Dois espelhos planos, sendo um deles mantido na horizontal, formam entre si um ângulo $\hat A$. Uma pessoa observa-se através do espelho inclinado, mantendo seu olhar na direção horizontal. Para que ela veja a imagem de seus olhos, e os raios retornem pela mesma trajetória que incidiram, após reflexões nos dois espelhos (com apenas uma reflexão no espelho horizontal), é necessário que o ângulo $\hat A$ seja de
Para que o raio horizontal seja refletido pelo espelho inclinado na direção vertical, o espelho deve formar $45^\circ$ com a horizontal. O raio desce, reflete uma única vez no espelho horizontal e retorna verticalmente, refazendo depois o caminho no espelho inclinado.
Logo, $\hat A=45^\circ$.
Uma pessoa segura uma lente delgada junto a um livro, mantendo seus olhos aproximadamente a $40\,\mathrm{cm}$ da página, obtendo a imagem indicada na figura. Em seguida, sem mover a cabeça ou o livro, vai aproximando a lente de seus olhos. A imagem, formada pela lente, passará a ser
A figura mostra uma imagem virtual, direita e reduzida, característica de uma lente divergente.
Ao afastar a lente do livro, aumenta a distância do objeto à lente. Para uma lente divergente, a imagem permanece sempre virtual e direita, e o módulo do aumento linear diminui.
Portanto, a imagem permanece direita e fica cada vez menor.
Uma peça, com a forma indicada, gira em torno de um eixo horizontal P, com velocidade angular constante e igual a $\pi\,\mathrm{rad/s}$. Uma mola mantém uma haste apoiada sobre a peça, podendo a haste mover-se apenas na vertical. A forma da peça é tal que, enquanto ela gira, a extremidade da haste sobe e desce, descrevendo, com o passar do tempo, um movimento harmônico simples $Y(t)$ como indicado no gráfico.
Assim, a frequência do movimento da extremidade da haste será de
A frequência de rotação da peça é
$f_r=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{\pi}{2\pi}=0{,}5\,\mathrm{Hz}$.
A peça possui três saliências equivalentes; em cada volta completa ocorrem três oscilações da haste. Assim,
$f=3f_r=1{,}5\,\mathrm{Hz}$.
Considerando o fenômeno de ressonância, o ouvido humano deveria ser mais sensível a ondas sonoras com comprimentos de onda cerca de quatro vezes o comprimento do canal auditivo externo, que mede, em média, $2{,}5\,\mathrm{cm}$. Segundo esse modelo, no ar, onde a velocidade de propagação do som é $340\,\mathrm{m/s}$, o ouvido humano seria mais sensível a sons com frequências em torno de
O comprimento de onda de maior sensibilidade é aproximadamente
$\lambda=4L=4\cdot2{,}5\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m}$.
Então,
$f=\dfrac{v}{\lambda}=\dfrac{340}{0{,}10}=3400\,\mathrm{Hz}$.
Na pesagem de um caminhão, no posto fiscal de uma estrada, são utilizadas três balanças. Sobre cada balança, são posicionadas todas as rodas de um mesmo eixo. As balanças indicaram $30000\,\mathrm{N}$, $20000\,\mathrm{N}$ e $10000\,\mathrm{N}$. A partir desse procedimento, é possível concluir que o peso do caminhão é de
Em equilíbrio vertical, o peso do caminhão é igual à soma das forças normais indicadas pelas três balanças:
$P=30000+20000+10000=60000\,\mathrm{N}$.
Um mesmo pacote pode ser carregado com cordas amarradas de várias maneiras. A situação, dentre as apresentadas, em que as cordas estão sujeitas a maior tensão é
Para duas cordas simétricas formando entre si um ângulo $\theta$, o equilíbrio vertical exige
$2T\cos(\theta/2)=P$.
Logo, $T=P/[2\cos(\theta/2)]$. Quanto maior o ângulo entre as cordas, maior a tensão. O maior ângulo apresentado é $120^\circ$, na situação A.
