Um elevador, aberto em cima, vindo do subsolo de um edifício, sobe mantendo sempre uma velocidade constante $V_e=5{,}0\,\text{m/s}$. Quando o piso do elevador passa pelo piso do térreo, um dispositivo colocado no piso do elevador lança verticalmente, para cima, uma bolinha, com velocidade inicial $v_b=10{,}0\,\text{m/s}$, em relação ao elevador. Na figura, $h$ e $h'$ representam, respectivamente, as alturas da bolinha em relação aos pisos do elevador e do térreo e $H$ representa a altura do piso do elevador em relação ao piso do térreo. No instante $t=0$ do lançamento da bolinha, $H=h=h'=0$.
a) No sistema de coordenadas da folha de respostas, construa e identifique os gráficos $H(t)$, $h(t)$ e $h'(t)$, entre o instante $t=0$ e o instante em que a bolinha retorna ao piso do elevador.
b) Indique o instante $t_{max}$ em que a bolinha atinge sua altura máxima, em relação ao piso do andar térreo.
Em relação ao elevador, a bolinha é lançada com $10\,\text{m/s}$ e sofre aceleração $-g$. Portanto,
$h(t)=10t-5t^2$.
Ela retorna ao piso quando $h=0$, isto é, em $t=2\,\text{s}$. O piso do elevador sobe uniformemente:
$H(t)=5t$.
No referencial do prédio, a velocidade inicial da bolinha é $15\,\text{m/s}$, logo
$h'(t)=15t-5t^2$.
A altura máxima em relação ao térreo ocorre quando $v'=15-10t=0$, portanto $t_{max}=1{,}5\,\text{s}$.
Um observador O olha-se em um espelho plano vertical, pela abertura de uma porta, com $1\,\text{m}$ de largura, paralela ao espelho, conforme a figura abaixo e o esquema da folha de respostas. Segurando uma régua longa, ele a mantém na posição horizontal, paralela ao espelho e na altura dos ombros, para avaliar os limites da região que consegue enxergar através do espelho (limite D, à sua direita, e limite E, à sua esquerda).
a) No esquema da folha de respostas, trace os raios que, partindo dos limites D e E da região visível da régua, atingem os olhos do observador O. Construa a solução, utilizando linhas cheias para indicar esses raios e linhas tracejadas para prolongamentos de raios ou outras linhas auxiliares. Indique, com uma flecha, o sentido de percurso da luz.
b) Identifique D e E no esquema, estimando, em metros, a distância $L$ entre esses dois pontos da régua.
Substituímos a reflexão no espelho pela imagem virtual $O'$ do observador. Os raios-limite são as retas que passam pelas duas bordas da abertura da porta e chegam a $O'$.
Pela escala do desenho, a régua/observador está a aproximadamente $3\,\text{m}$ do espelho, enquanto a parede da porta está a aproximadamente $1\,\text{m}$ do espelho. A imagem $O'$ fica $3\,\text{m}$ atrás do espelho. Assim, a distância régua-$O'$ é $6\,\text{m}$ e a distância parede-$O'$ é $4\,\text{m}$.
Por semelhança de triângulos, a abertura de $1\,\text{m}$ corresponde, na régua, a
$\dfrac{1}{L}=\dfrac{4}{6}\Rightarrow L=1{,}5\,\text{m}$.
Uma pista é formada por duas rampas inclinadas, A e B, e por uma região horizontal de comprimento $L$. Soltando-se, na rampa A, de uma altura $H_A$, um bloco de massa $m$, verifica-se que ele atinge uma altura $H_B$ na rampa B, em experimento realizado na Terra. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a pista é nulo nas rampas e igual a $\mu$ na região horizontal.
Suponha que esse mesmo experimento seja realizado em Marte, onde a aceleração da gravidade é $g_M\simeq g/3$, e considere que o bloco seja solto na mesma rampa A e da mesma altura $H_A$. Determine:
a) a razão $R_a=v_{A\,Terra}/v_{A\,Marte}$, entre as velocidades do bloco no final da rampa A.
b) a razão $R_b=W_{Terra}/W_{Marte}$, entre as energias mecânicas dissipadas pela força de atrito na região horizontal.
c) a razão $R_c=H_{B\,Terra}/H_{B\,Marte}$, entre as alturas que o bloco atinge na rampa B.
a) Na descida sem atrito, $v_A=\sqrt{2gH_A}$. Como $g_M=g/3$,
$R_a=\sqrt{g/g_M}=\sqrt3$.
b) No trecho horizontal, $W_{diss}=\mu mgL$. Logo, $R_b=g/g_M=3$.
c) Para o percurso completo,
$mgH_A-\mu mgL=mgH_B$.
