O gráfico abaixo descreve o deslocamento vertical $y$, para baixo, de um surfista aéreo de massa igual a $75\,\text{kg}$, em função do tempo $t$. A origem $y=0$, em $t=0$, é tomada na altura do salto. Nesse movimento, a força $R$ de resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade $v$ do surfista ($R=kv^2$, onde $k$ é uma constante que depende principalmente da densidade do ar e da geometria do surfista). A velocidade inicial do surfista é nula; cresce com o tempo, por aproximadamente $10\,\text{s}$, e tende para uma velocidade constante denominada velocidade limite ($v_L$).
Determine:
a) O valor da velocidade limite $v_L$.
b) O valor da constante $k$ no SI.
c) A aceleração do surfista quando sua velocidade é a metade da velocidade limite.
a) Na região final do gráfico, a curva torna-se praticamente uma reta. Entre $t=10\,\text{s}$ e $t=14\,\text{s}$, o deslocamento aumenta aproximadamente de $300\,\text{m}$ para $500\,\text{m}$:
$v_L=\dfrac{\Delta y}{\Delta t}=\dfrac{200}{4}=50\,\text{m/s}$.
b) Na velocidade limite a aceleração é nula, portanto o peso e a resistência do ar têm módulos iguais:
$mg=kv_L^2$.
$k=\dfrac{75\cdot10}{50^2}=0{,}30\,\text{kg/m}$.
c) Em qualquer instante, tomando o sentido para baixo como positivo,
$ma=mg-kv^2$.
Como $kv_L^2=mg$ e $v=v_L/2$:
$a=g-\dfrac{k}{m}\dfrac{v_L^2}{4}=g-\dfrac g4=\dfrac{3g}{4}=7{,}5\,\text{m/s}^2$.
Sobre a parte horizontal da superfície representada na figura, encontra-se parado um corpo B de massa $M$, no qual está presa uma mola ideal de comprimento natural $L_0$ e constante elástica $k$. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico, entre o corpo B e o plano, são iguais e valem $\mu$. Um outro corpo A, também de massa $M$, é abandonado na parte inclinada. O atrito entre o corpo A e a superfície é desprezível. Determine:
a) A máxima altura $h_0$, na qual o corpo A pode ser abandonado, para que, após colidir com o corpo B, retorne até a altura original $h_0$.
b) O valor da deformação $X$ da mola, durante a colisão, no instante em que os corpos A e B têm a mesma velocidade, na situação em que o corpo A é abandonado de uma altura $H\mathrel{>}h_0$. (Despreze o trabalho realizado pelo atrito durante a colisão).
a) Para A retornar exatamente à altura de partida, não pode haver dissipação de energia por deslocamento de B. Assim, no caso-limite, B ainda permanece em repouso e a força máxima da mola iguala o atrito estático máximo:
$kx_0=\mu Mg$.
No instante de máxima compressão, A está momentaneamente em repouso:
$Mgh_0=\dfrac12kx_0^2$.
Logo,
$h_0=\dfrac{\mu^2Mg}{2k}$.
b) Quando B começa a se mover, a mola está comprimida de $x_0$ e A tem velocidade $V_A$. Pela conservação da energia até esse instante:
$MgH=\dfrac12MV_A^2+Mgh_0$.
Portanto, $V_A^2=2g(H-h_0)$.
Do início do movimento de B até o instante em que os dois blocos têm a mesma velocidade $V'$, desprezando o efeito do atrito durante o curto intervalo da colisão, conserva-se a quantidade de movimento:
$MV_A=2MV'\Rightarrow V'=\dfrac{V_A}{2}$.
Conservando também a energia mecânica nesse trecho:
$\dfrac12MV_A^2+\dfrac12kx_0^2=MV'^2+\dfrac12kX^2$.
Usando $kx_0^2=2Mgh_0$ e $V_A^2=2g(H-h_0)$, resulta
$kX^2=Mg(H+h_0)$.
Assim,
$X=\sqrt{\dfrac{Mg}{k}(H+h_0)}=\sqrt{\dfrac{MgH}{k}\left(1+\dfrac{h_0}{H}\right)}$.