Uma granada foi lançada verticalmente, a partir do chão, em uma região plana. Ao atingir sua altura máxima, $10\,\mathrm{s}$ após o lançamento, a granada explodiu, produzindo dois fragmentos com massa total igual a $5\,\mathrm{kg}$, lançados horizontalmente. Um dos fragmentos, com massa igual a $2\,\mathrm{kg}$, caiu a $300\,\mathrm{m}$, ao Sul do ponto de lançamento, $10\,\mathrm{s}$ depois da explosão. Pode-se afirmar que a parte da energia liberada na explosão, e transformada em energia cinética dos fragmentos, é aproximadamente de
O fragmento de $2\,\mathrm{kg}$ percorre $300\,\mathrm{m}$ horizontalmente em $10\,\mathrm{s}$, logo $v_1=30\,\mathrm{m/s}$.
Antes da explosão, a quantidade de movimento horizontal era nula. Portanto, pelo princípio da conservação:
$2\cdot30=3v_2\Rightarrow v_2=20\,\mathrm{m/s}$, em sentido oposto.
A energia cinética adquirida é
$E_c=\frac12(2)(30)^2+\frac12(3)(20)^2=900+600=1500\,\mathrm{J}$.
Uma prancha rígida, de $8\,\mathrm{m}$ de comprimento, está apoiada no chão (em A) e em um suporte P, como na figura. Uma pessoa, que pesa metade do peso da prancha, começa a caminhar lentamente sobre ela, a partir de A. Pode-se afirmar que a prancha desencostará do chão (em A), quando os pés dessa pessoa estiverem à direita de P, e a uma distância desse ponto aproximadamente igual a
No instante em que a prancha perde o contato em A, o apoio P funciona como eixo de rotação.
O centro de massa da prancha está a $4\,\mathrm{m}$ de A, portanto $1\,\mathrm{m}$ à esquerda de P. Se o peso da prancha é $P$, o peso da pessoa é $P/2$.
Equilibrando os torques no limiar do tombamento:
$P\cdot1=\dfrac{P}{2}\,x\Rightarrow x=2\,\mathrm{m}$.
Para pesar materiais pouco densos, deve ser levado em conta o empuxo do ar. Define-se, nesse caso, o erro relativo como
$\text{erro relativo}=\dfrac{\text{peso real}-\text{peso medido}}{\text{peso real}}$.
Em determinados testes de controle de qualidade, é exigido um erro nas medidas não superior a $2\%$. Com essa exigência, a mínima densidade de um material, para o qual é possível desprezar o empuxo do ar, é de
A diferença entre o peso real e o peso medido é o empuxo do ar. Para um corpo de volume $V$:
$P=\rho_m Vg$ e $E=\rho_{ar}Vg$.
Logo,
$\text{erro relativo}=\dfrac{E}{P}=\dfrac{\rho_{ar}}{\rho_m}\le0{,}02$.
Assim, $\rho_m\ge50\rho_{ar}$.
A Estação Espacial Internacional, que está sendo construída num esforço conjunto de diversos países, deverá orbitar a uma distância do centro da Terra igual a $1{,}05$ do raio médio da Terra. A razão $R=F_e/F$, entre a força $F_e$ com que a Terra atrai um corpo nessa Estação e a força $F$ com que a Terra atrai o mesmo corpo na superfície da Terra, é aproximadamente de
A força gravitacional varia com o inverso do quadrado da distância ao centro da Terra:
$R=\dfrac{F_e}{F}=\left(\dfrac{R_T}{1{,}05R_T}\right)^2=\dfrac{1}{1{,}05^2}\approx0{,}91$.
Portanto, aproximadamente $0{,}90$.
Um motociclista de motocross move-se com velocidade $v=10\,\mathrm{m/s}$, sobre uma superfície plana, até atingir uma rampa (em A), inclinada de $45^\circ$ com a horizontal, como indicado na figura. A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal $D$ ($D=H$), do ponto A, aproximadamente igual a
Tomando A como origem, o motociclista é lançado horizontalmente. Sua trajetória é
$y=-\dfrac{gx^2}{2v^2}=-\dfrac{x^2}{20}$.