Cancelando $mg$, resulta $H_B=H_A-\mu L$, expressão independente de $g$. Portanto $R_c=1$.
Uma caixa C, parada sobre uma superfície horizontal, tem em seu interior um bloco B, que pode deslizar sem atrito e colidir elasticamente com ela. O bloco e a caixa têm massas iguais, sendo $m_C=m_B=20\,\text{kg}$. Na situação representada na figura, no instante $t=0$, é dado um empurrão na caixa, que passa a se mover, sem atrito, com velocidade inicial $v_0=15\,\text{cm/s}$.
O bloco e a parede esquerda da caixa colidem no instante $t_1=2\,\text{s}$, passando o bloco, depois, a colidir sucessivamente com as paredes direita e esquerda da caixa, em intervalos de tempo $\Delta t$ iguais.
a) Determine os intervalos de tempo $\Delta t$.
b) Construa os gráficos: quantidade de movimento $Q_C$ da caixa em função do tempo; quantidade de movimento $Q_B$ do bloco em função do tempo; energia total $E$ do sistema em função do tempo. Em todos os gráficos, considere pelo menos quatro colisões e indique valores e unidades nos eixos verticais.
Como a colisão é elástica e as massas são iguais, em cada choque bloco e caixa trocam suas velocidades. O corpo que vinha com $15\,\text{cm/s}$ para e o outro passa a mover-se com essa velocidade.
Depois do primeiro choque, a distância a vencer até a parede oposta é $60\,\text{cm}$. Assim,
$\Delta t=\dfrac{60}{15}=4\,\text{s}$.
O módulo da quantidade de movimento do corpo que está se movendo é
$Q=mv=20\cdot0{,}15=3{,}0\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
As colisões ocorrem em $t=2,6,10,14,18,\ldots\,\text{s}$, e $Q_C$ e $Q_B$ alternam entre $3$ e $0$. A energia total é constante:
$E=\dfrac12(20)(0{,}15)^2=0{,}225\,\text{J}$.
Uma determinada máquina pneumática aplica, por meio da haste H, uma força para cima e para baixo sobre um mecanismo externo. A haste H interliga dois êmbolos, de áreas $S_1=1{,}2\,\text{m}^2$ e $S_2=3{,}6\,\text{m}^2$, que podem mover-se em dois cilindros coaxiais, ao longo de um comprimento $L=0{,}50\,\text{m}$, limitado por pinos (E). O conjunto (êmbolos e haste) tem massa $M=8000\,\text{kg}$.
Os êmbolos separam três regiões: câmara C, mantida sempre em vácuo; câmara B, entre esses dois êmbolos; região A, aberta ao ambiente. A câmara B pode se comunicar com o ambiente, por um registro $R_1$, e com um reservatório de ar comprimido, à pressão constante $P=5{,}0\times10^5\,\text{Pa}$, por meio de um registro $R_2$.
Inicialmente, com o registro $R_1$ aberto e $R_2$ fechado, os êmbolos deslocam-se lentamente para cima, puxando o mecanismo externo com uma força constante $F_C$. No final do percurso, $R_1$ é fechado e $R_2$ aberto, de forma que os êmbolos deslocam-se para baixo, empurrando o mecanismo externo com uma força constante $F_B$. Considere a temperatura como constante e a pressão ambiente como $P_0=1{,}0\times10^5\,\text{Pa}$.
Determine: a) a intensidade, em N, da força $F_C$; b) a intensidade, em N, da força $F_B$; c) o trabalho $T$, sobre o mecanismo externo, em J, em um ciclo completo.
Para o conjunto de êmbolos, a resultante das pressões é $P_0S_2+P_BS_1-P_BS_2$.
a) Na subida lenta, $P_B=P_0$. A força líquida de pressão é $P_0S_1$. Em equilíbrio dinâmico:
$F_C=P_0S_1-Mg=10^5(1{,}2)-8000(10)=4{,}0\times10^4\,\text{N}$.
b) Na descida, $P_B=P=5{,}0\times10^5\,\text{Pa}$. O módulo da força sobre o mecanismo é
$F_B=Mg+P(S_2-S_1)-P_0S_2$
$F_B=8{,}0\times10^4+5{,}0\times10^5(2{,}4)-10^5(3{,}6)=9{,}2\times10^5\,\text{N}$.
c) Em ambos os trechos a força da máquina tem o mesmo sentido do deslocamento do mecanismo. Logo,
$T=(F_C+F_B)L=(4{,}0\times10^4+9{,}2\times10^5)(0{,}50)=4{,}8\times10^5\,\text{J}$.
