Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
a) Estime o intervalo de tempo $t_1$, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo $t_2$, em segundos, durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque.
c) Represente, no sistema de eixos da folha de resposta, em função do tempo, as velocidades horizontal $V_X$ e vertical $V_Y$ da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por $V_X$ e $V_Y$, respectivamente, cada uma das curvas.
$V_X$ é positivo quando a bola se move para a direita.
a) De A até B, a bola parte do ponto mais alto com $V_Y=0$ e desce $0{,}8\,\text{m}$:
$-0{,}8=-\dfrac{10}{2}t_1^2\Rightarrow t_1=0{,}40\,\text{s}$.
b) A altura máxima é $5{,}0\,\text{m}$. O tempo de subida desde o chão até A satisfaz $5=5t^2$, logo $t_s=1{,}0\,\text{s}$. Como a colisão com a parede é elástica, ela apenas inverte a componente horizontal; o movimento vertical prossegue como se a parede não existisse. Assim, o tempo total de voo é $t_2=2t_s=2{,}0\,\text{s}$.
c) A componente horizontal antes do choque é $V_X=6{,}0/0{,}40=15\,\text{m/s}$ e passa a $-15\,\text{m/s}$ no choque, ocorrido em $t=1{,}4\,\text{s}$. A componente vertical é $V_Y=10-10t$ durante todo o voo.
Um sistema industrial é constituído por um tanque cilíndrico, com 600 litros de água e área do fundo $S_1=0{,}6\,\text{m}^2$, e por um balde, com área do fundo $S_2=0{,}2\,\text{m}^2$. O balde está vazio e é mantido suspenso, logo acima do nível da água do tanque, com auxílio de um fino fio de aço e de um contrapeso C, como indicado na figura. Então, em $t=0\,\text{s}$, o balde passa a receber água de uma torneira, à razão de 20 litros por minuto, e vai descendo, com velocidade constante, até que encoste no fundo do tanque e a torneira seja fechada.
Para o instante $t=6$ minutos, com a torneira aberta, na situação em que o balde ainda não atingiu o fundo, determine:
a) A tensão adicional $\Delta F$, em N, que passa a agir no fio que sustenta o balde, em relação à situação inicial, indicada na figura.
b) A altura da água $H_6$, em m, dentro do tanque.
c) Considerando todo o tempo em que a torneira fica aberta, determine o intervalo de tempo $T$, em minutos, que o balde leva para encostar no fundo do tanque.
O volume das paredes do balde é desprezível.
a) O balde e o contrapeso se movem com velocidade constante. Portanto, a resultante sobre o contrapeso é nula e a tensão no fio continua igual ao peso do contrapeso. Logo, não há aumento da tensão:
$\Delta F=0$.
b) Em 6 min entram no balde $V_b=20\cdot6=120\,\text{L}=0{,}120\,\text{m}^3$. Como a tensão continua equilibrando o peso do balde vazio, o empuxo deve equilibrar exatamente o peso da água colocada no balde; portanto, o volume deslocado no tanque é também $120\,\text{L}$. O nível corresponde a $600+120=720\,\text{L}$:
$H_6=\dfrac{0{,}720}{0{,}6}=1{,}2\,\text{m}$.
c) A altura inicial da água é $0{,}600/0{,}6=1{,}0\,\text{m}$. Em 6 min, a altura da água dentro do balde é $0{,}120/0{,}2=0{,}60\,\text{m}$, de modo que o fundo do balde está a $1{,}2-0{,}6=0{,}60\,\text{m}$ do fundo do tanque. Ele desceu, portanto, $0{,}40\,\text{m}$ em 6 min. Mantida a velocidade, para descer $1{,}0\,\text{m}$ são necessários $15\,\text{min}$.
Um brinquedo consiste em duas pequenas bolas A e B, de mesma massa $M$, e um fio flexível: a bola B está presa na extremidade do fio e a bola A possui um orifício pelo qual o fio passa livremente. Para o jogo, um operador (com treino!) deve segurar o fio e girá-lo, de tal forma que as bolas descrevam trajetórias circulares, com o mesmo período $T$ e raios diferentes. Nessa situação, como indicado na figura 1, as bolas permanecem em lados opostos em relação ao eixo vertical fixo que passa pelo ponto O. A figura 2 representa o plano que contém as bolas e que gira em torno do eixo vertical, indicando os raios e os ângulos que o fio faz com a horizontal.
Assim, determine:
a) O módulo da força de tensão $F$, que permanece constante ao longo de todo o fio, em função de $M$ e $g$.
b) A razão $K=\dfrac{\sen\alpha}{\sen\theta}$, entre os senos dos ângulos que o fio faz com a horizontal.
c) O número $N$ de voltas por segundo que o conjunto realiza quando o raio $R_1$ da trajetória descrita pela bolinha B for igual a $0{,}10\,\text{m}$.
