Um elevador, aberto em cima, vindo do subsolo de um edifício, sobe mantendo sempre uma velocidade constante $V_e=5{,}0\text{ m/s}$. Quando o piso do elevador passa pelo piso do térreo, um dispositivo colocado no piso do elevador lança verticalmente, para cima, uma bolinha, com velocidade inicial $v_b=10{,}0\text{ m/s}$, em relação ao elevador. Na figura, $h$ e $h'$ representam, respectivamente, as alturas da bolinha em relação aos pisos do elevador e do térreo e $H$ representa a altura do piso do elevador em relação ao piso do térreo. No instante $t=0$ do lançamento da bolinha, $H=h=h'=0$.
a) No sistema de coordenadas da folha de respostas, construa e identifique os gráficos $H(t)$, $h(t)$ e $h'(t)$, entre o instante $t=0$ e o instante em que a bolinha retorna ao piso do elevador.
b) Indique o instante $t_{max}$ em que a bolinha atinge sua altura máxima, em relação ao piso do andar térreo.
Em relação ao elevador, a bolinha é lançada com $10\text{ m/s}$ e sofre aceleração $-g$. Portanto,
$h(t)=10t-5t^2$.
Ela retorna ao piso quando $h=0$, isto é, em $t=2\text{ s}$. O piso do elevador sobe uniformemente:
$H(t)=5t$.
No referencial do prédio, a velocidade inicial da bolinha é $15\text{ m/s}$, logo
$h'(t)=15t-5t^2$.
A altura máxima em relação ao térreo ocorre quando $v'=15-10t=0$, portanto $t_{max}=1{,}5\text{ s}$.
Um observador O olha-se em um espelho plano vertical, pela abertura de uma porta, com $1\text{ m}$ de largura, paralela ao espelho, conforme a figura abaixo e o esquema da folha de respostas. Segurando uma régua longa, ele a mantém na posição horizontal, paralela ao espelho e na altura dos ombros, para avaliar os limites da região que consegue enxergar através do espelho (limite D, à sua direita, e limite E, à sua esquerda).
a) No esquema da folha de respostas, trace os raios que, partindo dos limites D e E da região visível da régua, atingem os olhos do observador O. Construa a solução, utilizando linhas cheias para indicar esses raios e linhas tracejadas para prolongamentos de raios ou outras linhas auxiliares. Indique, com uma flecha, o sentido de percurso da luz.
b) Identifique D e E no esquema, estimando, em metros, a distância $L$ entre esses dois pontos da régua.
Substituímos a reflexão no espelho pela imagem virtual $O'$ do observador. Os raios-limite são as retas que passam pelas duas bordas da abertura da porta e chegam a $O'$.
Pela escala do desenho, a régua/observador está a aproximadamente $3\text{ m}$ do espelho, enquanto a parede da porta está a aproximadamente $1\text{ m}$ do espelho. A imagem $O'$ fica $3\text{ m}$ atrás do espelho. Assim, a distância régua-$O'$ é $6\text{ m}$ e a distância parede-$O'$ é $4\text{ m}$.
Por semelhança de triângulos, a abertura de $1\text{ m}$ corresponde, na régua, a
$\dfrac{1}{L}=\dfrac{4}{6}\Rightarrow L=1{,}5\text{ m}$.
Uma pista é formada por duas rampas inclinadas, A e B, e por uma região horizontal de comprimento $L$. Soltando-se, na rampa A, de uma altura $H_A$, um bloco de massa $m$, verifica-se que ele atinge uma altura $H_B$ na rampa B (conforme figura), em experimento realizado na Terra. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a pista é nulo nas rampas e igual a $\mu$ na região horizontal.