Uma experiência é realizada para estimar o calor específico de um bloco de material desconhecido, de massa $m_b=5{,}4\,\text{kg}$. Em recipiente de isopor, uma quantidade de água é aquecida por uma resistência elétrica $R=40\,\Omega$, ligada a uma fonte de $120\,\text{V}$. Nessas condições, e com os devidos cuidados experimentais, é medida a variação da temperatura $T$ da água, em função do tempo $t$, obtendo-se a reta A do gráfico. A seguir, repete-se a experiência desde o início, desta vez colocando o bloco imerso dentro d'água, obtendo-se a reta B do gráfico.
a) Estime a massa $M$, em kg, da água colocada no recipiente.
b) Estime o calor específico $c_b$ do bloco, explicitando claramente as unidades utilizadas.
A potência elétrica é $P=V^2/R=120^2/40=360\,\text{W}$. Com $1\,\text{cal}\simeq4\,\text{J}$, isso corresponde a $90\,\text{cal/s}=5400\,\text{cal/min}$.
a) Pela reta A, a temperatura cresce aproximadamente $20\,{}^\circ\text{C}$ em $15\,\text{min}$, isto é, $dT/dt\approx4/3\,{}^\circ\text{C/min}$. Como $P=Mc\,dT/dt$ e $c_{água}=1\,\text{cal/(g}\cdot{}^\circ\text{C)}$:
$M\approx\dfrac{5400}{4/3}=4050\,\text{g}\approx4{,}0\,\text{kg}$.
b) Na reta B, $dT/dt\approx1\,{}^\circ\text{C/min}$, portanto a capacidade térmica total é aproximadamente $5400\,\text{cal}/{}^\circ\text{C}$. A água responde por cerca de $4050\,\text{cal}/{}^\circ\text{C}$; o bloco, por $1350\,\text{cal}/{}^\circ\text{C}$. Logo,
$c_b\approx\dfrac{1350}{5400}=0{,}25\,\text{cal/(g}\cdot{}^\circ\text{C)}\approx1{,}0\times10^3\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.
Uma bolinha de isopor é mantida submersa, em um tanque, por um fio preso ao fundo. O tanque contém um líquido de densidade $\rho$ igual à da água. A bolinha, de volume $V=200\,\text{cm}^3$ e massa $m=40\,\text{g}$, tem seu centro mantido a uma distância $H_0=50\,\text{cm}$ da superfície. Cortando o fio, observa-se que a bolinha sobe, salta fora do líquido, e que seu centro atinge uma altura $h=30\,\text{cm}$ acima da superfície. Desprezando os efeitos do ar, determine:
a) A altura $h'$, acima da superfície, que o centro da bolinha atingiria, se não houvesse perda de energia mecânica.
b) A energia mecânica $E$, em joules, dissipada entre a situação inicial e a final.
O empuxo enquanto a bolinha sobe até a superfície vale $E_p=\rho Vg=2{,}0\,\text{N}$. O trabalho do empuxo ao longo de $H_0=0{,}50\,\text{m}$ é $1{,}0\,\text{J}$.
a) Sem dissipação, esse trabalho corresponde ao aumento da energia potencial gravitacional desde $-H_0$ até $h'$:
$1{,}0=mg(H_0+h')=0{,}040\cdot10(0{,}50+h')$.
Daí, $h'=2{,}0\,\text{m}$.
b) Na situação real, a altura final é $h=0{,}30\,\text{m}$. A energia dissipada é a diferença entre as energias potenciais finais ideal e real:
$E_{diss}=mg(h'-h)=0{,}040\cdot10(2{,}0-0{,}30)=0{,}68\,\text{J}$.
Uma partícula, de massa $m$ e com carga elétrica $Q$, cai verticalmente com velocidade constante $v_0$. Nessas condições, a força de resistência do ar pode ser considerada como $R_{ar}=kv$, sendo $k$ uma constante e $v$ a velocidade. A partícula penetra, então, em uma região onde atua um campo magnético uniforme e constante $B$, perpendicular ao plano do papel e, nele entrando, conforme a figura. A velocidade da partícula é, então, alterada, adquirindo, após certo intervalo de tempo, um novo valor $v_L$, constante.
a) Expresse o valor da constante $k$ em função de $m$, $g$ e $v_0$.
b) Esquematize os vetores das forças (Peso, $R_{ar}$ e $F_M$) que agem sobre a partícula, em presença do campo $B$, na situação em que a velocidade passa a ser a velocidade $v_L$. Represente, por uma linha tracejada, direção e sentido de $v_L$.
c) Expresse o valor da velocidade $v_L$ da partícula, na região onde atua o campo $B$, em função de $m$, $g$, $k$, $B$ e $Q$.
a) Antes de entrar no campo, a velocidade é constante. Logo, $mg=kv_0$ e
$k=\dfrac{mg}{v_0}$.
b) Na nova velocidade limite, o peso aponta verticalmente para baixo; a resistência do ar é oposta a $\vec v_L$; e a força magnética é perpendicular a $\vec v_L$. Para $Q>0$, a trajetória terminal inclina-se para a direita; para $Q<0$, a figura é espelhada lateralmente.
c) Como $R_{ar}$ e $F_M$ são perpendiculares, na condição de velocidade constante a resultante dessas duas forças equilibra o peso:
$(mg)^2=(kv_L)^2+(|Q|Bv_L)^2$.