Considere $\sen\theta\approx0{,}4$ e $\cos\theta\approx0{,}9$; $\pi\approx3$.
a) Para a bola B, a componente vertical da tensão equilibra o peso:
$F\sen\theta=Mg\Rightarrow F=\dfrac{Mg}{0{,}4}=2{,}5Mg$.
b) Para a bola A, o equilíbrio vertical fornece
$F\sen\alpha=F\sen\theta+Mg$.
Como $Mg=F\sen\theta$, segue $\sen\alpha=2\sen\theta$ e
$K=2$.
c) Para a bola B, a componente horizontal da tensão é centrípeta:
$F\cos\theta=M\omega^2R_1$.
$2{,}5Mg(0{,}9)=M\omega^2(0{,}10)\Rightarrow\omega=15\,\text{rad/s}$.
Como $\omega=2\pi N$, $15=6N\Rightarrow N=2{,}5\,\text{Hz}$.
Um cilindro de Oxigênio hospitalar ($O_2$), de 60 litros, contém, inicialmente, gás a uma pressão de 100 atm e temperatura de 300 K. Quando é utilizado para a respiração de pacientes, o gás passa por um redutor de pressão, regulado para fornecer Oxigênio a 3 atm, nessa mesma temperatura, acoplado a um medidor de fluxo, que indica, para essas condições, o consumo de Oxigênio em litros/minuto.
Assim, determine:
a) O número $N_0$ de mols de $O_2$, presentes inicialmente no cilindro.
b) O número $n$ de mols de $O_2$, consumidos em 30 minutos de uso, com o medidor de fluxo indicando 5 litros/minuto.
c) O intervalo de tempo $t$, em horas, de utilização do $O_2$, mantido o fluxo de 5 litros/minuto, até que a pressão interna no cilindro fique reduzida a 40 atm.
Suponha a temperatura constante e igual a $300\,\text{K}$.
A constante dos gases ideais $R\approx8\times10^{-2}\,\text{litros·atm/(mol·K)}$.
Usando $PV=nRT$:
a) $N_0=\dfrac{100\cdot60}{0{,}08\cdot300}=250\,\text{mol}$.
b) Em 30 min, saem $150\,\text{L}$ a 3 atm:
$n=\dfrac{3\cdot150}{0{,}08\cdot300}=18{,}75\,\text{mol}$.
c) A 40 atm restam $n_2=40\cdot60/(0{,}08\cdot300)=100\,\text{mol}$. Portanto, devem sair $150\,\text{mol}$. A vazão molar, nas condições de saída, é $3\cdot5/(0{,}08\cdot300)=0{,}625\,\text{mol/min}$. Logo,
$t=150/0{,}625=240\,\text{min}=4{,}0\,\text{h}$.
Em um experimento de laboratório, um fluxo de água constante, de 1,5 litros por minuto, é aquecido através de um sistema cuja resistência $R$, alimentada por uma fonte de 100 V, depende da temperatura da água. Quando a água entra no sistema, com uma temperatura $T_0=20\,^{\circ}\text{C}$, a resistência passa a ter um determinado valor que aquece a água. A água aquecida estabelece novo valor para a resistência e assim por diante, até que o sistema se estabilize em uma temperatura final $T_f$.
Para analisar o funcionamento do sistema:
a) Escreva a expressão da potência $P_R$ dissipada no resistor, em função da temperatura do resistor, e represente $P_R\times T$ no gráfico da folha de respostas.
b) Escreva a expressão da potência $P_A$ necessária para que a água deixe o sistema a uma temperatura $T$, e represente $P_A\times T$ no mesmo gráfico da folha de respostas.
c) Estime, a partir do gráfico, o valor da temperatura final $T_f$ da água, quando essa temperatura se estabiliza.
Toda a potência dissipada no resistor é transferida para a água e o resistor está à mesma temperatura de saída da água.
Considere o calor específico da água $c=4000\,\text{J/(kg·K)}$ e a densidade da água $\rho=1\,\text{kg/L}$.
a) $P_R=U^2/R$. Como $U=100\,\text{V}$ e $R=10-0{,}1T$:
$P_R(T)=\dfrac{10^4}{10-0{,}1T}$.
b) A vazão mássica é $1{,}5/60=0{,}025\,\text{kg/s}$. Logo,
$P_A=\dot m c(T-20)=0{,}025\cdot4000(T-20)$,
$P_A(T)=100(T-20)$.
c) O regime estacionário ocorre na interseção $P_R=P_A$. Graficamente, obtém-se aproximadamente $T_f\approx35\,^{\circ}\text{C}$.
