e A$_2$B$_2$.
b) Considere agora o raio R, indicado na figura, partindo de A em direção à lente L. Complete a trajetória deste raio até uma região à esquerda da lente. Diferencie claramente com linha cheia este raio de outros raios auxiliares.
A figura está em escala. Tomando como unidade o espaçamento da malha, a distância focal da lente é $|f|=6$, a haste AB está a $3$ unidades da lente e o espelho a $10$ unidades da lente.
a) Para a imagem direta de AB pela lente divergente, $f=-6$ e $p=3$:
$\dfrac1f=\dfrac1p+\dfrac1q\Rightarrow -\dfrac16=\dfrac13+\dfrac1q\Rightarrow q=-2$.
A imagem A$_1$B$_1$ é virtual, direita e reduzida, situada a $2$ quadrículas à direita da lente. Como $m=-q/p=2/3$, sua altura é $2/3$ da altura de AB.
O espelho forma A'B' simétrica a AB. Como o espelho está a $10$ quadrículas da lente e AB a $3$, A'B' fica a $17$ quadrículas da lente. Aplicando novamente a equação da lente, agora com $p=17$:
$-\dfrac16=\dfrac1{17}+\dfrac1q\Rightarrow q=-\dfrac{102}{23}\approx-4{,}43$.
Logo, A$_2$B$_2$ é virtual, direita e reduzida, situada a cerca de $4{,}4$ quadrículas à direita da lente.
b) O raio R, depois de atravessar a lente divergente, deve seguir para a esquerda de modo que seu prolongamento para trás passe por A$_1$. Essa construção fixa a direção do raio emergente; as extensões auxiliares devem ser tracejadas.
Considere uma mola ideal de comprimento $L_0=35\,\text{cm}$ presa no fundo de uma piscina vazia (Fig.1). Prende-se sobre a mola um recipiente cilíndrico de massa $m=750\,\text{g}$, altura $h=12{,}5\,\text{cm}$ e secção transversal externa $S=300\,\text{cm}^2$, ficando a mola com comprimento $L_1=20\,\text{cm}$ (Fig.2). Quando, enchendo-se a piscina, o nível da água atinge a altura $H$, começa a entrar água no recipiente (Fig.3).
Dados: $\rho_{\text{água}}=1{,}0\,\text{g/cm}^3$; $g=10\,\text{m/s}^2$.
a) Qual o valor da tensão $T$ na mola, em N, quando começa a entrar água no recipiente?
b) Qual o valor da altura $H$ em cm?
Com a piscina vazia, o peso do recipiente comprime a mola de $L_0-L_1=15\,\text{cm}=0{,}15\,\text{m}$.
$mg=k(L_0-L_1)\Rightarrow 0{,}750\cdot10=k(0{,}15)$,
portanto $k=50\,\text{N/m}$.
a) No instante em que a água começa a entrar, o recipiente está submerso até sua borda. O volume deslocado é $Sh$:
$E=\rho gSh=1000\cdot10\cdot0{,}030\cdot0{,}125=37{,}5\,\text{N}$.
Como o peso vale $7{,}5\,\text{N}$, a mola deve exercer força para baixo:
$E=mg+T\Rightarrow T=30\,\text{N}$.
b) A mola está tracionada de
$x=T/k=30/50=0{,}60\,\text{m}$.
Seu comprimento é $L=L_0+x=0{,}35+0{,}60=0{,}95\,\text{m}$. Como a borda superior do recipiente fica $h=0{,}125\,\text{m}$ acima do ponto de ligação com a mola:
$H=L+h=1{,}075\,\text{m}=107{,}5\,\text{cm}$.
Quatro pequenas esferas de massa $m$, estão carregadas com cargas de mesmo valor absoluto $q$, sendo duas negativas e duas positivas, como mostra a figura. As esferas estão dispostas formando um quadrado de lado $a$ e giram numa trajetória circular de centro O, no plano do quadrado, com velocidade de módulo constante $v$. Suponha que as únicas forças atuantes sobre as esferas são devidas à interação eletrostática. A constante de permissividade elétrica é $\varepsilon_0$. Todas as grandezas (dadas e solicitadas) estão em unidades SI.
a) Determine a expressão do módulo da força eletrostática resultante $\vec F$ que atua em cada esfera e indique sua direção.
b) Determine a expressão do módulo da velocidade tangencial $\vec v$ das esferas.
Considere uma das esferas positivas. As duas cargas negativas vizinhas estão à distância $a$ e exercem forças atrativas de módulo
$F_0=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}$.
A carga positiva no vértice oposto está à distância $a\sqrt2$ e exerce força repulsiva de módulo $F_0/2$.
a) Somando as componentes, a resultante aponta ao longo da diagonal, para o centro O, e tem módulo
$F=F_0\left(\sqrt2-\dfrac12\right)$.
Portanto,
$F=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}\left(\sqrt2-\dfrac12\right)$.
b) O raio da trajetória circular é $r=a/\sqrt2$. Assim,
$\dfrac{mv^2}{a/\sqrt2}=F$.
Logo,
$v=\sqrt{\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0ma}\left(1-\dfrac{1}{2\sqrt2}\right)}$.
Duas fontes sonoras F$_1$ e F$_2$ estão inicialmente separadas de $2{,}5\,\text{m}$. Dois observadores A e B estão distantes $10\,\text{m}$ da fonte F$_1$, sendo que o observador A está no eixo $x$ e o observador B no eixo $y$, conforme indica a figura. As duas fontes estão em fase e emitem som numa freqüência fixa $f=170\,\text{Hz}$. Num dado instante, a fonte F$_2$ começa a se deslocar lentamente ao longo do eixo $x$, afastando-se da fonte F$_1$. Com este deslocamento, os dois observadores detectam uma variação periódica na intensidade do som resultante das duas fontes, passando por máximos e mínimos consecutivos de intensidade. Sabe-se que a velocidade do som é $340\,\text{m/s}$ nas condições do experimento.