Suponha que esse mesmo experimento seja realizado em Marte, onde a aceleração da gravidade é $g_M\simeq g/3$, e considere que o bloco seja solto na mesma rampa A e da mesma altura $H_A$. Determine:
a) a razão $R_a=v_{ATerra}/v_{AMarte}$, entre as velocidades do bloco no final da rampa A (ponto A), em cada uma das experiências (Terra e Marte).
b) a razão $R_b=W_{Terra}/W_{Marte}$, entre as energias mecânicas dissipadas pela força de atrito na região horizontal, em cada uma das experiências (Terra e Marte).
c) a razão $R_c=H_{BTerra}/H_{BMarte}$, entre as alturas que o bloco atinge na rampa B, em cada uma das experiências (Terra e Marte).
a) Na descida sem atrito, $v_A=\sqrt{2gH_A}$. Como $g_M=g/3$,
$R_a=\sqrt{g/g_M}=\sqrt3$.
b) No trecho horizontal, $W_{diss}=\mu mgL$. Logo, $R_b=g/g_M=3$.
c) Para o percurso completo,
$mgH_A-\mu mgL=mgH_B$.
Cancelando $mg$, resulta $H_B=H_A-\mu L$, expressão independente de $g$. Portanto $R_c=1$.
Uma caixa C, parada sobre uma superfície horizontal, tem em seu interior um bloco B, que pode deslizar sem atrito e colidir elasticamente com ela. O bloco e a caixa têm massas iguais, sendo $m_C=m_B=20\text{ kg}$. Na situação representada na figura, no instante $t=0$, é dado um empurrão na caixa, que passa a se mover, sem atrito, com velocidade inicial $v_0=15\text{ cm/s}$.
O bloco e a parede esquerda da caixa colidem no instante $t_1=2\text{ s}$, passando o bloco, depois, a colidir sucessivamente com as paredes direita e esquerda da caixa, em intervalos de tempo $\Delta t$ iguais.
a) Determine os intervalos de tempo $\Delta t$.
b) Construa, nos sistemas de coordenadas da folha de respostas, os gráficos abaixo: quantidade de movimento $Q_C$ da caixa em função do tempo; quantidade de movimento $Q_B$ do bloco em função do tempo; energia total $E$ do sistema em função do tempo. Em todos os gráficos, considere pelo menos quatro colisões e indique valores e unidades nos eixos verticais.
Como a colisão é elástica e as massas são iguais, em cada choque bloco e caixa trocam suas velocidades. O corpo que vinha com $15\text{ cm/s}$ para e o outro passa a mover-se com essa velocidade.
Depois do primeiro choque, a distância a vencer até a parede oposta é $60\text{ cm}$. Assim,
$\Delta t=\dfrac{60}{15}=4\text{ s}$.
O módulo da quantidade de movimento do corpo que está se movendo é
$Q=mv=20\cdot0{,}15=3{,}0\text{ kg}\cdot\text{m/s}$.
As colisões ocorrem em $t=2,6,10,14,18,\ldots\text{ s}$, e $Q_C$ e $Q_B$ alternam entre $3$ e $0$. A energia total é constante:
$E=\dfrac12(20)(0{,}15)^2=0{,}225\text{ J}$.
A distância entre as faces internas da caixa é 90 cm e a largura do bloco é 30 cm. Assim, o espaço percorrido em cada travessia é $L_0-\ell=60\ \mathrm{cm}$; não é a distância entre os centros.
Uma determinada máquina pneumática aplica, por meio da haste H, uma força para cima e para baixo sobre um mecanismo externo. A haste H interliga dois êmbolos, de áreas $S_1=1{,}2\text{ m}^2$ e $S_2=3{,}6\text{ m}^2$, que podem mover-se em dois cilindros coaxiais, ao longo de um comprimento $L=0{,}50\text{ m}$, limitado por pinos (E). O conjunto (êmbolos e haste) tem massa $M=8000\text{ kg}$.
Os êmbolos separam três regiões: câmara C, mantida sempre em vácuo; câmara B, entre esses dois êmbolos; região A, aberta ao ambiente. A câmara B pode se comunicar com o ambiente, por um registro $R_1$, e com um reservatório de ar comprimido, à pressão constante $P=5{,}0\times10^5\text{ Pa}$, por meio de um registro $R_2$.