Uma máquina fotográfica, com uma lente de foco F e eixo OO’, está ajustada de modo que a imagem de uma paisagem distante é formada com nitidez sobre o filme. A situação é esquematizada na figura 1, apresentada na folha de respostas. O filme, de 35 mm, rebatido sobre o plano, também está esquematizado na figura 2, com o fotograma K correspondente. A fotografia foi tirada, contudo, na presença de um fio vertical P, próximo à máquina, perpendicular à folha de papel, visto de cima, na mesma figura.
No esquema da folha de respostas,
a) Represente, na figura 1, a imagem de P, identificando-a por P’ (Observe que essa imagem não se forma sobre o filme).
b) Indique, na figura 1, a região AB do filme que é atingida pela luz refletida pelo fio, e os raios extremos, $R_A$ e $R_B$, que definem essa região.
c) Esboce, sobre o fotograma K da figura 2, a região em que a luz proveniente do fio impressiona o filme, hachurando-a.
a) Para localizar P’, usa-se um raio que passa pelo centro óptico sem desvio e outro raio cuja refração é determinada pelos focos da lente. Como P está a uma distância finita, sua imagem se forma além do plano focal; por isso P’ não coincide com o filme.
b) Todos os raios provenientes de P que atravessam a abertura da lente convergem para P’. Antes de alcançar P’, eles interceptam o plano do filme numa faixa AB. Os raios que passam pelas extremidades da abertura da lente definem os limites $R_A$ e $R_B$ dessa faixa.
c) Como P representa um fio perpendicular ao plano da figura, a faixa AB projeta-se no fotograma como uma faixa alongada, que deve ser hachurada.
Um sistema de alimentação de energia de um resistor $R=20\,\Omega$ é formado por duas baterias, B1 e B2, interligadas através de fios, com as chaves Ch1 e Ch2, como representado na figura. A bateria B1 fornece energia ao resistor, enquanto a bateria B2 tem a função de recarregar a bateria B1. Inicialmente, com a chave Ch1 fechada (e Ch2 aberta), a bateria B1 fornece corrente ao resistor durante 100 s. Em seguida, para repor toda a energia química que a bateria B1 perdeu, a chave Ch2 fica fechada (e Ch1 aberta), durante um intervalo de tempo T.
Em relação a essa operação, determine:
a) O valor da corrente $I_1$, em ampères, que percorre o resistor R, durante o tempo em que a chave Ch1 permanece fechada.
b) A carga $Q$, em C, fornecida pela bateria B1, durante o tempo em que a chave Ch1 permanece fechada.
c) O intervalo de tempo $T$, em s, em que a chave Ch2 permanece fechada.
a) Durante a alimentação do resistor,
$I_1=\dfrac{12}{20+2}\approx0{,}55\,\text{A}$.
b) Em 100 s:
$Q=I_1\Delta t\approx0{,}55\cdot100=55\,\text{C}$.
c) Na recarga, as f.e.m. se opõem:
$I'=\dfrac{36-12}{4+2}=4{,}0\,\text{A}$.
Para devolver aproximadamente a mesma carga, $I'T=Q$:
$T=55/4=13{,}75\,\text{s}$.
Um certo relógio de pêndulo consiste em uma pequena bola, de massa $M=0{,}1\,\text{kg}$, que oscila presa a um fio. O intervalo de tempo que a bolinha leva para, partindo da posição A, retornar a essa mesma posição é seu período $T_0$, que é igual a 2 s. Neste relógio, o ponteiro dos minutos completa uma volta (1 hora) a cada 1800 oscilações completas do pêndulo.
Estando o relógio em uma região em que atua um campo elétrico E, constante e homogêneo, e a bola carregada com carga elétrica Q, seu período será alterado, passando a $T_Q$. Considere a situação em que a bolinha esteja carregada com carga $Q=3\times10^{-5}\,\text{C}$, em presença de um campo elétrico cujo módulo $E=1\times10^5\,\text{V/m}$.
Então, determine:
a) A intensidade da força efetiva $F_e$, em N, que age sobre a bola carregada.
b) A razão $R=T_Q/T_0$ entre os períodos do pêndulo, quando a bola está carregada e quando não tem carga.
c) A hora que o relógio estará indicando, quando forem de fato três horas da tarde, para a situação em que o campo elétrico tiver passado a atuar a partir do meio-dia.
a) O campo elétrico e a gravidade apontam para baixo. Assim,
$F_e=Mg+QE=0{,}1\cdot10+3\times10^{-5}\cdot10^5=4\,\text{N}$.
b) Sem carga, $F_{e0}=Mg=1\,\text{N}$. Como $T\propto1/\sqrt{F_e}$,
$\dfrac{T_Q}{T_0}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac12$.
c) O período cai à metade, portanto o relógio passa a marcar o dobro do tempo real. Das 12h às 15h transcorreram 3 h reais, correspondentes a 6 h indicadas pelo relógio. Ele marcará 18h.
