Quando necessário, adote: $g=10\, ext{m/s}^2$; $ ho_{ ext{água}}=1{.}000\, ext{kg/m}^3$; $c=3{,}0 imes10^8\, ext{m/s}$.
O Sistema GPS (Global Positioning System) permite localizar um receptor especial, em qualquer lugar da Terra, por meio de sinais emitidos por satélites. Numa situação particular, dois satélites, A e B, estão alinhados sobre uma reta que tangencia a superfície da Terra no ponto O e encontram-se à mesma distância de O. O protótipo de um novo avião, com um receptor R, encontra-se em algum lugar dessa reta e seu piloto deseja localizar sua própria posição.
Os intervalos de tempo entre a emissão dos sinais pelos satélites A e B e sua recepção por R são, respectivamente, $\Delta t_A=68{,}5\times10^{-3}\,\text{s}$ e $\Delta t_B=64{,}8\times10^{-3}\,\text{s}$.
Desprezando possíveis efeitos atmosféricos e considerando a velocidade de propagação dos sinais como igual à velocidade $c$ da luz no vácuo, determine:
a) A distância $D$, em km, entre cada satélite e o ponto O.
b) A distância $X$, em km, entre o receptor R, no avião, e o ponto O.
c) A posição do avião, identificada pela letra R, localizando-a no esquema da folha de resposta.
As distâncias percorridas pelos sinais são $d_A=c\Delta t_A$ e $d_B=c\Delta t_B$:
$d_A=3{,}0\times10^5\cdot68{,}5\times10^{-3}=20{.}550\,\text{km}$,
$d_B=3{,}0\times10^5\cdot64{,}8\times10^{-3}=19{.}440\,\text{km}$.
Como A e B estão à mesma distância $D$ de O e o receptor está entre os satélites, na direção de B, temos $d_A=D+X$ e $d_B=D-X$.
a) Somando as equações:
$2D=d_A+d_B=39{.}990\,\text{km}$, portanto $D=19{.}995\,\text{km}\approx2{,}0\times10^4\,\text{km}$.
b) Subtraindo:
$2X=d_A-d_B=1{.}110\,\text{km}$, logo $X=555\,\text{km}$.
c) Como o sinal de B leva menos tempo, R está do lado de B, a $555\,\text{km}$ de O.
Um ciclista, em estrada plana, mantém velocidade constante $V_0=5{,}0\,\text{m/s}$ ($18\,\text{km/h}$). Ciclista e bicicleta têm massa total $M=90\,\text{kg}$. Em determinado momento, $t=t_0$, o ciclista pára de pedalar e a velocidade $V$ da bicicleta passa a diminuir com o tempo, conforme o gráfico ao lado.
Assim, determine:
a) A aceleração $A$, em $\text{m/s}^2$, da bicicleta, logo após o ciclista deixar de pedalar.
b) A força de resistência horizontal total $F_R$, em newtons, sobre o ciclista e sua bicicleta, devida principalmente ao atrito dos pneus e à resistência do ar, quando a velocidade é $V_0$.
c) A energia $E$, em kJ, que o ciclista “queimaria”, pedalando durante meia hora, à velocidade $V_0$. Suponha que a eficiência do organismo do ciclista (definida como a razão entre o trabalho realizado para pedalar e a energia metabolizada por seu organismo) seja de $22{,}5\%$.
a) Logo após $t_0$, o gráfico é retilíneo. Lendo dois pontos desse trecho, por exemplo $(0,5)$ e $(8,3)$, com o tempo contado a partir de $t_0$:
$A=\dfrac{3-5}{8}=-0{,}25\,\text{m/s}^2$.
b) Depois que o ciclista deixa de pedalar, a força horizontal resultante é a própria resistência:
$F_R=M|A|=90\cdot0{,}25=22{,}5\,\text{N}$.
Para manter $V_0$ constante, o ciclista deve fornecer potência mecânica
$P=F_RV_0=22{,}5\cdot5=112{,}5\,\text{W}$.
c) Em meia hora, $\Delta t=1800\,\text{s}$, então o trabalho mecânico é $W=P\Delta t=202{,}5\,\text{kJ}$.
Como a eficiência é $\eta=0{,}225$,
$E=\dfrac{W}{\eta}=\dfrac{202{,}5}{0{,}225}=900\,\text{kJ}$.