Na figura 1 estão representados um tubo vertical, com a extremidade superior aberta, e dois cilindros maciços Q e R. A altura do tubo é $H=6{,}0\,\text{m}$ e a área de sua secção transversal interna é $S=0{,}010\,\text{m}^2$. Os cilindros Q e R têm massa $M=50\,\text{kg}$ e altura $h=0{,}5\,\text{m}$, cada um. Eles se encaixam perfeitamente no tubo, podendo nele escorregar sem atrito, mantendo uma vedação perfeita. Inicialmente, o cilindro Q é inserido no tubo. Após ele ter atingido a posição de equilíbrio $y_1$, indicada na figura 2, o cilindro R é inserido no tubo. Os dois cilindros se deslocam então para as posições de equilíbrio indicadas na figura 3. A parede do tubo é tão boa condutora de calor que durante todo o processo a temperatura dentro do tubo pode ser considerada constante e igual à temperatura ambiente $T_0$. Sendo a pressão atmosférica $P_0=10^5\,\text{Pa}$ ($1\,\text{Pa}=1\,\text{N/m}^2$), nas condições do experimento, determine:
a) A altura de equilíbrio inicial $y_1$ do cilindro Q.
b) A pressão $P_2$ do gás aprisionado pelo cilindro Q e a altura de equilíbrio final $y_2$ do cilindro Q, na situação da Fig. 3.
c) A distância $y_3$ entre os dois cilindros, na situação da Fig. 3.
A pressão correspondente ao peso de cada cilindro é
$\dfrac{Mg}{S}=\dfrac{50\cdot10}{0{,}010}=5{,}0\times10^4\,\text{Pa}=0{,}5P_0$.
a) Com apenas Q, o equilíbrio exige $P_1=P_0+Mg/S=1{,}5P_0$. Como a transformação do gás aprisionado é isotérmica:
$P_0(SH)=P_1(Sy_1)$.
$y_1=H\dfrac{P_0}{P_1}=6\cdot\dfrac1{1{,}5}=4{,}0\,\text{m}$.
b) Para o cilindro R, $P_3=P_0+Mg/S=1{,}5P_0$. Para Q,
$P_2=P_3+Mg/S=2P_0=2{,}0\times10^5\,\text{Pa}$.
Aplicando Boyle ao gás abaixo de Q:
$P_0SH=P_2Sy_2\Rightarrow y_2=\dfrac{P_0}{P_2}H=3{,}0\,\text{m}$.
c) Quando R começa a entrar no tubo, o gás que ficará entre Q e R tem comprimento inicial
$H-y_1-h=6-4-0{,}5=1{,}5\,\text{m}$
e pressão $P_0$. No equilíbrio final sua pressão é $P_3=1{,}5P_0$:
$P_0S(1{,}5)=P_3Sy_3$.
Logo, $y_3=1{,}0\,\text{m}$.
Um pêndulo, constituído de uma pequena esfera, com carga elétrica $q=+2{,}0\times10^{-9}\,\text{C}$ e massa $m=3\sqrt3\times10^{-4}\,\text{kg}$, ligada a uma haste eletricamente isolante, de comprimento $d=0{,}40\,\text{m}$, e massa desprezível, é colocado num campo elétrico constante $\vec E$ ($|\vec E|=1{,}5\times10^6\,\text{N/C}$). Esse campo é criado por duas placas condutoras verticais, carregadas eletricamente.
O pêndulo é solto na posição em que a haste forma um ângulo $\alpha=30^\circ$ com a vertical (ver figura) e, assim, ele passa a oscilar em torno de uma posição de equilíbrio. São dados $\sin30^\circ=1/2$; $\sin45^\circ=\sqrt2/2$; $\sin60^\circ=\sqrt3/2$. Na situação apresentada, considerando-se desprezíveis os atritos, determine:
a) Os valores dos ângulos $\alpha_1$, que a haste forma com a vertical, na posição de equilíbrio, e $\alpha_2$, que a haste forma com a vertical na posição de máximo deslocamento angular. Represente esses ângulos na figura dada.
b) A energia cinética $K$, da esfera, quando ela passa pela posição de equilíbrio.