A rampa faz $45^\circ$, portanto sua equação é $y=-x$.
No segundo encontro: $-x^2/20=-x$, com $x\ne0$, daí $x=20\,\mathrm{m}$.
Dois caixotes de mesma altura e mesma massa, A e B, podem movimentar-se sobre uma superfície plana, sem atrito. Estando inicialmente A parado, próximo a uma parede, o caixote B aproxima-se perpendicularmente à parede, com velocidade $V_0$, provocando uma sucessão de colisões elásticas no plano da figura. Após todas as colisões, é possível afirmar que os módulos das velocidades dos dois blocos serão aproximadamente
Em colisão elástica unidimensional entre massas iguais, os corpos trocam velocidades.
Primeiro, B colide com A: B para e A passa a mover-se para a parede com $V_0$. A colide elasticamente com a parede e volta com módulo $V_0$. Em seguida, A colide novamente com B e transfere sua velocidade a B.
Ao final, $V_A=0$ e $V_B=V_0$.
O processo de pasteurização do leite consiste em aquecê-lo a altas temperaturas, por alguns segundos, e resfriá-lo em seguida. Para isso, o leite percorre um sistema, em fluxo constante, passando por três etapas:
I) O leite entra no sistema (através de A), a $5^\circ\mathrm{C}$, sendo aquecido (no trocador de calor B) pelo leite que já foi pasteurizado e está saindo do sistema.
II) Em seguida, completa-se o aquecimento do leite, através da resistência R, até que ele atinja $80^\circ\mathrm{C}$. Com essa temperatura, o leite retorna a B.
III) Novamente em B, o leite quente é resfriado pelo leite frio que entra por A, saindo do sistema (através de C), a $20^\circ\mathrm{C}$.
Em condições de funcionamento estáveis, e supondo que o sistema seja bem isolado termicamente, pode-se afirmar que a temperatura indicada pelo termômetro T, que monitora a temperatura do leite na saída de B, é aproximadamente de
Como o fluxo de leite é o mesmo nos dois ramos e o trocador B é isolado, o calor cedido pelo leite quente é igual ao calor recebido pelo leite frio.
$80-20=T-5$.
Logo, $T=65^\circ\mathrm{C}$.
Em uma panela aberta, aquece-se água, observando-se uma variação da temperatura da água com o tempo, como indica o gráfico. Desprezando-se a evaporação antes da fervura, em quanto tempo, a partir do começo da ebulição, toda a água terá se esgotado? Considere que o calor de vaporização da água é cerca de $540\,\mathrm{cal/g}$.
Do gráfico, a água recebe calor a uma taxa capaz de elevar sua temperatura de $30^\circ\mathrm{C}$ para $70^\circ\mathrm{C}$ em $4\,\mathrm{min}$. Assim, para a massa total de água:
$P=\dfrac{mc\Delta T}{\Delta t}=\dfrac{m\cdot1\cdot40}{4}=10m\,\mathrm{cal/min}$.
Durante a ebulição, a energia necessária é $Q=mL_v=540m$ cal. Logo,
$t=\dfrac{540m}{10m}=54\,\mathrm{min}$.
Um gás, contido em um cilindro, à pressão atmosférica, ocupa um volume $V_0$, à temperatura ambiente $T_0$ (em kelvin). O cilindro contém um pistão, de massa desprezível, que pode mover-se sem atrito e que pode até, em seu limite máximo, duplicar o volume inicial do gás. Esse gás é aquecido, fazendo com que o pistão seja empurrado ao máximo e também com que a temperatura do gás atinja quatro vezes $T_0$. Na situação final, a pressão do gás no cilindro deverá ser
Para a mesma quantidade de gás ideal, $PV/T$ é constante. Inicialmente, $P_i=P_{atm}$, $V_i=V_0$ e $T_i=T_0$. No final, $V_f=2V_0$ e $T_f=4T_0$.