Um objeto A, de massa $M=4{,}0\,\text{kg}$, é largado da janela de um edifício, de uma altura $H_0=45\,\text{m}$. Procurando diminuir o impacto de A com o chão, um objeto B, de mesma massa, é lançado um pouco depois, a partir do chão, verticalmente, com velocidade inicial $V_{0B}$. Os dois objetos colidem, a uma altura de $25\,\text{m}$, com velocidades tais que $|V_A|=|V_B|$. Com o impacto, grudam-se, ambos, um no outro, formando um só corpo AB, de massa $2M$, que cai atingindo o chão.
a) Determine a energia mecânica $Q$, em J, dissipada na colisão.
b) Determine a energia cinética $E_c$, em J, imediatamente antes de AB atingir o chão.
c) Construa, no sistema de coordenadas da folha de resposta, o gráfico dos módulos das velocidades em função do tempo para A, B e AB, considerando que $V_{0B}=30\,\text{m/s}$. Identifique, respectivamente, com as letras A, B e AB, os gráficos correspondentes.
(Se necessário, considere $\sqrt5\approx2{,}2$.)
O objeto A cai $20\,\text{m}$ até a colisão. Assim,
$V_A^2=2g\cdot20=400$, portanto $|V_A|=20\,\text{m/s}$.
Como $|V_B|=|V_A|$ e os movimentos são opostos, os momentos lineares de A e B se cancelam. Logo, imediatamente após a colisão, AB fica momentaneamente em repouso.
a) Toda a energia cinética imediatamente anterior à colisão é dissipada:
$Q=2\left(\dfrac12MV^2\right)=M V^2=4\cdot400=1600\,\text{J}$.
b) A partir do repouso, AB cai de $25\,\text{m}$:
$E_c=(2M)g\cdot25=8\cdot10\cdot25=2000\,\text{J}$.
c) A atinge a colisão em $2\,\text{s}$. Para B, com $V_{0B}=30\,\text{m/s}$, a velocidade cai de $30$ para $20\,\text{m/s}$ em $1\,\text{s}$; logo B é lançado em $t=1\,\text{s}$. Após a colisão, AB cai por $\sqrt5\,\text{s}\approx2{,}2\,\text{s}$.
Dispõe-se de uma lâmpada decorativa especial L, cuja curva característica, fornecida pelo manual do fabricante, é apresentada abaixo. Deseja-se ligar essa lâmpada, em série com uma resistência $R=2{,}0\,\Omega$, a uma fonte de tensão $V_0$, como no circuito abaixo. Por precaução, a potência dissipada na lâmpada deve ser igual à potência dissipada no resistor.
Para as condições acima,
a) Represente a curva característica $I\times V$ do resistor, na folha de resposta, na própria reprodução do gráfico fornecido pelo fabricante, identificando-a com a letra R.
b) Determine, utilizando o gráfico, a corrente $I$, em ampères, para que a potência dissipada na lâmpada e no resistor sejam iguais.
c) Determine a tensão $V_0$, em volts, que a fonte deve fornecer.
d) Determine a potência $P$, em watts, que a lâmpada dissipará nessas condições.
Como lâmpada e resistor estão em série, a corrente é a mesma. A condição $P_L=P_R$ fornece
$IV_L=I^2R$.
Para $I\ne0$, $V_L=IR=2I$, ou
$I=\dfrac{V_L}{2}$.
a) A curva do resistor é, portanto, uma reta que passa pela origem, com inclinação $1/2\,\text{A/V}$.
b) A interseção com a curva da lâmpada ocorre aproximadamente em $V_L=5{,}0\,\text{V}$ e $I=2{,}5\,\text{A}$.
c) No resistor, $V_R=IR=2{,}5\cdot2=5{,}0\,\text{V}$. Logo, $V_0=V_L+V_R=10\,\text{V}$.
d) $P_L=V_LI=5\cdot2{,}5=12{,}5\,\text{W}$.
Um ventilador de teto, com eixo vertical, é constituído por três pás iguais e rígidas, encaixadas em um rotor de raio $R=0{,}10\,\text{m}$, formando ângulos de $120^\circ$ entre si. Cada pá tem massa $M=0{,}20\,\text{kg}$ e comprimento $L=0{,}50\,\text{m}$. No centro de uma das pás foi fixado um prego P, com massa $m_p=0{,}020\,\text{kg}$, que desequilibra o ventilador, principalmente quando este se movimenta.