A força elétrica tem módulo
$F_e=qE=(2{,}0\times10^{-9})(1{,}5\times10^6)=3{,}0\times10^{-3}\,\text{N}$.
O peso vale
$mg=3\sqrt3\times10^{-4}\cdot10=3\sqrt3\times10^{-3}\,\text{N}$.
a) Na posição de equilíbrio a haste se alinha com a resultante do peso e da força elétrica. Assim,
$\tan\alpha_1=\dfrac{F_e}{mg}=\dfrac1{\sqrt3}$,
portanto $\alpha_1=30^\circ$, para o lado da placa negativa.
A direção de equilíbrio fica $30^\circ$ à esquerda da vertical, enquanto a posição inicial está $30^\circ$ à direita. A amplitude angular em torno da direção de equilíbrio é, portanto, $60^\circ$. O extremo oposto fica a $60^\circ$ do outro lado da posição de equilíbrio, isto é, com a haste horizontal:
$\alpha_2=90^\circ$.
b) Entre a posição inicial e a posição de equilíbrio, a esfera permanece à mesma altura; logo, o trabalho do peso é nulo. A tensão também não realiza trabalho. O deslocamento horizontal no sentido da força elétrica vale $d=0{,}40\,\text{m}$, portanto
$K=qEd=(2{,}0\times10^{-9})(1{,}5\times10^6)(0{,}40)=1{,}2\times10^{-3}\,\text{J}$.
Quando água pura é cuidadosamente resfriada, nas condições normais de pressão, pode permanecer no estado líquido até temperaturas inferiores a $0^\circ\text{C}$, num estado instável de “superfusão”. Se o sistema é perturbado, por exemplo, por vibração, parte da água se transforma em gelo e o sistema se aquece até se estabilizar em $0^\circ\text{C}$. O calor latente de fusão da água é $L=80\,\text{cal/g}$.
Considerando-se um recipiente termicamente isolado e de capacidade térmica desprezível, contendo um litro de água a $-5{,}6^\circ\text{C}$, à pressão normal, determine:
a) A quantidade, em g, de gelo formada, quando o sistema é perturbado e atinge uma situação de equilíbrio a $0^\circ\text{C}$.
b) A temperatura final de equilíbrio do sistema e a quantidade de gelo existente (considerando-se o sistema inicial no estado de “superfusão” a $-5{,}6^\circ\text{C}$), ao colocar-se, no recipiente, um bloco metálico de capacidade térmica $C=400\,\text{cal}/^\circ\text{C}$, na temperatura de $91^\circ\text{C}$.
Um litro de água corresponde a $1000\,\text{g}$.
a) Para aquecer a água superfusionada de $-5{,}6^\circ\text{C}$ até $0^\circ\text{C}$ são necessárias
$Q=mc\Delta T=1000\cdot1\cdot5{,}6=5600\,\text{cal}$.
Essa energia é fornecida pela solidificação de uma massa $m_g$:
$m_gL=5600\Rightarrow m_g=\dfrac{5600}{80}=70\,\text{g}$.
b) Tomando $0^\circ\text{C}$ como referência energética, a água inicialmente tem energia térmica $-5600\,\text{cal}$ e o bloco metálico tem $400\cdot91=36400\,\text{cal}$. Como o saldo é positivo, o equilíbrio final ocorre acima de $0^\circ\text{C}$ e não resta gelo. O balanço é
$1000(T_f+5{,}6)+400(T_f-91)=0$.
$1400T_f=30800\Rightarrow T_f=22^\circ\text{C}$.
Logo, a massa final de gelo é nula.