Um sensor, montado em uma plataforma da Petrobrás, com posição fixa em relação ao fundo do mar, registra as sucessivas posições de uma pequena bola que flutua sobre a superfície da água, à medida que uma onda do mar passa por essa bola continuamente. A bola descreve um movimento aproximadamente circular, no plano vertical, mantendo-se em torno da mesma posição média, tal como reproduzido na seqüência de registros abaixo, nos tempos indicados. O intervalo entre registros é menor do que o período da onda. A velocidade de propagação dessa onda senoidal é de $1{,}5\,\text{m/s}$.
Para essas condições:
a) Determine o período $T$, em segundos, dessa onda do mar.
b) Determine o comprimento de onda $\lambda$, em m, dessa onda do mar.
c) Represente, na folha de respostas, um esquema do perfil dessa onda, para o instante $t=14\,\text{s}$, tal como visto da plataforma fixa. Indique os valores apropriados nos eixos horizontal e vertical.
a) Da posição em $t=0$ até a posição em $t=6\,\text{s}$, a bola percorre $3/4$ de uma volta na leitura esperada da sequência:
$6=\dfrac34T\Rightarrow T=8\,\text{s}$.
b) $v=\lambda/T$, portanto
$\lambda=vT=1{,}5\cdot8=12\,\text{m}$.
c) O diâmetro da órbita da bola é $0{,}4\,\text{m}$, logo a amplitude é $0{,}20\,\text{m}$. Entre $t=6\,\text{s}$ e $t=14\,\text{s}$ decorre exatamente um período, de modo que o perfil em $t=14\,\text{s}$ repete o perfil correspondente ao instante $t=6\,\text{s}$ no ponto observado.
Com auxílio de uma pequena bússola e de uma bobina, é possível construir um instrumento para medir correntes elétricas. Para isso, a bobina é posicionada de tal forma que seu eixo coincida com a direção Leste-Oeste da bússola, sendo esta colocada em uma região em que o campo magnético B da bobina pode ser considerado uniforme e dirigido para Leste. Assim, quando a corrente que percorre a bobina é igual a zero, a agulha da bússola aponta para o Norte. À medida em que, ao passar pela bobina, a corrente I varia, a agulha da bússola se move, apontando em diferentes direções, identificadas por $\theta$, ângulo que a agulha faz com a direção Norte. Os terminais A e B são inseridos convenientemente no circuito onde se quer medir a corrente. Uma medida inicial de calibração indica que, para $\theta_0=45^{\circ}$, a corrente $I_0=2\,\text{A}$.
Para essa montagem:
a) Determine a constante $k$ de proporcionalidade entre B e I, expressa em gauss por ampère.
b) Estime o valor da corrente $I_1$, em ampères, quando a agulha indicar a direção $\theta_1$, representada na folha de respostas. Utilize, para isso, uma construção gráfica.
c) Indique, no esquema apresentado na folha de respostas, a nova direção $\theta_2$ que a bússola apontaria, para essa mesma corrente $I_1$, caso a bobina passasse a ter seu número $N$ de espiras duplicado, sem alterar seu comprimento.
O campo magnético B produzido por esta bobina, quando percorrida por uma corrente I, é dado por $B=kI$.
A constante $k=\mu_0N$, em que $\mu_0$ é uma constante e $N$, o número de espiras por unidade de comprimento da bobina.
a) Na calibração, $\theta_0=45^{\circ}$, portanto os campos perpendiculares têm o mesmo módulo: $B=B_T=0{,}2\,\text{gauss}$. Como $B=kI$,
$k=0{,}2/2=0{,}10\,\text{gauss/A}$.
b) Pela construção gráfica fornecida, $\tan\theta_1=B_1/B_T\approx3/4$. Assim,
$B_1\approx0{,}15\,\text{gauss}$ e $I_1=B_1/k=1{,}5\,\text{A}$.
c) Duplicando o número de espiras por unidade de comprimento, duplica-se $k$ e, para a mesma corrente, $B_2=0{,}30\,\text{gauss}$. Logo,
$\tan\theta_2=B_2/B_T=0{,}30/0{,}20=1{,}5$,
o que corresponde a $\theta_2\approx56^{\circ}$ a leste do Norte.
