Quando necessário, adote: $g=10\,\text{m/s}^2$; $\rho_{\text{água}}=1{.}000\,\text{kg/m}^3$; $c=3{,}0\times10^8\,\text{m/s}$; $c_{\text{água}}=4\,\text{J/(g}\cdot{}^\circ\text{C)}$; $1\,\text{cal}=4\,\text{J}$.
O caderno informa que as folhas de resposta das questões 01, 03 e 04 trazem desenhos pré-impressos.
Em um jogo, um pequeno bloco A, de massa $M$, é lançado com velocidade $V_0=6{,}0\,\text{m/s}$ sobre a superfície de uma mesa horizontal, sendo o atrito desprezível. Ele atinge, no instante $t_0=0$, o bloco B, de massa $M/2$, que estava parado sobre a borda da mesma mesa, ambos indo ao chão. Devido ao choque, o bloco B, decorridos $0{,}40\,\text{s}$, atinge um ponto, no chão, a uma distância $D_B=2{,}0\,\text{m}$, ao longo da direção horizontal, a partir da extremidade da mesa. Supondo que nesse choque não tenha havido conservação de energia cinética e que os blocos tenham iniciado a queda no mesmo instante:
a) Determine a distância horizontal $D_A$, em metros, ao longo da direção horizontal, entre a posição em que o bloco A atinge o chão e a extremidade da mesa.
b) Represente, no sistema de eixos da folha de resposta, a velocidade vertical $V_V$ de cada um dos blocos, em função do tempo, após o choque, identificando por A e B cada uma das curvas.
O bloco B percorre $2{,}0\,\text{m}$ horizontalmente em $0{,}40\,\text{s}$, logo sua velocidade horizontal após o choque é
$v_B=\dfrac{2{,}0}{0{,}40}=5{,}0\,\text{m/s}$.
Na direção horizontal, durante o choque, conserva-se a quantidade de movimento:
$M\cdot6{,}0=Mv_A+\dfrac{M}{2}\cdot5{,}0$.
Daí, $v_A=3{,}5\,\text{m/s}$.
a) Como A e B iniciam a queda simultaneamente e da mesma altura, ambos permanecem no ar por $0{,}40\,\text{s}$. Assim,
$D_A=v_A t=3{,}5\cdot0{,}40=1{,}4\,\text{m}$.
b) Os dois blocos deixam a mesa com componente vertical inicial nula e estão sujeitos à mesma aceleração gravitacional. Tomando o sentido vertical para baixo como positivo,
$V_V=gt=10t$.
Portanto, as curvas de A e B coincidem.
Um jovem sobe correndo, com velocidade constante, do primeiro ao segundo andar de um shopping, por uma larga escada rolante de descida, ou seja, sobe “na contramão”. No instante em que ele começa a subir, uma senhora, que está no segundo andar, toma a mesma escada para descer normalmente, mantendo-se sempre no mesmo degrau. Ambos permanecem sobre essa escada durante $30\,\text{s}$, até que a senhora, de massa $M_s=60\,\text{kg}$, desça no primeiro andar e o rapaz, de massa $M_j=80\,\text{kg}$, chegue ao segundo andar, situado $7{,}0\,\text{m}$ acima do primeiro.
Supondo desprezíveis as perdas por atrito, determine:
a) A potência $P$, em watts, que a senhora cede ao sistema da escada rolante, enquanto permanece na escada.
b) O número $N$ de degraus que o jovem de fato subiu para ir do $1^\circ$ ao $2^\circ$ andar, considerando que cada degrau mede $20\,\text{cm}$ de altura.
c) O trabalho $T$, em joules, realizado pelo jovem, para ir do $1^\circ$ ao $2^\circ$ andar, na situação descrita.
a) Ao descer $7{,}0\,\text{m}$ em $30\,\text{s}$, a senhora transfere ao sistema da escada a energia potencial gravitacional perdida:
$P=\dfrac{M_sgh}{\Delta t}=\dfrac{60\cdot10\cdot7}{30}=140\,\text{W}$.
b) Em $30\,\text{s}$, a escada desloca seus degraus para baixo o equivalente a $7\,\text{m}$. No mesmo intervalo, o jovem termina $7\,\text{m}$ acima do ponto de partida. Portanto, em relação aos degraus, ele sobe uma altura total de $14\,\text{m}$:
$N=\dfrac{14}{0{,}20}=70$.
c) O jovem eleva seu próprio centro de massa em $7\,\text{m}$ e, ao subir contra o movimento da escada, também fornece ao mecanismo trabalho equivalente a $M_jg\cdot7$. Logo,
$T=2M_jg\cdot7=2\cdot80\cdot10\cdot7=1{,}12\times10^4\,\text{J}$.