A figura representa, no plano do papel, uma região quadrada em que há um campo magnético uniforme de intensidade $B=9{,}0\,\text{T}$, direção normal à folha e sentido entrando nela. Considere, nesse plano, o circuito com resistência total de $2{,}0\,\Omega$, formado por duas barras condutoras e paralelas MN e PQ e fios de ligação. A barra PQ é fixa e a MN se move com velocidade constante $v=5{,}0\,\text{m/s}$. No instante $t=0\,\text{s}$ a barra MN se encontra em $x=0\,\text{m}$. Supondo que ela passe por cima da barra PQ (sem nela encostar) e que os fios não se embaralhem,
a) determine o valor $\varepsilon$, em volt, da força eletromotriz induzida no circuito quando MN está em $x=1{,}0\,\text{m}$.
b) determine o valor $F$ da força que age sobre a barra MN quando ela está em $x=1{,}0\,\text{m}$, devida à interação com o campo $\vec B$.
c) represente num gráfico o valor da força $F$ aplicada à barra MN, devida à interação com o campo $\vec B$, em função da posição $x$, no intervalo $0\mathrel{<}x\mathrel{<}3{,}0\,\text{m}$, indicando com clareza as escalas utilizadas.
A dimensão vertical da região de campo é $\ell=2{,}0\,\text{m}$.
a) Enquanto a barra MN atravessa o campo, a taxa de variação da área é $\ell v$. Assim,
$\varepsilon=B\ell v=9\cdot2\cdot5=90\,\text{V}$.
b) A corrente induzida vale
$i=\dfrac{\varepsilon}{R}=\dfrac{90}{2}=45\,\text{A}$.
A força magnética sobre a parte da barra imersa no campo é
$F=Bi\ell=9\cdot45\cdot2=8{,}1\times10^2\,\text{N}$.
Seu sentido é oposto ao movimento da barra, de acordo com a lei de Lenz.
c) Pela escala da figura, a região de campo ocupa $0{,}5\,\text{m}\mathrel{<}x\mathrel{<}2{,}5\,\text{m}$. Fora dela, a barra não sofre força magnética; dentro dela, o módulo da força permanece $810\,\text{N}$.
No circuito da figura, o componente D, ligado entre os pontos A e B, é um diodo. Esse dispositivo se comporta, idealmente, como uma chave controlada pela diferença de potencial entre seus terminais. Sejam $V_A$ e $V_B$ as tensões dos pontos A e B, respectivamente.
Se $V_B\mathrel{<}V_A$, o diodo se comporta como uma chave aberta, não deixando fluir nenhuma corrente através dele, e se $V_B\ge V_A$, o diodo se comporta como uma chave fechada, de resistência tão pequena que pode ser desprezada, ligando o ponto B ao ponto A. O resistor $R$ tem uma resistência variável de $0$ a $2\,\Omega$. Nesse circuito, determine o valor da:
a) Corrente $i$ através do resistor $R$, quando a sua resistência é $2\,\Omega$.
b) Corrente $i_0$ através do resistor $R$, quando a sua resistência é zero.
c) Resistência $R$ para a qual o diodo passa do estado de condução para o de não-condução e vice-versa.
a) Para $R=2\,\Omega$, supondo inicialmente o diodo aberto, a corrente na malha externa é
$i=\dfrac{20}{2+1+2}=4\,\text{A}$.
O potencial de A fica acima de $V_B=8\,\text{V}$, portanto $V_B\mathrel{<}V_A$ e a hipótese de diodo aberto é consistente. Logo, $i=4\,\text{A}$.
b) Para $R=0$, a hipótese de diodo aberto daria $i=20/(2+1)=20/3\,\text{A}$ e $V_A=20-(2)(20/3)=20/3\,\text{V}$, menor que $V_B=8\,\text{V}$. Portanto o diodo conduz e fixa $V_A=V_B=8\,\text{V}$. Assim, no ramo de $1\,\Omega$:
$i_0=\dfrac{8}{1}=8\,\text{A}$.
c) Na transição, $V_A=V_B=8\,\text{V}$. A corrente que chega a A pelo resistor de $2\,\Omega$ é
$i=\dfrac{20-8}{2}=6\,\text{A}$.
Essa mesma corrente deve atravessar o ramo $1\,\Omega+R$:
$6=\dfrac{8}{1+R}$.
$R=\dfrac13\,\Omega\approx0{,}33\,\Omega$.