$\dfrac{P_{atm}V_0}{T_0}=\dfrac{P_f(2V_0)}{4T_0}$.
Logo, $P_f=2P_{atm}$.
Duas pequenas esferas, com cargas elétricas iguais, ligadas por uma barra isolante, são inicialmente colocadas como descrito na situação I. Em seguida, aproxima-se uma das esferas de P, reduzindo-se à metade sua distância até esse ponto, ao mesmo tempo em que se duplica a distância entre a outra esfera e P, como na situação II. O campo elétrico em P, no plano que contém o centro das duas esferas, possui, nas duas situações indicadas,
Na situação I, uma carga está a uma distância $2d$ de P e a outra a $d$, em direções perpendiculares. Os módulos das contribuições são $kq/(4d^2)$ e $kq/d^2$.
Na situação II, as distâncias são trocadas. Assim, os módulos das duas componentes do campo apenas trocam de posição.
O módulo resultante permanece o mesmo, mas sua direção muda.
Dispondo de pedaços de fios e 3 resistores de mesma resistência, foram montadas as conexões apresentadas na figura. Dentre essas, aquela que apresenta a maior resistência elétrica entre seus terminais é
Na alternativa C, um resistor está em série com dois resistores em paralelo:
$R_{eq}=R+(R\parallel R)=R+\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}$.
As demais montagens apresentam caminhos em paralelo que reduzem a resistência equivalente para valores inferiores. Portanto, a maior resistência é a da configuração C.
Um ímã cilíndrico A, com um pequeno orifício ao longo de seu eixo, pode deslocar-se sem atrito sobre uma fina barra de plástico horizontal. Próximo à barra e fixo verticalmente, encontra-se um longo ímã B, cujo polo S encontra-se muito longe e não está representado na figura. Inicialmente o ímã A está longe do B e move-se com velocidade $V$, da esquerda para a direita. Desprezando efeitos dissipativos, o conjunto de todos os gráficos que podem representar a velocidade $V$ do ímã A, em função da posição $x$ de seu centro P, é constituído por
Ao se aproximar do polo N do ímã B, o polo N de A sofre repulsão e a energia cinética diminui.
Se a energia cinética inicial for suficiente para superar a barreira de energia potencial magnética, o ímã atravessa a região e volta a ganhar velocidade: comportamento do gráfico III.
Se não for suficiente, ele para antes de chegar ao ponto central e retorna, invertendo o sentido da velocidade: comportamento representado pelo gráfico I.
O gráfico II não é compatível com a conservação da energia do sistema. Portanto, I e III.
Um circuito doméstico simples, ligado à rede de $110\,\mathrm{V}$ e protegido por um fusível F de $15\,\mathrm{A}$, está esquematizado na figura. A potência máxima de um ferro de passar roupa que pode ser ligado, simultaneamente, a uma lâmpada de $150\,\mathrm{W}$, sem que o fusível interrompa o circuito, é aproximadamente de
A potência total máxima permitida pelo fusível é
$P_{max}=UI=110\cdot15=1650\,\mathrm{W}$.
Como a lâmpada consome $150\,\mathrm{W}$, sobra para o ferro:
$P_F=1650-150=1500\,\mathrm{W}$.
Três fios verticais e muito longos atravessam uma superfície plana e horizontal, nos vértices de um triângulo isósceles, como na figura desenhada no plano. Por dois deles ($\bullet$), passa uma mesma corrente que sai do plano do papel e pelo terceiro ($\times$), uma corrente que entra nesse plano. Desprezando-se os efeitos do campo magnético terrestre, a direção da agulha de uma bússola, colocada equidistante deles, seria melhor representada pela reta
No ponto equidistante, os dois fios inferiores, com correntes saindo do plano, produzem campos de mesmo módulo. Suas componentes verticais se anulam e as horizontais somam-se para a esquerda.
O fio superior, com corrente entrando no plano, também produz no ponto central um campo para a esquerda.
Logo, o campo resultante é horizontal, ao longo da reta $AA'$.