Suponha, então, o ventilador girando com uma velocidade de $60$ rotações por minuto e determine:
a) A intensidade da força radial horizontal $F$, em newtons, exercida pelo prego sobre o rotor.
b) A massa $M_0$, em kg, de um pequeno contrapeso que deve ser colocado em um ponto $D_0$, sobre a borda do rotor, para que a resultante das forças horizontais, agindo sobre o rotor, seja nula.
c) A posição do ponto $D_0$, localizando-a no esquema da folha de respostas.
(Se necessário, utilize $\pi\approx3$.)
A frequência de rotação é $1\,\text{Hz}$, portanto $\omega=2\pi\approx6\,\text{rad/s}$.
O prego está no centro da pá, a uma distância
$r_p=R+\dfrac{L}{2}=0{,}10+0{,}25=0{,}35\,\text{m}$
do eixo.
a) A força centrípeta sobre o prego tem módulo
$F=m_p\omega^2r_p=0{,}020\cdot36\cdot0{,}35=0{,}252\,\text{N}\approx0{,}25\,\text{N}$.
b) Para o balanceamento, as forças centrípetas do prego e do contrapeso devem ter módulos iguais e direções opostas:
$M_0\omega^2R=m_p\omega^2r_p$.
$M_0=0{,}020\dfrac{0{,}35}{0{,}10}=0{,}070\,\text{kg}$.
c) O contrapeso deve ficar na borda do rotor, na direção oposta à pá que contém o prego.
Uma pequena esfera de material sólido e transparente é utilizada para produzir, a partir de um pulso de luz laser, vários outros pulsos. A esfera, de raio $r=2{,}2\,\text{cm}$, é espelhada, exceto em uma pequena região (ponto A).
Um pulso de luz, de pequena duração, emitido pelo laser, segue a trajetória $R_0$, incidindo em A com ângulo de incidência de $70^\circ$. Nesse ponto, o pulso é, em parte, refletido, prosseguindo numa trajetória $R_1$, e, em parte, refratado, prosseguindo numa trajetória $R_2$ que penetra na esfera com um ângulo de $45^\circ$ com a normal.
Após reflexões sucessivas dentro da esfera, o pulso atinge a região A, sendo em parte, novamente refletido e refratado. E assim sucessivamente. Gera-se, então, uma série de pulsos de luz, com intensidades decrescentes, que saem da esfera por A, na mesma trajetória $R_1$. Considere $\operatorname{sen}70^\circ=0{,}94$; $\operatorname{sen}45^\circ=0{,}70$. Nessas condições,
a) Represente, na figura da folha de respostas, toda a trajetória do pulso de luz dentro da esfera.
b) Determine, em m/s, o valor $V$ da velocidade de propagação da luz no interior da esfera.
c) Determine, em segundos, a separação (temporal) $\Delta t$, entre dois pulsos sucessivos na trajetória $R_1$.
a) Dentro da esfera, o raio faz $45^\circ$ com o raio normal em cada ponto de reflexão. Cada corda corresponde a um ângulo central de $90^\circ$, de modo que a trajetória interna forma um quadrado inscrito e retorna a A após quatro cordas.
b) Pela refração em A,
$\operatorname{sen}70^\circ=n\operatorname{sen}45^\circ$.
Como $n=c/V$,
$V=c\dfrac{\operatorname{sen}45^\circ}{\operatorname{sen}70^\circ}=3{,}0\times10^8\dfrac{0{,}70}{0{,}94}\approx2{,}23\times10^8\,\text{m/s}$.
c) Cada lado do quadrado inscrito mede $r\sqrt2$. O percurso entre duas saídas sucessivas é
$\ell=4r\sqrt2=4(2{,}2\times10^{-2})\sqrt2\,\text{m}$.
Assim,
$\Delta t=\dfrac{\ell}{V}\approx\dfrac{4(2{,}2\times10^{-2})\sqrt2}{2{,}23\times10^8}\approx5{,}6\times10^{-10}\,\text{s}$.