Um tubo em forma de U, graduado em centímetros, de pequeno diâmetro, secção constante, aberto nas extremidades, contém dois líquidos I e II, incompressíveis, em equilíbrio, e que não se misturam. A densidade do líquido I é $\rho_I=1800\,\text{kg/m}^3$ e as alturas $h_I=20\,\text{cm}$ e $h_{II}=60\,\text{cm}$, dos respectivos líquidos, estão representadas na figura. A pressão atmosférica local vale $P_0=10^5\,\text{N/m}^2$.
a) Determine o valor da densidade $\rho_{II}$ do líquido II.
b) Faça um gráfico quantitativo da pressão $P$ nos líquidos, em função da posição ao longo do tubo, utilizando os eixos desenhados acima. Considere zero (0) o ponto médio da base do tubo; considere valores positivos as marcas no tubo à direita do zero e negativos, à esquerda.
c) Faça um gráfico quantitativo da pressão $P'$ nos líquidos, em função da posição ao longo do tubo, na situação em que, através de um êmbolo, empurra-se o líquido II até que os níveis dos líquidos nas colunas se igualem, ficando novamente em equilíbrio. Utilize os mesmos eixos do item b.
a) As pressões no fundo, calculadas pelos dois lados, são iguais:
$P_0+\rho_Igh_I=P_0+\rho_{II}gh_{II}$.
$\rho_{II}=\rho_I\dfrac{h_I}{h_{II}}=1800\dfrac{20}{60}=600\,\text{kg/m}^3$.
b) Na superfície livre esquerda, na posição $-40\,\text{cm}$, $P=P_0=1{,}000\times10^5\,\text{Pa}$. Descendo $20\,\text{cm}$ no líquido I:
$P=10^5+1800\cdot10\cdot0{,}20=1{,}036\times10^5\,\text{Pa}$.
Esse valor permanece constante ao longo da parte horizontal da base, de $-20\,\text{cm}$ a $+20\,\text{cm}$. Subindo $60\,\text{cm}$ no líquido II, a pressão decresce linearmente até $P_0$ na posição $+80\,\text{cm}$.
c) Como as áreas das duas colunas são iguais e os volumes dos líquidos se conservam, quando os níveis ficam iguais a altura de cada coluna é $40\,\text{cm}$. A interface passa a coincidir com a curva esquerda da base, na posição $-20\,\text{cm}$. No fundo:
$P'_{\text{base}}=P_0+\rho_Ig(0{,}40)=1{,}072\times10^5\,\text{Pa}$.
A pressão aplicada pelo êmbolo na superfície direita é
$P_e=P'_{\text{base}}-\rho_{II}g(0{,}40)=1{,}048\times10^5\,\text{Pa}$.
Assim, a superfície esquerda está na posição $-60\,\text{cm}$ com pressão $P_0$; a base, de $-20$ a $+20\,\text{cm}$, está a $1{,}072\times10^5\,\text{Pa}$; e a superfície direita, em $+60\,\text{cm}$, está a $1{,}048\times10^5\,\text{Pa}$.
A foto foi publicada recentemente na imprensa, com a legenda: “REFLEXOS”: Yoko Ono “ENTRA” em uma de suas obras.
Um estudante, procurando entender como essa foto foi obtida, fez o esquema mostrado na folha de resposta, no qual representou Yoko Ono, vista de cima, sobre um plano horizontal e identificada como o objeto O. A letra d representa seu lado direito e a letra e seu lado esquerdo. A câmara fotográfica foi representada por uma lente L, delgada e convergente, localizada no ponto médio entre O e o filme fotográfico. Ela focaliza as 5 imagens ($I_0$, $I_1$, $I_2$, $I'_1$ e $I'_2$, todas de mesmo tamanho) de O sobre o filme. Assim, no esquema apresentado na folha de resposta:
a) Represente um ou mais espelhos planos que possibilitem obter a imagem $I_1$. Identifique cada espelho com a letra E.
b) Represente um ou mais espelhos planos que possibilitem obter a imagem $I'_1$. Identifique cada espelho com a letra E'.
c) Trace, com linhas cheias, as trajetórias de 3 raios, partindo do extremo direito (d) do objeto O e terminando nos correspondentes extremos das três imagens $I_0$, $I_1$ e $I_2$. Os prolongamentos dos raios, usados como auxiliares na construção, devem ser tracejados.