Um astrônomo, ao estudar uma estrela dupla $E_1$-$E_2$, observou que ambas executavam um movimento em torno de um mesmo ponto P, como se estivessem ligadas por uma barra imaginária. Ele mediu a distância $D$ entre elas e o período $T$ de rotação das estrelas, obtendo $T=12$ dias. Observou, ainda, que o raio $R_1$, da trajetória circular de $E_1$, era três vezes menor do que o raio $R_2$, da trajetória circular de $E_2$. Observando essas trajetórias, ele concluiu que as massas das estrelas eram tais que $M_1=3M_2$. Além disso, supôs que $E_1$ e $E_2$ estivessem sujeitas apenas à força gravitacional entre elas. A partir das medidas e das considerações do astrônomo:
a) Indique as posições em que $E_1$ e $E_2$ estariam, quinze dias após uma observação em que as estrelas foram vistas, como está representado no esquema da folha de respostas. Marque e identifique claramente as novas posições de $E_1$ e $E_2$ no esquema da folha de respostas.
b) Determine a razão $R=V_2/V_1$ entre os módulos das velocidades lineares das estrelas $E_2$ e $E_1$.
c) Escreva a expressão da massa $M_1$ da estrela $E_1$, em função de $T$, $D$ e da constante universal da gravitação $G$.
a) Quinze dias correspondem a $15/12=1{,}25$ volta. Após uma volta completa, restam $0{,}25$ volta, isto é, $90^\circ$. Assim, as duas estrelas devem ser desenhadas após uma rotação de $90^\circ$ em torno de P, mantendo $R_2=3R_1$ e permanecendo em lados opostos de P. Como o sentido de rotação não é indicado no enunciado, as duas orientações simétricas são equivalentes.
b) As duas estrelas têm a mesma velocidade angular $\omega=2\pi/T$. Logo, $V=\omega R$ e
$\dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{R_2}{R_1}=3$.
c) Como $R_1+R_2=D$ e $R_2=3R_1$, temos $R_1=D/4$. Para a estrela $E_1$, a força gravitacional fornece a força centrípeta:
$\dfrac{GM_1M_2}{D^2}=M_1\omega^2\dfrac{D}{4}$.
Cancelando $M_1$ e usando $\omega=2\pi/T$,
$M_2=\dfrac{\pi^2D^3}{GT^2}$.
Como $M_1=3M_2$:
$M_1=\dfrac{3\pi^2D^3}{GT^2}$.
Um pequeno holofote H, que pode ser considerado como fonte pontual P de luz, projeta, sobre um muro vertical, uma região iluminada, circular, definida pelos raios extremos $A_1$ e $A_2$. Desejando obter um efeito especial, uma lente convergente foi introduzida entre o holofote e o muro. No esquema, apresentado na folha de resposta, estão indicadas as posições da fonte P, da lente e de seus focos $f$. Estão também representados, em tracejado, os raios $A_1$ e $A_2$, que definem verticalmente a região iluminada antes da introdução da lente.
Para analisar o efeito causado pela lente, represente, no esquema da folha de resposta:
a) O novo percurso dos raios extremos $A_1$ e $A_2$, identificando-os, respectivamente, por $B_1$ e $B_2$. (Faça, a lápis, as construções necessárias e, com caneta, o percurso solicitado).
b) O novo tamanho e formato da região iluminada, na representação vista de frente, assinalando as posições de incidência de $B_1$ e $B_2$.
Pela malha do esquema, a fonte P está a $3f$ da lente. Pela equação das lentes,
$\dfrac1f=\dfrac1{3f}+\dfrac1q\Rightarrow q=\dfrac{3f}{2}$.