Inicialmente, com o registro $R_1$ aberto e $R_2$ fechado, os êmbolos deslocam-se lentamente para cima, puxando o mecanismo externo com uma força constante $F_C$. No final do percurso, $R_1$ é fechado e $R_2$ aberto, de forma que os êmbolos deslocam-se para baixo, empurrando o mecanismo externo com uma força constante $F_B$. Considere a temperatura como constante e a pressão ambiente como $P_0=1{,}0\times10^5\text{ Pa}$. Lembre-se de que $1\text{ Pa}=1\text{ N/m}^2$.
Determine: a) a intensidade, em N, da força $F_C$; b) a intensidade, em N, da força $F_B$; c) o trabalho $T$, sobre o mecanismo externo, em J, em um ciclo completo.
Para o conjunto de êmbolos, a resultante das pressões é $P_0S_2+P_BS_1-P_BS_2$.
a) Na subida lenta, $P_B=P_0$. A força líquida de pressão é $P_0S_1$. Em equilíbrio dinâmico:
$F_C=P_0S_1-Mg=10^5(1{,}2)-8000(10)=4{,}0\times10^4\text{ N}$.
b) Na descida, $P_B=P=5{,}0\times10^5\text{ Pa}$. O módulo da força sobre o mecanismo é
$F_B=Mg+P(S_2-S_1)-P_0S_2$
$F_B=8{,}0\times10^4+5{,}0\times10^5(2{,}4)-10^5(3{,}6)=9{,}2\times10^5\text{ N}$.
c) Em ambos os trechos a força da máquina tem o mesmo sentido do deslocamento do mecanismo. Logo,
$T=(F_C+F_B)L=(4{,}0\times10^4+9{,}2\times10^5)(0{,}50)=4{,}8\times10^5\text{ J}$.
Uma experiência é realizada para estimar o calor específico de um bloco de material desconhecido, de massa $m_b=5{,}4\text{ kg}$. Em recipiente de isopor, uma quantidade de água é aquecida por uma resistência elétrica $R=40\Omega$, ligada a uma fonte de $120\text{ V}$. Nessas condições, e com os devidos cuidados experimentais, é medida a variação da temperatura $T$ da água, em função do tempo $t$, obtendo-se a reta A do gráfico. A seguir, repete-se a experiência desde o início, desta vez colocando o bloco imerso dentro d'água, obtendo-se a reta B do gráfico.
a) Estime a massa $M$, em kg, da água colocada no recipiente.
b) Estime o calor específico $c_b$ do bloco, explicitando claramente as unidades utilizadas.
A potência elétrica é $P=V^2/R=120^2/40=360\text{ W}$. Com $1\text{ cal}\simeq4\text{ J}$, isso corresponde a $90\text{ cal/s}=5400\text{ cal/min}$.
a) Pela reta A, a temperatura aumenta aproximadamente $20{}^\circ\text{C}$ em $15\text{ min}$. Portanto, em cada minuto o aumento médio é $\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=\dfrac{20}{15}=\dfrac43{}^\circ\text{C/min}$. Em $15\text{ min}$, a energia fornecida é $Q=P\Delta t=5400\cdot15\text{ cal}$. Como $Q=Mc\Delta T$ e $c_{\text{água}}=1\text{ cal/(g}\cdot{}^\circ\text{C)}$:
$M=\dfrac{5400\cdot15}{20}\approx4050\text{ g}\approx4{,}0\text{ kg}$.
b) Pela reta B, a temperatura aumenta cerca de $15{}^\circ\text{C}$ em $15\text{ min}$. Assim, a capacidade térmica total do conjunto é $C=\dfrac{Q}{\Delta T}=\dfrac{5400\cdot15}{15}=5400\text{ cal}/{}^\circ\text{C}$. A água contribui com aproximadamente $4050\text{ cal}/{}^\circ\text{C}$; portanto, o bloco contribui com cerca de $1350\text{ cal}/{}^\circ\text{C}$. Logo,
$c_b\approx\dfrac{1350}{5400}=0{,}25\text{ cal/(g}\cdot{}^\circ\text{C)}\approx1{,}0\times10^3\text{ J/(kg}\cdot\text{K)}$.