As cinco imagens têm o mesmo tamanho e estão igualmente espaçadas. Isso é obtido colocando dois espelhos planos paralelos ao eixo óptico da lente, em lados opostos desse eixo.
a) O espelho E deve ser traçado paralelo ao eixo óptico, no lado que produz, por uma única reflexão, a imagem $I_1$. A reflexão de O nesse espelho gera um objeto virtual à mesma distância atrás do espelho; como o espelho é paralelo ao eixo, esse objeto virtual permanece à mesma distância axial da lente que O.
b) O espelho E' é traçado paralelamente ao eixo, do lado oposto, produzindo por uma reflexão a imagem $I'_1$.
c) A construção dos raios pode ser feita por imagens sucessivas. O raio associado a $I_0$ vai diretamente de d à lente e ao filme, sem reflexão. Para $I_1$, substitui-se a reflexão em E pelo prolongamento do raio até a imagem virtual de d formada por E; o ponto em que essa reta encontra E determina o ponto de reflexão. Para $I_2$, usa-se a imagem virtual obtida por duas reflexões sucessivas nos espelhos E e E'. Em todos os casos, um raio que atravessa o centro óptico da lente não sofre desvio.
Portanto, $I_0$ é formada sem reflexão, $I_1$ com uma reflexão e $I_2$ com duas reflexões sucessivas; de modo simétrico aparecem $I'_1$ e $I'_2$.
Um veículo para competição de aceleração (drag racing) tem massa $M=1100\,\text{kg}$, motor de potência máxima $P=2{,}64\times10^6\,\text{W}$ ($\sim3500$ cavalos) e possui um aerofólio que lhe imprime uma força aerodinâmica vertical para baixo, $F_a$, desprezível em baixas velocidades. Tanto em altas quanto em baixas velocidades, a força vertical que o veículo aplica à pista horizontal está praticamente concentrada nas rodas motoras traseiras, de $0{,}40\,\text{m}$ de raio. Os coeficientes de atrito estático e dinâmico, entre os pneus e a pista, são iguais e valem $\mu=0{,}50$. Determine:
a) A máxima aceleração do veículo quando sua velocidade é de $120\,\text{m/s}$ ($432\,\text{km/h}$), supondo que não haja escorregamento entre as rodas traseiras e a pista. Despreze a força horizontal de resistência do ar.
b) O mínimo valor da força vertical $F_a$, aplicada ao veículo pelo aerofólio, nas condições da questão anterior.
c) A potência desenvolvida pelo motor no momento da largada, quando: a velocidade angular das rodas traseiras é $\omega=600\,\text{rad/s}$, a velocidade do veículo é desprezível e as rodas estão escorregando (derrapando) sobre a pista.
a) Na velocidade dada, a aceleração máxima é limitada pela potência disponível:
$P=Fv=Mav$.
$a=\dfrac{2{,}64\times10^6}{1100\cdot120}=20\,\text{m/s}^2$.
b) Para não haver escorregamento, a força de atrito necessária $Ma$ não pode superar $\mu N$. Na condição mínima:
$Ma=\mu(Mg+F_a)$.
$F_a=M\left(\dfrac a\mu-g\right)=1100\left(\dfrac{20}{0{,}50}-10\right)=3{,}3\times10^4\,\text{N}$.
c) Na largada, o efeito do aerofólio é desprezível e as rodas derrapam. Assim,
$F_{at}=\mu Mg=0{,}50\cdot1100\cdot10=5{,}5\times10^3\,\text{N}$.
A velocidade tangencial da superfície do pneu é
$v_t=\omega r=600\cdot0{,}40=240\,\text{m/s}$.
A potência desenvolvida é
$P=F_{at}v_t=(5{,}5\times10^3)(240)=1{,}32\times10^6\,\text{W}$.