Levando em conta a posição inicial das fontes, determine:
a) a separação $L_a$ entre as fontes para a qual o observador A detecta o primeiro mínimo de intensidade.
b) a separação $L_b$ entre as fontes para a qual o observador B detecta o primeiro máximo de intensidade.
O comprimento de onda é
$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{170}=2\,\text{m}$.
a) Para A, as fontes e o observador estão alinhados. A diferença de percurso é exatamente a separação $L$ entre as fontes. Como inicialmente $L=2{,}5\,\text{m}$ e o primeiro mínimo seguinte ocorre para
$\Delta=\dfrac{3\lambda}{2}=3\,\text{m}$,
temos $L_a=3{,}0\,\text{m}$.
b) Para B,
$r_1=10\,\text{m}$ e $r_2=\sqrt{10^2+L^2}$.
A diferença de percurso é $\Delta=\sqrt{100+L^2}-10$. O primeiro máximo alcançado após a posição inicial corresponde a $\Delta=\lambda=2\,\text{m}$:
$\sqrt{100+L_b^2}-10=2$.
$L_b^2=44\Rightarrow L_b=2\sqrt{11}\,\text{m}\approx6{,}6\,\text{m}$.
No anel do Lab. Nac. de Luz Sincrotron em Campinas, SP, representado simplificadamente na figura, elétrons (e) se movem com velocidade $v\approx c\approx3\times10^8\,\text{m/s}$ formando um feixe de pequeno diâmetro, numa órbita circular de raio $R=32\,\text{m}$. O valor da corrente elétrica, devido ao fluxo de elétrons através de uma seção transversal qualquer do feixe, vale $0{,}12\,\text{A}$.
a) Calcule o número total $n$ de elétrons contidos na órbita.
b) Considere um feixe de pósitrons (p), movendo-se em sentido oposto no mesmo tubo em órbita a $1\,\text{cm}$ da dos elétrons, tendo velocidade, raio e corrente iguais as dos elétrons. Determine o valor aproximado da força de atração $\vec F$, de origem magnética, entre os dois feixes, em N.
2) Como $R\gg d$, no cálculo de $\vec F$, considere que o campo produzido por um feixe pode ser calculado como o de um fio retilíneo.
3) Carga de 1 elétron $q=-1{,}6\times10^{-19}\,\text{C}$.
4) Módulo do vetor indução magnética $B$, criado a uma distância $r$ de um fio retilíneo percorrido por uma corrente $i$: $B=2\times10^{-7}i/r$, sendo $B$ em tesla (T), $i$ em ampère (A) e $r$ em metro (m).
a) O período orbital de cada elétron é
$T=\dfrac{2\pi R}{v}$.
Como a corrente é a carga total que atravessa uma seção a cada período,
$I=\dfrac{n|q|}{T}\Rightarrow n=\dfrac{I\,2\pi R}{v|q|}$.
$n=\dfrac{0{,}12\cdot2\pi\cdot32}{(3\times10^8)(1{,}6\times10^{-19})}\approx5{,}0\times10^{11}$ elétrons.
b) O campo de um feixe na posição do outro, a $d=0{,}01\,\text{m}$, vale
$B=\dfrac{2\times10^{-7}I}{d}=\dfrac{2\times10^{-7}(0{,}12)}{0{,}01}=2{,}4\times10^{-6}\,\text{T}$.
A força por unidade de comprimento sobre o outro feixe é $IB$. Para o comprimento aproximado $2\pi R$:
$F=IB(2\pi R)$.
$F=0{,}12(2{,}4\times10^{-6})(2\pi\cdot32)\approx5{,}8\times10^{-5}\,\text{N}$.
Um brinquedo é constituído por um cano (tubo) em forma de $\frac34$ de arco de circunferência, de raio médio $R$, posicionado num plano vertical, como mostra a figura. O desafio é fazer com que a bola 1, ao ser abandonada de uma certa altura $H$ acima da extremidade B, entre pelo cano em A, bata na bola 2 que se encontra parada em B, ficando nela grudada, e ambas atinjam juntas a extremidade A. As massas das bolas 1 e 2 são $M_1$ e $M_2$, respectivamente. Despreze os efeitos do ar e das forças de atrito.
a) Determine a velocidade $v$ com que as duas bolas grudadas devem sair da extremidade B do tubo para atingir a extremidade A.
Determine o valor de $H$ para que o desafio seja vencido.
a) Ao saírem de B, as bolas grudadas têm velocidade horizontal. Para atingir A, devem percorrer horizontalmente uma distância $R$ enquanto caem verticalmente uma altura $R$.
No movimento vertical:
$R=\dfrac12gt^2\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2R}{g}}$.
No movimento horizontal:
$R=vt$.
Logo,
$v=\sqrt{\dfrac{gR}{2}}$.
Se $u$ é a velocidade da bola 1 imediatamente antes de colidir com a bola 2 em B, a colisão é perfeitamente inelástica:
$M_1u=(M_1+M_2)v$.
Portanto,
$u=\dfrac{M_1+M_2}{M_1}\sqrt{\dfrac{gR}{2}}$.
Como a bola 1 parte do repouso a uma altura $H$ acima de B e não há dissipação até a colisão:
$M_1gH=\dfrac12M_1u^2$.
Substituindo $u$:
$H=\dfrac{R}{4}\left(\dfrac{M_1+M_2}{M_1}\right)^2$.