Uma leitura alternativa, nas marcas principais, dá aproximadamente 20 °C em 15 min para A e 15 °C em 15 min para B. A estimativa $M=4{,}05\ \mathrm{kg}$ deve ser mantida até calcular o calor específico; o valor apresentado de 4,0 kg é arredondado.
Uma bolinha de isopor é mantida submersa, em um tanque, por um fio preso ao fundo. O tanque contém um líquido de densidade $\rho$ igual à da água. A bolinha, de volume $V=200\text{ cm}^3$ e massa $m=40\text{ g}$, tem seu centro mantido a uma distância $H_0=50\text{ cm}$ da superfície. Cortando o fio, observa-se que a bolinha sobe, salta fora do líquido, e que seu centro atinge uma altura $h=30\text{ cm}$ acima da superfície. Desprezando os efeitos do ar, determine:
a) A altura $h'$, acima da superfície, que o centro da bolinha atingiria, se não houvesse perda de energia mecânica (devida, por exemplo, à produção de calor, ao movimento da água, etc.).
b) A energia mecânica $E$, em joules, dissipada entre a situação inicial e a final.
O empuxo enquanto a bolinha sobe até a superfície vale $E_p=\rho Vg=2{,}0\text{ N}$. O trabalho do empuxo ao longo de $H_0=0{,}50\text{ m}$ é $1{,}0\text{ J}$.
a) Sem dissipação, esse trabalho corresponde ao aumento da energia potencial gravitacional desde $-H_0$ até $h'$:
$1{,}0=mg(H_0+h')=0{,}040\cdot10(0{,}50+h')$.
Daí, $h'=2{,}0\text{ m}$.
b) Na situação real, a altura final é $h=0{,}30\text{ m}$. A energia dissipada é a diferença entre as energias potenciais finais ideal e real:
$E_{diss}=mg(h'-h)=0{,}040\cdot10(2{,}0-0{,}30)=0{,}68\text{ J}$.
Ao atravessar a superfície, a imersão diminui progressivamente. O trabalho total do empuxo até a saída completa continua sendo $\rho gVH_0$: a contribuição da saída parcial compensa a redução da imersão no trecho final. Não se deve manter o empuxo máximo depois que a esfera sai da água.
Uma partícula, de massa $m$ e com carga elétrica $Q$, cai verticalmente com velocidade constante $v_0$. Nessas condições, a força de resistência do ar pode ser considerada como $R_{ar}=kv$, sendo $k$ uma constante e $v$ a velocidade. A partícula penetra, então, em uma região onde atua um campo magnético uniforme e constante $B$, perpendicular ao plano do papel e, nele entrando, conforme a figura. A velocidade da partícula é, então, alterada, adquirindo, após certo intervalo de tempo, um novo valor $v_L$, constante. (Lembre-se de que a intensidade da força magnética $|F_M|=|q||v||B|$, em unidades SI, para v perpendicular a B).
a) Expresse o valor da constante $k$ em função de $m$, $g$ e $v_0$.
b) Esquematize os vetores das forças (Peso, $R_{ar}$ e $F_M$) que agem sobre a partícula, em presença do campo $B$, na situação em que a velocidade passa a ser a velocidade $v_L$. Represente, por uma linha tracejada, direção e sentido de $v_L$.
c) Expresse o valor da velocidade $v_L$ da partícula, na região onde atua o campo $B$, em função de $m$, $g$, $k$, $B$ e $Q$.
a) Antes de entrar no campo, a velocidade é constante. Logo, $mg=kv_0$ e
$k=\dfrac{mg}{v_0}$.
b) Na nova velocidade limite, o peso aponta verticalmente para baixo; a resistência do ar é oposta a $\vec v_L$; e a força magnética é perpendicular a $\vec v_L$. Para $Q>0$, a trajetória terminal inclina-se para a direita; para $Q<0$, a figura é espelhada lateralmente.
c) Como $R_{ar}$ e $F_M$ são perpendiculares, na condição de velocidade constante a resultante dessas duas forças equilibra o peso:
$(mg)^2=(kv_L)^2+(|Q|Bv_L)^2$.