Portanto, os raios refratados convergem para um ponto sobre o eixo, a $1{,}5f$ à direita da lente, cruzam-se e depois divergem até o muro.
Como o muro está a $6f$ da lente, a geometria do feixe faz com que o raio superior $A_1$ atinja o muro na posição inferior e o raio inferior $A_2$ atinja a posição superior. O círculo iluminado mantém o mesmo tamanho do original, mas os extremos se invertem: $B_1$ incide embaixo e $B_2$ em cima.
Um cilindro, com comprimento de $1{,}5\,\text{m}$, cuja base inferior é constituída por um bom condutor de calor, permanece semi-imerso em um grande tanque industrial, ao nível do mar, podendo ser utilizado como termômetro. Para isso, dentro do cilindro, há um pistão, de massa desprezível e isolante térmico, que pode mover-se sem atrito. Inicialmente, com o ar e o líquido do tanque à temperatura ambiente de $27^\circ\text{C}$, o cilindro está aberto e o pistão encontra-se na posição indicada na figura 1. O cilindro é, então, fechado e, a seguir, o líquido do tanque é aquecido, fazendo com que o pistão atinja uma nova posição, indicada na figura 2.
Supondo que a temperatura da câmara superior A permaneça sempre igual a $27^\circ\text{C}$, determine:
a) A pressão final $P_1$, em Pa, na câmara superior A.
b) A temperatura final $T_f$ do líquido no tanque, em $^\circ\text{C}$ ou em K.
A escala da figura permite ler as posições das faces do pistão. Quando o cilindro é fechado, a câmara superior tem altura $0{,}50\,\text{m}$; no estado final, sua altura é $0{,}25\,\text{m}$. Como essa câmara permanece a $27^\circ\text{C}$, a transformação é isotérmica.
a) $P_0V_0=P_1V_1$:
$P_1=P_{atm}\dfrac{0{,}50}{0{,}25}=2{,}0\times10^5\,\text{Pa}$.
b) A câmara inferior passa de altura $0{,}75\,\text{m}$ para $1{,}00\,\text{m}$. Como o pistão tem massa desprezível, as pressões nos dois lados são iguais: inicialmente $P_{atm}$ e, ao final, $P_1$.
Para o gás da câmara inferior,
$\dfrac{P_0V_0}{T_0}=\dfrac{P_1V_1}{T_f}$.
Com $T_0=300\,\text{K}$:
$T_f=300\cdot\dfrac{2{,}0\times10^5}{1{,}0\times10^5}\cdot\dfrac{1{,}00}{0{,}75}=800\,\text{K}$.
Logo, $T_f\approx527^\circ\text{C}$.
Uma caixa d’água C, com capacidade de $100$ litros, é alimentada, através do registro $R_1$, com água fria a $15^\circ\text{C}$, tendo uma vazão regulada para manter sempre constante o nível de água na caixa. Uma bomba B retira $3\,\ell/\text{min}$ de água da caixa e os faz passar por um aquecedor elétrico A (inicialmente desligado). Ao ligar-se o aquecedor, a água é fornecida, à razão de $2\,\ell/\text{min}$, através do registro $R_2$, para uso externo, enquanto o restante da água aquecida retorna à caixa para não desperdiçar energia.
No momento em que o aquecedor, que fornece uma potência constante, começa a funcionar, a água, que entra nele a $15^\circ\text{C}$, sai a $25^\circ\text{C}$. A partir desse momento, a temperatura da água na caixa passa então a aumentar, estabilizando-se depois de algumas horas. Desprezando perdas térmicas, determine, após o sistema passar a ter temperaturas estáveis na caixa e na saída para o usuário externo:
a) A quantidade de calor $Q$, em J, fornecida a cada minuto pelo aquecedor.
b) A temperatura final $T_2$, em $^\circ\text{C}$, da água que sai pelo registro $R_2$ para uso externo.
c) A temperatura final $T_C$, em $^\circ\text{C}$, da água na caixa.
a) A vazão no aquecedor é $3\,\ell/\text{min}=3\,\text{kg/min}$. Inicialmente a elevação de temperatura é $10^\circ\text{C}$, então
$Q=mc\Delta T=3000\cdot4\cdot10=1{,}2\times10^5\,\text{J}$ por minuto.