Portanto,
$v_L=\dfrac{mg}{\sqrt{k^2+Q^2B^2}}$.
Um painel de células solares funciona como um gerador, transformando energia luminosa em energia elétrica. Quando, sobre a área de captação do painel, de $2\,\text{m}^2$, incide uma densidade superficial de potência luminosa de $400\,\text{W/m}^2$, obtém-se uma relação entre $I$ (corrente) e $V$ (tensão), conforme gráfico abaixo. Os valores de $I$ e $V$ são os indicados pelo amperímetro A e pelo voltímetro V, no circuito esquematizado, variando-se $R$ em uma ampla faixa de valores. Nas aplicações práticas, substitui-se a resistência por um aparelho elétrico.
a) Construa um esboço do gráfico da potência fornecida pelo painel solar em função da tensão entre seus terminais.
b) Estime a eficiência máxima $\eta_{max}$ de transformação de energia solar em energia elétrica do painel.
c) Estime a resistência $R_{max}$, quando a potência elétrica gerada pelo painel for máxima.
A potência elétrica é $P=VI$. Usando os valores lidos aproximadamente na curva $I\times V$, a potência cresce quase linearmente no início, atinge um máximo na região de $V\approx14$ a $15\,\text{V}$ e depois cai rapidamente a zero perto de $20\,\text{V}$.
b) Do gráfico, $P_{max}\approx32\,\text{W}$. A potência luminosa incidente é
$P_{luz}=400\cdot2=800\,\text{W}$.
Assim, $\eta_{max}\approx32/800\approx0{,}04$, ou cerca de $4\%$.
c) No ponto de máxima potência, $V\approx14$ a $15\,\text{V}$ e $I\approx2{,}2$ a $2{,}3\,\text{A}$. Logo,
$R_{max}=V/I\approx6$ a $7\,\Omega$.
Na figura mostrada na folha de respostas, estão representadas as superfícies equipotenciais do potencial eletrostático criado por duas esferas carregadas $S_1$ e $S_2$. Os centros das esferas estão sobre a reta $OO'$. A diferença de potencial entre duas linhas sucessivas é de $1\,\text{V}$, e as equipotenciais de $-3\,\text{V}$ e $-4\,\text{V}$ estão indicadas no gráfico.
a) Identifique os sinais das cargas elétricas $Q_1$ e $Q_2$ nas esferas $S_1$ e $S_2$. Indique a relação entre os módulos das cargas $|Q_1|$ e $|Q_2|$, utilizando os símbolos >, < ou =.
b) Represente, na figura, direção e sentido do vetor campo elétrico $\vec E$ no ponto A.
c) Estime o valor do campo elétrico $E$ no ponto A, em N/C, utilizando a escala de distâncias indicada na figura.
d) Se existirem um ou mais pontos em que o campo elétrico seja nulo, demarque, com a letra N, aproximadamente, a região onde isso acontece. Se em nenhum ponto o campo for nulo, registre: “Em nenhum ponto o campo é nulo”.
a) Os potenciais indicados são negativos e tornam-se mais negativos ao aproximar-se das esferas; portanto, ambas as cargas são negativas. A deformação das equipotenciais mostra que a influência de $S_2$ é maior, logo $|Q_1|\mathrel{<}|Q_2|$.
b) O campo elétrico é perpendicular à equipotencial e aponta no sentido de potencial decrescente. Em A, aponta aproximadamente para baixo e para a direita, em direção às cargas, com maior componente para $S_2$.
c) Próximo de A, duas equipotenciais consecutivas estão separadas, na direção normal, por cerca de $0{,}5\,\text{cm}=5\times10^{-3}\,\text{m}$. Assim,
$E\approx\dfrac{\Delta V}{\Delta s}\approx\dfrac{1}{5\times10^{-3}}\approx2\times10^2\,\text{N/C}$.
d) Como as cargas têm o mesmo sinal, existe um ponto de campo nulo entre elas, sobre $OO'$, mais próximo da carga de menor módulo, $S_1$.