Um motor de combustão interna, semelhante a um motor de caminhão, aciona um gerador que fornece $25\,\text{kW}$ de energia elétrica a uma fábrica. O sistema motor-gerador é resfriado por fluxo de água, permanentemente renovada, que é fornecida ao motor a $25^\circ\text{C}$ e evaporada, a $100^\circ\text{C}$, para a atmosfera. Observe as características do motor na tabela.
| Grandeza | Valor |
|---|---|
| Consumo de combustível | $15\,\text{litros/hora}$ |
| Energia liberada por um litro de combustível | $36\times10^6\,\text{J}$ |
| Calor de vaporização da água | $2{,}2\times10^6\,\text{J/kg}$ |
| Calor específico da água | $4000\,\text{J/(kg}\cdot{}^\circ\text{C)}$ |
Supondo que o sistema só dissipe calor pela água que aquece e evapora, determine:
a) A potência $P$, em kW, fornecida à água, de forma a manter a temperatura do sistema constante.
b) A vazão $V$ de água, em kg/s, a ser fornecida ao sistema para manter sua temperatura constante.
c) A eficiência $R$ do sistema, definida como a razão entre a potência elétrica produzida e a potência total obtida a partir do combustível.
A potência obtida do combustível é
$P_{comb}=\dfrac{15\cdot36\times10^6}{3600}=1{,}50\times10^5\,\text{W}=150\,\text{kW}$.
a) Como a saída elétrica é $25\,\text{kW}$ e todo o restante é transferido à água,
$P=150-25=125\,\text{kW}$.
b) Cada quilograma de água recebe
$q=c\Delta T+L_v=4000(100-25)+2{,}2\times10^6=2{,}5\times10^6\,\text{J/kg}$.
Logo,
$\dot m=\dfrac{125\times10^3}{2{,}5\times10^6}=5{,}0\times10^{-2}\,\text{kg/s}$.
c) $R=\dfrac{25}{150}=\dfrac16\approx0{,}167$, ou aproximadamente $16{,}7\%$.
Um compartimento cilíndrico, isolado termicamente, é utilizado para o transporte entre um navio e uma estação submarina. Tem altura $H_0=2{,}0\,\text{m}$ e área da base $S_0=3{,}0\,\text{m}^2$. Dentro do compartimento, o ar está inicialmente à pressão atmosférica ($P_{atm}$) e a $27^\circ\text{C}$, comportando-se como gás ideal.
Por acidente, o suporte da base inferior do compartimento não foi travado e a base passa a funcionar como um pistão, subindo dentro do cilindro à medida que o compartimento desce lentamente dentro d’água, sem que ocorra troca de calor entre a água, o ar e as paredes do compartimento. Considere a densidade da água do mar igual à densidade da água. Despreze a massa da base. Quando a base inferior estiver a $40\,\text{m}$ de profundidade, determine:
a) A pressão $P$ do ar, em Pa, dentro do compartimento.
b) A altura $H$, em m, do compartimento, que permanece não inundado.
c) A temperatura $T$ do ar, em $^\circ\text{C}$, no compartimento.
a) Como a base funciona como pistão sem massa e o movimento é lento, a pressão interna equilibra a pressão externa na profundidade de $40\,\text{m}$:
$P=P_{atm}+\rho gh=10^5+1000\cdot10\cdot40=5{,}0\times10^5\,\text{Pa}$.
b) A transformação ocorre sem troca de calor, portanto usa-se a curva C do gráfico. Para $P=5\times10^5\,\text{Pa}$, lê-se aproximadamente $V=0{,}30\,\text{m}^3$ para a massa-padrão que inicialmente ocupava $1\,\text{m}^3$.
O ar do compartimento ocupava inicialmente $V_0=S_0H_0=3\cdot2=6\,\text{m}^3$, isto é, seis vezes a massa representada no gráfico. Logo, no estado final,
$V_f\approx6(0{,}30)=1{,}8\,\text{m}^3$.
Assim, $H=V_f/S_0=1{,}8/3=0{,}60\,\text{m}$.
c) Para a mesma quantidade de gás ideal, $PV/T$ é constante:
$\dfrac{T_f}{T_0}=\dfrac{P_fV_f}{P_0V_0}=\dfrac{5\cdot1{,}8}{1\cdot6}=1{,}5$.