Como a potência do aquecedor é constante e a vazão pelo aquecedor continua sendo $3\,\text{kg/min}$, ele sempre eleva a temperatura da água em $10^\circ\text{C}$. Assim, no regime final,
$T_2=T_C+10$.
b) e c) Como $2\,\ell/\text{min}$ saem para uso externo, entram na caixa $2\,\ell/\text{min}$ de água fria a $15^\circ\text{C}$. Além disso, $1\,\ell/\text{min}$ retorna do aquecedor à temperatura $T_2$. No regime estacionário:
$2(15)+1(T_2)=3T_C$.
Substituindo $T_2=T_C+10$:
$30+T_C+10=3T_C\Rightarrow T_C=20^\circ\text{C}$.
Logo, $T_2=30^\circ\text{C}$.
Os gráficos, apresentados ao lado, caracterizam a potência $P$, em watt, e a luminosidade $L$, em lúmen, em função da tensão, para uma lâmpada incandescente. Para iluminar um salão, um especialista programou utilizar $80$ dessas lâmpadas, supondo que a tensão disponível no local seria de $127\,\text{V}$. Entretanto, ao iniciar-se a instalação, verificou-se que a tensão no local era de $110\,\text{V}$. Foi necessário, portanto, um novo projeto, de forma a manter a mesma luminosidade no salão, com lâmpadas desse mesmo tipo.
Para esse novo projeto, determine:
a) O número $N$ de lâmpadas a serem utilizadas.
b) A potência adicional $P_A$, em watts, a ser consumida pelo novo conjunto de lâmpadas, em relação à que seria consumida no projeto inicial.
Do gráfico, para $127\,\text{V}$, uma lâmpada fornece aproximadamente $750\,\text{lm}$ e consome $75\,\text{W}$. Para $110\,\text{V}$, fornece aproximadamente $500\,\text{lm}$ e consome $60\,\text{W}$.
a) Igualando a luminosidade total:
$80\cdot750=N\cdot500$.
$N=120$ lâmpadas.
b) A potência do projeto inicial seria
$P_i=80\cdot75=6000\,\text{W}$.
No novo projeto,
$P_n=120\cdot60=7200\,\text{W}$.
Assim,
$P_A=P_n-P_i=1200\,\text{W}$.
Um selecionador eletrostático de células biológicas produz, a partir da extremidade de um funil, um jato de gotas com velocidade $V_{0y}$ constante. As gotas, contendo as células que se quer separar, são eletrizadas. As células selecionadas, do tipo K, em gotas de massa $M$ e eletrizadas com carga $-Q$, são desviadas por um campo elétrico uniforme $E$, criado por duas placas paralelas carregadas, de comprimento $L_0$. Essas células são recolhidas no recipiente colocado em $P_K$, como na figura.
Para as gotas contendo células do tipo K, utilizando em suas respostas apenas $Q$, $M$, $E$, $L_0$, $H$ e $V_{0y}$, determine:
a) A aceleração horizontal $A_x$ dessas gotas, quando elas estão entre as placas.
b) A componente horizontal $V_x$ da velocidade com que essas gotas saem, no ponto A, da região entre as placas.
c) A distância $D_K$, indicada no esquema, que caracteriza a posição em que essas gotas devem ser recolhidas.
(Nas condições dadas, os efeitos gravitacionais podem ser desprezados).
O campo elétrico aponta da placa positiva para a negativa, isto é, para a esquerda. Como a gota tem carga $-Q$, a força elétrica é para a direita, no sentido $+x$.
a) $F_x=QE$ em módulo, portanto
$A_x=\dfrac{QE}{M}$.
b) O tempo de permanência entre as placas é
$t_0=\dfrac{L_0}{V_{0y}}$.
Logo,
$V_x=A_xt_0=\dfrac{QEL_0}{MV_{0y}}$.
c) Durante a passagem entre as placas, a gota se desloca horizontalmente
$x_A=\dfrac12A_xt_0^2=\dfrac{QEL_0^2}{2MV_{0y}^2}$.