$v_L=\dfrac{mg}{\sqrt{k^2+Q^2B^2}}$.
Um painel de células solares funciona como um gerador, transformando energia luminosa em energia elétrica. Quando, sobre a área de captação do painel, de $2\text{ m}^2$, incide uma densidade superficial de potência luminosa de $400\text{ W/m}^2$, obtém-se uma relação entre $I$ (corrente) e $V$ (tensão), conforme gráfico abaixo. Os valores de $I$ e $V$ são os indicados pelo amperímetro A e pelo voltímetro V, no circuito esquematizado, variando-se $R$ em uma ampla faixa de valores. Nas aplicações práticas, substitui-se a resistência por um aparelho elétrico.
a) Construa, no sistema de coordenadas da folha de respostas, um esboço do gráfico da potência fornecida pelo painel solar em função da tensão entre seus terminais.
b) Estime a eficiência máxima $\eta_{max}$ de transformação de energia solar em energia elétrica do painel.
c) Estime a resistência $R_{max}$, quando a potência elétrica gerada pelo painel for máxima.
A potência elétrica é $P=VI$. Usando os valores lidos aproximadamente na curva $I\times V$, a potência cresce quase linearmente no início, atinge um máximo na região de $V\approx14$ a $15\text{ V}$ e depois cai rapidamente a zero perto de $20\text{ V}$.
b) Do gráfico, $P_{max}\approx32\text{ W}$. A potência luminosa incidente é
$P_{luz}=400\cdot2=800\text{ W}$.
Assim, $\eta_{max}\approx32/800\approx0{,}04$, ou cerca de $4\%$.
c) No ponto de máxima potência, $V\approx14$ a $15\text{ V}$ e $I\approx2{,}2$ a $2{,}3\text{ A}$. Logo,
$R_{max}=V/I\approx6$ a $7\Omega$.
Na figura mostrada na folha de respostas, estão representadas as superfícies equipotenciais do potencial eletrostático criado por duas esferas carregadas $S_1$ e $S_2$. Os centros das esferas estão sobre a reta $OO'$. A diferença de potencial entre duas linhas sucessivas é de $1\text{ V}$, e as equipotenciais de $-3\text{ V}$ e $-4\text{ V}$ estão indicadas no gráfico.
a) Identifique os sinais das cargas elétricas $Q_1$ e $Q_2$ nas esferas $S_1$ e $S_2$. Indique a relação entre os módulos das cargas $|Q_1|$ e $|Q_2|$, utilizando os símbolos >, < ou =.
b) Represente, na figura, direção e sentido do vetor campo elétrico $\vec E$ no ponto A.
c) Estime o valor do campo elétrico $E$ no ponto A, em N/C, utilizando a escala de distâncias indicada na figura.
d) Se existirem um ou mais pontos em que o campo elétrico seja nulo, demarque, com a letra N, aproximadamente, a região onde isso acontece. Se em nenhum ponto o campo for nulo, registre: “Em nenhum ponto o campo é nulo”.
a) Os potenciais indicados são negativos e tornam-se mais negativos ao aproximar-se das esferas; portanto, ambas as cargas são negativas. A deformação das equipotenciais mostra que a influência de $S_2$ é maior, logo $|Q_1|\mathrel{<}|Q_2|$.
b) O campo elétrico é perpendicular à equipotencial e aponta no sentido de potencial decrescente. Em A, aponta aproximadamente para baixo e para a direita, em direção às cargas, com maior componente para $S_2$.
c) Próximo de A, duas equipotenciais consecutivas estão separadas, na direção normal, por cerca de $0{,}5\text{ cm}=5\times10^{-3}\text{ m}$. Assim,
$E\approx\dfrac{\Delta V}{\Delta s}\approx\dfrac{1}{5\times10^{-3}}\approx2\times10^2\text{ N/C}$.
d) Como as cargas têm o mesmo sinal, existe um ponto de campo nulo entre elas, sobre $OO'$, mais próximo da carga de menor módulo, $S_1$.