Como $T_0=300\,\text{K}$, $T_f=450\,\text{K}=177^\circ\text{C}$.
Duas pequenas esferas, com cargas positivas e iguais a $Q$, encontram-se fixas sobre um plano, separadas por uma distância $2a$. Sobre esse mesmo plano, no ponto P, a uma distância $2a$ de cada uma das esferas, é abandonada uma partícula com massa $m$ e carga $q$ negativa. Desconsidere o campo gravitacional e efeitos não eletrostáticos.
Determine, em função de $Q$, $K$, $q$, $m$ e $a$,
a) A diferença de potencial eletrostático $V=V_O-V_P$, entre os pontos O e P.
b) A velocidade $v$ com que a partícula passa por O.
c) A distância máxima $D_{max}$, que a partícula consegue afastar-se de P. Se essa distância for muito grande, escreva $D_{max}=\text{infinito}$.
Em O, cada carga $Q$ está a distância $a$, então
$V_O=\dfrac{2KQ}{a}$.
Em P, cada carga está a distância $2a$, logo
$V_P=2\dfrac{KQ}{2a}=\dfrac{KQ}{a}$.
a) $V_O-V_P=\dfrac{KQ}{a}$.
b) A partícula parte do repouso. Pela conservação da energia,
$\dfrac12mv^2=-q(V_O-V_P)=-\dfrac{KQq}{a}$.
Como $q$ é negativa, o segundo membro é positivo:
$v=\sqrt{-\dfrac{2KQq}{ma}}$.
c) No ponto mais distante, a velocidade volta a ser nula, portanto o potencial deve ter novamente o valor $V_P=KQ/a$. No eixo de simetria, a uma distância $y$ de O,
$V(y)=\dfrac{2KQ}{\sqrt{a^2+y^2}}$.
Igualando a $KQ/a$:
$\sqrt{a^2+y^2}=2a\Rightarrow y=\sqrt3\,a$.
O ponto P também está a $\sqrt3\,a$ acima de O. Logo o ponto de retorno fica simetricamente a $\sqrt3\,a$ abaixo de O e
$D_{max}=2\sqrt3\,a$.
Um próton de massa $M\cong1{,}6\times10^{-27}\,\text{kg}$, com carga elétrica $Q=1{,}6\times10^{-19}\,\text{C}$, é lançado em A, com velocidade $V_0$, em uma região onde atua um campo magnético uniforme $B$, na direção x. A velocidade $V_0$, que forma um ângulo $\theta$ com o eixo x, tem componentes $V_{0x}=4{,}0\times10^6\,\text{m/s}$ e $V_{0y}=3{,}0\times10^6\,\text{m/s}$. O próton descreve um movimento em forma de hélice, voltando a cruzar o eixo x, em P, com a mesma velocidade inicial, a uma distância $L_0=12\,\text{m}$ do ponto A.
Desconsiderando a ação do campo gravitacional e utilizando $\pi\approx3$, determine:
a) O intervalo de tempo $\Delta t$, em s, que o próton leva para ir de A a P.
b) O raio $R$, em m, do cilindro que contém a trajetória em hélice do próton.
c) A intensidade do campo magnético $B$, em tesla, que provoca esse movimento.
A componente paralela ao campo, $V_{0x}$, permanece constante; a componente perpendicular, $V_{0y}$, produz o movimento circular. Como o próton volta ao eixo x em P com a mesma velocidade inicial, o percurso de A a P corresponde a uma volta completa da hélice.
a) $L_0=V_{0x}\Delta t$, então
$\Delta t=\dfrac{12}{4{,}0\times10^6}=3{,}0\times10^{-6}\,\text{s}$.
b) Para uma volta, $V_{0y}\Delta t=2\pi R$:
$R=\dfrac{3{,}0\times10^6\cdot3{,}0\times10^{-6}}{2\pi}\approx\dfrac{9}{6}=1{,}5\,\text{m}$.
c) A força magnética fornece a força centrípeta:
$QV_{0y}B=\dfrac{MV_{0y}^2}{R}$.
$B=\dfrac{MV_{0y}}{QR}=\dfrac{1{,}6\times10^{-27}\cdot3{,}0\times10^6}{1{,}6\times10^{-19}\cdot1{,}5}=2{,}0\times10^{-2}\,\text{T}$.