Depois de sair em A, o tempo até o nível do coletor é $H/V_{0y}$, e o deslocamento adicional é
$x_2=V_x\dfrac{H}{V_{0y}}=\dfrac{QEL_0H}{MV_{0y}^2}$.
Assim,
$D_K=x_A+x_2=\dfrac{QEL_0}{MV_{0y}^2}\left(H+\dfrac{L_0}{2}\right)$.
As características de uma pilha, do tipo PX, estão apresentadas no quadro ao lado, tal como fornecidas pelo fabricante. Três dessas pilhas foram colocadas para operar, em série, em uma lanterna que possui uma lâmpada L, com resistência constante $R_L=3{,}0\,\Omega$. Por engano, uma das pilhas foi colocada invertida, como representado abaixo:
Determine:
a) A corrente $I$, em ampères, que passa pela lâmpada, com a pilha 2 “invertida”, como na figura.
b) A potência $P$, em watts, dissipada pela lâmpada, com a pilha 2 “invertida”, como na figura.
c) A razão $F=P/P_0$, entre a potência $P$ dissipada pela lâmpada, com a pilha 2 “invertida”, e a potência $P_0$, que seria dissipada, se todas as pilhas estivessem posicionadas corretamente.
Com uma das três pilhas invertida, a força eletromotriz resultante é
$\varepsilon_{eq}=1{,}5+1{,}5-1{,}5=1{,}5\,\text{V}$.
A resistência interna total é $3(2/3)=2\,\Omega$. Somando a lâmpada, $R_{tot}=2+3=5\,\Omega$.
a) $I=\dfrac{1{,}5}{5}=0{,}30\,\text{A}$.
b) $P=I^2R_L=(0{,}30)^2\cdot3=0{,}27\,\text{W}$.
c) Com as três pilhas corretas, $\varepsilon_0=4{,}5\,\text{V}$ e $I_0=4{,}5/5=0{,}90\,\text{A}$. Logo, $P_0=(0{,}90)^2\cdot3=2{,}43\,\text{W}$ e
$F=\dfrac{P}{P_0}=\dfrac{0{,}27}{2{,}43}=\dfrac19$.
Um espectrômetro de massa foi utilizado para separar os íons $I_1$ e $I_2$, de mesma carga elétrica e massas diferentes, a partir do movimento desses íons em um campo magnético de intensidade $B$, constante e uniforme. Os íons partem de uma fonte, com velocidade inicial nula, são acelerados por uma diferença de potencial $V_0$ e penetram, pelo ponto P, em uma câmara, no vácuo, onde atua apenas o campo $B$ (perpendicular ao plano do papel), como na figura. Dentro da câmara, os íons $I_1$ são detectados no ponto $P_1$, a uma distância $D_1=20\,\text{cm}$ do ponto P, como indicado na figura. Sendo a razão $m_2/m_1$, entre as massas dos íons $I_2$ e $I_1$, igual a $1{,}44$, determine:
a) A razão entre as velocidades $V_1/V_2$ com que os íons $I_1$ e $I_2$ penetram na câmara, no ponto A.
b) A distância $D_2$, entre o ponto P e o ponto $P_2$, onde os íons $I_2$ são detectados.
(Nas condições dadas, os efeitos gravitacionais podem ser desprezados).
Observação de fidelidade: o texto do item a) menciona “ponto A”, enquanto a figura identifica o ponto de entrada na câmara como P.
Os dois íons partem do repouso e são acelerados pela mesma diferença de potencial. Assim,
$\dfrac12mv^2=qV_0$.
Logo, $v\propto1/\sqrt m$.
a) $\dfrac{V_1}{V_2}=\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$.
No campo magnético, $qvB=mv^2/r$, portanto $r=mv/(qB)$. Como $v\propto1/\sqrt m$, segue que $r\propto\sqrt m$. A distância de detecção $D$ é o diâmetro da trajetória semicircular, logo também é proporcional a $\sqrt m$.
b) $\dfrac{D_2}{D_1}=\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}=1{,}2$.
$D_2=1{,}2\cdot20=24\,\text{cm}$.